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Orientadores: Paulo Regis Caron Ruffino, Pedro Jose Catuogno Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Neste trabalho estudamos processos estocásticos em variedades folheadas. Introduzimos primeiro uma série de operadores, que chamamos de operadores folheados, e estudamos suas propriedades. Definimos, por meio dos operadores introduzidos, os processos básicos em espaços folheados como, por exemplo, martingale folheada e movimento browniano folheado. Estudamos a relação destes processos com a geometria da folheação e caracterizamos estocasticamente quando uma folheação é harmônica ou geodésica. Definimos, integrais estocásticas de Itô e Stratonovich em folheações e desenvolvemos um cálculo estocástico proprio. Provamos uma fórmula de conversão de integral de Itô para Stratonovich e uma fórmula de Itô neste contexto. Finalmente estudamos, com particular atenção, o movimento browniano folheado e medidas harmônicas em espaços folheados. Construímos o movimento browniano folheado com o formalismo de equações diferenciais estocásticas, aplicando-o conjuntamente com o cálculo diferencial introduzido para fronecer uma nova prova do Teorema de Lucy Garnett sobre medidas harmonicas em folheações. Estudamos propriedades de medidas harmônicas e damos uma caracterização das mesmas como soluções de uma equação diferencial de segunda ordem. Abstract: We study stochastic process on foliated manifolds. First we introduce some operators, which we call foliated, and study their properties. With these objects, we define the natural processes on foliated spaces, such as foliated martingales and foliated Brownian motion. We study how they are related with the geometry of the foliation and use them to characterize, in a probabilistic way, when the foliation is harmonic or geodesic. Then, we introduce an stochastic calculus and define the Itô and Stratonovich integrals on foliations. We prove a conversion formula and a Itô formula in this context. Finally we focus our study on the foliated Brownian motion and the harmonic measures. We give a construction of the foliated Brownian motion based on stochastic differential equations and apply the formalism developed to give a new proof of the Lucy Garnett Theorem. We study properties of the harmonic measures and we characterize them in terms of solutions of a second order differential equations. Doutorado Doutor em Matemática

Orientadores: Paulo Regis Caron Ruffino, Xue-Mei Hairer Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Seja $M$ uma variedade compacta munida de um par de folheações complementares (vertical e horizontal). O objetivo desta tese é estudar decomposições de fluxos de difeomorfismos em um contexto de baixa regularidade. Provamos que dado um semimartingale $Z_t$ (o qual pode ter infinitos saltos em intervalos compactos), então, até um tempo de parada $\tau$, um fluxo de difeomorfismo em $M$ dirigido por $Z_t$ pode ser decomposto em um processo no grupo de Lie de difeomorfismos cujas trajetórias caminham ao longo das folhas horizontais composto com um processo no grupo de difeomorfismos cujas trajetórias caminham ao longo das folhas verticais. Equações para estes processos são determinadas. Os processos estocásticos com componentes de saltos são gerados por equações de Marcus (como em Kurtz, Pardoux and Protter, Annal. I.H.P., section B, 31 (1995)). Generalizamos ainda mais este contexto geométrico para quaisquer tipo de semimartingales. Mostramos também que esta decomposição também funciona para soluções de equações diferenciais de Young e exploramos alguns aspectos geométricos da integral de Young. No contexto de saltos, nossa técnica é baseada em uma extensão da fórmula de Itô-Ventzel-Kunita para processos com saltos. No contexto de integrais de Young, fazemos uma aplicação de uma fórmula de Itô-Ventzel-Kunita para caminhos $\alpha$-H{\"o}lder Contínuos proposta por Castrequini e Catuogno (Chaos Solitons Fractals, 2022). Algumas obstruções geométricas e topológicas para decomposições também são consideradas Abstract: Let $M$ be a compact manifold equipped with a pair of complementary foliations, say horizontal and vertical. This thesis aims to study a decomposition of flows of diffeomorphisms in the low regularity context. Namely, we prove that given a general semimartingale $Z_t$ (which can have an infinity number of jumps in compact intervals) up to a stopping time $\tau$, a stochastic flow of local diffeomorphisms in $M$ driven by $Z_t$ can be decomposed into a process in the Lie group of diffeomorphisms which trajectories remain along the horizontal leaves composed with a process in the Lie group of diffeomorphisms which trajectories remain along the vertical leaves. SDEs of these processes are shown. The stochastic flows with jumps are generated by the classical Marcus equation (as in Kurtz, Pardoux and Protter, Annal. I.H.P., section B, 31 (1995)). We enlarge the scope of this geometric decomposition and consider flows driven by arbitrary semimartingales with jumps. We show that this decomposition also holds for solutions of Young differential equations exploring the geometry of Young integrals. In the jump context, our technique is based on our extension of the Itô-Ventzel-Kunita formula for stochastic flows, which may jump infinitely many times. In the Young integral context, we apply a Young Itô-Kunita formula for $\alpha$-H{\"o}lder paths proved by Castrequini and Catuogno (Chaos Solitons Fractals, 2022). Geometrical and other topological obstructions for the decomposition are also considered, e.g., sufficient conditions for the existence of global decomposition for all $t\geq 0$ Doutorado Matemática Doutor em Matemática CAPES 001

