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Accessible en ligne : http://smf4.emath.fr/Publications/JSFdS/150_1/html/; International audience; Pour pouvoir caractériser et interpréter des signaux physiologiques comme ceux constitués par les fréquences cardiaques instantanées (ou les durées entre deux battements de coeur successifs), il est intéressant de trouver des paramètres qui restent constants au milieu des fluctuations. Depuis une quinzaine d'années, de nombreux papiers ont considéré le paramètre de Hurst, paramètre de longue mémoire, comme une telle constante caractéristique. Des raffinements ont été également proposés en prenant en compte les comportements en basses et hautes fréquences et en associant à chacun de ces régimes des paramètres de type Hurst. Cependant ces résultats posent plusieurs problèmes. En premier lieu, ils utilisent la méthode DFA pour estimer ce ou ces paramètres. Or, il est clair que cette méthode n'est pas la plus efficace et est très sensible à d'éventuelles tendances. En second lieu, et c'est encore plus préjudiciable par rapport aux résultats obtenus, le paramètre de type Hurst pour les basses fréquences, est souvent estimé à des valeurs supérieures à $1$, borne supérieure admissible pour le paramètre d'un processus longue-mémoire stationnaire. Nous proposons des solutions à ces deux problèmes. Tout d'abord, nous utilisons un estimateur construit à partir d'une analyse par ondelettes, ce qui a plusieurs avantages: des vitesses de convergence optimales dans un cadre semi-paramétrique pour l'estimation du paramètre de Hurst, une robustesse à d'éventuelles tendances polynomiales et une estimation convergente des deux paramètres fractals lorsque l'on impose des conditions de localisation en fréquence pour l'ondelette mère. Ensuite, nous proposons comme modèle pour ces données un processus formé par les accroissements d'un mouvement brownien fractionnaire multi-échelle avec deux régimes non nuls (un régime basse fréquence et un autre haute fréquence). La méthode d'analyse par ondelettes permet d'estimer les deux paramètres fractals (à valeurs dans $\Real$ et non simplement dans $(0,1)$) associés à ces deux régimes, mais également de réaliser un test d'adéquation du modèle. Des simulations permettent de vérifier le bon comportement de ces statistiques. Appliqué aux données de fréquences cardiaques instantanées relevées chez des athlètes courant le marathon, un tel modèle est accepté lorsqu'on l'applique de façon différenciée aux trois périodes de course (début, milieu et fin de course) alors qu'il ne l'est pas si l'on considère l'ensemble de la course. On montre ainsi une augmentation au cours de la course du paramètre basse fréquence, ce qui va dans le même sens que les résultats obtenus par Peng {\em et al.} (1995): le coeur en début de course fonctionne comme celui de personnes en bonne santé, alors qu'en fin de course son comportement est proche de celui de personnes ayant des dysfonctionnements cardiaques. Une telle évolution qui n'est pas corrélée avec la valeur même des fréquences cardiaques, est à associer avec la fatigue apparaissant en fin de course. La détection d'une trop grande valeur du paramètre fractal basses fréquences pourrait donc être essentiel pour garantir la santé de coureurs amateurs.

International audience; In order to interpret and explain the physiological signal behaviors, it can be interesting to find some constants among the fluctuations of these data during all the effort or during different stages of the race (which can be detected using a change points detection method). Several recent papers have proposed the long-range dependence (Hurst) parameter as such a constant. However, their results induce two main problems. Firstly, DFA method is usually applied for estimating this parameter. Clearly, such a method does not provide the most efficient estimator and moreover it is not at all robust even in the case of smooth trends. Secondly, this method often gives estimated Hurst parameters larger than $1$, which is the larger possible value for long memory stationary processes. In this article we propose solutions for both these problems and we define a new model allowing such estimated parameters.

