Search

The article introduces the reader to some amazing properties of trigonometric functions. It turns out that if the values of the arguments of the functions sin x, cos x, tg x and ctg x, expressed in radians, are algebraic numbers, then the values of these functions are transcendental numbers. Hence, it follows that the values of all angles of the pseudo-Heronian triangle, including the values of all angles of the Pythagoras or Heron triangle, expressed in radians, are transcendental numbers. If the arguments of functions sin x and cos x, expressed in radians, are equal to x = r 2 \pi, where r are rational numbers, then the values of the functions are algebraic numbers. It should be noted that in this case the argument x = r 2\pi is transcendental and, if expressed in degrees, becomes a rational.

In the article necessary and sufficient conditions for existence and uniqueness of a right triangle with given bisector and median are established.

It is shown in the article that, in general, it is not possible to draw a triangle using a compass and a straightedge given an angle and a bisector and a median drawn from the vertices of another different angles. It is shown in which particular cases a triangle can be drawn.

The choice of exact science subjects and their learning levels by the pupils of forms 11-12 of the Lithuanian general schools has not only an academic basis, but it is also one of the most important factors predetermining success in the career development in the future. The article overviews the priorities for choosing subjects and external as well as internal motives that predetermine them, examines the issues of self-reflection on choosing exact subjects, and analyses the links between the choice of exact subjects and the further professional learners’ career. The results of the research have showed that of all the subjects of exact sciences the learners are most positive about mathematics; thus, a great share of learners choose a higher mathematics learning level, while the subjects of physics and chemistry are chosen by significantly fewer learners. Learners in essence are positive about the possibility to choose subjects; however, a large share of them would change the subjects or would like to learn still at least one or more subjects additionally. The greatest influence on choosing the subjects of exact sciences is made by family members, relatives, acquaintances who are representatives of different professions, and the information by higher schools; however, higher schools should improve the dissemination of the information on the knowledge and abilities required for studies. Studies of social sciences remain most popular, although a pretty large share of learners choose study programmes of physical, biomedicine and technology sciences. Still the latter programmes are chosen by the learners whose achievements in exact sciences are not the best ones. The research results presented in the article could be of interest to specialists of the education process organisation of different levels, teachers, parents and learners themselves.

The texts and solutions of the LEU young mathematicians olympiad – 2014 are presented.

Straipsnyje apžvelgiami Lietuvos vidurinių mokyklų ir gimnazijų vyresniųjų klasių mokinių tiksliųjų mokslų dalykų pasirinkimo prioritetai ir motyvai bei atitiktis tolesniems mokinių profesinės veiklos ir studijų planams. The article overviews the priorities and motives of choosing the subjects of exact sciences by senior form learners of the Lithuanian secondary schools and gymnasiums as well as compliance with future learners plans of professional activity and studies.

Straipsnyje nagrinėjamos IV klasės mokinių matematikos pasiekimų sąsajos su pradinių klasių mokytojo profesinėmis kompetencijomis. The article deals the interface between the IVth grade pupil’s achievement in mathematics and elementary school teachers’ professional competence.

Siekiant išsiaiškinti informacinių ir komunikacinių technologijų (IKT) taikymo edukacinėje ir mokymosi aplinkose sąsajas su matematikos pasiekimais, buvo atliktas šių technologijų taikymo poveikio IV klasės mokinių matematikos pasiekimams tyrimas. Straipsnyje pristatomi pagrindiniai šio tyrimo rezultatai. Striving for identification of links between application of information communication technologies (ICT) in educational and learning environments and achievements in mathematics, a research on influence of application of these technologies for teaching and learning mathematics in 4th form on school students’ achievements was conducted. The article presents the main results of this research.

Straipsnyje apžvelgiami vidurinių mokyklų ir gimnazijų ryšiai su universitetais, aptariamas papildomas matematinis ugdymas. Daugiausia dėmesio skiriama pagrindinio ugdymo ir vidurinio ugdymo matematikos bendrosioms programoms. Siūloma sukurti vientisą matematinio ugdymo gimnazijoje programą, atsisakyti valstybinio brandos egzamino programos (organizuojant egzaminą pagal bendrąją matematinio ugdymo programą). The article reviews the ties between secondary schools/gymnasia and universities, and also discusses complementary mathematics education. Major attention is directed to the general mathematics curricula of general education and secondary education. A proposal of developing an integral mathematics education curriculum for gymnasium as well as withdrawing the state school graduation curriculum (by organising the examination under the general mathematics education curriculum) has been put forward.