Orientador: Eduardo Garibaldi Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Em uma generalização da teoria de otimização ergódica para sequências de funções, desenvolvemos novas perspectivas no que concerne à caracterização das probabilidades maximizantes. Para isto obter, determinam-se condições suficientes que permitem destacar o suporte de tais medidas por meio de versões generalizadas do local de maximização e do conjunto de Aubry. Além de aprimorar resultados conhecidos na literatura da teoria de otimização ergódica sobre tais conjuntos maximizantes, também sugerimos extensões do teorema de Atkinson e da noção de subação para o contexto das sequências de funções. Ao final, estudamos condições necessárias e suficientes que fornecem norma extremal de politopo e uma nova formulação para a propriedade da finitude do raio espectral conjunto Abstract: In a generalized version of ergodic optimization theory for sequences of functions, we develop new perspectives concerning the characterization of maximizing probabilities. For this purpose, we provide sufficient conditions that allow us to detach the support of these measures by means of generalizations of the maximizing locus and the Aubry set. Besides the fact that we improve known results in the ergodic optimization theory literature on these maximizing sets, we also suggest extensions to Atkinson¿s theorem and to the notion of sub-action for the context of sequences of functions. At the end, we study necessary and sufficient conditions which provide an extremal polytope norm and a new formulation for the finiteness property of the joint spectral radius Doutorado Matemática Doutor em Matemática CAPES CNPQ 140675/2014-0

Orientador: Paulo Regis Caron Ruffino Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho tratamos de dois aspectos relativos à fluxos estocásticos em folheações. Na primeira parte tratamos da decomposição de um fluxo f(t,.)=h(t,v(t,.)) em uma variedade diferenciável com duas folheações transversais entre si (M,H, V) de modo que h(t,.) preserva as folhas de H e v(t,.) preserva as folhas de V. Nesta parte estudamos como certas propriedades topológicas das folheações, tais como interseções de folhas e atingibilidade, influenciam na decomposição. Por fim mostramos que quando H é transversalmente orientável, um fluxo é decomponível se e somente se preserva esta orientação. Como aplicação deste resultado obtemos uma condição suficiente para que o fluxo de uma e.d.e. de Stratonovich seja decomponível. Na segunda parte obtemos uma medida \nu definida em subvariedades de M transversais à H a qual é invariante pelo fluxo f(t,.) gerado por uma equação de Stratonovich. Posteriormente estudamos recorrência destes fluxos em relação à topologia gerada por abertos H-saturados Abstract: This work approaches two problems concerning flows in foliated manifolds. The first part deals with the decomposition of a flow f(t,.) =h(t,v(t,.)) in a bifoliated differentiable manifold (M, H, V), where h(t,.) preserves the leaves of H and v(t,.) preserves V. In this part we study the way topological features, such as attainability and intersection of leaves, influence the decomposition. Finally, we present a complete description of decomposability in terms of the topology of the foliations by proving that when H is transversaly orientable f(t,.) is decomposable if and only if it preserves the transversal orientation. Afterwards we give a sufficient condition for the flow of an Stratonovich s.d.e to be decomposable. In the second part we provide an invariant measure on submanifolds of M that are transversal to H, and we use it to study recurrence Doutorado Matemática Doutor em Matemática CNPQ 142084/2012-3 CAPES

