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Resumo Este artigo propõe uma discussão relativa à abordagem de conteúdos da Matemática em atividades de Modelagem explorando a interlocução com a Semiótica, de modo que se vislumbra uma interface entre Modelagem Matemática e Semiótica. A construção dessa interface é mediada pela análise dirigida ao desenvolvimento de duas atividades, sendo uma delas desenvolvida por alunos do Ensino Superior e a outra por alunos da Educação Básica. Por um lado, essa interface se vincula à situação epistemológica particular dos objetos matemáticos que só se tornam presentes por meio de signos. Por outro lado, a Modelagem Matemática tem características de uma organização pedagógica que não se desvincula de uma variabilidade de signos e de uma eminente atividade semiótica. Neste sentido, a Modelagem Matemática, seja alinhada com a corrente científico humanista, seja em sintonia com a corrente pragmática, pode ser um meio para o enfrentamento dos problemas que Bruno D’Amore caracteriza como puramente didáticos. Assim, o artigo propõe uma perspectiva didático-semiótica para a Modelagem Matemática que implica em considerar que, na sala de aula, sua relação com a aprendizagem não se desvincula de uma interface em que signos, de diferentes naturezas e provenientes de diferentes sistemas semióticos, se articulam para resolver um problema cuja origem não é, em geral, a própria Matemática.

El objetivo de este artículo es investigar las configuraciones de las actividades de modelación matemática en la educación primaria. La metodología de investigación sigue un enfoque cualitativo. La investigación empírica involucró a 118 estudiantes, con edades entre 6 y 11 años, de las clases de 1° a 5° año de una escuela pública en el Estado de Paraná - Brasil, quienes desarrollaron actividades de modelación matemática con temas propuestos por los investigadores y por los propios estudiantes. Los datos producidos consisten en registros escritos y grabaciones de audio y video del desarrollo de actividades. El análisis de datos fue guiado por el análisis de contenido, especialmente en el conjunto de técnicas sistematizado por Laurence Bardin, y se detalla aquí para ilustrar el movimiento analítico de descripción e interpretación de las configuraciones inferidas. El análisis apunta a aproximaciones entre los encaminamientos de actividades en el 1º año; en el 2º y 3º años y en el 4º y 5º años, sugiriendo así tres configuraciones basadas en las acciones de los estudiantes. Estas configuraciones revelan ‘formas de hacer modelación en la Educación Primaria’ y difieren, en términos generales, en cuanto a los intereses de los estudiantes; el uso de las matemáticas y el lenguaje; y la objetividad y autonomía de los estudiantes en relación con el profesor en la interpretación y resolución de situaciones problema. Por lo tanto, brindan información sobre el desarrollo de las actividades modelación matemática en la Educación Primaria, contribuyendo para la indicación de encaminamientos para las prácticas de modelación en el aula en este contexto, así como para el avance de la modelación como área de investigación.

No presente artigo, apresentamos resultados de uma pesquisa em que, a partir de um quadro teórico relativamente à formação de professores à modelagem matemática, desenvolvemos uma pesquisa empírica, caracterizada aqui como Programa de Formação de Professores, com estudantes do quarto ano de um curso de Licenciatura em Matemática, mediante a constituição de dois contextos, Contexto de Aprendizagem e Contexto de Ensino, com a finalidade discutir a questão: Como aprender e ensinar modelagem matemática em um programa de formação inicial de professores? O processo analítico empreendido em relação aos dados da pesquisa leva a concluir que o programa de formação, articulando diferentes disciplinas de um curso de Licenciatura em Matemática em que a modelagem matemática foi incluída, viabilizou que a formação em modelagem matemática dos futuros professores incorporasse elementos essenciais para a inclusão de atividades dessa natureza nas aulas de matemática, em sintonia com o que constitui as diferentes dimensões requeridas para o conhecimento pedagógico do conteúdo em modelagem matemática.

portuguesNeste artigo apresenta-se uma investigacao relativa aos recursos semioticos ativados em atividades de modelagem matematica e seu papel no desenvolvimento dessas atividades quando esse se da em um contexto online. O quadro teorico a partir do qual a analise foi realizada inclui a Modelagem Matematica na Educacao Matematica e Semiotica como ciencia dos signos. Uma pesquisa empirica em que alunos de uma disciplina de um programa de pos-graduacao na area de Educacao Matematica desenvolveram atividades de modelagem subsidia as analises com caracteristicas de uma pesquisa qualitativa e alinhadas com um estudo de caso. Os resultados indicam que, no caso da atividade desenvolvida totalmente em contexto nao presencial, emerge um sistema semiotico ainda pouco explorado na sua integralidade: o sistema tecnologico. Os recursos ativados neste sistema sao combinados e inter-relacionados e tem o potencial semiotico de permitir que os alunos visualizem, testem e examinem suas abordagens acerca da situacao-problema explorada pela atividade de modelagem matematica. EnglishThis article presents an investigation regarding the semiotic resources activated in mathematical modeling activities and their role in the development of these activities when this takes place in an online context. The theoretical framework of the research includes Mathematical Modeling in Mathematics Education and Semiotics as a science of signs. An empirical research is developed with students of a postgraduate studies in the area of Mathematics Education. The analysis follows the assumptions of a qualitative research, particularly a case study. The results indicate that the online development of the activity gives rise to a semiotic system that is rarely mentioned in research: the technological system. The resources enabled in this system are combined and interrelated and have the semiotic potential of allowing students to visualize, test and examine their approaches to the problem situation explored by the mathematical modeling activity.

