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Implicit surfaces are used for interpolation, approximation, blending surfaces and solids, filling of surface holes and rounding solids. The introduced surfaces can be interpreted as functional splines, which fulfill geometric continuity conditions.

This chapter summarizes results on splines over triangulations. It describes survey results on Bernstein-Bezier techniques, which are important for computer-aided geometric design (CAGD) applications. In the context of bivariate splines, these techniques provide a useful tool for analyzing the structure of these spaces. The results for spline spaces that were given for arbitrary triangulations and for classes of triangulations are summarized. The chapter discusses the dimension of bivariate spline spaces. It discusses interpolation by bivariate spline spaces. It also discusses classical finite elements and their modern generalizations and the macro element method, which lead to Hermite interpolation by super splines. Hermite interpolation methods for bivariate splines for low degree splines are based on a suitable splitting procedure applied to every triangle or quadrilateral. The chapter also summarizes Hermite and Lagrange interpolation methods by spline spaces. Most of these methods have been developed in particular local Lagrange interpolation methods for C 1 spline spaces. A different method for analyzing splines over triangulations that is based on multivariate B-splines is also described.

An algorithm for approximation of arbitrary clouds of points with integral tensor product B-spline surfaces is presented. The clouds may be scattered may have holes and may have arbitrary boundaries. The usual methods in Reverse Engineering subdivide the given cloud into rectangular parts and approximate these parts individually. In the presented paper an overall algorithm for tensor product B-spline approximation with free boundary curves is introduced.

Die erste Stufe der Entwicklung einer Automobilausenhaut ist der Designprozes. Uber Skizzen und Zeichnungen (oft mit CAD-Hilfe) wird in der Design-Abteilung ein Plastikmodell gestaltet, das dann nach positiver Entscheidung des Vorstandes der Konstruktionsabteilung ubergeben wird. Um nun von einem solchen Modell zu einer perfekten Auto-Oberflache zu gelangen, sind zahlreiche Arbeitsgange notwendig, die uber geeignete mathematische Modelle mit Rechnerhilfe gesteuert werden.

Die Arthrose, d.h. die degenerative Gelenkerkrankung, ist eine der haufigen Erkrankungen des mittleren und hoheren Lebensalters. Sie kann insbesondere im Bereich von Huft- und Kniegelenk zu erheblichen Beeintrachtigungen des menschlichen Bewegungsvorganges und des allgemeinen Wohlbefindens fuhren.

Computer Aided Geometric Design (CAGD) is concerned with the design, computation, and representation of curved objects on a computer. Therefore, not surprisingly, CAGD has traditionally had strong ties to some classical mathematical disciplines such as approximation theory (approximation by polynomial and piecewise polynomial functions), differential geometry (parametric surfaces), algebraic geometry (algebraic surfaces), functional analysis and differential equations (surface design by minimizing functionals), and numerical analysis. In addition, work in CAGD also requires a solid background in computer science.

Grundlagen von Kurven- und Flachendarstel(ungen sind sehr oft Mesdaten, durch die (eventuell approximativ) Freiformkurven oder Freiformflachen zu legen sind. Diese Daten sind meistens noch mit Mesfehlern behaftet. Ziel des Kurven- bzw. Flachendesignprozesses ist es nun, durch diese Datenmenge eine “schone” Kurve bzw. Flache zu konstruieren. Dabei kann schon eine funktionelle oder asthetische Aussage sein. So sollte z.B. ein Autodach keine unerwunschten “Beulen” haben, sondern konvex sein, ein Schiffsrumpf oder der Rumpf eines Flugzeuges sollte keine unnotigen Oszillationen der Oberflache aufweisen, um gute stromungstechnische oder aerodynamische Eigenschaften zu haben. Solche unerwunschten Flachenbereiche folgen aus unerwunschtem Krummungsverhalten in der Kurven- oder Flachendarstellung. Das Beseitigen dieses unerwunschten Verhaltens der Krummung wird als Glatten bezeichnet und steht am Ende eines Designprozesses. Figur 13.1 beschreibt den Ablauf einer Generierung von Freiformkurven bzw. Freiformflachen bis zum Endprodukt mit gewunschten vorgegebenen Eigenschaften: Die vorhandenen Daten werden eventuell vorgeglattet, danach werden uber Interpolations- bzw. Approximationsmethoden Kurven oder Flachen durch diese Datenmengen gelegt. Diese Interpolation oder Approximation kann ohne Nebenbedingungen (wie z.B. in Kap. 4.4 oder 6.3) oder mit Nebenbedingungen, die z.B. geeignete Abschatzungen der Biegeenergie minimieren sollen, erfolgen.

