Search

This paper based on M-theory wants to show the correlation of Cartesian product of elements of ordered set with a basic, multi-value logic. Using simple algorithms discovered by M. Sare in the natural laws of electrical networks, it is possible to construct logical tables, i.e. grids, for all logic functions of n variables.

This paper considers Lyapunov and T-Lyapunov matrix equations. Lyapunov equation is a matrix equation of the form AX + XA^T = E which plays a vital role in a number of applications, while T-Lyapunov equation is a matrix equation of the form AX +X^TA^T = E. In this paper the relation between these equations will be exploit with purpose of applying obtained results in problems regarding damping optimization in mechanical systems.

U ovoj disertaciji promatra se problem rješavanja i optimizacije rješenja strukturiranih Sylvesterovih (odnosno Ljapunovljevih) i $T$-Sylvesterovih matričnih jednadžbi, s posebnim naglaskom na parametarski ovisne Sylvesterove, odnosno $T$-Sylvesterove jednadžbe. U radnji je pokazano da korištenje strukture može značajno doprinijeti ubrzanju procesa rješavanja Sylvesterove i $T$-Sylvesterove jednadžbe, a osobito specijalno povezanih nizova jednadžbi koji se javljaju primjerice u procesu optimizacije rješenja parametarski ovisne Sylvesterove, odnosno $T$-Sylvesterove jednadžbe. Zbog odgovarajuće strukture, u radnji se proučavaju Sylvesterove jednadžbe kod kojih su pripadne matrice zbroj jednostavnih matrica (primjerice dijagonalnih ili blok dijagonalnih) s matricama maloga ranga, odnosno jednadžbe oblika \[(A_0+U_1V_1)X+X(B_0+U_2V_2)=E, \] pri čemu su $A_0, B_0$ jednostavne matrice, a $U_1, V_1, U_2, V_2$ matrice malog ranga $r$. Primjenom standardne Sherman-Morrison-Woodbury-eve formule moguće je dobiti takozvanu Sherman-Morrison-Woodbury-evu formulu za rješenje prethodne jednadžbe, što omogućava razvijanje algoritma koji koristeći strukturu rješava jednadžbu tog oblika znatno efikasnije od standardnih algoritama. Algoritam baziran na Sherman-Morrison-Woodbury-evoj formuli osobito je efikasan za računanje rješenja parametarski ovisne Sylvesterove jednadžbe \[(A_0-vU_1V_1)X(v)+X(v)(B_0-vU_2V_2)=E\] za više vrijednosti parametra $v$. Dok je za standardne metode potrebno $\mathcal{; ; O}; ; (n^3)$ elementarnih operacija za svaku vrijednost parametra $v$, metoda bazirana na Sherman-Morrison-Woodbury-evoj formuli treba $\mathcal{; ; O}; ; (rkn^2)$, gdje je $r, k\ll n$ operacija za prvu vrijednost od $v$, dok svako sljedeće rješavanje s drugom vrijednosti od $v$ iziskuje samo $\mathcal{; ; O}; ; (rn^2)$ operacija, gdje je $k$ dimenzija pripadnog Krylovljevog potprostora. Osim toga, ovim pristupom moguće je i derivacije od $X(v)$ računati u $\mathcal{; ; O}; ; (rn^2)$ elementarnih operacija, što omogućava također efikasnu optimizaciju rješenja $X(v)$ s obzirom na parametar $v$. Specijalan slučaj, parametarski ovisna Ljapunovljeva jednadžba oblika \[(A_0-vUU^T)X(v)+X(v)(A_0-vUU^T)^T=E\] javlja se pri računanju i optimizaciji viskoznosti prigušivača mehaničkih sustava s obzirom na kriterij minimizacije usrednjene jedinične ukupne energije. Opisani problemi proučavaju se u poglavljima 3 i 4. Slično kao u slučaju Sylvesterove jednadžbe, Sherman-Morrisonov-Woodbury-evu formulu moguće je primjeniti i na $T$-Sylvesterovu jednadžbu oblika \[(A_0+U_1V_1)X+X^T(B_0+U_2V_2)=E, \] pri čemu su $A_0, B_0$ jednostavne matrice, a $U_1, V_1, U_2, V_2$ matrice malog ranga. Dobivena formula omogućava konstrukciju efikasnog algoritma za rješavanje prethodne $T$-Sylvesterove jednadžbe, kao i rješavanje i optimizaciju rješenja parametarski ovisne $T$-Sylvesterove jednadžbe. Sherman-Morrison-Woodbury-eva formula za $T$-Sylvesterovu jednadžbu promatra se u 5. poglavlju. Već spomenuti problem optimizacije prigušenja mehaničkih sustava usko je vezan za Ljapunovljevu jednadžbu. U posljednjem poglavlju proučava se optimalno modalno prigušenje $D$ dinamičkog sustava opisanog jednadžbom $M\ddot{; ; x}; ; + D\dot{; ; x}; ; + Kx = 0$ koje će za dane matrice mase $M$ i krutosti $K$ osigurati najbolje (s obzirom na neki kriterij) iščezavanje gibanja sustava u vremenu. Kao optimizacijski kriteriji za ovaj problem koriste se kriteriji minimalnog traga, minimalne spektralne norme i minimalne Frobeniusove norme rješenja sustavu pripadne Ljapunovljeve jednadžbe. Izvedeni su optimalni parametri za specijalne tipove modalnog prigušenja, kao što su prigušenje proporcionalno masi, prigušenje proporcionalno krutosti, Rayleigh-evo prigušenje i dr. Traženi optimalni parametri dobiveni su optimizacijom rješenja pripadne parametarski ovisne Ljapunovljeve jednadžbe obzirom na navedene kriterije optimalnosti i dani su u poglavlju 6.