Orientadores: Luiz Antonio Barrera San Martin, Lino Anderson da Silva Grama Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Esta tese tem como objetivo estudar sistemas Hamiltonianos integráveis em órbitas coadjuntas e tópicos relacionados às suas aplicações. Este trabalho se divide essencialmente em duas partes que podem ser brevemente descritas da seguinte forma. Na primeira parte estudamos a construção de sistemas Hamiltonianos integráveis de Gelfand-Tsetlin em órbitas coadjuntas de grupos de Lie compactos clássicos. Para sistemas do tipo Gelfand-Tsetlin construímos uma formulação via matriz de Lax que nos permite recuperar tais sistemas por meio de invariantes espectrais de uma matriz de Lax apropriada. Ainda no contexto de sistemas Hamiltonianos, fornecemos uma descrição completa das funções que definem os sistemas integráveis de Gelfand-Tsetlin-Molev para dois exemplos concretos de dimensão baixa. Na segunda parte deste trabalho estudamos a construção de métricas de Calabi-Yau no fibrado canônico de variedades flag complexas. Utilizando ferramentas da teoria de representações para álgebras de Lie e a técnica de Calabi ansatz, descrevemos vários exemplos não triviais de variedades de Calabi-Yau completas não compactas. A principal motivação para o desenvolvimento deste trabalho são as relações entre variedades flag complexas, variedades tóricas, teoremas de convexidade para aplicações momento e simetria do espelho (mirror symmetry). A conexão entre as duas partes brevemente descritas aqui se dá no contexto das fibrações Lagrangianas especiais. A construção de tais exemplos de fibrações são extremamente importantes para o entendimento da dualidade entre geometria simplética e geometria complexa proposta pela simetria do espelho Abstract: The purpose of this thesis is to study Hamiltonian integrable systems in coadjoint orbits and topics related to its applications. This work is essentially divided in two parts which can be briefly described as follows. In the first part we study the construction of Gelfand-Tsetlin integrable systems in coadjoint orbits of classical compact Lie groups. For Gelfand-Tsetlin integrable systems we provide a Lax matrix formulation which allows us to recover the system by means of spectral invariants associated to a suitable Lax matrix. Still in the context of Hamiltonian systems, we also provide a complete description of the functions which compose Gelfand-Tsetlin-Molev integrable systems for two low dimensional concrete examples. In the second part of this work we study the construction of Calabi-Yau metrics on canonical bundles of complex flag manifolds. By means of tools provided by the Lie algebra representation theory and the Calabi ansatz technique, we describe a huge family of non trivial examples of complete non compact Calabi-Yau manifolds. The main motivations to develop this work are the relationship between complex flag manifolds, toric manifolds, convexity theorems for moment maps and mirror symmetry. The connection between these two parts briefly described here is the background of special Lagrangian fibrations. The construction of examples of such fibrations are extremely important for understanding the duality between symplectic geometry and complex geometry proposed by mirror symmetry Doutorado Matemática Doutor em Matemática CNPQ 152103/2014-7 CAPES

Orientador: Diego Sebastian Ledesma Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: O presente trabalho teve como problema de investigação o ensino da Distância entre Curvas Algébricas Planas Fechadas, no Ensino Médio, por meio da conexão entre conceitos diferentes e abstratos com objetos que são estudados nesse nível escolar. Dessa forma, foram propostos a introdução e o aprofundamento de noções básicas sobre Topologia no Ensino Básico. Distância entre Curvas Algébricas Planas Fechadas foi o centro de interesse. A questão que moveu esta pesquisa foi: Como colocar uma Distância entre Curvas? Para uma transposição didática, buscou-se relacionar saberes básicos presentes em alunos do Ensino Médio a uma noção abstrata de Distância entre Curvas no plano. A fim de ampliar a investigação central, delimitaram-se outras duas perguntas que podem complementar a primeira: O que é Distância? Como utilizar a noção intuitiva de Distância no plano para colocar uma Distância entre objetos que estão no plano? Metodologicamente, esta pesquisa baseou-se em estudos bibliográficos e na elaboração de sequências didáticas, utilizando ferramentas tecnológicas educacionais, com o propósito de otimizar e assegurar a aprendizagem deste assunto, mesmo estando no Ensino Básico. Os Resultados desta pesquisa apontam que há ligação entre Curvas Algébricas Planas, espaço das Curvas, espaço métrico, Distância de Hausdorff e Distâncias entre Curvas, que, se trabalhados de forma articulada pelo professor, pode levar o aluno a associar o conceito de Distância entre Conjuntos em um espaço métrico à Distância entre Curvas planas Fechadas. A partir disso, conclui-se que, embora tenham sido consideradas condições ideais para o processo de ensino e aprendizagem, como a existência de programas de computador ao alcance do professor e dos alunos, é possível o trabalho dessa temática complexa no Ensino Médio, auxiliando o desenvolvimento de diversas noções matemáticas Abstract: This research investigates the various methods used to teach "Distance between Closed Curves" in High School, by the association between abstract mathematical concepts and the various objects which are taught at this school level. Hence, the introduction of basic topology concepts was proposed for the elementary and middle school grades. Distance between Closed Curves was the main focus was this study. The guiding question for this investigation was: how can we determine the distance between curves? For a didactic transposition, this project sought to promote a relationship between high school students' elementary mathematical knowledge and abstract notions of distance between curves on a plane. To further expand this analysis, other questions were asked to complement the first one. They were: what is distance?; and, how can students use the intuitive understanding of distance to place it between objects on a plane? Methodically, this study was based on bibliographic studies, on the elaboration of didactic sequences and on the use of technology to optimize and ensure students' successful learning of this subject even in elementary and middle school grades. The results show that there is a connection between plane algebraic curves, curve spacing, metric space, Haudorff distance, and distance between curves that may, if presented in an articulated manner, help students to associate the concept of distance between sets in metric space and the distance between closed plane curves. Therefore, although this research assumed the existence of ideal teaching conditions, such as accessibility to computer programs in the classroom, teaching these complex contents in High School is feasible, contributing to the development of diverse mathematical notions Mestrado Matemática em Rede Nacional - PROFMAT Mestre em Matemática CAPES