As a population of bilingual families is increasing, there happens to appear more and more families, where kids are suppose to study mathematics in foreign language. The main goal of this paper is to analyze what kind of problems arises to pupils when they have to study mathematics in English as a foreign language. Firstly, in this article, it is stated the relation between language and mathematics. Later on together with already known problems founded by well-known scientists it is stated an extra problem, discovered by research used for this final thesis; it is analyzed a possible dependency of the age and aspects of studying mathematics for bilingual pupils. Also it is compared the similarity between pupils studying mathematics in any other language with English language learners. Finaly, there are stated recommendations supporting teachers in teaching mathematics to English language learners.

In schools mathematics is one of the main subjects which are being studied by pupils. The reason why this subject is so important is that mathematics teaches how to think logically, in a structured way, also it is vital in our daily life and it makes us more educated. Therefore it is important how to teach children mathematics in schools that they will understand, it will be interesting to them and also remain for a long term. So, it was chosen to analyse four teaching methods: Know – Want to know – Learned, Lecture, Look – Think – Talk, Group work. This article is written about exploration in „Vilniaus Sausio 13-osios mokykla“ which was done in two fifth classes during the pedagogical practice. All teaching methods were used to explain the theory and all practise was done in the same way in all lessons to make the most similar conditions to explore the efficiency of teaching methods. In the end of all lessons students were given a test with tasks analogous to the ones, which were done during the lesson. These tests let us to see how useful all the lesson and the teaching method were. Also every time on the other side of the test pupils wrote their own opinion about the lesson and the way to learn. Those quizzes illustrated the influence of teaching methods at the moment and examination showed the effect in a long term. All four teaching methods, their cons and advantages, are described in this work. Moreover there are given the characteristics of examined classes, students' learning results. There are also presented how every chosen method was used in a lesson and pupils opinions about teaching methods. During the analyses we wanted to know the effect of teaching methods for children who have excellent, good and bad marks in mathematics. As well, there was trying to find out if teaching methods can be realized in lessons, whether all aims of lesson's plan were reached and what opinion pupils have about the teaching methods used in research. Amongst the analysis few conclusions were got. Pupils who are good students really liked different teaching methods, but the ones who struggle in mathematics learning, liked the same way to learn, because otherwise they were distracted, could not focus. Also, it was noticed when children examines all theory by themselves there are no difficulties to them to use that knowledge in practise. If students just listen to the teacher, they need some time to learn how to use the information, which they got, in the exercises. The profit of teaching method depends on every pupil who is in the class. And the last conclusion, the most attractive way to learn for children is in pairs or groups, with their friends.

Globaliojo optimizavimo metodai, pagrįsti Lipšico rėžių apskaičiavimu, yra plačiai taikomi įvairių optimizavimo uždavinių sprendimui. Tačiau Lipšico metodai dažniausiai remiasi prielaida, kad Lipšico konstanta žinoma iš anksto, o tai retas atvejis sprendžiant praktinius uždavinius. Todėl Simonos Talačkaitės magistro darbe yra toliau nagrinėjama aktuali ir svarbi problematika iškylanti realizuojant Lipšico metodus nesiremiančius jokiomis išankstinėmis prielaidomis apie Lipšico konstantą. Praktinio tiriamojo pobūdžio magistro darbe iškeliamas toks pagrindinis tikslas: ištirti daugiamačių simpleksinių globaliojo optimizavimo algoritmų su nežinoma Lipšico konstanta efektyvumą priklausomai nuo naudojamo simplekso centro. Šiam tikslui pasiekti buvo iškelti šie uždaviniai: apžvelgti naujausią literatūrą skirta Lipšico metodams su nežinoma Lipšico konstanta; matematiškai išnagrinėti įvairių daugiamačių simplekso centrų apskaičiavimus bendru atveju bei juos realizuoti Matlab aplinkoje; papildyti simpleksinį globaliojo optimizavimo DISIMPL algoritmą šių simpleksų centrų apskaičiavimo paprogramėmis; eksperimentiškai ištirti pasiūlytų rezultatų praktiškumą sprendžiant testinius optimizavimo uždavinius. This work analyzes Global optimization objectives, the most important it will be algorithms with simplicial Lipšico constant. Also, this work analyzes multidi- mensional DIRECT algorithm. We will provide dividing in higher dimennsions DIRECT algorithm. Then analyzes two simplex and apply the solutions. The hand simplex to smallerpartitions. Perceive multidimensional DIRECT algorithm division rules. In this work wrote a lot about simplicial center about dividing of hyoer-cube. Finally, the experiment it will be about the best way, how we can …nd circle center ir diferent way. Simplex centers using 8 test funkcions , changing the number of iterations and mistakes number. Create tables and to analyzes them. The purpose of this paper work is to introduce the simplex algorithm for global optimization with unknown Lipšicas constant depending on the e¢ ciency of the division of the rules used in the simplex.

