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Eine den lokalen Realismus widerlegende schlupflochfreie Verletzung einer Bell-Ungleichung wurde bisher nicht erreicht. Eine Verletzung der Eberhard-Ungleichung mit nicht maximal verschränkten Zuständen ermöglicht das Schließen des Detektionsschlupflochs mit einer Detektionseffizienz von 2/3. In dieser Arbeit wurden Photonenpaare in nicht maximal verschränkten Zuständen mit Lawinenphotodioden und hocheffizienten supraleitenden Phasenübergangsthermistoren, sogenannten “transition-edge sensors” (TESs), für ihre Verwendung in einem endgültigen, auf der Eberhard-Ungleichung basierten Bell-Experiment untersucht. Polarisationsverschränkte Photonenpaare wurden in einer Sagnac-Quelle in nicht maximal verschränkten Zuständen hergestellt. Für jeden der erzeugten Zustände wurde aus Messungen mit Lawinenphotodioden eine Dichtematrix rekonstruiert. Eine durchschnittliche Reinheit von 99,26(2) Prozent und eine durchschnittliche Güte für einen idealen, nicht maximal verschränkten Zustand von 99,01(1) Prozent wurden aus diesen Dichtematrizen berechnet. Ein hocheffizientes Detektionssystem basierend auf supraleitenden Phasenübergangsthermistoren, die von supraleitenden Quanteninterferometern ausgelesen werden, wurde in einem adiabatischen Entmagnetisierungskryostat installiert. Eine beispiellos hohe Ankündigungseffizienz von 82,2(3) Prozent für einen Produktzustand und 79,7(2) Prozent für einen verschränkten Zustand wurde direkt beobachtet. Die Eberhard-Ungleichung wurde mit supraleitenden Phasenübergangsthermistoren gemessen, jedoch waren die Ergebnisse noch nicht ausreichend für eine Verletzung. Weitere Verbesserungen des Aufbaus sind erforderlich. Diese Arbeit demonstriert die Schlüsselkomponenten, die für die Verletzung der Eberhard-Ungleichung benötigt werden: ein hocheffizientes Detektionssystem einschließlich des Einkoppelns in Fasern und eine Quelle hochreiner, nicht maximal verschränkter Zustände. Zusammen mit einem Quantenzufallsgenerator und zusätzlicher räumlicher Trennung ebnet diese Arbeit den Weg für ein endgültiges, schlupflochfreies Bell-Experiment, das nicht nur als grundsätzliche Fragestellung wichtig ist, sondern auch für Anwendungen wie geräteunabhängige Quantenschlüsselverteilung und die Zertifizierung von geräteunabhängiger Zufälligkeit., A loophole-free violation of a Bell inequality, which would refute local realism, has not been achieved yet. A violation of the Eberhard inequality using nonmaximally entangled states allows closure of the detection loophole with a detection efficiency of 2/3. In this thesis, nonmaximally entangled photon pairs were investigated with avalanche photodiodes and highly-efficient transition-edge sensors for their implementation in a conclusive Bell experiment based on the Eberhard inequality. The polarization-entangled photon pairs were generated in nonmaximally entangled states using a Sagnac source. For each of the produced states, a density matrix was reconstructed from measurements performed with avalanche photodiodes. An average purity of 99.26(2) percent and an average fidelity with the ideal nonmaximally entangled state of 99.01(1) percent was calculated from these density matrices. A highly-efficient detection system based on superconducting transition-edge sensors read out by superconducting quantum interference devices was installed in an adiabatic demagnetization refrigerator. An unprecedentedly high heralding efficiency was directly observed: 82.2(3) percent for a product state and 79.7(2) percent for an entangled state. The Eberhard inequality was measured with transition-edge sensors, but the results were not yet adequate for a violation. Further improvements of the setup are required. This thesis demonstrates the key components needed for a violation of the Eberhard inequality: a highly-efficient detection system including fibre coupling and a high-purity source of nonmaximally entangled photon pairs. Together with a quantum random number generator and additional space-like separation, this work paves the way for a loophole-free Bell experiment, which is important not only to address a fundamental question but also for applications such as device-independent quantum key distribution and certification of device-independent randomness.