Nesse artigo investigamos, sob uma perspectiva wittgensteiniana, a compreensão dos alunos em atividades de modelagem matemática desenvolvidas em uma disciplina de Matemática Financeira de um curso de Licenciatura em Matemática. Os fundamentos utilizados nesta pesquisa são a Modelagem Matemática na Educação Matemática e alguns escritos do filósofo Ludwig Wittgenstein, principalmente sua obra Investigações Filosóficas. Dados relativos ao desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática foram coletados por meio de gravações de áudio e vídeo, registros escritos, questionários e entrevistas. A análise de dados foi realizada com base na Análise de Conteúdo e considerou indicativos das ações e os usos da linguagem realizados pelos alunos no desenvolvimento da atividade de modelagem matemática. Como resultado, duas categorias que detalham a compreensão dos estudantes no desenvolvimento da atividade de modelagem foram obtidas: compreensão da situação-problema, compreensão de conceitos matemáticos. Estas categorias decorrem da identificação de elementos em jogos de linguagem que emergiram no desenvolvimento da atividade de modelagem matemática pelos alunos e dos critérios de compreensão caracterizados.

Neste artigo dirigimos nossa atenção para a formação de professores em Modelagem Matemática considerando o conhecimento pedagógico do conteúdo requerido para o professor. Investigamos a contribuição para duas dimensões desse conhecimento relativo à Modelagem Matemática, a dimensão teórica e a dimensão da tarefa, a partir do desenvolvimento de atividades de modelagem por alunos-professores de uma disciplina de Modelagem Matemática em um programa de pós-graduação em Educação Matemática. As análises são subsidiadas por dados coletados a partir de registros escritos relativos ao desenvolvimento das atividades, da gravação da apresentação da atividade pelos grupos bem como da resposta a um questionário respondido ao término da disciplina. Resultados indicam que o conhecimento pedagógico do conteúdo se fortalece quando: os alunos-professores articulam teoria sobre Modelagem Matemática com a situação-problema que investigam; a dinamicidade do fazer Modelagem Matemática é associada às etapas de um ciclo de modelagem; múltiplas soluções são vislumbradas, seja para propor um problema, seja para encontrar soluções para ele. E, reconhecer que atividades de Modelagem Matemática podem ter diferentes objetivos educacionais e a associação entre as atividades e a prática docente também é indício das dimensões do conhecimento pedagógico do conteúdo, especialmente as dimensões teóricas da tarefa.

Neste artigo apresentamos resultados de uma pesquisa em que dirigimos nossa atenção aos chamados ciclos de modelagem matemática, mais especificamente ao duplo sentido das setas usadas nestes ciclos, associando-os às estratégias heurísticas dos alunos quando desenvolvem estas atividades. Nossa base teórica refere-se às etapas, fases ou mesmo estágios relativos ao desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática, bem como a pressupostos relativos às estratégias heurísticas como dispositivos usados pelos alunos para definir encaminhamentos adequados na resolução de um problema. A pesquisa empírica refere-se a uma atividade de modelagem matemática desenvolvida por alunos de uma disciplina de Modelagem Matemática em um programa de Pós-Graduação em Educação Matemática de uma universidade pública. Uma descrição narrativa de falas e gestos, bem como o relatório e uma apresentação dos resultados, realizada por um grupo de cinco alunos, nos permitem inferir que setas de duplo sentido no ciclo de modelagem matemática correspondem a um fazer ou percorrer um caminho em que estratégias heurísticas são dispositivos para prosseguir, regular e avaliar o encaminhamento da atividade.

Neste artigo, temos por objetivo investigar a interrogacao: o que se entende por modelagem matematica no contexto dos trabalhos publicados nos livros da International Conference on Teaching Mathematical Modelling and Applications (ICTMA)? Tendo por norte os pressupostos da abordagem fenomenologica exploramos as nuances do modo como o fenomeno se revela nos anais da ICTMA relativos ao periodo de 2010 a 2017. Dados foram coletados em cinquenta e sete trabalhos publicados na conferencia, os quais foram selecionados a partir da aplicacao subsequente dos criterios: os textos deveriam contemplar o termo modelagem no titulo ou no resumo do texto, os autores que publicaram em pelo menos tres edicoes diferentes do ICTMA e, a descricao de uma atividade de modelagem matematica. Resultados sao evidenciados a partir da manifestacao de quatro nucleos de ideias que evidenciam o entendimento de modelagem matematica revelado nas publicacoes, ou seja, modelagem matematica: como forma de resolver um problema; como pratica pedagogica; como possibilidade de resolver na sala de aula problemas autenticos; como possibilidade de promover pensamento critico.

