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The burrowing, feeding and foraging activities of terrestrial and benthic organisms induce displacements of soil and sediment materials, leading to a profound mixing of these media. Such particle movements, called "sediment reworking" in aquatic environments and "bioturbation" in soils, have been thoroughly studied and modeled in sediments, where they affect organic matter mineralization and contaminant fluxes. In comparison, studies characterizing the translocation, by soil burrowers, of mineral particles, organic matter and adsorbed contaminants are paradoxically fewer. Nevertheless, models borrowed from aquatic ecology are used to predict the impact of bioturbation on organic matter turnover and contaminant transport in the soil. However, these models are based on hypotheses that have not been tested with adequate observations in soils, and may not necessarily reflect the actual impact of soil burrowers on particle translocation. This paper aims to (i) highlight the possible shortcomings linked to the current use of sediment reworking models for soils, (ii) identify how recent progresses in aquatic ecology could help to circumvent these limitations, and (iii) propose key steps to ensure that soil bioturbation models are built on solid foundations: more accurate models of organic matter turnover, soil evolution and contaminant transport in the soil are at stake.

International audience; Liquid film or drop wicking on solid surface without any external energy input is highly desirable in specific industrial processes. This paper proposes a numerical study of the dynamics of liquid wicking on geometrically structured flat surface. We consider structures deduced from flat surface by super-imposing a series of identical parallel channels, the ensemble being made of the same material. Channels exhibit arrow-shaped patterns. We analyse drop wicking on such a structure using numerical simulation and experiment. Both approaches reveal non symmetric wicking clearly exhibiting a privileged direction. The simulation captures the evolution of the liquid/air interface at smaller time scales and reveals wicking with rapid pulses suggested by the experiment.

Partial differential equations (p.d.e) equipped of spatial derivatives of fractional order capture anomalous transport behaviors observed in diverse fields of Science. A number of numerical methods approximate their solutions in dimension one. Focusing our effort on such p.d.e. in higher dimension with Dirichlet boundary conditions, we present an approximation based on Lattice Boltzmann Method with Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) or Multiple-Relaxation-Time (MRT) collision operators. First, an equilibrium distribution function is defined for simulating space-fractional diffusion equations in dimensions 2 and 3. Then, we check the accuracy of the solutions by comparing with i) random walks derived from stable L\'evy motion, and ii) exact solutions. Because of its additional freedom degrees, the MRT collision operator provides accurate approximations to space-fractional advection-diffusion equations, even in the cases which the BGK fails to represent because of anisotropic diffusion tensor or of flow rate destabilizing the BGK LBM scheme., Comment: Final version accepted in Computer Physics Communications. 23 pages, 25 figures

International audience; We derive rigorously the fractional counterpart of the Feynman-Kac equation for a transport problem with trapping events characterized by fat-tailed time distributions. Our starting point is a random walk model with an inherent time subordination process due to the difference between clock times and operational times. We pass to the hydrodynamic limit using weak convergence arguments. Due to the lack of regularity of physical data, we use the framework of measure theory. We finally derive a Bloch-Torrey type equation for nuclear magnetic resonance data in this subdiffusive context.

We present a general model (SMIM) specifically designed for the interpretation of NMR velocimetry data. Extending the well-known concept of Mobile/Immobile tracer particles applied in dispersion theory, we reproduce two mechanisms responsible for non-Gaussian behavior: immobile molecules trapped in non-flowing zones, and unexpectedly long but rare displacements. From the derived analytical expressions of the NMR signals fitted to the recorded data, we can determine a generalized dispersion coefficient in the case of super dispersion. Using NMR velocimetry data collected in a homogeneous 30 μm grain pack and 10

Tracer tests in natural porous media sometimes show abnormalities that suggest considering a fractional variant of the Advection Diffusion Equation supplemented by a time derivative of non-integer order. We are describing an inverse method for this equation: it finds the order of the fractional derivative and the coefficients that achieve minimum discrepancy between solution and tracer data. Using an adjoint equation divides the computational effort by an amount proportional to the number of freedom degrees, which becomes large when some coefficients depend on space. Method accuracy is checked on synthetical data, and applicability to actual tracer test is demonstrated., Comment: 21 pages, 9 figures

Among other observables, Nuclear Magnetic Resonance measures characteristic functions of displacements of fluid molecules. Commonly, NMR signals are interpreted by assuming Gaussian distributions for displacements. Yet, mass transport in many complex media does not satisfy this hypothesis, and sometimes memory effects are likely occuring. Motivated by such situations, we state a closed form expression for the characteristic function of displacements of Levy motions subordinated by Compound Poisson Processes, which account for short lived memory.

In some natural media solute transport is ruled by a fractional Advection Diffusion Equation that accounts for fluid and chemicals stored in quiescent zones before being released after random times. An adjoint equation helps us deducing from concentration records where and at what time a solute has been suddenly injected in such media.

In many natural media, tracer dispersion deviates from the classical Advection Diffusion Equation, and in some media a fractional variant including a time derivative of fractional order was found better adapted. We describe an inverse method that achieves best adjustment to data by tuning the order of the fractional derivative and the coefficients of the fractional ADE, even when the latter depend on space. Then, the discretized fractional ADE depends on a finite number of parameters including interpolation coordinates of the coefficients, and fractional derivative order. Imagine data that are time series of a quantity measured at several points of a one-dimensional domain, and ruled by the fractional ADE equipped with coefficients which we want to determine. We present a method that finds the parameters minimizing the distance E between model solution and data along an optimization sequence in degrees of freedom space. Yet, interpolation nodes may be many (more than ten) and accurate optimization softwares need the current gradient of E as an input for to determine the step immediately following each current step of the sequence. All the components of this gradient are deduced from one adjoint state, solution of a partial differential equation adjoint to the fractional ADE, and of equivalent computational complexity. Accuracy and computing time saving are demonstrated by applying inversion to artificial data deduced from the fractional ADE equipped of parameters imposed by ourselves.

Hourly resolution time series of groundwater level fluctuations are analyzed after removing the seasonal cycle. It is found that fluctuations of groundwater levels have fractal scaling and a persistent behavior. We show also that groundwater level fluctuations exhibit non-Gaussian heavy tailed probability distribution that is well fitted by the Levy stable distribution. Implications of the present results on the groundwater system modeling as a fractional Levy motion and the connection with the anomalous diffusion inside the soil are discussed.

Within the framework of the fractal mobile-immobile medium model describing non-Fickian effects occurring in admixture seepage due to particle adhesion to the solid matrix, an expression for the admixture flux is derived. Flow discretization intended for finite-difference calculations is proposed and used as a basis for a conservation-law scheme for solving the model equations with account for admixture sources. Several one-dimensional test problems of admixture propagation in an imposed seepage flow are solved using the approach developed.