Magistro darbe nagrinėjamas katenoidų uždavinys, kuris sprendžiamas variaciniu metodu. Ištirta, kada egzistuoja šio uždavinio sprendinys su simetrinėmis kraštinėmis sąlygomis: y(-a)=y=(a)=A>0. Ištirti atvejai, kai uždavinys neturi sprendinio glodžių funkcijų klasėje. Ištirta, kada egzistuoja šio uždavinio sprendinys su nesimetrinėmis kraštinėmis sąlygomis y(a)=A, y(b)=B, A≠B. Uždavinys buvo sprendžiamas kompiuterinės programos Maple pagalba. In this master thesis the catenoid problem is discussed using the variational methods. The existence of the solution in the case of symmetrical boundary value conditions y(-a)=y=(a)=A>0 is established. An example is given in the case, when catenoid problem doesn’t have any solution in the class of smooth functions. Besides, an example of this variational problem with non-symmetrical boundary value conditions of the type y(a)=A, y(b)=B, A≠B, is considered. All problems were solved using technical computing sofware Maple.

Darbe nagrinėjamos koliestinės sluoksniuotės su apibrėžta metrika. Parodyta kaip šių erdvių metrinis tenzorius indukuoja tiesinę ir afiniąją sietį, surasti šių siečių kreivumo objektai. Įrodyta, kad šiose sluoksniuotėse egzistuoja vidinės homogeninės beveik kompleksinės struktūros. Nustatytos šių struktūrų integruojamumo sąlygos, surastos sąlygos, kad šį struktūra būtų Kelerio tipo. In this paper cotangent bundle with determinate metrics are analysed. It is shown how metrical tensor of those spaces induces linear and affine connections, also objects of those connections‘ curvature are found. It is proved that intrinsic homogeneous almost complex structure exists in that bundle. Conditions of those structure integration are identified as well as conditions for this structure to be Kahler‘s type are found.

Darbe nagrinėjami judesiai n-matėje hiperplokštuminių elementų erdvėje . Gauti rezultatai: 1. Įrodyta, kad n-matėje hiperplokštuminių elementų erdvėje maksimalus judesių grupių parametrų skaičius yra parametrai. 2. Įrodyta, kad n-matėje hiperplokštuminių elementų erdvėje su nesimetrine tiesine sietimi maksimalus judesių grupių parametrų skaičius yra parametrai. The present work analyses movements in n-dimensional space of hyperplaine elements . The received results: 1. It was proved that in the n-dimensional space the maximum number of movement groups parameters, number is parameters 2. It was proved that in the n-dimensional space the maximum number of movement groups parameters with asymmetric linear connection is parameters.

Darbe nagrinėjamos simetrinės trečiosios eilės liestinės sluoksniuotės, kurios apibrėžiamos kaip 3 - džetų aibės. Surasta simetrinės erdvės izotropijų grupė, o taip pat jos izomorfijų grupė. Gautos izomorfijų grupės struktūrinės lygtys, surasti erdvės Maurerio – Kartano lygčių analogai, įrodytos formulės, išreiškiančios indukuotosios afiniosios sieties kreivumo tenzorių komponentes izomorfijų grupės struktūrinėmis konstantomis. Taip pat gauta visa eilė tapatybių, siejančių kreivumo objektus ir izomorfijų grupės struktūrines konstantas (apibendrintos Ričio ir Bianchi tapatybės). The paper examined the symmetric third order tangent bundle, defined as 3- jet space. Found symmetric space isotropy group, as well as its isomorphy group. The resulting structural equation of isomorphy group, find this area Maurer - Cartan analogues of equations, an established formula, expressing inducted affines connection component of curvature tensors of the isomorphy group structural constants. Also received identities connecting the curvature objects structural constants of isomorphy group (generalized in Riči and Bianchi identity).