No presente artigo investigamos como a tecnologia digital favorece a ativação e o uso de recursos semióticos que colaboram para o desenvolvimento de atividades de modelagem matemática.Com esta finalidade levamos em consideração um quadro teórico que considera as possiblidades de produção, articulação e uso de recursos semióticos bem como a associação da tecnologia aodesenvolvimento de atividades de modelagem matemática. Consideramos também uma pesquisa empírica em que atividades de modelagem matemática são desenvolvidas por alunos de uma disciplina de Cálculo Diferencial e Integral de um curso de Ciência da Computação. Os dados foram coletados por meio de gravações em áudio, vídeo e tela do computador com a utilização do software OBS, além das observações de diário de campo realizadas pela professora no decorrer das aulas. A pesquisa é qualitativa e as análises de cunho interpretativo nos levam a caracterizar categorias relativas ao modo como a tecnologia digital favorece a ativação e o uso de recursos semióticos no desenvolvimento de atividades de modelagem matemática: a tecnologia como meio de visualização; a tecnologia como auxiliar na construção de modelos matemáticos; a tecnologia como o contexto de origem do problema; a tecnologia como articuladora de recursos semióticos.

No presente artigo dirigimos nossa atenção para os fazeres dos alunos quando desenvolvem atividades de modelagem. Nossa análise tem a intenção de buscar elementos relativos a uma temática reconhecida no campo da resolução de problemas, contudo pouco explorada no âmbito da modelagem matemática: as estratégias heurísticas dos alunos. Nossas argumentações vêm pautadas em um quadro teórico relativo à modelagem matemática e às estratégias heurísticas e em uma pesquisa empírica em que alunos de um curso de Licenciatura em Matemática desenvolvem uma atividade de modelagem matemática. O processo analítico relativo à atividade desenvolvida pelos grupos de alunos nos leva a considerar que as estratégias heurísticas reconhecidas no processo de resolução de problemas também se evidenciam no desenvolvimento da atividade de modelagem matemática.Algumas estratégias parecem intuitivas ou associadas às experiências anteriores dos alunos com modelagem matemática. Outras, entretanto, parecem ser mais específicas e refletem a característica de descoberta, criação associada ao termo heurística.

Resumo No presente artigo interessa-nos capturar nas experiências dos alunos quando desenvolvem atividades de Modelagem Matemática elementos que nos permitam descrever a Modelagem Matemática em termos semióticos a partir dessas experiências. Nossos resultados levam em conta uma pesquisa empírica em que atividades de Modelagem Matemática são desenvolvidas por alunos de um curso de Licenciatura em Matemática. A interpretação semiótica nos permite inferir que as ações dos alunos se assentam nas categorias de Peirce caracterizadas como primeiridade, secundidade e terceiridade, compreendendo as perspectivas fenomenológica e ontológica destas categorias. Neste sentido, modelar matematicamente uma situação atende às peculiaridades de um fenômeno capaz de produzir conhecimento na perspectiva peirceana, segundo a qual a identificação de um continuum das três categorias é o indício desta construção. É justamente neste sentido que a experiência emanada de terceiridade faz com que o objeto, neste caso a Modelagem Matemática, já não seja para o intérprete, o aluno, como a coisa que era, mas como a coisa que se tornou depois do processo de experimentação mediado pelos signos interpretantes. A interpretação semiótica das experiências dos alunos nos leva a uma descrição da Modelagem Matemática em termos semióticos a qual assegura que, para que os alunos que se apropriem da Modelagem Matemática devem ter experiências relativas à identificação do que é Modelagem Matemática (ser Modelagem Matemática) ao mesmo tempo em que desenvolvem atividades de Modelagem (fazer Modelagem Matemática), ou seja, são interdependentes na constituição do fenômeno Modelagem Matemática as perspectivas fenomenológica e ontológica das categorias peirceanas.

portuguesNeste artigo investigamos o processo comunicacional estabelecido em um contexto cujo foco e ensinar e aprender o fazer modelagem matematica. Nossas reflexoes se fundamentam em um quadro teorico, considerando elementos da semiotica peirceana, associados a analise interpretativa de tres episodios relativos a aulas de uma disciplina de Modelagem Matematica, em um curso de Licenciatura em Matematica. Do ponto de vista semiotico, concluimos que o uso e a producao de signos intermedeiam a conjuncao entre enunciador (professor) e objeto (fazer modelagem matematica), bem como entre signos interpretantes e interpretes (alunos). Desta intermediacao decorrem commens (indicios de aprendizagem), como consequencia do processo comunicacional evocado no fazer modelagem matematica. EnglishIn this paper we investigate the communicational process established in a context whose focus is on teaching and on learning to do mathematical modelling. Our considerations are based on a theoretical framework considering elements of Peircean semiotics associated with an interpretative analysis of three episodes related to classes in a course in Mathematical Modelling in a Mathematics Degree. The conclusion is that from a semiotic point of view the learning about doing mathematical modelling is revealed in the communicational interpretants (commens) that result from the overlap of intentional and effectual interpretants. This overlap hangs on the teacher, the students and the communicational process that is triggered among them in the development of mathematical modelling activities.