Orientador: Ricardo Miranda Martins Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Os métodos para obtenção de raízes de equações polinomiais é um conteúdo que merece mais atenção em níveis escolares básico e superior. O mecanismo manipulativo, sem o devido tratamento algébrico e geométrico, torna as resoluções artificiais e sem conexões entre os conceitos que formam a estrutura algébrica básica para o entendimento significativo da resolução de raízes de polinômios e o contexto aplicado. Ainda, nesta linha metodológica, a fundamentação histórica, se ausenta, devido a falta de sua importância em meios céleres, que não perpetuam a construção necessária para as conexões conceituais. O objetivo deste projeto é fazer um estudo sobre soluções de equações polinomiais em uma e duas variáveis. Iniciaremos com um estudo histórico sobre o desenvolvimento de fórmulas fechadas para determinação de raízes de polinômios de graus 2, 3 e 4. A seguir, faremos considerações sobre a impossibilidade de existência de fórmulas fechadas, dependendo somente dos coeficientes do polinômio, que determinem as raízes de polinômios de grau maior ou igual a 5. Faremos neste segmento um tratamento mais didático sobre o Teorema de Galois e estudaremos métodos para localização e contagem de raízes de polinômios de graus arbitrários. Por fim, dedicaremos a escrever uma sequência didática por meio de pequenos projetos para o ensino de equações algébricas e polinômios usando os recursos computacionais, teoremas de grandes matemáticos e suas problematizações históricas Abstract: The Methods for obtaining roots of polynomial equations is a content that deserves more attention in school basic and higher levels. The manipulative mechanism, without proper algebraic and geometric treatment, makes artificial resolutions and no connections between the concepts that form the basic algebraic structure to the meaningful understanding of the resolution of polynomial roots and the applied context. Still on this methodological approach, the historical reasons, is absent due lack of their importance in rapid means which do not perpetuate the construction required for the conceptual connections. This project's goal is to make a study of polynomial equations solutions in one and two variables. We begin with a historical study of the development of closed formulas for determining degrees of polynomial roots 2, 3 and 4. Next, we will make considerations about the impossibility of closed formulas existence, depending only on the coefficients of the polynomial, determining the polynomials roots degree higher or equal to 5. We'll do this segment a more didactic treatment on the Galois's theorem and we will study location methods and polynomial roots count of arbitrary degree. Finally, we will dedicate to write a didactic sequence through small projects for teaching algebraic equations and polynomials using computing resources, great mathematical theorems and their historical problematizations Mestrado Matemática em Rede Nacional Mestre CAPES

Orientador: Diego Sebastian Ledesma Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Nesta dissertação apresentamos generalizações de três resultados muito conhecidos em geometria Riemanniana: o Teorema de Myers, o Teorema de Bochner e o Teorema de decomposição de Cheeger-Gromoll. Em particular veremos que fazendo uma pequena modificação sobre os requisitos destes teoremas no que se refere ao tensor de Ricci, os resultados permanecem inalterados Abstract: In this dissertation we present generalizations of three well-known results in Riemannian geometry: The Myers's theorem, Bochner's theorem and the Cheeger-Gromoll splitting theorem. In particular, we will prove that making a small modification of the requirements of these theorems related to the Ricci tensor, the results remain unchanged Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Orientador: Diego Sebastian Ledesma Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Considere o conjunto D dos domínios suaves de R^n com a topologia natural que o torna uma variedade de Fréchet. Vamos estudar uma classe natural de processos estocásticos sobre D que são gerados por fluxos estocásticos em R^n , obtidos como uma solução de equações diferenciais estocásticas. Estabeleceremos uma fórmula de Itô para funcionais com domínio suave ao longo das trajetórias destes processos. Os processos que estudamos podem ser utilizados em modelos idealizados para fenômenos de dispersão, com aplicações em transporte de massa e hidrodinâmica Abstract: Consider the set D of smooth domains of R^n with the natural topology that makes it a Fréchet manifold. We will study a natural class of stochastic processes on D that are generated by stochastic flows in R^n , obtained as solutions of stochastic differential equations. We will establish an Itô formula for smooth domained functionals along the trajectories of these processes. The processes we studies can be used in models designed for dispersion phenomena, with applications in mass transport and hydrodynamics Mestrado Matemática Mestre em Matemática CAPES

Orientador: Diego Sebastian Ledesma Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho estudamos a integral estocástica sobre o espaço de Fréchet S(M) das subvariedades compactas de uma variedade diferenciável M com respeito a processos estocásticos induzidos neste espaço, por fluxos na variedade base M que são solução de uma equação diferencial estocástica. Em particular, queremos dar sentido a integral estocástica dos processos F(Nt)dNt, para F : S(M) -> R sendo um funcional e Nt um tal processo estocástico, e estudar suas conexões com a geometria da variedade M. Focaremos no caso em que F é o funcional energia ou o funcional volume Abstract: In this work we study the stochastic integral over the Fréchet space S(M) of the compact submanifolds of a differentiable manifold M with respect to stochastic processes induced in this space, by flows in the base manifold M that are solution of a stochastic differential equation. In particular, we want to make sense of the integral of the processes F(Nt)dNt, for F : S(M) -> R being a functional and Nt such a stochastic process, and to study its connections with the geometry of the manifold M. We will focus on the case where F is the energy functional or the volume functional Doutorado Matemática Doutor em Matemática CAPES 001