Ravnina u prostoru može se jednoznacno odrediti pomocu normale na nju i jedne tocke koja joj pripada. U ovom clanku bit ce pokazano jednoznacno zadavanje ravnine pomocu tocaka i vektora u njoj, što se u konacnici može svesti na zadavanje tockom i normalom.

U radu se promatra karakterizacija i metode određivanja najbolje $l_\infty$ aproksimacije rješenja sustava linearnih jednadžbi s jednom nepoznanicom.

For the given set of data, among which outliers(wild points) are expected, the problem of determining the best Least Absolute Deviations (LAD) linear regression is considered. Particulary, the problem of determinig the best weighted LAD-line and the best LAD-plane is considered and efficient algorithms for solving these problems are given. Algorithms are illustrated by several examples as well compared with other methods known in literature. The proposed methods proved to be sufficently efficient for being considered as giving a solution in real time. Therefore, they are suitable for various applications, as e.g. in robotics.

U radu su navedena neka svojstva funkcija pod i strop, te je ilustrirana njihova primjena.

For the given set of data-points, the problems of determining the best Least Absolute Deviations (LAD) line in the plane, and the best LAD-plane in the space are considered. This problem could be naturally extended to determination of the best LAD hyperplane. Such problems naturally appear in various applied researches, such as robotics. Thereby, the given set of data-points could be extremely great (about 100, 000), and among the data a significant number of outliers (wild points) might occur. It is a motivation for application of the l1 norm for parameter estimation. It is generally agreed that this principle was proposed by the Croatian mathematician J. R. Bošković in the mid-eighteenth century.

U ovom članku razmatra se metoda računanja udaljenosti točke do eksplicitno, parametarski, te polarno zadane krivulje. U literaturi za ovaj problem postoji eksplicitno rješenje za slučaj afine funkcije, te za još neke specijalne slučajeve.

Points T_i(x_i, y_i), \, i=1, ..., m, are given in the plane. Optimal parameters b, c of a nonlinear function-model x\mapsto f(x ; b, c) should be estimated, such that the sum of orthogonal distances L_p (p>= 1) from points T_i, \, i=1, ..., m, to the graph of function f is minimal, i.e. function F(b, c)=\sum\limits_{i=1}^m d_p(T(x_\pi, f(x_\pi ; b, c)), T_i), should be minimized, where x_\pi=\arg \min\limits_xd_p(T(x, f(x ; b, c)), T_i). The problem will be considered for the linear, the exponential and the logistic function, respectively, for the most important cases: p=1, 2, \infty. If (x_i, y_i), \, i=1, ..., m, are considered to be some experimental or empirical data, then we deal here with the estimation of parameters of a generally nonlinear function in the sense of L_p orthogonal deviations, which is widely used in applied research. Since the problem in question is the problem of nondifferentiable minimization of nonlinear function F, it will be solved by using the Nelder-Mead Downhill Simplex Method, and for the calculation of L_p distances from points T_i to the graph of function f the method of one-dimensional minimization will be used, which will be elaborated in the paper by I.Soldo and K.Sabo, that will be also presented at this conference. All programs and subprograms will be done by using the {\em Mathematica} software system. We will thereby use graphic options and animation of the iterative process. Software that will be created for this purpose can be used for designing illustrative examples used in the teaching procress, but also for practical applications in various fields, such as agriculture, medicine, economics, biology, etc.

Znameniti zapis Ferenca (Franje) Črnka, sačuvan u prijepisu anonimnog hrvatskog glagoljaša na ozaljskom području, pisan brzopisnom glagoljicom 1566. ili 1567. g., sadržava točno 40 stranica. Čuva se u Državnom arhivu u Beču u privatnoj zbirci obitelji Heinricha Auersperga. Do sada su objavljene samo dvije stranice izvornika, u poznatoj studiji Stjepana Ivšića iz 1918. g. Tekst zapisa je pisan mješavinom triju temeljnih hrvatskih narječja -čakavskog, kajkavskog i štokavskog govora, s povremenim natruhama iz mađarskog, njemačkog, turskog i talijanskog jezika. Tijekom predavanja bit će po prvi puta prikazano svih četrdeset stranica ovog iznimno važnog jezičnog i povijesnog dokumenta, koji su 2019. g. nabavili Ivan Mance i Darko Žubrinić. Radi se o spisu visoke međunarodne vrijednosti, od interesa za poznavanje povijesti ne samo Europe (osobito Hrvatske, Mađarske i Austrije), nego i Turske.