Neste artigo investigamos relações entre modelagem matemática e linguagem, em particular, a linguagem matemática. Dados provenientes de uma atividade de modelagem matemática, desenvolvida por treze alunos, são analisados a fim de responder a questão de pesquisa: “como os alunos justificam seus procedimentos matemáticos no decorrer de atividades de modelagem matemática?” Registros escritos, transcrição de áudio e vídeo possibilitaram uma análise da linguagem dos alunos no desenvolvimento da atividade. Levando em consideração elementos da perspectiva wittgensteiniana de linguagem são construídas árvores de associação de ideias que sinalizam o modo como os alunos utilizam proposições, regras e diferentes jogos de linguagem que se articulam na justificativa dos procedimentos matemáticos utilizados pelos alunos.

En este artículo dirigimos nuestra atención a la enseñanza de Matemáticas Financieras en las actividades de modelización matemática desarrolladas por estudiantes de una disciplina de Matemáticas Financieras en un curso de Licenciatura en Matemáticas. Las actividades de modelización cumplieron con las especificidades ya identificadas en la literatura para caracterizar la modelización matemática descriptiva y la modelización matemática prescriptiva y se discuten en relación con los desarrollos para la enseñanza de conceptos de Matemáticas Financieras y para la Educación Financiera. El proceso analítico sigue las pautas del análisis de contenido y conduce a tres categorías relacionadas con las posibilidades de la modelización matemática: la enseñanza de Matemáticas Financieras en la modelización descriptiva; la enseñanza de la matemática financiera en la modelización prescriptiva; y modelos matemáticos como la posibilidad de integrar la Educación Financiera en la enseñanza de Matemáticas Financieras.

Resumo Este artigo relata parte da pesquisa de doutorado realizada no Brasil em 2018, cujo escopo consiste em investigar como a aprendizagem da geometria acontece nas práticas de modelagem matemática. Um modelo teórico, propondo seis diferentes dimensões da aprendizagem geométrica em práticas modelagem, é inicialmente apresentado e discutido. Os dados dessa pesquisa, obtidos mediante o desenvolvimento de práticas de modelagem com duas turmas de estudantes do ensino fundamental, permitiram analisar como os estudantes aprendem a utilizar o conceito geométrico de centroide para determinar o centro médio de uma população. Essa análise fenomenológica conclui que a aprendizagem do conceito de centroide acontece pela aquisição de uma estratificação, na qual esse conceito se mostra com os seguintes significados: (i) posição média de uma forma geométrica; (ii) ponto localizado numa figura plana de tal modo que toda reta que passa por ele divide essa figura em duas regiões de mesma área; (iii) ponto de equilíbrio de um objeto; (iv) centro de massas dado pela média ponderada da distribuição espacial dessas massas; (v) centro médio ponderado da dispersão espacial de indivíduos. Este artigo conclui que essa estratificação pode ser interpretada como uma estrutura de generalização/metáfora, de modo que a aprendizagem do conceito de centroide, na prática de modelagem, pode ser entendida como a aquisição dessa estrutura, a saber, como a aquisição de uma metáfora linguístico-visual que possibilita investigar e extrair informações acerca do espaço. Resumen Este reporta parte de la investigación doctoral realizada en Brasil en 2018, cuyo objetivo es investigar cómo sucede el aprendizaje de la geometría en las prácticas de modelacion. Inicialmente, se presenta y se discute un modelo teórico que propone seis dimensiones diferentes del aprendizaje geométrico en las prácticas de modelacion. Los datos de esta investigación, obtenidos a través del desarrollo de prácticas de modelacion con dos clases de estudiantes de primaria, permitieron analizar cómo los estudiantes aprenden a utilizar el concepto geométrico centroide para determinar el centro promedio de una población. Este análisis fenomenológico concluye que el aprendizaje del concepto centroide ocurre a través de la adquisición de una estratificación, en la cual dicho concepto se manifiesta con los siguientes significados: (i) posición promedio de una forma geométrica; (ii) punto ubicado en una figura plana, de tal manera que cualquier línea recta que la atraviese divide esa figura en dos regiones de la misma área; (iii) punto de equilibrio de un objeto; (iv) centro de masas dado por el promedio ponderado de la distribución espacial de tales masas; (v) centro promedio ponderado de dispersión espacial de los individuos. Este artículo concluye que la estratificación se puede interpretar como una estructura de generalización o metáfora. De modo que el aprendizaje del concepto centroide, en la práctica de la modelacion, puede entenderse como la adquisición de esta estructura; es decir, como la adquisición de una metáfora lingüístico-visual que permite investigar y extraer información sobre el espacio. Abstract This article reports part of the doctoral research carried out in Brazil in 2018, whose scope is to investigate how the learning of geometry happens in mathematical modeling practices. A theoretical model, proposing six different dimensions of geometric learning in modeling practices, is initially presented and discussed. The data of this research, obtained through the development of modeling practices with two classes of elementary school students, allowed to analyze how students learn to use the geometric concept of centroid to determine the average center of a population. This phenomenological analysis concludes that the learning of the concept of centroid occurs through the acquisition of a stratification, in which this concept shows itself with the following meanings: (i) average position of a geometric shape; (ii) point located on a flat figure in such a way that any straight line that passes through it divides that figure into two regions of the same area; (iii) an object's equilibrium point; (iv) center of masses given by the weighted average of the spatial distribution of these masses; (v) weighted average center of spatial dispersion of individuals. This article concludes that this stratification can be interpreted as a generalization / metaphor structure, so that learning the concept of centroid, in modeling practice, can be understood as the acquisition of this structure, namely, the acquisition of a metaphor linguistic-visual that makes it possible to investigate and extract information about space