International audience; Lévy flights, which are Markovian continuous time random walks possibly accounting for extreme events, serve frequently as small-scale models for the spreading of matter in heterogeneous media. Among them, Brownian motion is a particular case where Fick's law holds: for a cloud of walkers, the flux is proportional to the gradient of the probability density of finding a particle at some place. Lévy flights resemble Brownian motion, except that jump lengths are distributed according to an α-stable Lévy law, possibly showing heavy tails and skewness. For α between 1 and 2, a fractional form of Fick's law is known to hold in infinite media: that the flux is proportional to a combination of fractional derivatives or the order of α - 1 of the density of walkers was obtained as a consequence of a fractional dispersion equation. We present a direct and natural proof of this result, based upon a novel definition of usual fractional derivatives, involving a convolution and a limiting process. Taking account of the thus obtained fractional Fick's law yields fractional dispersion equation for smooth densities. The method adapts to domains, limited by boundaries possibly implying non-trivial modifications to this equation.

International audience; Anomalous diffusive transport arises in a large diversity of disordered media. Stochastic formulations in terms of continuous time random walks (CTRW) with transition probability densities presenting spatial and/or time diverging moments were developed to account for anomalous behaviours. Many CTRWs in infinite media were shown to correspond, on the macroscopic scale, to diffusion equations sometimes involving derivatives of non-integer order. A wide class of CTRWs with symmetric Levy distribution of jumps and finite mean waiting time leads, in the macroscopic limit, to space-time fractional equations that account for super diffusion and involve an operator, which is non-local in space. Due to non-locality, the boundary condition results in modifying the large-scale model. We are studying here the diffusive limit of CTRWs, generalizing Levy flights in a semi-infinite medium. limited by a reflective barrier. We obtain space-time fractional diffusion equations that differ from the infinite medium in the kernel of the fractional derivative w.r.t. space

There exist disordered media where contaminant dispersion is conveniently described by Levy statistics. The case of enhanced diffusion corresponds to small scale motions, in the form of Continuous Time Random Walks with transition probability densities presenting spatial diverging moments. Such CTRWs in infinite media were shown to correspond, on the macroscopic scale, to diffusion equations involving Riesz-Feller derivatives of non-integer order, which are non-local w.r.t. space. For this reason, introducing boundary conditions sometimes results in modifying the large-scale model. We are studying here the diffusive limit of CTRWs, generalizing symmetric Levy flights in a bounded medium, limited by two reflective barriers. The thus obtained space-fractional diffusion equations differ from the infinite domain case.

International audience; We propose a versatile model specifically designed for the quantitative interpretation of NMR velocimetry data. We use the concept of mobile or immobile tracer particles applied in dispersion theory in its Lagrangian form, adding two mechanisms: (i) independent random arrests of finite average representing intermittent periods of very low velocity zones in the mean flow direction and (ii) the possibility of unexpectedly long (but rare) displacements simulating the occurrence of very high velocities in the porous medium. Based on mathematical properties related to subordinated Lévy processes, we give analytical expressions of the signals recorded in pulsed-field-gradient NMR experiments. We illustrate how to use the model for quantifying dispersion from NMR data recorded for water flowing through a homogeneous grain pack column in single- and two-phase flow conditions.

45 pages; The present paper is devoted to the rigorous upscaling of some particles displacement model with trapping events, to the continuum scale. It focuses especially on the transitions between sub-diffusive and diffusive models. The work gives emphasis to the following points: 1. The distribution of waiting times in passing to the continuum limit. In fact, the common idea is that the distributions with slowly decaying long tails produce anomalous diffusion while the classical diffusion model corresponds to distributions with short tails. This is shown to be not always true by introducing a simple model of geometrical heterogeneity leading to trapping events without characteristic time scale. 2. The extension of the Feynman-Kac theory to some non-Brownian settings without handling with double Laplace transforms. This yields to better numerical simulations. 3. Constructing a microscopic random walk model that, thought based on a MIM approach, gives both fMIM and FFPE at the mesoscopic limit.

Resume Etudions la stabilite d'une couche libre cisaillee, avec un champ des vitesses unidirectionnel. Une configuration de ce type realise un cas particulier parmi les mouvements quasi plans, induits au sein d'un fluide electro-conducteur et incompressible par un fort champ magnetique et du courant electrique, tous deux etant constants, avec des conditions aux limites appropriees. On determine le seuil de stabilite inconditionnelle de l'ecoulement unidirectionnel, soit ici le courant en dessous duquel chaque perturbation est systematiquement amortie. Ce resultat n'est subordonne a aucune restriction relative a la taille des perturbations admises. Lorsque le courant est juste superieur au seuil, de petits tourbillons apparaissent.

Resume Dans une couche poreuse horizontale saturee par un fluide, un gradient thermique vertical induit un profil de temperature lineaire quand le nombre de Rayleigh de filtration Ra est inferieur a une valeur critique Ra c . Au-dela, des ecoulements convectifs s'installent, dependant periodiquement du temps lorsque le debit filtrant est non nul. Une correction non lineaire et visqueuse dans la loi de Darcy eleve Ra c , et l'on etudie les ondes progressives bidimensionnelles alors obtenues pour Ra > Ra c .

We study the two-dimensional convective patterns in a long horizontal porous layer heated from below, where a nonzero cross-flow is imposed. Indeed experiments show that time-periodic planar flows are found at moderate values of the flow rate. Within the framework of the Darcy law, above the absolute threshold, varied end-conditions lead to oscillatory patterns, which are more or less similar to each other in the bulk of the device but present differences near the extremities. Depending on the boundary-conditions, the numerical simulation may produce patterns which are space-periodic traveling rolls or waves of amplitude modulated within a stationary region, with envelopes in the form of fronts. Space-periodic boundary-conditions yield wavelengths linked to the total length of the device, which sets the frequency. Input boundary-conditions breaking translational invariance along the direction of the main flow yield different structures and select the temporal period. Most attention is paid to inlet-conditions imposing a linear profile of temperature (at the entrance of the device). We study the variations of the frequency vs the seeping flow rate and the filtration Rayleigh number. The length of the resulting front is also considered.

The NMR propagator technique allows the measurements of the variance σ(2)=(ξ-ξ)(2)of the displacements as a function of time t when flowing in a porous media. The time dependence of σ is a very sensitive test of Gaussian behavior compared to the analysis of the shape of the propagators. Superdispersion occurs when σ(2)[proportionality]t(α) with the exponent α larger than 1. In a homogeneous 30-μm grain pack and 10Pe35, we observed weak superdispersion in saturated conditions (α = 1.17) and gradually strong superdispersion as the water saturation decreases (up to α = 1.5) during steady-state oil-water two-phase flow. In saturated conditions, the corresponding longitudinal propagators and breakthrough curves are Gaussian or nearly Gaussian, whereas in two-phase conditions, the longitudinal propagators are nonsymmetric and the breakthrough curves show a tail at long times.

International audience; Fractional partial differential equations provide models for sub-diffusion, among which the fractal Mobile–Immobile Model (fMIM) is often used to represent solute transport in complex media. The fMIM involves four parameters, among which we have the order of an integro-differential operator that accounts for the possibility for solutes to be sequestered during very long times. To guess fMIM parameters from experiments, an accurate method consists in optimizing an objective function that measures how much model solutions deviate from data. We show that solving an adjoint problem helps accurate computing of the gradient of such an objective function, with respect to the parameters. We illustrate the method by applying it on experimental data issued from tracing tests in porous media.