Šiame darbe nagrinėjama speciali atraminių elementų erdvė – tiesinių elementų erdvė. Šios geometrijos bendrąją tiesinių ir afiniųjų siečių teoriją sukūrė V. Bliznikas. Jis parodė, [5] kaip tiesinės sieties geometrinis objektas indukuoja aukštesniųjų eilių afiniųjų, taip pat tenzorinių siečių objektams. V. Blizniko sukurtais tyrimo metodais dalinai naudojomės ir šiame darbe. Metrinių hiperplokštuminių elementų erdvė yra taip vadinamų normalizuotų erdvių atvejis. Normalizuotos erdvės tai tokios, kuriose apibrėžtos koks nors diferencialinis – geometrinis objektas, kurio invariantai ir sudaro normalizuotos erdvės geometrijos turinį. Tokiais objektais dažnai būna skaliarinė funkcija. (Finslerio ar Kartano erdvės), metrinis tenzorius (tiesinių ar hiperplokštuminių elementų erdvės), afiniosios sieties objektas (afiniosios sieties erdvės) ir pan. Šiame darbe nagrinėjamos metrinių tiesinių elementų erdvės, kurios yra normalizuojamos metrinio tenzoriaus pagalba. Be to, tas tenzorius turi specialią struktūrą (žr. [1]). Ta struktūra charakteringa tuo, kad visuomet tokios erdvės yra Landsbergo erdvių analogai. Darbe pavyko tokioms metrikoms sukonstruoti vidines beveik kompleksines ir beveik sandaugos struktūras, surasti jų integruojamumo sąlygą, kurios dėka metrikos specifika yra kitokia nei analogiškos sąlygos Finslerio erdvėse. Darbas sudarytas ir iš įžangos ir 8 paragrafų. Pirmajame paragrafe dėstomas įvadas į liestinių sluoksniuočių geometriją. Antrajame nagrinėjama šių erdvių... [toliau žr. visą tekstą] The elements of metric space with a special form of metric are dealt with in the work. It is shown how in such spase linear and affine links are defined with the help of metric tenzor, the ogjects of curvature are founds the existence of the type of metric affine links is proved. It is proved that the metric tenzor induces two parametric almost complex and almost the structures of product, the integration criteria of these structures are found. Keywords: • differentiable manifold • tangent stratified; • linear and affine traceable; • integrated struktures; • structural tensors.

Diplominiame darbe nagrinėjamas specialusis atraminių elementų erdvės atvejis, kai atraminis elementas yra II – os eilės viršvektorius ( p = 2 ). Pirmieji du darbo paragrafai yra referatyvinio pobūdžio. Pirmajame paragrafe gautos diferencijuojamos daugdaros struktūrinės lygtys, pateikiamos kai kurių diferencialinių geometrinių objektų ( skaliarinės funkcijos, tenzorinio lauko, viršvektorinio lauko ir afiniosios sieties objekto ) diferencialinės lygtis. Antrajame paragrafe afiniųjų ir tenzorinių siečių pagalba apibrėžta tenzoriaus invariantinio diferencijavimo operacija ir surastos tenzoriaus kovariantinės išvestinės. Surastos sąlygos kada tenzoriaus kovariantinės išvestinės, apibrėžto afiniosios sieties pagalba sutampa su šio tenzoriaus kovariantinėmis išvestinėmis, apibrėžtomis tenzorinės sieties pagalba. Trečiajame paragrafe apibrėžiama antros eilės atraminių viršvektorių erdvė, surastos šios erdvės struktūrinės lygtys ir ištirta liečiamosios ir koliečiamosios erdvių struktūra. Ketvirtajame paragrafe nagrinėjamos koliečiamosios erdvės normalizacijos. Tiesinės sieties pagalba kolie���iamojoje erdvėje išskiriami du invariantiniai poerdviai. Iš tiesinės sieties komponenčių ir jų pirmojo tęsinio sukonstruotos šios erdvės nepilna afinioji ir nepilna tenzorinė sietys, surasti šių siečių tarpusavio ryšiai, surastos pakankamos sąlygos, kad nepilnoji afinioji sietis sutaptų su nepilnosios tenzorinės sieties indukuota afiniąja sietimi. Čia tai pat surastos erdvės su nepilnąja... [toliau žr. visą tekstą] In work it is examined special case of spaces support elements, when support elements are the super – vectors of the second order ( p = 2 ). The space of the second order support super – vectors is certain, the structural equations of this space are found and the structure tangential and cotangential spaces is researched. Further it is examined to space tangential spaces normalization. By means of linear connectivity in tangential space are detach two invariant subspaces. By means of components of linear connectivity and their first continuation are designed incomplete affine and incomplete tensors connectivity of this space, also connection between them is found. Further by means of linear connectivity natural normalization of space is examined, it is proved that the object of linear connectivity and its first continuation induces incomplete super – vector connectivity of this space. The structural equations of space with incomplete super – vector and complete super – vector connectivity are found. As operation of invariant differentiation of a super - vector field is certain, analogues of Richi and Bianca identities are received.