Orientador: Diego Sebastian Ledesma Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho provaremos existência e unicidade de um tipo de solução de equações diferenciais estocásticas (EDE), dX = adt + ?dW, onde o coeficiente de Drift "a" possui apenas propriedades de mensurabilidade e crescimento linear. Este tipo de solução coincide com a solução clássica quando há regularidade nos coeficientes. Vemos que pedindo uma propriedade particular no Drift (one-sided Lipschitz) e a condição de Lipschitz no ? esta solução é única, no novo sentido, e é localmente estável. Essa solução, que chamaremos de relaxada, foi desenvolvida por E. D. Conway e é uma extensão da definição no caso determinístico dada por A. F. Filippov Abstract: In this work we will prove the existence and uniqueness of the solution of stochastic differential equations (SDE), dX = adt + ?dW, where the Drift coefficient "a" has only measurable properties and linear growth. This kind of solution coincides with the classical solution when there is regularity in the coefficients. In addition, when we add a special property (Lipschitz¿s one-sided) and the condition of Lipschitz in ? the solution is unique, in this sense, it is locally stable. This solution, that we call relaxed solution, was developed by E. D. Conway and is an extension of the definition in the deterministic case given by A. F. Filippov Mestrado Matemática Mestre em Matemática CNPQ 133550/2018-4 CAPES

Orientador: Gabriel Ponce Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: A entropia é usada na teoria de Sistemas Dinâmicos como um indicativo da complexidade da dinâmica a que diz respeito. Neste trabalho definimos conceitos de entropias para pseudogrupos e folheações, com o intuito de quantificar a complexidade desses sistemas. Uma caracterização geométrica da entropia de folheações é fornecida, demonstrando-se que a ocorrência de entropia positiva é equivalente a existência de folhas resilientes. Por fim, estipulamos algumas condições suficientes a fim de que uma folheação possa ser perturbada de modo a adquirir entropia positiva Abstract: Entropy plays an important role in the theory of Dynamical Systems by providing means to measure a given dynamics' complexity. In this work we define concepts of entropy applicable to pseudogroups and foliations, aiming to quantify the complexity of such systems. For foliations, a geometric characterisation of positive entropy is given by proving that the occurrence of positive entropy is equivalent to the existence of resilient leaves. Finally, we provide sufficient conditions under which a foliation can be perturbed in order to acquire positive entropy Mestrado Matemática Mestre em Matemática CNPQ 131555/2017-0

Orientador: Pedro Jose Catuogno Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: O objetivo desta dissertação é a realização de um estudo sobre sequências numéricas, aplicadas em exercícios da OBMEP, não comumente estudadas no ensino médio, e que tem suas soluções com uso de recorrências numéricas. Abordamos o assunto utilizando recorrências matemáticas, apresentando o resultado com o uso das mesmas Abstract: The purpose of this dissertation is to perform a study on numerical sequences, applied in OBMEP exercises, not commonly studied in high school, and that has its solutions with the use of numerical recurrences. We approach the subject using mathematical recurrences, presenting the result with the use of them Mestrado Matemática em Rede Nacional - PROFMAT Mestre em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT CAPES

Orientador: Diego Sebastian Ledesma Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Este trabalho tem como objetivo estudar o conjunto solução de equações da forma Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 onde A,B,C,D,E,F ? R, com A, B, C não simultaneamente nulos. Introduziremos a notação matricial e ferramentas da álgebra que permitirão simpli?car o estudo da mesma. Para isso se traz um estudo sobre rotação e translações no plano, além da diagonalização de matrizes. Mostra-se que as soluções se correspondem com elipses, hipérboles e parábolas; e com cônicas degeneradas, como retas ou ponto. Ao ?nal, é proposto um plano de aula contendo exemplos detalhados de todos os conteúdos abordados no trabalho, a ?m de que seja aplicado aos estudantes do ensino médio que queiram se aprofundar no tema, ou ainda a estudantes no início da graduação Abstract: This work aims to study the solution set of equations of the form Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 where A,B,C,D,E,F ? R, with A, B, C not simultaneously zero. We introduce matrix notation and algebra tools that will simplify the study of it. For this is carries out a study on rotation and translations in the plane, besides the diagonalization of matrices. We will show that the solutions correspond with ellipses, hyperboles and parabolas and degenerate conics, such as straight lines or point. At the end, a lesson plan containing detailed examples of all the contents addressed in work is proposed, so that it can be applied to the high school students who wish to study the subject or to the students at the beginning or their graduation Mestrado Matemática em Rede Nacional - PROFMAT Mestra em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT CAPES

