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In this paper, we introduce a control strategy for applying the Sterile Insect Technique (SIT) to eliminate the population of Aedes mosquitoes which are vectors of various deadly diseases like dengue, zika, chikungunya... in a wide area. We use a system of reaction-diffusion equations to model the mosquito population and study the effect of releasing sterile males. Without any human intervention, and due to the so-called hair-trigger effect, the introduction of only a few individuals (eggs or fertilized females) can lead to the invasion of mosquitoes in the whole region after some time. To avoid this phenomenon, our strategy is to keep releasing a small number of sterile males in the treated zone and move this release forward with a negative forcing speed c to push back the invasive front of wild mosquitoes. By using traveling wave analysis, we show in the present paper that the strategy succeeds in repulsing the population while consuming a finite amount of mosquitoes in any finite time interval even though we treat a moving half-space {x > ct}. Moreover, we succeed in constructing a 'forced' traveling wave for our system moving at the same speed as the releases. We also provide some numerical illustrations for our results.

How does the interplay between selection, mutation and horizontal gene transfer modify the phenotypic distribution of a bacterial or cell population? While horizontal gene transfer, which corresponds to the exchange of genetic material between individuals, has a major role in the adaptation of many organisms, its impact on the phenotypic density of populations is not yet fully understood. We study an elliptic integro-differential equation describing the evolutionary equilibrium of the phenotypic density of an asexual population. In a regime of small mutational variance, we characterize the solution which results from the balance between competition for a resource, mutation and horizontal gene transfer. We show that in a certain range of parameters polymorphic equilibria exist, which means that the phenotypic density may concentrate around several dominant traits. Such polymorphic equilibria result from an antagonist interplay between horizontal gene transfer and selection, while similar models which neglect the transfer lead only to monomorphic equilibria.; Comment l'interaction entre sélection, mutation et transfert horizontal de gènes modifie-t-elle la distribution phénotypique d'une population bactérienne ou cellulaire ? Si le transfert horizontal de gènes, qui correspond à l'échange de matériel génétique entre individus, joue un rôle majeur dans l'adaptation de nombreux organismes, son impact sur la densité phénotypique des populations n'est pas encore totalement connu. Nous étudions une équation elliptique intégro-différentielle décrivant l'équilibre évolutif de la densité phénotypique d'une population asexuée. Dans un régime de faible variance mutationnelle, nous caractérisons la solution qui résulte de l'équilibre entre compétition pour une ressource, mutation et transfert horizontal de gènes. Nous montrons que dans une certaine gamme de paramètres existent des équilibres polymorphes, ce qui signifie que la densité phénotypique peut se concentrer autour de plusieurs traits dominants. De tels équilibres polymorphes résultent d'un jeu antagoniste entre transfert horizontal de gènes et sélection, alors que des modèles similaires qui négligent le transfert ne conduisent qu'à des équilibres monomorphes.

Some pests and vectors of many vector-borne diseases (like mosquitoes for malaria and dengue) are known to invade any homogeneous and favorable territory, following a traveling wave type dynamic. The density of individuals in the field is commonly modeled as the solution of a bistable reaction-diffusion equation on an unbounded domain. In this work, we are interested in finding an optimal strategy to block such a solution by means of a population elimination action in a prescribed subdomain (modeling, for instance the effect of a mechanical action or an insecticide applied in a certain region to reduce the number of individuals in the population). We propose a complete description of the solutions of this problem, based on the precise analysis of the optimality conditions and on arguments for comparison between the possible strategies.

In this work, we provide an asymptotic analysis of the solutions to an elliptic integro-differential equation. This equation describes the evolutionary equilibria of a phenotypically structured population, subject to selection, mutation, and both local and non-local dispersion in a spatially heterogeneous, possibly patchy, environment. Considering small effects of mutations, we provide an asymptotic description of the equilibria of the phenotypic density. This asymptotic description involves a Hamilton-Jacobi equation with constraint coupled with an eigenvalue problem. Based on such analysis, we characterize some qualitative properties of the phenotypic density at equilibrium depending on the heterogeneity of the environment. In particular, we show that when the heterogeneity of the environment is low, the population concentrates around a single phenotypic trait leading to a unimodal phenotypic distribution. On the contrary, a strong fragmentation of the environment leads to multi-modal phenotypic distributions.