This work focuses on the modeling and the estimation of relevant parameters characterizing instantaneous heart rate (HR) signals. We choose to focus especially in an exponent that can be called "Fractal", which indicates the local regularity of the path and the dependency between data. The asymptotic properties of the DFA (Detrended Fluctuation Analysis) function and the deduced estimator of H are studied in the case of fractional Gaussian noise (FGN) and extended to a general class of stationary semi-parametric long-range dependent processes with or without trend. We show that this method is not at all robust. We propose the modeling of HR data with a generalization of FGN, called locally fractional Gaussian noise. Such stationary process is built from a parameter called of local fractality which is a kind of Hurst parameter (that may take values in IR) in restricted band frequency. The estimation of local fractality parameter and also the construction of goodness-of-fit test can be made with wavelet analysis. We also show the relevance of model and an evolution of the parameter during the race. Then, change detection in this parameter can be extremely meaningful. We propose a method detecting multiple abrupt changes of long memory parameter (respectively self-similarity, local fractality). From a wavelet analysis, an estimator of the change points is proved to satisfy a limit theorem. A central limit theorem is established for the estimator of each parameter and a goodness-of-fit test is also built in each zona where the parameter does not change. Finally, we show the same evolution of local fractality parameter relating to HR time series.; Ce travail de thèse porte sur la modélisation et l'estimation de paramètres pertinents pour les signaux de fréquences cardiaques (FC) instantanées. Nous nous intéressons à un paramètre (appelé grossièrement "fractal"), qui témoigne de la régularité locale de la trajectoire et de la dépendance entre les données. Les propriétés asymptotiques de la fonction DFA (Detrended Fluctuation Analysis) et de l'estimateur de H sont étudiées pour le bruit gaussien fractionnaire (FGN) et plus généralement pour une classe semi-paramétrique de processus stationnaires à longue mémoire avec ou sans tendance. On montre que cette méthode n'est pas robuste. On propose la modélisation des séries de FC par une généralisation du FGN, appelée bruit gaussien localement fractionnaire. Un tel processus stationnaire est construit à partir du paramètre dit de fractalité locale (une sorte de paramètre de Hurst avec des valeurs dans IR) sur une bande de fréquences. L'estimation du paramètre est faite par une analyse par ondelettes, tout comme le test d'adéquation. On montre la pertinence du modèle et une évolution du paramètre pendant la course. Une détection des changements de ce paramètre pourrait être extrêmement appropriée. On propose alors une méthode de détection de multiples ruptures du paramètre de longue mémoire (respectivement d'autosimilarité, de fractalité locale). Un estimateur des points de changements est construit, il vérifie un théorème limite. Un théorème de la limite centrale est établi pour l'estimateur des paramètres et un test d'ajustement est mis en place dans chaque zone où le paramètre est inchangé. Enfin, on montre la même évolution du paramètre de fractalité locale sur les FC.

This work focuses on the modeling and the estimation of relevant parameters characterizing instantaneous heart rate (HR) signals. We choose to focus especially in an exponent that can be called "Fractal", which indicates the local regularity of the path and the dependency between data. The asymptotic properties of the DFA (Detrended Fluctuation Analysis) function and the deduced estimator of H are studied in the case of fractional Gaussian noise (FGN) and extended to a general class of stationary semi-parametric long-range dependent processes with or without trend. We show that this method is not at all robust. We propose the modeling of HR data with a generalization of FGN, called locally fractional Gaussian noise. Such stationary process is built from a parameter called of local fractality which is a kind of Hurst parameter (that may take values in IR) in restricted band frequency. The estimation of local fractality parameter and also the construction of goodness-of-fit test can be made with wavelet analysis. We also show the relevance of model and an evolution of the parameter during the race. Then, change detection in this parameter can be extremely meaningful. We propose a method detecting multiple abrupt changes of long memory parameter (respectively self-similarity, local fractality). From a wavelet analysis, an estimator of the change points is proved to satisfy a limit theorem. A central limit theorem is established for the estimator of each parameter and a goodness-of-fit test is also built in each zona where the parameter does not change. Finally, we show the same evolution of local fractality parameter relating to HR time series.; Ce travail de thèse porte sur la modélisation et l'estimation de paramètres pertinents pour les signaux de fréquences cardiaques (FC) instantanées. Nous nous intéressons à un paramètre (appelé grossièrement "fractal"), qui témoigne de la régularité locale de la trajectoire et de la dépendance entre les données. Les propriétés asymptotiques de la fonction DFA (Detrended Fluctuation Analysis) et de l'estimateur de H sont étudiées pour le bruit gaussien fractionnaire (FGN) et plus généralement pour une classe semi-paramétrique de processus stationnaires à longue mémoire avec ou sans tendance. On montre que cette méthode n'est pas robuste. On propose la modélisation des séries de FC par une généralisation du FGN, appelée bruit gaussien localement fractionnaire. Un tel processus stationnaire est construit à partir du paramètre dit de fractalité locale (une sorte de paramètre de Hurst avec des valeurs dans IR) sur une bande de fréquences. L'estimation du paramètre est faite par une analyse par ondelettes, tout comme le test d'adéquation. On montre la pertinence du modèle et une évolution du paramètre pendant la course. Une détection des changements de ce paramètre pourrait être extrêmement appropriée. On propose alors une méthode de détection de multiples ruptures du paramètre de longue mémoire (respectivement d'autosimilarité, de fractalité locale). Un estimateur des points de changements est construit, il vérifie un théorème limite. Un théorème de la limite centrale est établi pour l'estimateur des paramètres et un test d'ajustement est mis en place dans chaque zone où le paramètre est inchangé. Enfin, on montre la même évolution du paramètre de fractalité locale sur les FC.