We propose a theoretical framework to analyze nuclear magnetic resonance (NMR) experiments for the description of dispersion processes featuring memory effects. Memory effects, addressed here, can be represented by subordinated Brownian motions with random time changes that invert Levy time processes, with stable densities of exponent between 0 and 1. According to whether the Levy process has a drift equal to zero or not, the subordinated motion has a p.d.f that solves the fractional Fokker–Planck equation or the fractal mobile/immobile model. NMR experiments can measure the characteristic function of displacements of water molecules and facilitate their interpretation in media showing memory effects. We give mathematical expressions for the moments and averaged exponentials of the increment of subordinated Brownian motions within the framework of fractal MIM and FFPE. The results are illustrated on the basis of a numerical method.

We propose a unified physical framework for transport in variably saturated porous media. This approach allows fluid flow and solute migration to be treated as ensemble averages of fluid and solute particles, respectively. We consider the cases of homogeneous and heterogeneous porous materials. Within a fractal mobile-immobile (MIM) continuous time random walk framework, the heterogeneity will be characterized by algebraically decaying particle retention-times. We derive the corresponding (nonlinear) continuum limit partial differential equations and we compare their solutions to Monte Carlo simulation results. The proposed methodology is fairly general and can be used to track fluid and solutes particles trajectories, for a variety of initial and boundary conditions., Comment: 12 pages, 9 figures

International audience; Many break-through curves, especially with passive tracers in unsaturated porous media, show power-law decrease. Such a behaviour is not compatible with Fick's and Fourier's laws. Nevertheless, it fits a wide class of partial differential equations involving time-non-local mappings. Moreover, that equations are the macroscopic limit of many small-scale models. The result was proved, on the basis of a probabilistic method, in the case where all parameters are constant: it is illustrated numerically by simulations in more general situations; De nombreuses courbes de percée, obtenues en particulier en milieu poreux insaturé avec des traceurs passifs, décroissent comme des puissances du temps. Ce comportement est incompatible avec les lois de Fourier et Fick, par contre il correspond aux solutions d'une vaste classe d'équations aux dérivées partielles, incluant des opérateurs non-locaux en temps. De plus, ces équations représentent la limite macroscopique d'un grand nombre de modèles à petite échelle. Ce résultat, qui a été démontré à l'aide d'une méthode probabiliste dans le cas de paramètres uniformes et constants, est illustré par des simulations numériques dépassant ce cadre

We address the description of solutes flow with trapping processes in porous media. Starting from a small-scale model for tracer particles trajectories, we derive the corresponding governing equations for the concentration of the mobile and immobile phases. We show that this formulation is fairly general and can easily take into account non-constant coefficients and in particular space-dependent sorption rates. The transport equations are solved numerically and a comparison with Monte Carlo particle-tracking simulations of spatial contaminant profiles and breakthrough curves is proposed, so to illustrate the obtained results., 13 pages, 5 figures

International audience; The fractal mobile-immobile model (MIM) is intermediate between advection-dispersion (ADE) and fractal Fokker-Planck (FFKPE) equations. It involves two time derivatives, whose orders are 1 and y (between 0 and 1) on the lefthand side, whereas all mentioned equations have identical right-hand sides. The fractal MIM model accounts for non-Fickian effects that occur when tracers spread in media because of through-flow, and can get trapped by immobile sites. The solid matrix of a porous material may contain such sites, so that non-Fickian spread is actually observed. Within the context of the fractal MIM model, we present a mapping that allows the computation of fluxes on the basis of the density of spreading particles. The mapping behaves as Fickian flux at early times, and tends to a fractional derivative at late times. By means of this mapping, we recast the fractal MIM model into conservative form, which is suitable to deal with sources and bounded domains. Mathematical proofs are illustrated by comparing the discretized fractal p.d.e. with Monte Carlo simulations

The names of Grunwald and Letnikov are associated with discrete convolutions of mesh h , multiplied by h − α . When h tends to zero, the result tends to a Marchaud’s derivative (of the order of α ) of the function to which the convolution is applied. The weights w k α of such discrete convolutions form well-defined sequences, proportional to k − α − 1 near infinity, and all moments of integer order r α are equal to zero, provided α is not an integer. We present a continuous variant of Grunwald–Letnikov formulas, with integrals instead of series. It involves a convolution kernel which mimics the above-mentioned features of Grunwald–Letnikov weights. A first application consists in computing the flux of particles spreading according to random walks with heavy-tailed jump distributions, possibly involving boundary conditions.

International audience; Anomalous diffusive transport arises in a large diversity of disordered media. Stochastic formulations in terms of continuous time random walks (CTRWs) with transition probability densities showing space- and/or time-diverging moments were developed to account for anomalous behaviors. A broad class of CTRWs was shown to correspond, on the macroscopic scale, to advection-diffusion equations involving derivatives of noninteger order. In particular, CTRWs with Levy distribution of jumps and finite mean waiting time lead to a space-fractional equation that accounts for superdiffusion and involves a nonlocal integral-differential operator. Within this framework, we analyze the evolution of particles performing symmetric Levy flights with respect to a fluid moving at uniform speed v. The particles are restricted to a semi-infinite domain limited by a reflective barrier. We show that the introduction of the boundary condition induces a modification in the kernel of the nonlocal operator. Thus, the macroscopic space-fractional advection-diffusion equation obtained is different from that in an infinite medium

A fractional partial differential equation is derived for the spreading of matter in a saturated porous medium starting from precise hypotheses concerning the medium itself, which is a collection of intertwisted tubes with randomly distributed slopes, filled with quiescent fluid. Examining the fundamental solution of the fractional equation indicates that the second moment is not proportional to time, which is the signature of anomalous diffusion. The equation derived preserves non-negativity and also the total mass of matter.

Nous étudions la naissance de la convection dans un milieu poreux chauffé par le bas en présence d'un écoulement horizontal, et plus particulièrement l'influence de l'inertie poreuse et du rapport de forme transversal a du milieu. Nous montrons que l'état de conduction est déstabilisé au profit de rouleaux longitudinaux fixes (R.L) si a est entier et au profit de rouleaux propagatifs purement transversaux (R.T) si a est inférieur à une valeur limite ac ac et non entier, la convection naît sous la forme de structures tridimensionnelles (3D) oscillatoires pour a>1 ou sous la forme de R.T pour acReK*.