Darbe pateiktas sluoksniuotų erdvių normalizacijos modelis, tiriama normalizuotų erdvių geometrija, randami gaunamos geometrijos vidinių siečių konstravimo metodai. Šiuo tikslu nagrinėjamos neholonominės sietys Lie sluoksniuotėse, išskiriamas vertikalų Lie sluoksniuočių ir vertikalių siečių atvejis. Nustatomi ryšiai tarp neholonominių siečių. Normalizuotų erdvių vidinių neholonominių siečių teorija yra pradedama struktūrinių modulių ir konstravimu, leidžiančiu vidines , ir - sietis apibrėžti reikalavimais , ir . Sietys, gaunamos normalizuojančioje Lie sluoksniuotoje vadinamos normalinėmis sietimis. Normalinės sietys, suderintos su vidinėmis sietimis, yra vidinėmis normalinėmis sietimis. This paper deals with the normalization model of the fiber spaces . The geometry of normalized space is researched. The methods of derivable geometric intrinsic transfer construction are discovered. For this purpose non-holonomy transfers in Lie fibers are analyzed, the case of vertical Lie fibres and vertical transfer is distinguished. The links among non-holonomy transfers are established. The proposed model of the fiber space is distinguished for the rich geometry of normal spaces, allowing to anticipate its further developmental possibilities.

Vector bundles , which basic space is smooth n-dimensional space with affine connection, are exploring in this paper. It was proved that linear connection of such bundle defines affine connection, there were found curvature objects of these connections. It was also proved that linear connection induces inside almost product’s structure in bundle , there were explored integrable conditions of this structure and defined criterions on affine connections that are associated with these structures.

Le but de l’étude: A l’aide d’ANOVA (l’analyse dispersive) nommer: les différents facteurs, qui déterminent le progrès mathématicien des élèves; les paires des facteurs, qui ont l’influence au progrès des élèves. En considération des résultats reçus, donner les conclusions et les recommandations pour améliorer les acquis des élèves. Les devoirs du travail : 1) Analyser les particularités et les possibilités de la méthode d’ANOVA. 2) Analyser la convenance d’ANOVA pour fixer les facteurs décisifs au progrès mathématicien des élèves. 3) Etablir et analyser les facteurs dont le niveau des connaissances mathématiques des élèves dépend. 4) En s’appuyant sur les résultats des recherches accomplies, donner les conclusions et les recommandations comme il faut perfectionner l’enseignement des mathématiques. L’objet des recherches – les élèves des 10ièmes classes des écoles des régions de Vilnius et Kaunas. Après les recherches accomplies, il faut travailler statiquement avec les données reçues, en utilisant le programme SPSS. Pour l’analyse statistique des données recueillies, les coefficients de la corrélation de Kendal et de Spearman, les critères de Kolmogorov¬–Smirnov et de Livyn, ont été calculés, la méthode d’ANOVA, les maintes fois comparaisons où les critères post hoc, ont été appliqués. Les méthodes des recherches : l’analyse de la littérature scientifique ; l’interrogatoire questionnaire ; l’analyse statistique des données. On montre dans le travail, que la méthode d’ANOVA... [to full text]