Orientador: Ricardo Miranda Martins Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: O sistema de coordenadas polares e suas principais curvas não faz parte do atual currículo do ensino médio. Esse trabalho vem mostrar que é possível o ensino de tal conteúdo no ensino médio, através do software Geogebra. Para isso,iniciaremos um estudo de coordenadas cartesianas e alguns conceitos da Geometria Analítica. Estudaremos também conceitos de trigonometria e características e gráficos de algumas funções trigonométricas, ambos pré-requisitos para o ensino de coordenadas polares e curvas polares. A seguir, estudaremos o sistema de coordenadas polares e o esboço dos gráficos das principais curvas polares através do software Geogebra, mostrando a importância de se trabalhar com a tecnologia no ensino de alguns conteúdos. Por fim,relataremos o desenvolvimento didático de sugestões de atividades que podem ser dadas aos alunos do ensino médio para a aprendizagem de coordenadas polares Abstract: The polar coordinate system and its main curves are not part of the current high school curriculum. This work shows that it is possible to teach such content in high school through Geogebra software. For this, we will start a study of Cartesian coordinates and some concepts of Analytical Geometry. We will also study concepts of trigonometry and features and graphs of some trigonometric functions, both prerequisites for teaching polar coordinates and polar curves. Next, we will study the polar coordinate system and the sketching of the graphs of the main polar curves through Geogebra software, showing the importance of working with technology in teaching some contents. Finally, we will report the didactic development of suggestions of activities that can be given to high school students to learn polar coordinates Mestrado Matemática em Rede Nacional - PROFMAT Mestra em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT CAPES

Orientador: Fabiano Borges da Silva Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Este trabalho apresenta as Cadeias de Markov num contexto que possa ser aplicado no Ensino Médio. Matrizes e teoria de probabilidade são apresentados como ferramentas úteis na resolução de problemas modelados por Cadeias de Markov, onde por meio destes, é possível oferecer ao aluno a oportunidade de ter uma visão mais ampliada de como a Matemática pode ser aplicada em outras áreas do conhecimento. Por consequência, esta abordagem almeja propiciar um maior envolvimento e interesse do aluno com a Matemática, tornando as aulas mais dinâmicas e atraentes, sobretudo com relação ao Tópico Matrizes, geralmente visto no Ensino Médio Abstract: This work presents the Markov chains in a context that can be applied in high school. Matrices and probability theory are presented as useful tools in solving problems modeled by Markov chains, where through these, it is possible to off er the student the opportunity to have an enlarged view of how mathematics can be applied to other knowledge areas. Consequently, this approach aims to propitiate greater involvement and the students' interest in mathematics, becoming more dynamic and attractive classes, especially in the Matrix Topic, usually seen in high school Mestrado Matemática em Rede Nacional Mestre CAPES 90841-0/2013

Orientador: Diego Sebastian Ledesma Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho estudamos ao g(t)-movimento Browniano e as aplicações geométricas e topológicas de seu fluxo estocástico associado sobre uma variedade Riermanniana M, munida de uma familia de métricas que variam com respeito ao tempo. Começamos com uma construção, feita via mergulho isométrico, do g(t)-movimento Browniano sobre uma variedade Riemanniana (M,g(t)) e obtemos condições geométricas para a não explosão do mesmo. Baseados nesta construção, consideramos o fluxo solução do g(t)-movimento Browniano e obtemos aplicações geométricas e topológicas destes fluxos Abstract: We study the g(t)-Brownian motion and geometric and topological applications of its stochastic flow associated on a Riemannian manifold M, provided with a metric family that vary with respect to time. We begin with the construction, made via isometric embedding, of g(t)-Brownian motion on a Riemannian manifold (M,g(t)) and obtain geometric conditions for non-explosion of the same. Based in this construction, we consider the solution flow of g(t)-Brownian motion and we obtain geometric and topological applications Doutorado Matemática Doutora em Matemática CAPES