This thesis is part of a wider project that aims at improving proton exchange membrane fuel cell (PEMFC) efficiency and stability. Our contribution aims at improving the geometry and structure of channels in anode and cathode bipolar plates (BPP) using experiments and simulations. The operation of a PEMFC involves multiphase flows and multiphysics phenomenon such as reactant concentration and electron exchange between the components. To simulate such a complex system employed industrial codes as well as Lattice Boltzmann Method. Chapter 1 reminds the basic principle of PEM fuel cell and the role of the fluids that flow through BPP channels. We describe a standard version of the latter and the modifications which we consider here. Chapter 2 details a classical model that describes PEM fuel cell operation in steady regime and assumes single phase flows in channels. The underlying equations and their simulation (using COMSOL) are validated by an experiment performed on standard single cell. The simulation evidences channels exhibiting unequal fluid fluxes while the literature points the negative effects of such heterogeneity. Since the used models disregards the possibility of having water in two phases, Chapter 3 describes a LBMcolorgradientcodefortwophaseflows. Wevalidateitagainstanexperimentperformed of a T-junction, a device that has applications beyond fuel cell. Chapter 4, differently, is devoted to steady gas flows in parallel channels that differ from standard fuel cell. An algorithm automatically homogenizes the fluid flow by modifying domain geometry within definite limits. It applies to diverse settings, and manages parallel channels by varying parameters as channel number and widths. However, the distributing channels that span the fluid between channels at BPP inlet and recollect it at outlet also matter. The author thus proposes designs that equalize channel flows. The author creates a new design to study the manufacturing feasibility of BPP. Chapter 5 describes water drop directional spreading on metallic structures decorated with fin shaped channels of parallel axis: experiments reveal almost total spreading only in one direction. Three dimensional LBM and Volume of Fluid simulationsretrievetheobservedtrendandcapturesmallerscaledetailssuggestingsubsetsof the fluid domain where capillary forces or inertia dominate. Most significant results are two phase flows simulations. They describe the different regimes of films or drops at the outlet of a T-junction whose other branches are fed with immiscible wetting and non-wetting fluids. Moreover, they describe how water drops spread on a microscopic relief which results into skewed capillary force.; La présente thèse fait partie d’un projet destiné à améliorer l’efficacité et la stabilité des piles à combustible à membrane à échange de protons. Elle présente des expériences et des simulations visant à faire évoluer en ce sens la géométrie de canaux véhiculant des fluides à travers les plaques bipolaires à l’anode et à la cathode. En effet, l’electricité produite dépend en particulier d’écoulements diphasiques couplés avec divers phénomènes physiques et très impactés par les forces interfaciales sur les surfaces solides qui les limitent. Nous avons utilisé des codes indutriels ainsi que la méthode des réseaux de Boltzmann pour simuler les sytèmes complexes en jeu. Le chapitre 1 rappelle le principe de base des piles à combustible ainsi que le rôle des fluides s’écoulant dans les canaux des plaques bipolaires. En partant de piles standard,nousjetonslesbasesdesmodificationsétudiéesici. Lechapitre2détailleunmodèle classique du fonctionnement des piles à combustible en régime stationnaire, supposant des écoulements monophasiques dans les canaux. Une expérience réalisée sur une unique pile de ce type valide la formulation mathématique du modèle ainsi que l’outil numérique (Comsol). La simulation met en évidence l’hétérogénéité des flux dans les différents canaux, alors qu’on connait l’influence négative de cette hétérogéneité. Cependant le modèle utilisé ne tient pas compte de la possibilité d’avoir de l’eau en phase liquide (et pas uniquement gaseuze) dans les écoulements. Pour y remédier, le chaptitre 3 décrit un code LBM fondé sur le modèle du gradient de couleur pour les écoulements diphasiques. Ce code est validé à partir d’une expérience réalisée sur une jonction en T, un dispositif applicable bien au delà du contextedespilesàcombustible. Lechapitre4restedanslecadred’écoulementsstationnaires gazeux dans des canaux parallèles, mais cependant différents de ceux de piles standard. Un algorithme uniformise automatiquement les écoulements des différents canaux en modifiant leur géométrie, dans certaines limites cependant. Il fait pour cela varier des paramètres comme le nombere de canaux et leurs largeurs. Les dispositifs répartissant ou collectant le fluide entre les différents canaux à l’entrée ou à la sortie influencent aussi le résultat. Nous proposons des géométries uniformisant les écoulements des divers canaux. Hélas le résultat n’est pas satisfaisant en terles de production électrique . Le chapitre 5 décrit les déplacements dirigés et spontanés de gouttes d’eau sur des structures métalliques pourvues de canaux d’axes parallèles, mais dont la forme rappelle des nageoires: une expérience met en évidence une direction nettementprivilégiée pour l’étalement des gouttes. Les simulations tri-dimensionnelles en LBM et par la méthode du volume de fluide corroborent la tendance observée tout en révélant à plus petite échelle des détails qui échappent aux visualisations mises en oeuvre: l’effet des forces capillaires est clairement dominant, et s’exerce dans des régions bien précises du dispositif, alors que dans d’autres régions l’inertie est essentielle aussi. Les simulations d’écoulements diphasiques décrits aux chapitres 3 et 5 représentent les résultats principaux.