Este artigo apresenta uma investigação relativa à avaliação em modelagem matemática. Os resultados decorrem de uma revisão sistemática de artigos publicados no período de 2010 a 2020, considerando tanto publicações brasileiras quanto internacionais. A análise das publicações conduz à identificação dos principais focos e encaminhamentos dados à avaliação em modelagem na última década. Identificamos três focos de avaliação: as etapas identificadas no ciclo de modelagem, avaliação da competência e de sub-competências de modelagem e a avaliação da aprendizagem de conteúdos da Matemática. Relativamente aos encaminhamentos, estes se voltam para duas possibilidades: um viés holístico, em que se busca avaliar a modelagem como um todo; um viés atomístico, em que se avalia, separadamente, partes do desenvolvimento da atividade de modelagem. Com relação aos instrumentos usados para a avaliação, identificamos cinco possibilidades: as rubricas de avaliação, o uso de testes com questões de múltipla-escolha, a estruturação de um framework para as ações dos alunos, a atividade de modelagem como um instrumento de avaliação e a elaboração de critérios a posteriori para avaliar. A principal lacuna detectada nas práticas de avaliação refere-se à possibilidade de incorporar nos instrumentos de avaliação as diferentes perspectivas com que atividades de modelagem podem ser introduzidas nas aulas de matemática.

ResumoNeste artigo dirigimos nossa atenção à questão: quais recursos semióticos são ativados em atividades de modelagem matemática e como eles colaboram para o desenvolvimento da atividade? Nossas argumentações são fundamentadas, por um lado, em um quadro teórico que considera características da modelagem matemática bem como elementos relativos ao uso de recursos semióticos em atividades de ensino e aprendizagem e a constituição de pacotes semióticos. Por outro lado, consideramos uma pesquisa empírica em que atividades de modelagem matemática são desenvolvidas por alunos de uma disciplina de Cálculo Diferencial e Integral em um curso de Ciência da Computação. A pesquisa tem natureza qualitativa com cunho interpretativo. As análises nos permitem inferir que os alunos fazem uso de recursos semióticos de naturezas diversas de modo que se constituem pacotes semióticos relativamente às ações dos alunos nas diferentes fases do desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática. A ativação dos recursos semióticos bem como a sua colaboração para o desenvolvimento da atividade de modelagem matemática é ao mesmo tempo sincrônica e diacrônica de modo que não é possível afirmar especificamente quando um recurso atua de forma isolada ou conjuntamente com outros para potencializar a comunicação e organizar o pensamento. O que se pode concluir é que diferentes recursos semióticos atuam de maneira colaborativa para fomentar estas ações. Palavras-chave: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Recurso Semiótico. Pacote Semiótico. AbstractIn this article we focus our attention on the question: what semiotic resources are activated in mathematical modeling activities and how do they collaborate in the development of the activity? Our arguments are based, on the one hand, on a theoretical framework that considers characteristics of mathematical modeling as well as elements related to the use of semiotic resources in teaching and learning activities. On the other hand, we consider an empirical research in which mathematical modeling activities are developed by students from a Differential and Integral Calculus discipline in a Computer Science course. From a qualitative research and interpretive nature, the analyzes allow us to infer that students make use of semiotic resources of different natures so that they constitute semiotic packages in relation to students' actions in the different phases of the development of a modeling activity mathematics. The activation of semiotic resources as well as their collaboration for the development of the mathematical modeling activity is both synchronous and diachronic so that it is not possible to state specifically when a resource acts in isolation or in conjunction with others to enhance communication and organize the thought. What can be concluded is that different semiotic resources work collaboratively to foster these actions. Keywords: Mathematical Education. Mathematical Modeling. Semiotic Resource. Semiotic Package