Bezier curves, Bezier spline curves, Bezier tensor product patches and triangular patches on quadrics (sphere, hyperboloid of one or two sheets, paraboloid) are constructed with the help of quadratic maps ϕ i . The maps transform integral Bezier curves and patches from a parameter space ( u, v, w ) to rational Bezier curves and patches on quadrics. Curves of degree n in ( u, v, w )-space lead to Bezier curves of degree 2 n. Tensor product patches of degree ( n, m ) in ( u, v, w )-space lead to degree (2 n , 2 m ) while triangular patches of degree n in ( u, v, w )-space lead to triangular patches of degree 2 n.

Das Bild eines reellen Intervalls I (offen, geschlossen, halboffen, endlich, unendlich) unter einer stetigen, lokal injektiven Abbildung in den ℝ2 oder ℝ3 heist Kurve. Im ℝ2 ergibt sich eine ebene Kurve, im ℝ3 i. allg. eine Raumkurve. Wird ein Ursprung O gewahlt , so ist die Kurve eine Menge von Punkten Pi, deren Ortsvektoren Pi durch eine vektorwertige Funktion X = X(t) des Parameters t ∈ I beschrieben werden, die lokal eineindeutig ist. Die Funktion X(t) wird eine Parameterdarstellung der Kurve genannt.

In den verschiedenen Modelliersystemen des Computer-aided design werden unterschiedliche Methoden zur mathematischen Beschreibung von Freiformkurven und Freiformflachen eingesetzt. So finden z.B. Monome (gewohnliche Polynome) vom Grade 3, 5 bis zum Grade 19 Verwendung, aber auch Bernstein-Polynome unterschiedlichen Polynomgrades und B-Spline-Basisfunktionen unterschiedlicher Ordnung [BOH 84]. Es werden oft aber auch Gordon-Coons-Flachen oder nichtlineare Basisfunktionen eingesetzt. Mussen nun zwischen verschiedenen Modelliersystemen Daten ausgetauscht werden, weil z.B. ein Zulieferer bestimmte im System des Herstellers generierte Teile mit seinem eigenen System bearbeiten mus, ist eine Konversion oder Transformation der Kurven- und Flachendarstellung notwendig. Dabei mus entweder auf unterschiedliche Polynomgrade oder aber von einer Darstellungsmethode (beschrieben durch einen bestimmten Typ von Basisfunktionen) in eine andere transformiert werden. Leider sind diese Transformationen im allgemeinen nicht exakt moglich, daher mus auf approximative Methoden zuruckgegriffen werden. Damit entsteht ein zusatzliches Problem: Zu einem vorgegebenen Approximationsfehler soll eine gegebene Anzahl von Splineflachen nach der Transformation mit einer moglichst geringen Anzahl von Flachensegmenten (Patches) dargestellt werden, d.h. die gegebenen Flachenstucke mussen entweder zu neuen Flachensegmenten verschmolzen oder zusatzlich segmentiert werden.

Bei Anwendungen z.B. in der Geologie, Meteorologie, Kartographie, aber auch beim Digitalisieren von Modell Oberflachen, konnen unregelmasig verteilte Daten (scattered data) auftreten, die durch eine Flache interpoliert oder approximiert werden sollen.1) Das zu losende Interpolationsproblem lautet also: Gegeben sind N Abszissen xi = (xi,yi) ∈ ℝ2, i=1(1)N, mit zugehorigen Ordinaten (z.B. Meswerten) zi, gesucht ist eine Funktion f(x) = f (x,y) derart, das zi = (xi,yi) gilt. Das Approximationsproblem kann als (weighted oder auch als moving) least square Problem I(f) = Σ ωi (x) (f(xi, yi) - zi)2 → Min. behandelt werden, oder, was in jungster Zeit immer haufiger geschieht, als smoothing Problem I(f) = Σ ωi(x)(f(xi,yi) - zi)2 + λ J(f) → Min., mit Glattungsparameter λ und “physikalischem Term” J(f), z.B. der Biegeenergie einer eingespannten, elastischen dunnen Platte, etc. Wobei bei der scattered data Interpolation bzw. Approximation jedoch, im Gegensatz zur Aufgabenstellung der vorausgehenden Kapitel, keine speziellen Forderungen an die Datenpunkte (xi, yi, zi), insbesondere in Bezug auf Verteilungsanordnung und -dichte, gestellt werden. Wir wollen uns hier auf das Interpolationsproblem beschranken. Das Approximationsproblem wurde bereits in den Kap. 2.3, 4.4 und 6.2.5 angesprochen. Weiterhin sei auch verwiesen auf [Die 81], [Farw 86], [Fol 87b], [Fra 87], [Hay 74], [Hu 86], [Mcla 74, 76], [Mcm 87], [Lan 79], [LAN 86], [Schm 79, 83, 85], [Schu 76], sowie auf die Literaturliste [Fra 87a]; zum Smoothing s.a. Kap. 13.