This thesis is part of a wider project that aims at improving proton exchange membrane fuel cell (PEMFC) efficiency and stability. Our contribution aims at improving the geometry and structure of channels in anode and cathode bipolar plates (BPP) using experiments and simulations. The operation of a PEMFC involves multiphase flows and multiphysics phenomenon such as reactant concentration and electron exchange between the components. To simulate such a complex system employed industrial codes as well as Lattice Boltzmann Method. Chapter 1 reminds the basic principle of PEM fuel cell and the role of the fluids that flow through BPP channels. We describe a standard version of the latter and the modifications which we consider here. Chapter 2 details a classical model that describes PEM fuel cell operation in steady regime and assumes single phase flows in channels. The underlying equations and their simulation (using COMSOL) are validated by an experiment performed on standard single cell. The simulation evidences channels exhibiting unequal fluid fluxes while the literature points the negative effects of such heterogeneity. Since the used models disregards the possibility of having water in two phases, Chapter 3 describes a LBMcolorgradientcodefortwophaseflows. Wevalidateitagainstanexperimentperformed of a T-junction, a device that has applications beyond fuel cell. Chapter 4, differently, is devoted to steady gas flows in parallel channels that differ from standard fuel cell. An algorithm automatically homogenizes the fluid flow by modifying domain geometry within definite limits. It applies to diverse settings, and manages parallel channels by varying parameters as channel number and widths. However, the distributing channels that span the fluid between channels at BPP inlet and recollect it at outlet also matter. The author thus proposes designs that equalize channel flows. The author creates a new design to study the manufacturing feasibility of BPP. Chapter 5 describes water drop directional spreading on metallic structures decorated with fin shaped channels of parallel axis: experiments reveal almost total spreading only in one direction. Three dimensional LBM and Volume of Fluid simulationsretrievetheobservedtrendandcapturesmallerscaledetailssuggestingsubsetsof the fluid domain where capillary forces or inertia dominate. Most significant results are two phase flows simulations. They describe the different regimes of films or drops at the outlet of a T-junction whose other branches are fed with immiscible wetting and non-wetting fluids. Moreover, they describe how water drops spread on a microscopic relief which results into skewed capillary force., La présente thèse fait partie d’un projet destiné à améliorer l’efficacité et la stabilité des piles à combustible à membrane à échange de protons. Elle présente des expériences et des simulations visant à faire évoluer en ce sens la géométrie de canaux véhiculant des fluides à travers les plaques bipolaires à l’anode et à la cathode. En effet, l’electricité produite dépend en particulier d’écoulements diphasiques couplés avec divers phénomènes physiques et très impactés par les forces interfaciales sur les surfaces solides qui les limitent. Nous avons utilisé des codes indutriels ainsi que la méthode des réseaux de Boltzmann pour simuler les sytèmes complexes en jeu. Le chapitre 1 rappelle le principe de base des piles à combustible ainsi que le rôle des fluides s’écoulant dans les canaux des plaques bipolaires. En partant de piles standard,nousjetonslesbasesdesmodificationsétudiéesici. Lechapitre2détailleunmodèle classique du fonctionnement des piles à combustible en régime stationnaire, supposant des écoulements monophasiques dans les canaux. Une expérience réalisée sur une unique pile de ce type valide la formulation mathématique du modèle ainsi que l’outil numérique (Comsol). La simulation met en évidence l’hétérogénéité des flux dans les différents canaux, alors qu’on connait l’influence négative de cette hétérogéneité. Cependant le modèle utilisé ne tient pas compte de la possibilité d’avoir de l’eau en phase liquide (et pas uniquement gaseuze) dans les écoulements. Pour y remédier, le chaptitre 3 décrit un code LBM fondé sur le modèle du gradient de couleur pour les écoulements diphasiques. Ce code est validé à partir d’une expérience réalisée sur une jonction en T, un dispositif applicable bien au delà du contextedespilesàcombustible. Lechapitre4restedanslecadred’écoulementsstationnaires gazeux dans des canaux parallèles, mais cependant différents de ceux de piles standard. Un algorithme uniformise automatiquement les écoulements des différents canaux en modifiant leur géométrie, dans certaines limites cependant. Il fait pour cela varier des paramètres comme le nombere de canaux et leurs largeurs. Les dispositifs répartissant ou collectant le fluide entre les différents canaux à l’entrée ou à la sortie influencent aussi le résultat. Nous proposons des géométries uniformisant les écoulements des divers canaux. Hélas le résultat n’est pas satisfaisant en terles de production électrique . Le chapitre 5 décrit les déplacements dirigés et spontanés de gouttes d’eau sur des structures métalliques pourvues de canaux d’axes parallèles, mais dont la forme rappelle des nageoires: une expérience met en évidence une direction nettementprivilégiée pour l’étalement des gouttes. Les simulations tri-dimensionnelles en LBM et par la méthode du volume de fluide corroborent la tendance observée tout en révélant à plus petite échelle des détails qui échappent aux visualisations mises en oeuvre: l’effet des forces capillaires est clairement dominant, et s’exerce dans des régions bien précises du dispositif, alors que dans d’autres régions l’inertie est essentielle aussi. Les simulations d’écoulements diphasiques décrits aux chapitres 3 et 5 représentent les résultats principaux.

Within the research quality of water resources, the study of the process of mass transfer from soil to groundwater is a key element for understanding the pollution of the latter. Indeed, soluble contaminants to the surface (related to human activities such fertilizers, pesticides products ...) can transit to the web through the porous medium that is the ground. This scenario transfer pollution based on two phenomena: the rain that generates the body of water to the dispersion and the surface thereof through the porous medium. The dispersion of mass in a natural porous medium such as soil forms a subject of extensive research and difficult both experimental and theoretical grounds. Its modeling is a concern EMMAH laboratory, particularly in the context of Virtual Sol project in which a transfer model (PASTIS model) was developed. The coupling of this transfer model with input a model describing the dynamics of random rain is one of the objectives of this thesis. This thesis addresses this goal by relying in part on the results of experimental observations and also on modeling inspired by the analysis of observational data. The first part of the work is devoted to the development of a stochastic model of rain. The choice and nature of the model are based on the features obtained from the analysis of data collected rainfall over 40 years (1968-2008) on the Research Centre INRA Avignon. For this, the cumulative rainfall representation will be treated as a random walk in which the jumps and waiting times between jumps are the amplitudes and durations between two random occurrences of rain events. Thus, the probability jumps (log-normal distribution) and that of waiting between jumps (Law alpha-stable) time is obtained by analyzing the laws of probability amplitudes and occurrences of rain events. We show that the random walk model tends towards a subordinate in time geometric Brownian motion (when space step and time step walking simultaneously tend to zero while maintaining a constant ratio), the law of probability density is governed by a Fokker Planck fractional (FFPE). Two approaches are then used to implement the model. The first approach is based on stochastic type and the relationship between the stochastic process derived from the differential equation of Itô and FFPE. The second approach uses a direct numerical solution by discretization of the FFPE. Accordance with the main objective of the thesis, the second part of the work is devoted to the analysis of the contribution of rain to fluctuations in groundwater. We approach this analysis on the basis of two simultaneous records of observations of rainfall amounts and groundwater over 14 months (February 2005-March 2006). A statistical study of the relationship between the signals of rain and fluctuating water will be conducted. Data sheet height variations are analyzed and processed to isolate coherent fluctuations with rain events. In addition, to take account of the mass dispersion in the soil, the mass transport of storm water in the soil layer is modeled by a calculation code transfer (PASTIS model) which we apply input data measured heights of rain. The model results allow between another estimate soil water status at a given depth (here set at 1.6m). A study of the correlation between the water status and fluctuating water will then be performed in addition to that described above to illustrate the ability to model the impact of rain on the water table fluctuations., Dans le cadre des recherches de la qualité des ressources en eau, l'étude du processus de transfert de masse du sol vers la nappe phréatique constitue un élément primordial pour la compréhension de la pollution de cette dernière. En effet, les éléments polluants solubles à la surface (produits liés aux activités humaines tels engrais, pesticides...) peuvent transiter vers la nappe à travers le milieu poreux qu'est le sol. Ce scénario de transfert de pollution repose sur deux phénomènes : la pluie qui génère la masse d'eau à la surface et la dispersion de celle-ci à travers le milieu poreux. La dispersion de masse dans un milieu poreux naturel comme le sol forme un sujet de recherche vaste et difficile aussi bien au plan expérimental que théorique. Sa modélisation constitue une préoccupation du laboratoire EMMAH, en particulier dans le cadre du projet Sol Virtuel dans lequel un modèle de transfert (modèle PASTIS) a été développé. Le couplage de ce modèle de transfert avec en entrée un modèle décrivant la dynamique aléatoire de la pluie est un des objectifs de la présente thèse. Ce travail de thèse aborde cet objectif en s'appuyant d'une part sur des résultats d'observations expérimentaux et d'autre part sur de la modélisation inspirée par l'analyse des données d'observation. La première partie du travail est consacrée à l'élaboration d'un modèle stochastique de pluie. Le choix et la nature du modèle sont basés sur les caractéristiques obtenus à partir de l'analyse de données de hauteur de pluie recueillies sur 40 ans (1968-2008) sur le Centre de Recherche de l'INRA d'Avignon. Pour cela, la représentation cumulée des précipitations sera assimilée à une marche aléatoire dans laquelle les sauts et les temps d'attente entre les sauts sont respectivement les amplitudes et les durées aléatoires entre deux occurrences d'événements de pluie. Ainsi, la loi de probabilité des sauts (loi log-normale) et celle des temps d'attente entre les sauts (loi alpha-stable) sont obtenus en analysant les lois de probabilité des amplitudes et des occurrences des événements de pluie. Nous montrons alors que ce modèle de marche aléatoire tend vers un mouvement brownien géométrique subordonné en temps (quand les pas d'espace et de temps de la marche tendent simultanément vers zéro tout en gardant un rapport constant) dont la loi de densité de probabilité est régie par une équation de Fokker Planck fractionnaire (FFPE). Deux approches sont ensuite utilisées pour la mise en œuvre du modèle. La première approche est de type stochastique et repose sur le lien existant entre le processus stochastique issu de l'équation différentielle d'Itô et la FFPE. La deuxième approche utilise une résolution numérique directe par discrétisation de la FFPE. Conformément à l'objectif principal de la thèse, la seconde partie du travail est consacrée à l'analyse de la contribution de la pluie aux fluctuations de la nappe phréatique. Cette analyse est faite sur la base de deux relevés simultanées d'observations de hauteurs de pluie et de la nappe phréatique sur 14 mois (février 2005-mars 2006). Une étude statistique des liens entre les signaux de pluie et de fluctuations de la nappe est menée comme suit : Les données de variations de hauteur de nappe sont analysées et traitées pour isoler les fluctuations cohérentes avec les événements de pluie. Par ailleurs, afin de tenir compte de la dispersion de masse dans le sol, le transport de la masse d'eau pluviale dans le sol sera modélisé par un code de calcul de transfert (modèle PASTIS) auquel nous appliquons en entrée les données de hauteurs de pluie mesurées. Les résultats du modèle permettent entre autre d'estimer l'état hydrique du sol à une profondeur donnée (ici fixée à 1.6m). Une étude de la corrélation entre cet état hydrique et les fluctuations de la nappe sera ensuite effectuée en complément à celle décrite ci-dessus pour illustrer la possibilité de modéliser l'impact de la pluie sur les fluctuations de la nappe.