Resumo Neste artigo dirigimos nossa atenção para os diferentes jogos de linguagem associados ao desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemática e os significados constituídos pelos alunos no interior destes jogos de linguagem em relação a equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. A pesquisa está fundamentada na Modelagem Matemática na Educação Matemática e tem como base filosófica os estudos de Ludwig Wittgenstein e de alguns de seus interpretadores. Considerando esses elementos teórico-filosóficos, atividades de modelagem matemática foram desenvolvidas em um curso de Licenciatura em Matemática na disciplina de Equações Diferenciais Ordinárias. Os dados foram coletados por meio de registros escritos, gravações em áudio e vídeo, questionários e entrevistas. A metodologia de análise dos dados considera as práticas discursivas dos alunos e possibilita a construção de árvores de associação de ideias a partir destas. Os resultados indicam que a constituição de significado no interior de atividades de modelagem está associada à apropriação linguística dos alunos relativa às regras e técnicas que estão configuradas em jogos de linguagem específicos identificados nas atividades de Modelagem Matemática. Abstract In this paper we turn our attention to the different language games associated to the development of Mathematical Modelling activities and to the meanings constituted by students within these language games in relation to the first order ordinary differential equations. The research is based on Mathematical Modelling in Mathematics Education and has as its philosophical basis the studies of Ludwig Wittgenstein and some of his interpreters. Considering these theoretical-philosophical elements, mathematical modelling activities were developed in a Mathematics Degree in a course of Ordinary Differential Equations. Data were collected through written records, audio and video recordings, questionnaires, and interviews. The data analysis methodology considers the students' discursive practices and allowed us to construct trees of idea association. The results indicate that the constitution of meaning within modelling activities is associated to the students' linguistic appropriation of the rules and techniques that are configured in specific language games identified in the Mathematical Modelling activities.

Differential and integral calculus textbooks are widely used as the main resource for teaching. They appear in a variety of forms and adopt various approaches to present the content. In this paper, we turn our attention to one chapter of a calculus textbook and our focus is on the introduction of the derivative concept. With the purpose of examining the presentation of the derivative concept in the textbook, we give a view of Peirce’s semiotics, in particular of his classification of sign-vehicles. The analysis allows us to point out that the sign-vehicle in relation to the derivative concept may be iconic, indexical, or symbolic. These do not constitute mutually exclusive kinds of signs, but they are interrelated in such a way that we can identify iconicity in indexicality and indexicality in symbolicity. We conclude that the textbook has the potential to enable students to conceptualize the derivative. However, in some aspects, the book may constrain students’ conceptualization and it could be improved to meet the students’ needs to make meaning of the derivative concept.

RESUMO: Neste artigo dirigimos nossa atenção para a percepção da Matemática em livros didáticos de Química por professores, estudantes de pós-graduação em Educação Matemática. Nosso aporte teórico é a Semiótica Peirceana, mais especificamente a teoria da percepção, e a abordagem interdisciplinar entendida como possibilidade de integrar, articular e trabalhar em conjunto as diferentes disciplinas. Por meio de uma análise qualitativa e de cunho interpretativo dos signos produzidos por quatro grupos de professores com relação à presença da Matemática no conteúdo Propriedades Coligativas nos livros, evidenciamos que estes percebem possibilidades para abordagens interdisciplinares entre Matemática e Química uma vez que a apresentação de objetos da química requer signos matemáticos como, por exemplo, gráficos e tabelas. Na percepção dos professores-estudantes, os livros didáticos parecem viabilizar abordagens interdisciplinares a partir de situações-problema propostas, atividades experimentais e na dedução de fórmulas. Todavia estas abordagens requerem um empenho dos professores de ambas as disciplinas. RESUMEN: En este artículo enfocamos nuestra atención en la percepción de las matemáticas en los libros de texto de química por parte de maestros, estudiantes de posgrado en Educación Matemática. Nuestro soporte teórico es la Semiótica de Peirce, más específicamente la teoría de la percepción, y el enfoque interdisciplinario comprendido como una posibilidad para integrar, articular y trabajar juntas las diferentes asignaturas. Por medio de un análisis cualitativo e de carácter interpretativo de los signos producidos por cuatro grupos de maestros con respecto a la presencia de las Matemáticas en el contenido de Propiedades Coligativas en los libros, mostramos que perciben posibilidades de enfoques interdisciplinarios entre Matemáticas y Química, ya que la presentación de los objetos de química requiere signos matemáticos, como gráficos y tablas. En la percepción de los estudiantes docentes, los libros de texto parecen permitir enfoques interdisciplinarios basados en situaciones problemáticas propuestas, actividades experimentales y deducción de fórmulas. Sin embargo, estos enfoques requieren el compromiso de los docentes de ambas materias. ABSTRACT: In this paper we focus our attention on the perception of mathematics in chemistry textbooks by teachers, graduate students in Mathematics Education. Our theoretical support is the Peircean Semiotics, more specifically the theory of perception, and the interdisciplinary approach understood as a possibility to integrate, articulate and work together the different disciplines. Through a qualitative and interpretative analysis of the signs produced by four groups of teachers regarding the presence of Mathematics in the Colligative Properties content in the books, we show that they perceive possibilities for interdisciplinary approaches between Mathematics and Chemistry since the presentation of objects of chemistry requires mathematical signs such as graphics and tables. In the perception of student-teachers, textbooks seem to enable interdisciplinary approaches based on proposed problem situations, experimental activities and deduction of formulas. However, these approaches require a commitment from teachers on both subjects.

