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The aim of this thesis is to review and improve upon an unpublished thesis by Green, whose goal was to construct Chern classes of coherent analytic sheaves in de Rham cohomology that respect the Hodge filtration. The second part of this thesis is dedicated to the construction of a categorical enrichment of the bounded derived category of complexes of coherent sheaves on an arbitrary complex manifold: the objects are ‘simplicial’ vector bundles endowed with a certain type of simplicial connection. This construction uses the theory of twisting cochains, developed in this setting by O’Brian, Toledo, and Tong. The first part is dedicated to defining a categorical lift of the Chern character in de Rham cohomology that respects the Hodge filtration, and for this we use the categorical model mentioned above. This construction can be undertaken by adapting classical Chern-Weil theory to the simplicial setting, using Dupont’s theory of fibre integration.; L’objet de cette thèse est de réinterpréter et de poursuivre un travail non publié de Green, dont l’objet est de construire des classes de Chern pour les faisceaux analytiques cohérents à valeurs dans la cohomologie de de Rham en respectant la filtration de Hodge. La seconde partie de la thèse est consacrée à la construction d’un enrichissement catégorique de la catégorie dérivée bornée des complexes de faisceaux cohérents sur une variété complexe arbitraire: les objets considérés sont des fibrés vectoriels « simpliciaux » munis d’un type spécial de connexions simpliciales. Cette construction repose sur la théorie des cochaînes tordues, développée dans ce cadre par O’Brian, Toledo, et Tong. La première partie est consacrée à définir un relèvement catégorique via le modèle précédent d’un caractère de Chern en cohomologie de de Rham respectant la filtration de Hodge. Cette construction peut être réalisée en adaptant la théorie de Chern-Weil classique au cadre simplicial, via la théorie de l’intégration fibrée de Dupont.

The aim of this thesis is to review and improve upon an unpublished thesis by Green, whose goal was to construct Chern classes of coherent analytic sheaves in de Rham cohomology that respect the Hodge filtration. The second part of this thesis is dedicated to the construction of a categorical enrichment of the bounded derived category of complexes of coherent sheaves on an arbitrary complex manifold: the objects are ‘simplicial’ vector bundles endowed with a certain type of simplicial connection. This construction uses the theory of twisting cochains, developed in this setting by O’Brian, Toledo, and Tong. The first part is dedicated to defining a categorical lift of the Chern character in de Rham cohomology that respects the Hodge filtration, and for this we use the categorical model mentioned above. This construction can be undertaken by adapting classical Chern-Weil theory to the simplicial setting, using Dupont’s theory of fibre integration.; L’objet de cette thèse est de réinterpréter et de poursuivre un travail non publié de Green, dont l’objet est de construire des classes de Chern pour les faisceaux analytiques cohérents à valeurs dans la cohomologie de de Rham en respectant la filtration de Hodge. La seconde partie de la thèse est consacrée à la construction d’un enrichissement catégorique de la catégorie dérivée bornée des complexes de faisceaux cohérents sur une variété complexe arbitraire: les objets considérés sont des fibrés vectoriels « simpliciaux » munis d’un type spécial de connexions simpliciales. Cette construction repose sur la théorie des cochaînes tordues, développée dans ce cadre par O’Brian, Toledo, et Tong. La première partie est consacrée à définir un relèvement catégorique via le modèle précédent d’un caractère de Chern en cohomologie de de Rham respectant la filtration de Hodge. Cette construction peut être réalisée en adaptant la théorie de Chern-Weil classique au cadre simplicial, via la théorie de l’intégration fibrée de Dupont.