Within the research quality of water resources, the study of the process of mass transfer from soil to groundwater is a key element for understanding the pollution of the latter. Indeed, soluble contaminants to the surface (related to human activities such fertilizers, pesticides products ...) can transit to the web through the porous medium that is the ground. This scenario transfer pollution based on two phenomena: the rain that generates the body of water to the dispersion and the surface thereof through the porous medium. The dispersion of mass in a natural porous medium such as soil forms a subject of extensive research and difficult both experimental and theoretical grounds. Its modeling is a concern EMMAH laboratory, particularly in the context of Virtual Sol project in which a transfer model (PASTIS model) was developed. The coupling of this transfer model with input a model describing the dynamics of random rain is one of the objectives of this thesis. This thesis addresses this goal by relying in part on the results of experimental observations and also on modeling inspired by the analysis of observational data. The first part of the work is devoted to the development of a stochastic model of rain. The choice and nature of the model are based on the features obtained from the analysis of data collected rainfall over 40 years (1968-2008) on the Research Centre INRA Avignon. For this, the cumulative rainfall representation will be treated as a random walk in which the jumps and waiting times between jumps are the amplitudes and durations between two random occurrences of rain events. Thus, the probability jumps (log-normal distribution) and that of waiting between jumps (Law alpha-stable) time is obtained by analyzing the laws of probability amplitudes and occurrences of rain events. We show that the random walk model tends towards a subordinate in time geometric Brownian motion (when space step and time step walking simultaneously tend to zero while maintaining a constant ratio), the law of probability density is governed by a Fokker Planck fractional (FFPE). Two approaches are then used to implement the model. The first approach is based on stochastic type and the relationship between the stochastic process derived from the differential equation of Itô and FFPE. The second approach uses a direct numerical solution by discretization of the FFPE. Accordance with the main objective of the thesis, the second part of the work is devoted to the analysis of the contribution of rain to fluctuations in groundwater. We approach this analysis on the basis of two simultaneous records of observations of rainfall amounts and groundwater over 14 months (February 2005-March 2006). A statistical study of the relationship between the signals of rain and fluctuating water will be conducted. Data sheet height variations are analyzed and processed to isolate coherent fluctuations with rain events. In addition, to take account of the mass dispersion in the soil, the mass transport of storm water in the soil layer is modeled by a calculation code transfer (PASTIS model) which we apply input data measured heights of rain. The model results allow between another estimate soil water status at a given depth (here set at 1.6m). A study of the correlation between the water status and fluctuating water will then be performed in addition to that described above to illustrate the ability to model the impact of rain on the water table fluctuations, Dans le cadre des recherches de la qualité des ressources en eau, l’étude du processus de transfert de masse du sol vers la nappe phréatique constitue un élément primordial pour la compréhension de la pollution de cette dernière. En effet, les éléments polluants solubles à la surface (produits liés aux activités humaines tels engrais, pesticides...) peuvent transiter vers la nappe à travers le milieu poreux qu’est le sol. Ce scénario de transfert de pollution repose sur deux phénomènes : la pluie qui génère la masse d’eau à la surface et la dispersion de celle-ci à travers le milieu poreux. La dispersion de masse dans un milieu poreux naturel comme le sol forme un sujet de recherche vaste et difficile aussi bien au plan expérimental que théorique. Sa modélisation constitue une préoccupation du laboratoire EMMAH, en particulier dans le cadre du projet Sol Virtuel dans lequel un modèle de transfert (modèle PASTIS) a été développé. Le couplage de ce modèle de transfert avec en entrée un modèle décrivant la dynamique aléatoire de la pluie est un des objectifs de la présente thèse. Ce travail de thèse aborde cet objectif en s’appuyant d’une part sur des résultats d’observations expérimentaux et d’autre part sur de la modélisation inspirée par l’analyse des données d’observation. La première partie du travail est consacrée à l’élaboration d’un modèle stochastique de pluie. Le choix et la nature du modèle sont basés sur les caractéristiques obtenus à partir de l’analyse de données de hauteur de pluie recueillies sur 40 ans (1968-2008) sur le Centre de Recherche de l’INRA d’Avignon. Pour cela, la représentation cumulée des précipitations sera assimilée à une marche aléatoire dans laquelle les sauts et les temps d’attente entre les sauts sont respectivement les amplitudes et les durées aléatoires entre deux occurrences d’événements de pluie. Ainsi, la loi de probabilité des sauts (loi log-normale) et celle des temps d’attente entre les sauts (loi alpha-stable) sont obtenus en analysant les lois de probabilité des amplitudes et des occurrences des événements de pluie. Nous montrons alors que ce modèle de marche aléatoire tend vers un mouvement brownien géométrique subordonné en temps (quand les pas d’espace et de temps de la marche tendent simultanément vers zéro tout en gardant un rapport constant) dont la loi de densité de probabilité est régie par une équation de Fokker Planck fractionnaire (FFPE). Deux approches sont ensuite utilisées pour la mise en œuvre du modèle. La première approche est de type stochastique et repose sur le lien existant entre le processus stochastique issu de l’équation différentielle d’Itô et la FFPE. La deuxième approche utilise une résolution numérique directe par discrétisation de la FFPE. Conformément à l’objectif principal de la thèse, la seconde partie du travail est consacrée à l’analyse de la contribution de la pluie aux fluctuations de la nappe phréatique. Cette analyse est faite sur la base de deux relevés simultanées d’observations de hauteurs de pluie et de la nappe phréatique sur 14 mois (février 2005-mars 2006). Une étude statistique des liens entre les signaux de pluie et de fluctuations de la nappe est menée comme suit : Les données de variations de hauteur de nappe sont analysées et traitées pour isoler les fluctuations cohérentes avec les événements de pluie. Par ailleurs, afin de tenir compte de la dispersion de masse dans le sol, le transport de la masse d’eau pluviale dans le sol sera modélisé par un code de calcul de transfert (modèle PASTIS) auquel nous appliquons en entrée les données de hauteurs de pluie mesurées. Les résultats du modèle permettent entre autre d’estimer l’état hydrique du sol à une profondeur donnée (ici fixée à 1.6m). Une étude de la corrélation entre cet état hydrique et les fluctuations de la nappe sera ensuite effectuée en complément à celle décrite ci-dessus pour illustrer la possibilité de modéliser l’impact de la pluie sur les fluctuations de la nappe