As discussões sobre o uso da modelagem matemática têm revelado que atividades desse tipo podem atender a interesses e necessidades da formação matemática dos estudantes na contemporaneidade - no que diz respeito à avaliação da aprendizagem dos alunos mediante essas atividades, entretanto, ainda há inquietações. Compartilhando destas, apresentamos resultados decorrentes de uma pesquisa em que alunos que participaram do desenvolvimento de atividades de modelagem matemática foram submetidos, um ano após esse desenvolvimento, à resolução de questões em que os conteúdos que emergiram daquelas atividades estavam envolvidos. A pesquisa está associada ao Programa Observatório da Educação e apresenta reflexões acerca do desempenho de estudantes do 5º ano do ensino fundamental ao realizarem questões vinculadas à Prova Brasil, instrumento utilizado pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep) como base de cálculo para obtenção do Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (Ideb). Os resultados apontam para o potencial da modelagem matemática em abordar conteúdos curriculares, propostos pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), e sinalizam a aprendizagem dos estudantes, em particular, nos anos iniciais do ensino fundamental. Discussions about the use of mathematical modeling have revealed that some activities can meet the needs and interests of mathematical education of contemporary students. However, there are still concerns regarding the evaluation of students learning through these activities. Thus, we present results from a survey whose students participated in the development of mathematical modeling activities, and one year later, started the resolution of questions related to those previous activities. The research is associated with the Observatory of Education Program and presents reflections on the performance of 5th grade students from elementary school when answering questions from Brazil Test, an exam used by Anísio Teixeira National Institute for Educational Students and research (Inep) to calculate the Ideb. The results point to the potential of mathematical modeling to approach curriculum contents proposed by the PCN, and indicate student learning, particularly, in the early years of elementary school.

O propósito deste artigo é apresentar parte dos resultados de uma pesquisa sobre como ambientes de ensino e de aprendizagem que consideram atividades de modelagem matemática, dispõem de recursos tecnológicos e são sequencialmente estruturados como unidades de ensino, viabilizam a aprendizagem significativa dos estudantes. No âmbito deste texto, elementos constituintes da pesquisa são explicitados de modo a compreender de que forma os estudantes se apropriam das tecnologias durante as atividades de modelagem desenvolvidas em três Contextos educacionais. Uma análise sistemática dos dados, de acordo com a Teoria Fundamentada em Dados, explicita articulações entre modelagem matemática, aprendizagem significativa e tecnologias e mostra a influência desses elementos na promoção do trabalho colaborativo, quando os alunos passam a pensar juntos com os pares, com o professor, com a tecnologia e, na motivação do aluno para mobilizar a tecnologia como parceira intelectual.