Orientador: Diego Sebastian Ledesma Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Este trabalho apresenta um estudo sobre variedades Riemannianas que possuem um tensor de Bakry-Émery-Ricci com limitações. Inicialmente abordamos tanto aspectos da geometria Riemanniana tradicional como métricas e geodésicas, quanto aspectos mais avançados como as fórmulas de Bochner, Weitzenböck e o teorema de Hodge. Em seguida discutimos a convergência de Gromov-Hausdorff e suas propriedades, além de serem apresentados alguns teoremas como os de Kasue e Fukaya. Por fim estudamos as propriedades topológicas e geométricas de variedades com limitação no tensor de Bakry-Émery-Ricci e o comportamento de tais limitações com respeito à submersões e à convergência de Gromov-Hausdorff Abstract: This work presents a study about Riemannian manifolds having a Bakry-Émery-Ricci tensor with bounds. Initially we approached both the traditional aspects of Riemannian geometry like metrics and geodesics, as more advanced aspects like the Bochner, Weitzenböck formulas and the Hodge's theorem. Then we discussed the Gromov-Hausdorff convergence and its properties, in addition to showing some theorems as those from Kasue and Fukaya. Lastly we studied the topological and geometric properties of manifolds with bounds on the Bakry-Émery-Ricci tensor and the behavior of these bounds with respect to submersions and the Gromov-Hausdorff convergence Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Orientadores: Luiz Antonio Barrera San Martin, Lino Anderson da Silva Grama Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Estudamos geometria complexa generalizada, que tem como casos particulares as geometrias complexa e simplética. Começamos com os seus fundamentos algébricos num espaço vetorial e transportamos essas noções para variedades. Estudamos o colchete de Courant na soma direta dos fibrados tangente e cotangente de uma variedade, que é essencial para definir a integrabilidade das estruturas complexas generalizadas. Verificamos que em nilvariedades de dimensão 6 sempre existe estrutura complexa generalizada invariante à esquerda, ainda que algumas delas não admitam estrutura complexa ou simplética. Estudamos duas noções de T-dualidade e suas relações com geometria complexa generalizada. Por fim recapitulamos a simetria do espelho para curvas elípticas e obtemos uma manifestação de simetria do espelho através de geometria complexa generalizada Abstract: We study generalized complex geometry, which encompasses complex and symplectic geometry as particular cases. We begin with the algebraic basics on a vector space and then we transport these concepts to manifolds. We study the Courant bracket on the direct sum of tangent and cotangent bundles of a manifold, which is essential to define the integrability of the generalized complex structures. We check that on every $6$ dimensional nilmanifolds there is a left invariant generalized complex structure, even though some of them do not admit complex or symplectic structure. We study two notions of T-dualidade and its relations to generalized complex geometry. We recall mirror symmetry for elliptic curves and derive a manifestation of mirror symmetry from generalized complex geometry Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Orientador: Diego Sebastian Ledesma Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho, estudamos o conceito de estabilidade para folheações. Com este objetivo, usamos um complexo não-linear formado por mapas e variedades na categoria Fréchet Tame. Aplicamos uma variação do Teorema da Função Inversa de Nash-Moser ao complexo não-linear obtendo uma relação entre estabilidade e a exatidão tame da linearização do complexo não-linear. Além disso, o complexo linearizado é identificado com um trecho do complexo de Rham da folheação, ou seja, transforma-se o estudo de estabilidade em analisar a exatidão tame de um grupo de cohomologia da folheação. Assim descrevemos uma família de folheações estáveis, chamadas folheações infinitesimalmente estáveis. Esta família dá uma direção para o estudo de estabilidade de folheações Abstract: In this work, we study the concept of stability for foliations. With this aim we use a non linear complex formed by maps and manifolds in Fréchet Tame category. We apply a variation of The Nash-Moser Inverse Function Theorem to non-linear complex obtaining a relation between the stability and the tame exactness of the linearized complex. Moreover, the linearized complex is identified with a piece of the complex de Rham of the foliation, i.e., we transformed the stability study into a analysis of tameness vanishing on the cohomology group of the foliation. Thus we describe a family of stable foliations, called infinitesimally stable foliations. This family gives a direction for the study of stability of foliations Mestrado Matemática Mestre em Matemática CNPQ FAPESP