We investigated dispersion in homogeneous porous media (grain packs) by nuclear magnetic resonance (NMR) measurements and random walk simulations in pore networks. We measured water molecules displacements during a time interval tΔ by NMR measurements, which allows us to obtain propagators and charateristic cumulants of displacements such as the mean square displacement σ. The evolution of the cumulant σ as a function of time tΔ (σ2 ∝ taΔ) is a very sensitive test of Gaussian behaviour compared to the analysis of the shape of propagators. In a homogeneous 30μm grain pack and low Peclet numbers (15 < Pe < 45), we observed weak super dispersion in saturated conditions (a = 1.17) and gradually stronger super-dispersionas the water saturation decreases (up to a = 1.5 for 42 %) during steady-state oil-water two phase flow. Insaturated conditions, propagators and breakthrough curves are Gaussian or nearly Gaussian, whereas in two phase conditions, propagators are non symmetric and breakthrough curves show thick tails at long time. Weshow that the anomalous dispersion observed is better explained by Lévy stable laws (asymetric for longitudina ldispersion, and symetric for transverse dispersion) than by Gaussian laws. Random walk simulations were performed in a pore network constructed using high resolution images of the grain pack. They allow us to obtain the same informations than the NMR, with walkers submitted to diffusive and advective effects. The simulations show the existence of an anomalous stagnation not observed in experiments, highlighting the oversimplification of the pore network that prevent reproducing some aspects of the velocity field detected by NMR. However, the simulations indicate similarly a super-dispersion at long time in saturated conditions, La dispersion dans des milieux poreux homogènes (empilements de grains) a été étudiée par des mesures par résonance magnétique nucléaire (RMN) et des simulations de marches aléatoires dans un réseau de pores. La RMN permet de mesurer l’ensemble des déplacements des molécules d’eau durant un temps tΔ, et d’obtenir propagateurs et moments caractéristiques. L’évolution temporelle du second moment σ (σ2 ∝ taΔ) permet de caractériser de manière précise le régime de dispersion des molécules (Gaussien ou anormal). Des mesures pour des écoulements de 15 < Pe < 45 dans un empilement de grains de 30μm ont permis d’observer une dispersion anormale faiblement super-dispersive (a = 1.17) en écoulement saturé et une augmentation progressive du caractère super-dispersif avec la diminution de la saturation en eau (jusqu’à a = 1.5 pour 42 %)lors d’une co-injection stationnaire eau-huile. En écoulement saturé, les propagateurs et courbes de percée sont quasi-gaussiennes, tandis qu’en écoulement insaturé, les propagateurs sont asymétriques et les courbes de percée présentent des trainées aux grands temps. Dans ces conditions, on montre que la dispersion anormale observée est mieux décrite par des lois stables de Lévy que par des lois gaussiennes. Des simulations de marche aléatoire ont été réalisées dans un réseau de pores extrait d’un milieu poreux réel par imagerie microscanner.Elles permettent d’obtenir les mêmes informations que la RMN, les marcheurs se déplaçant par advection et diffusion. Ces simulations montrent l’existence d’une stagnation non observée dans les expériences, montrant que la simplification du réseau poreux est trop importante et empêche de reproduire certains aspects du champ de vitesses détecté par la RMN. Toutefois, l’évolution temporelle du second moment a également un caractère super-dispersif à temps long à 100 % de saturation