In this paper we investigate the interpretant signs production during mathematical modelling activities development. The theoretical framework is based on the relationship between mathematical modelling and some elements of the semiotics structured by Charles Sanders Peirce, more specifically in his interpretant theory. This theoretical framework is associated with an empirical research in which modelling activities are developed by students of a Degree in Mathematics in a differential and integral calculus subject. The analysis of the activities follows qualitative research directions and leads us to infer that the students produced different interpretant signs when they developed mathematical modelling activities. In the warm up activity development it was possible to identify immediate interpretant signs, while during the follow up activities the students produced dynamic interpretants and some final interpretants for the extreme function values. In general, the interpretant signs give evidence of how the derivative was being used by the students to decide on the existence of maximum or minimum values of a function obtained when they developed mathematical modeling activities. Resumo Neste artigo investigamos a producao de signos interpretantes no desenvolvimento de atividades de modelagem matematica. O quadro teorico em que se fundamenta nossa pesquisa articula a modelagem matematica na Educacao Matematica e elementos da semiotica estruturada por Charles Sanders Peirce e reconhecida na literatura como semiotica peirceana, com foco na denominada teoria dos signos interpretantes. As argumentacoes teoricas sao associadas a uma pesquisa empirica em que uma sequencia de atividades de modelagem matematica foi desenvolvida com alunos de um curso de licenciatura em matematica na disciplina de calculo diferencial e integral I. A analise das atividades segue encaminhamentos da pesquisa qualitativa e nos leva a inferir que, na sequencia de atividades de modelagem matematica, signos interpretantes imediatos sao mais evidentes na atividade de aquecimento, enquanto interpretantes dinâmicos e interpretantes finais podem ser identificados com mais frequencia nas atividades de acompanhamento. De modo geral, os interpretantes dao indicios de como a derivada foi sendo usada pelos alunos para deliberar sobre a existencia de valor maximo ou valor minimo nos problemas investigados nas atividades de modelagem matematica. Palavras-chave : Educacao matematica, Modelagem matematica, Semiotica peirceana. Keywords : Mathematics education, Mathematical modeling, Peircean semiotics. References ALMEIDA, L. M. W. Um olhar semiotico sobre modelos e modelagem: metaforas como foco de analise. Zetetike. FE-Unicamp , v. 18, numero tematico, p. 387-414, 2010. ALMEIDA, L. M. W. Considerations on the use of mathematics in modeling activities. ZDM , v. 50, p. 19-30, 2018. ALMEIDA, L. M. W.; BRITO, D. S. Atividades de Modelagem Matematica: que sentido os alunos podem lhe atribuir?. Ciencia e Educacao (UNESP ) , 11, 1-16, 2005. ALMEIDA, L. M. W.; SILVA, K. A. P. A Acao dos Signos e o Conhecimento dos Alunos em Atividades de Modelagem Matematica. Boletim de Educacao Matematica , v. 31, n. 57, p. 202-219, abr., 2017. ALMEIDA, L. M. W.; SILVA, K. A. P.; VERONEZ, M. R. D. Sobre a geracao e interpretacao de signos em atividades de modelagem matematica. In : VI SEMINARIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCACAO MATEMATICA - VI SIPEM, 2015, Pirenopolis. Anais do VI SIPEM . Rio de Janeiro: SBEM, 2015. v. 1. p. 1-12. ARLEBACK, J.; DOERR, H. Moving beyond a single modelling activity. In: Mathematical Modelling in Education Research and Practice . Springer International Publishing, p. 293-303, 2015. ARLEBACK, J.; DOERR, H. Students’ interpretations and reasoning about phenomena with negative rates of change throughout a model development sequence. ZDM , v. 50, n. 1-2, p. 187-200, 2018. BOGDAN, R. C.; BIKLEN, S. K. Qualitative research for education : An introduction to theories and methods . New York: Pearson Education, 2003. CARREIRA, S.; BAIOA, A. M. Mathematical modelling with hands-on experimental tasks: On the student’s sense of credibility. ZDM , v. 50, n. 1-2, p. 201-215, 2018. DRIGO, M. O. Comunicacao e cognicao: semiose na mente humana. In: Comunicacao e cognicao : semiose na mente humana. Sulinas, 2007. LESH, R.; CRAMER, K.; DOERR, H.; POST, T.; ZAWOJEWSKI, J. Model Development Sequences. In: Richard Lesh & Helen Doerr, (Eds.), Beyond constructivism : Models and modeling perspectives on mathematics problem solving, learning, and teaching. Mahwah: Erlbaum, 2003. NOTH, W. Panorama da Semiotica : de Platao a Peirce. Sao Paulo: Annablume, 2008. PEIRCE, C. S. Semiotica e filosofia . Editora Cultrix, 1972. PEIRCE, C. S. Semiotica . 3. ed. Sao Paulo: Perspectiva, 2015. SANTAELLA, L. Semiotica aplicada . Sao Paulo: Thomson Learning, 2012. e3504064

Resumo Nesta pesquisa examinamos produções publicadas no BOLEMA que tematizam a semiótica no âmbito das pesquisas da área de Educação Matemática. A questão que orienta nossa investigação é O que revelam os artigos publicados no BOLEMA sobre as abordagens semióticas nas pesquisas em Educação Matemática? Com caráter de pesquisa inventariante, nosso artigo traz à baila um retrato das abordagens semióticas e identifica três enfoques semióticos: os pressupostos de Charles S. Peirce, os constructos teóricos de Raymond Duval e o enfoque ontosemiótico, cujo mentor é Juan D. Godino. O artigo apresenta elementos que consideramos relevantes em cada um destes enfoques, bem como as abordagens semióticas dos vinte e três artigos analisados. Uma discussão final revela o retrato de entendimentos e abordagens identificadas nos artigos e visa estabelecer algumas articulações entre elas. Finalmente, a partir das abordagens identificadas, vislumbramos delinear contribuições da semiótica para a Educação Matemática. Abstract In this research, we analyze BOLEMA related to semiotics in the scope of researches in Mathematics Education. The question that guides our research is: What do the papers published in BOLEMA reveal about the semiotic approaches in Mathematics Education researches? So, our article brings to light the perspectives and issues that have been the focus of research about semiotics in Mathematics Education. We have identified three approaches in the research: the theory proposed by Charles S.Peirce; the theoretical constructs of Raymond Duval; and the ontosemiotic approach, whose mentor is Juan D. Godino. Our article presents elements that are considered relevant in each of these approaches, as well as the semiotic approaches of the 23 analyzed papers. Then, we present a summary that reveals the perspectives, issues, and understandings about semiotcs identified in the papers we analyzed and aim to establish some articulations between them. The article concludes with considerations about the contributions of semiotics in Mathematics Education.