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For any odd prime number ℓ and any abelian number field F containing the ℓ-th roots of unity, we show that the Stickelberger ideal annihilates the imaginary component of the ℓ-group of logarithmic classes and that its reflection annihilates the real componen of the Bertrandias-Payan module. As a consequence we obtain a very simple proof of annihilation results for the so-called wild étale ℓ-kernels of F .; Étant donnés un nombre premier impair ℓ et un corps de nombres abélien F contenant les racines ℓ-ièmes de l'unité, nous montrons que l'idéal de Stickelberger annule la composante imaginaire du ℓ-goupe des classes logarithmiques et que son reflet annule la composante réelle du module de Bertrandias-Payan. Nous en tirons en particulier une preuve très simple d'un théorème d'annulation pour les ℓ-noyaux étales sauvages.

Given a real abelian field F with group G and an odd prime number ℓ, we define the circular subgroup of the pro-ℓ-group of logarithmic units and we show that for any Galois morphism ρ from the pro-ℓ-group of logarithmic units to Zℓ [G ], the image of the circular subgroup annihilates the ℓ-group of logarithmic classes. We deduce from this a proof of a logarithmic version of Solomon conjecture.; Étant donnés un corps abélien réel F de groupe G et un nombre premier impair ℓ, nous définissons le sous-groupe circulaire du pro-ℓ-groupe des unités logarithmiques et nous montrons que pour tout morphisme galoisien ρ du groupe des unités logarithmiques dans Zℓ [G ], l'image du sous-groupe circulaire annule le ℓ-groupe des classes logarithmiques. Nous en déduisons une preuve de l'analogue logarithmique de la conjecture de Solomon.

Given a real abelian field F with group G and an odd prime number {\ell}, we define the circular subgroup of the pro-{\ell}-group of logarithmic units and we show that for any Galois morphism $\rho$ from the pro-{\ell}-group of logarithmic units to Z{\ell} [G ], the image of the circular subgroup annihilates the {\ell}-group of logarithmic classes. We deduce from this a proof of a logarithmic version of Solomon conjecture., Comment: in French

For any odd prime number $\ell$ and any abelian number field F containing the $\ell$-th roots of unity, we show that the Stickelberger ideal annihilates the imaginary component of the $\ell$-group of logarithmic classes and that its reflection annihilates the real componen of the Bertrandias-Payan module. As a consequence we obtain a very simple proof of annihilation results for the so-called wild {\'e}tale $\ell$-kernels of F ., Comment: in French

We extend to logarithmic class groups the results on abelian principalization of tame ray class groups of a number field obtained in a previous article. As a consequence, for any extension $K/k$ of number fields which satisfies the Gross-Kuz'min conjecture for the prime $\ell$ and where at least one of the infinite places completely splits, we prove that there exists infinitely many abelian $\ell$-extensions $F/k$ such that the relative subgroup $\mathcal{C}\ell_{K/k} = \Ker (\mathcal{C}\ell_K\to\mathcal{C}\ell_\k)$ of the $\ell$-group of logarithmic classes of $K$ capitulates in the compositum $FK$.

RésuméNous étudions la ℓ-partie des noyaux étales sauvage WK2i(F) d'un corps de nombres arbitraire F en liaison avec l'arithmétique des classes logarithmiques. Nous en déduisons notamment des formules de rang, des résultats de périodicité et de réflexion, des caractérisations de la trivialité, ainsi que diverses conséquences.AbstractWe study the ℓ-part of the wild étale kernels WK2i(F) of an arbitary number field F for a given prime ℓ in connection with the logarithmic ℓ-class groups Cℓ˜F. From the logarithmic arithmetic we deduce rank formulas, periodicity and reflection theorems, triviality characterizations and various consequences.

Given a real abelian field F with group G and an odd prime number ℓ, we define the circular subgroup of the pro-ℓ-group of logarithmic units and we show that for any Galois morphism ρ from the pro-ℓ-group of logarithmic units to Zℓ [G ], the image of the circular subgroup annihilates the ℓ-group of logarithmic classes. We deduce from this a proof of the logarithmic version of the Solomon conjecture. Using finally the deployment theorem of the tame ramification above the cyclotomic Zℓ-extension, we show that the same annihilation result holds for the image of the pro-ℓ-group of universal norms. This proves the Greenberg conjecture on the vanishing of the lamda invariant in the semi-simple case ℓ ∤ [F : Q], when the logarithmic class group of F is cyclic.; Étant donnés un corps abélien réel F de groupe G et un nombre premier impair ℓ, nous définissons le sous-groupe circulaire du pro-ℓ-groupe des unités logarithmiques et nous montrons que pour tout morphisme galoisien ρ du groupe des unités logarithmiques dans Zℓ [G ], l'image du sous-groupe circulaire annule le ℓ-groupe des classes logarithmiques. Nous en déduisons une preuve de l'analogue logarithmique de la conjecture de Solomon.Utilisant enfin le théorème de déploiement de la ramification modérée au-dessus de la Zℓ-extension cyclotomique, nous prouvons que le même résultat d'annulation vaut pour l'image du pro-ℓ-groupe des normes universelles; ce qui démontre en particulier la conjecture de Greenberg dans le cas semi-simple ℓ ∤ [F : Q], lorsque le groupe des classes logarithmiques est cyclique.