We propose tools for to compare experimental data and models for anomalousdispersion in porous media.The “Mobile Immobile Model” (MIM) significantly improved the descrip-tion of mass transport in natural porous media. This model generalizes theadvection-dispersion equation (ADE) by assuming that fluid and solute parti-cles can be found in mobile on immobile states, exchanging matter accordingto first order kinetics. Moreover, it has a stochastic version. Nevertheless,the original MIM does not represent the power-law decrease of some break-through curves observed in some media, better described by a fractionalversion, the “fractal MIM” (fMIM) which assumes a different kinetics. Theacronym “fMIM” denotes partial differential equations (p.d.e.) involving afractional integral with respect to time, having solutions falling-off as powerof times, asymptotically. It keeps in similarity with the fractional Fokker-Planck equation (FFPE). As this equation, the fMIM describes the evolutionof the probability density function of stochastic processes, namely Brownianmotion sujected to a time change that is the hitting time of a stable sub-ordinator, strictly stable or not, according FFPE or fMIM is considered.Using probabilistic arguments and numerical simulation, we extend this re-sult to the case when the transport parameters and the time scales of thetime change vary in space. P.d.es are well suited for comparing with tracer tests data. Yet, they arenot very useful to discuss signals recorded by pulsed field gradient (PFG)nuclear magnetic resonance (NMR), a technique which measures the char-acteristic function (Fourier transform) of molecular displacements betweentwo fixed instants. For to process such data, we derive an expression of thecharacteristic function of the displacements of Brownian motions subordi-nated by the hitting times of stable subordinators, i.e. of processes whosedensity satisfies FFPE of fMIM. We also consider time changes that are hit-ting times of composite Poisson processes (CPP), which correspond to theoriginal version of the MIM.; Ce travail a pour but de proposer des outils visant `a comparer des résultats exp´erimentaux avec des modèles pour la dispersion de traceur en milieu poreux, dans le cadre de la dispersion anormale.Le “Mobile Immobile Model” (MIM) a été à l’origine d’importants progrès dans la description du transport en milieu poreux, surtout dans les milieux naturels. Ce modèle généralise l’quation d’advection-dispersion (ADE) e nsupposant que les particules de fluide, comme de solut´e, peuvent ˆetre immo-bilis´ees (en relation avec la matrice solide) puis relˆachées, le piégeage et le relargage suivant de plus une cin´etique d’ordre un. Récemment, une version stochastique de ce modèle a ´eté proposée. Malgré de nombreux succès pendant plus de trois décades, le MIM reste incapable de repr´esenter l’´evolutionde la concentration d’un traceur dans certains milieux poreux insaturés. Eneffet, on observe souvent que la concentration peut d´ecroˆıtre comme unepuissance du temps, en particulier aux grands temps. Ceci est incompatible avec la version originale du MIM. En supposant une cinétique de piégeage-relargage diff´erente, certains auteurs ont propos´e une version fractionnaire,le “fractal MIM” (fMIM). C’est une classe d’´equations aux d´eriv´ees par-tielles (e.d.p.) qui ont la particularit´e de contenir un op´erateur int´egral li´e`a la variable temps. Les solutions de cette classe d’e.d.p. se comportentasymptotiquement comme des puissances du temps, comme d’ailleurs cellesde l’´equation de Fokker-Planck fractionnaire (FFPE). Notre travail fait partie d’un projet incluant des exp´eriences de tra¸cageet de vélocimétrie par R´esistance Magn´etique Nucl´eaire (RMN) en milieuporeux insatur´e. Comme le MIM, le fMIM fait partie des mod`eles ser-vant `a interpréter de telles exp´eriences. Sa version “e.d.p.” est adapt´eeaux grandeurs mesur´ees lors d’exp´eriences de tra¸cage, mais est peu utile pour la vélocimétrie RMN. En effet, cette technique mesure la statistiquedes d´eplacements des mol´ecules excit´ees, entre deux instants fixés. Plus précisément, elle mesure la fonction caractéristique (transform´ee de Fourier) de ces d´eplacements. Notre travail propose un outil d’analyse pour ces expériences: il s’agit d’une expression exacte de la fonction caract´eristiquedes d´eplacements de la version stochastique du mod`ele fMIM, sans oublier les MIM et FFPE. Ces processus sont obtenus `a partir du mouvement Brown-ien (plus un terme convectif) par des changement de temps aléatoires. Ondit aussi que ces processus sont des mouvement Browniens, subordonnéspar des changements de temps qui sont eux-mˆeme les inverses de processusde L´evy non d´ecroissants (les subordinateurs). Les subordinateurs associés aux modèles fMIM et FFPE sont des processus stables, les subordinateursassoci´es au MIM sont des processus de Poisson composites. Des résultatsexp´erimenatux tr`es r´ecents on sugg´er´e d’´elargir ceci `a des vols de L´evy (plusg´en´eraux que le mouvement Brownien) subordonnés aussi.Le lien entre les e.d.p. fractionnaires et les mod`eles stochastiques pourla sous-diffusion a fait l’objet de nombreux travaux. Nous contribuons `ad´etailler ce lien en faisant apparaˆıtre les flux de solut´e, en insistant sur une situation peu ´etudiée: nous examinons le cas o`u la cinétique de piégeage-relargage n’est pas la mˆeme dans tout le milieu. En supposant deux cinétiques diff´erentes dans deux sous-domaines, nous obtenons une version du fMIMavec un opérateur intégro-diff´erentiel li´e au temps, mais dépendant de la position.Ces r´esultats sont obtenus au moyen de raisonnements, et sont illustrés par des simulations utilisant la discrétisation d’intégrales fractionnaires etd’e.d.p. ainsi que la méthode de Monte Carlo. Ces simulations sont en quelque sorte des preuves numériques. Les outils sur lesquels elles s’appuient sont présentés aussi.

We investigated dispersion in homogeneous porous media (grain packs) by nuclear magnetic resonance (NMR) measurements and random walk simulations in pore networks. We measured water molecules displacements during a time interval tΔ by NMR measurements, which allows us to obtain propagators and charateristic cumulants of displacements such as the mean square displacement σ. The evolution of the cumulant σ as a function of time tΔ (σ2 ∝ taΔ) is a very sensitive test of Gaussian behaviour compared to the analysis of the shape of propagators. In a homogeneous 30μm grain pack and low Peclet numbers (15 < Pe < 45), we observed weak super dispersion in saturated conditions (a = 1.17) and gradually stronger super-dispersionas the water saturation decreases (up to a = 1.5 for 42 %) during steady-state oil-water two phase flow. Insaturated conditions, propagators and breakthrough curves are Gaussian or nearly Gaussian, whereas in two phase conditions, propagators are non symmetric and breakthrough curves show thick tails at long time. Weshow that the anomalous dispersion observed is better explained by Lévy stable laws (asymetric for longitudina ldispersion, and symetric for transverse dispersion) than by Gaussian laws. Random walk simulations were performed in a pore network constructed using high resolution images of the grain pack. They allow us to obtain the same informations than the NMR, with walkers submitted to diffusive and advective effects. The simulations show the existence of an anomalous stagnation not observed in experiments, highlighting the oversimplification of the pore network that prevent reproducing some aspects of the velocity field detected by NMR. However, the simulations indicate similarly a super-dispersion at long time in saturated conditions., La dispersion dans des milieux poreux homogènes (empilements de grains) a été étudiée par des mesures par résonance magnétique nucléaire (RMN) et des simulations de marches aléatoires dans un réseau de pores. La RMN permet de mesurer l’ensemble des déplacements des molécules d’eau durant un temps tΔ, et d’obtenir propagateurs et moments caractéristiques. L’évolution temporelle du second moment σ (σ2 ∝ taΔ) permet de caractériser de manière précise le régime de dispersion des molécules (Gaussien ou anormal). Des mesures pour des écoulements de 15 < Pe < 45 dans un empilement de grains de 30μm ont permis d’observer une dispersion anormale faiblement super-dispersive (a = 1.17) en écoulement saturé et une augmentation progressive du caractère super-dispersif avec la diminution de la saturation en eau (jusqu’à a = 1.5 pour 42 %)lors d’une co-injection stationnaire eau-huile. En écoulement saturé, les propagateurs et courbes de percée sont quasi-gaussiennes, tandis qu’en écoulement insaturé, les propagateurs sont asymétriques et les courbes de percée présentent des trainées aux grands temps. Dans ces conditions, on montre que la dispersion anormale observée est mieux décrite par des lois stables de Lévy que par des lois gaussiennes. Des simulations de marche aléatoire ont été réalisées dans un réseau de pores extrait d’un milieu poreux réel par imagerie microscanner.Elles permettent d’obtenir les mêmes informations que la RMN, les marcheurs se déplaçant par advection et diffusion. Ces simulations montrent l’existence d’une stagnation non observée dans les expériences, montrant que la simplification du réseau poreux est trop importante et empêche de reproduire certains aspects du champ de vitesses détecté par la RMN. Toutefois, l’évolution temporelle du second moment a également un caractère super-dispersif à temps long à 100 % de saturation.