Orientador: Pedro José Catuogno Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho, apresentaremos a teoria básica de simetrias de equações diferenciais, focando na busca por soluções invariantes de operadores diferenciais definidos em fibrados vetoriais com relação a ação transversal de um grupo de Lie no fibrado em questão Abstract: In this work we will give the basic theory of symmetries of differential equations. The goal of this work is searching for invariant solutions of differential operators which are defined on vector bundles with respect to the transverse action of a Lie group in such bundle Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Orientador: Pedro José Catuogno Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Esta tese está dividida em duas partes. Na primeira parte, faremos uma abordagem probabilística para a teoria de aplicações L-harmônicas em variedades diferenciáveis, passaremos para esse contexto os Teoremas de Liouville, Picard, Elworthy e Dirichlet. Na segunda parte do trabalho, o objetivo é generalizar e caracterizar o conceito de difusão, martingale e movimento Browniano em variedades que estejam munidas por uma família de métricas e conexões que variam diferenciavelmente com o tempo Abstract: This thesis is divided into two parts. In the first part, we will make a probabilistic approach to the theory of L-harmonic applications on manifolds; we generalize to this context Theorems of Liouville, Picard, Elworthy and Dirichlet. In the second part of the work, the goal is to generalize and characterize the concept of diffusion, martingale and Brownian motion on manifolds that are provided by a family of metrics and connections which depends smoothly on time Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Orientadores: Luiz Antonio Barrera San Martin, Lino Anderson da Silva Grama Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho estudamos os aspectos geométricos dos grupos de Lie do ponto de vista da geometria Riemanniana, geometria Hermitiana e geometria Kähler, através das estruturas geométricas invariantes associadas. Exploramos resultados relacionados às curvaturas da variedade Riemanniana subjacente a um grupo de Lie através do estudo de sua álgebra de Lie correspondente. No contexto da geometria Hermitiana e geometria Kähler, para um caso concreto de grupo de Lie complexo, investigaram suas curvaturas seccionais holomorfas e verificamos a existência de uma estrutura pseudo-Kähler invariante por sua forma real compacta Abstract: In this dissertation, we study the geometric aspects of Lie groups from the viewpoint of Riemannian geometry, Hermitian geometry, and Kähler geometry through its associated invariant geometric structures. We explore results related to curvatures of Riemannian manifold underlying a Lie group by studying its corresponding Lie algebra. In the context of Hermitian geometry and Kähler geometry, for a complex Lie group case, we investigate its holomorphic sectional curvatures and verify the existence of pseudo-Kähler structure invariant for its compact real form Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Orientador: Paulo Regis Caron Ruffino Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Nesta tese, estudamos um princípio de médias em equações diferenciais estocásticas sobre variedades folheadas com folhas compactas. Começaremos introduzindo o princípio de médias sobre equações diferenciais ordinárias reais. A título de comparação vamos rever conceitos básicos de variedade simplética com a finalidade de comparar/estender os resultados obtidos por Xue-Mei Li sobre um princípio de médias para um sistema Hamiltoniano estocástico completamente integrável. Nosso principal resultado é generalizar estas idéias para o caso de uma variedade M = (-a; a)n x N, onde N é uma variedade compacta sem bordo. Em particular mostraremos nossos resultados para o caso que a folheação é gerada por uma submersão de M sobre Rn. Finalmente apresentamos alguns exemplos Abstract: In this thesis, we study the averaging principle for stochastic differential equations on foliated manifolds with compact leaves. We begin by introducing the averaging principle over real ordinary differential equations. For comparison we will review basic concepts of symplectic manifold in order to compare/extend the results obtained by Xue-Mei Li about a averaging principle for a completely integrable stochastic Hamiltonian system. Our main result is to generalize these ideas to the case of a manifold M = (-a; a)n x N, where N is a compact manifold without boundary. In particular our results show for the case that foliation is generated by an submersion of M over Rn. Finally we present some examples Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Orientador: Diego Sebastian Ledesma Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho estudamos o movimento Browniano, sobre uma variedade Riemanniana munida de métricas que variam com respeito ao tempo. Tratamos brevemente os conceitos de semimartingale, equações diferenciáveis estocásticas e processos de difusão sobre variedades diferenciáveis. Apresentamos a construção clássica do movimento Browniano sobre uma variedade Riemanniana (M, g). Finalmente, munindo à variedade com uma família de métricas {g(t)} t ? [0,T] que variam com respeito ao tempo, damos duas construções do movimento Browniano sobre a variedade Riemanniana (M, g(t)), para cada t ? [0, T] (denotamos a este processo como o g(t)-movimento Browniano). Consideramos o fluxo de curvatura média sobre uma hipersuperfície compacta, e damos uma estimativa para o tempo de explosão de um processo definido a partir do g(t)-movimento Browniano. Definimos o transporte paralelo amortiguado ao longo do g(t)-movimento Browniano e damos condições para que este seja de fato uma isometria. Abstract: We study the Brownian motion on a Riemannian manifold equipped with a family of metrics that vary with respect to time. We treat brief the concepts of semimartingale, stochastic differential equations and diffusion processes on manifolds. We present the classical construction of Brownian motion on an Riemannian manifold (M, g). Finally, equipping the variety with a family of metrics {g(t)}t?[0,T] that vary with respect to time, we give two constructions of Brownian motion on the Riemannian manifold (M, g(t)) for each t ? [0, T] (we denote this process as the g(t)-Brownian motion). We consider the mean curvature flow on a compact hypersurface, and give an estimate for the time of explosion of the g(t)-Brownian motion. We define the Damped parallel transport along of the g(t)-Brownian motion and we give conditions so that in fact is an isometry Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Orientador: Pedro José Catuogno Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho estamos interessados no transporte paralelo da geometria diferencial no contexto do cálculo estocástico. Inicialmente resumimos os pontos fundamentais da geometria riemmaniana como as idéias de conexão, curvatura, transporte paralelo, a identidade de Bochner-Weitenböck e o mapa de desenvolvimento de Cartan, em seguida desenvolvemos alguns resultados da geometria estocástica como a fórmula geométrica de Itô, mas para isto inserimos brevemente a chamada geometria de segunda ordem. Ao final, examinaremos o transporte paralelo estocástico em algumas circunstâncias como no mapa de desenvolvimento estocástico, mapa de rolamento estocástico, construção do movimento Browniano em variedades e ainda com fluxos estocásticos na solução da equação de Stratonovich Abstract: This dissertation is about the stochastic version of the parallel translation in the differential geometry. In the beginning it provides some basic background to Riemannian geometry, for example, the definiton of conexion, curvature, parallel translation, the Bochner-Weitenböck identity and the Cartan's rolling map theorem. After that, it is to dedicate to development of some results on stochastic geometry as the geometric Itô formula, but to do that it is important to study the second order geometry. In the end, it is essential to give attention to stochastic parallel transport in some environment as the Cartan's rolling map in the stochastic context, stochastic rolling constuctions, Brownian motion on manifolds and the stochastic flow as the solution of the Stratonovich equation Mestrado Geometria Estocástica Mestre em Matemática