In this thesis, we are interested in a qualitative mathematical study of problems from ecology and evolutionary biology. We study the influence of a non-local dispersion for a biological species living in a patchy environment. More precisely, we first establish a criterion whose ensures the survival of a biological species which dynamics are driven by a fractional Fisher-KPP equation in a fragmented domain with Dirichlet exterior conditions. This criterion relies on the sign of the principal eigenvalue of subsets included in the fragmented domain. Moreover, we demonstrate an existence and uniqueness result of the stationary state of a Fisher-KPP equation in general patchy domains belonging to the class of non-negative, bounded and non-trivial solutions. In the particular case of a periodic and patchy domain, we establish the existence of invasion phenomena with exponential speed. Finally, we consider a model dealing with a phenotypically structured biological species living in a patchy environment. This species is subject to small mutations of the phenotype and to local and non-local spatial dispersion. We demonstrate the emergence of phenotypical dominant traits as the mutations become small.; Dans cette thèse nous nous intéressons à une étude mathématique qualitative de problèmes issus d’écologie et de biologie évolutive. Nous étudions l’influence d’une dispersion non-locale pour une espèce biologique vivant dans un environnement fragmenté. Plus précisément, dans une première partie, nous établissons un critère de survie pour une espèce biologique dont la dynamique est régie par une équation de Fisher-KPP fractionnaire dans un domaine fragmenté avec des conditions extérieures de Dirichlet. Ce critère repose sur le signe de la valeur propre principale de sous-ensembles inclus dans le domaine. De plus, nous démontrons un résultat d’existence et d’unicité de la solution stationnaire d’une équation de Fisher-KPP dans des domaines fragmentés généraux appartenant à la classe des solutions positives, bornées et non-triviales. Dans le cas particulier d’un domaine périodique et fragmenté, nous établissons l’existence d’un phénomène d’invasion à vitesse exponentielle. Enfin, dans une seconde partie, nous considérons un modèle traitant d’une espèce biologique organisée phénotypiquement vivant dans un environnement fragmenté. Cette espèce est sujette à des mutations à petits effets phénotypiques ainsi qu’à une dispersion spatiale à la fois locale et non-locale. Nous démontrons l’émergence de traits phénotypiques dominants lorsque les mutations ont de petits effets.

In this thesis, we are interested in a qualitative mathematical study of problems from ecology and evolutionary biology. We study the influence of a non-local dispersion for a biological species living in a patchy environment. More precisely, we first establish a criterion whose ensures the survival of a biological species which dynamics are driven by a fractional Fisher-KPP equation in a fragmented domain with Dirichlet exterior conditions. This criterion relies on the sign of the principal eigenvalue of subsets included in the fragmented domain. Moreover, we demonstrate an existence and uniqueness result of the stationary state of a Fisher-KPP equation in general patchy domains belonging to the class of non-negative, bounded and non-trivial solutions. In the particular case of a periodic and patchy domain, we establish the existence of invasion phenomena with exponential speed. Finally, we consider a model dealing with a phenotypically structured biological species living in a patchy environment. This species is subject to small mutations of the phenotype and to local and non-local spatial dispersion. We demonstrate the emergence of phenotypical dominant traits as the mutations become small.; Dans cette thèse nous nous intéressons à une étude mathématique qualitative de problèmes issus d’écologie et de biologie évolutive. Nous étudions l’influence d’une dispersion non-locale pour une espèce biologique vivant dans un environnement fragmenté. Plus précisément, dans une première partie, nous établissons un critère de survie pour une espèce biologique dont la dynamique est régie par une équation de Fisher-KPP fractionnaire dans un domaine fragmenté avec des conditions extérieures de Dirichlet. Ce critère repose sur le signe de la valeur propre principale de sous-ensembles inclus dans le domaine. De plus, nous démontrons un résultat d’existence et d’unicité de la solution stationnaire d’une équation de Fisher-KPP dans des domaines fragmentés généraux appartenant à la classe des solutions positives, bornées et non-triviales. Dans le cas particulier d’un domaine périodique et fragmenté, nous établissons l’existence d’un phénomène d’invasion à vitesse exponentielle. Enfin, dans une seconde partie, nous considérons un modèle traitant d’une espèce biologique organisée phénotypiquement vivant dans un environnement fragmenté. Cette espèce est sujette à des mutations à petits effets phénotypiques ainsi qu’à une dispersion spatiale à la fois locale et non-locale. Nous démontrons l’émergence de traits phénotypiques dominants lorsque les mutations ont de petits effets.