Wir konnten bei der Untersuchung der kubischen Splinekurven (Monome als Basisfunktionen) keine geometrische Deutung der Splinekoeffizienten herleiten. Es lassen sich aber andere polynomiale Basisfunktionen angeben, bei denen die Splinekoeffizienten b i geometrische Bedeutung haben, d.h. z.B., das die b i den ungefahren Verlauf der Kurve (oder Flache) festlegen oder das aus der Lage der Splinekoeffizienten b i auf geometrische Eigenschaften der Kurve (oder Flache) geschlossen werden kann. Solche Basisfunktionen haben in der Praxis fur das interaktive Arbeiten grose Bedeutung, da alle Prozesse geometrisierbar sind. Wir werden im wesentlichen zwei Typen solcher Splinefunktionen betrachten — die Bezier-Spline-Kurven, — die B-Spline-Kurven.

Bei vielen Anwendungen mussen die Schnittpunkte von (ebenen) Kurven oder auch Schnittkurven von Flachen ermittelt werden, etwa — bei der Erzeugung von Niveaulinienbilder zur graphischen Darstellung von vorgegebenen Flachen und Hyperflachen, — beim Berechnen von Umrislinien zur Verbesserung graphischer Darstellungen von Flachen, — beim booleschen Verknupfen von Korpern, — beim Konstruieren glatter Ubergangskurven bzw. -flachen zur Abrundung von durch Verschneidung entstandenen Ecken und Kanten zwischen zwei Kurven bzw. Flachen oder auch — beim Bestimmen von Offsetkurven bzw. -flachen, z.B. zur NC-Erzeugung, aus den theoretisch berechneten Offsets, die, wie in Abschnitt 2.2 gesehen, Selbstdurchdringungen besitzen konnen.

Sollen Freiformflachen technisch realisiert werden, so ist der Einsatz numerisch gesteuerter Frasmaschinen (NC-Maschinen) unerlaslich. So werden z.B. die Preswerkzeuge fur Automobilteile mit Frasmaschinen erzeugt, ebenso die Formen fur Spritzgusteile usw. Das Frasen von Freiformflachen fuhrt auf neue mathematische und technologische Probleme (s. z.B. [Zir 89], [Kla 91]). Wir wollen hier einen kurzen Abris der mathematischen Modellierung des Frasvorgangs geben.

Parallelkurven und Parallelflachen (oft auch Aquidistanten, Offset-Kurven, Offset-Flachen genannt) sind Kurven bzw. Flachen, die von einer gegebenen Kurve bzw. Flache (Stammkurve, Stammflache) einen konstanten Abstand d besitzen. Daher lautet die Parameterdarstellung einer Parallelkurve $$ {{\text{X}}_{\text{d}}}\left( {\text{t}} \right){\text{ }} = {\text{ X}}\left( {\text{t}} \right){\text{ }} + {\text{ N}}\left( {\text{t}} \right){\text{ d }}, $$ (15.1a) die Parameterdarstellung einer Parallelflache $$ {{\text{X}}_{\text{d}}}\left( {{\text{u}},{\text{v}}} \right){\text{ }} = {\text{ X}}\left( {{\text{u}},{\text{v}}} \right){\text{ }} + {\text{ N}}\left( {{\text{u}},{\text{v}}} \right){\text{ d }}, $$ (15.1b) mit N als normiertem Normalenvektor, d.h. |N| = 1. Bei gegebener Orientierung von N kann d positiv oder negativ sein, die zugehorigen Parallelkurven bzw. Paral lel flachen liegen dann auf verschiedenen Seiten der gegebenen Kurve bzw. Flache (s. Fig. 15.1). Der Normalenvektor N ist fur ebene Kurven und Flachen definiert, fur Raumkurven lediglich uber Ẋ · N = 0 bestimmt.

Conversion methods are required for the exchange of data. We introduce conversion methods for B-spline and Bezier surfaces. First a given integral or rational B-spline surface will be segmented by curvature oriented arguments then these patches will be converted into integral Bezier patches with help of geometric continuity conditions. If the surfaces are trimmed, the given curves on the surfaces may have rational B-spline representation of arbitrary order in the parametric domain, these curves will be converted into integral B-spline curves of arbitrary order. — The same method can be used for merging a set of surface patches to a set with less number of patches.