Search

Sprumont (1990) introduces Population Monotonic Allocation Scheme (PMAS) and proves that every assignment game with at least two sellers and two buyers, where each buyer-seller pair derives a positive gain from trade, lacks a PMAS. In particular glove games lacks PMAS. We propose a new cooperative TU-game concept, Lorenz-PMAS, which relaxes some population monotonicity conditions by requiring that the payoff vector of any coalition is Lorenz dominated by the corresponding restricted payoff vector of larger coalitions. We show that every TU-game having a Lorenz-PMAS is totally balanced, but the converse is not true in general. We obtain a class of games having a Lorenz-PMAS, but not PMAS in general. Furthermore, we prove the existence of Lorenz-PMAS for every glove game and for every assignment game with at most five players. Additionally, we also introduce two new notions, Lorenz-PMAS-extendability and Lorenz-PMAS-exactness,and discuss their relationships with the convexity of the game.

Projecte: 2018PID-UB/010, La finalitat principal d’aquest projecte ha estat afavorir el treball autònom dels estudiants de les assignatures de Matemàtiques dels Graus d’Economia, ADE i GEI, el qual és indispensable per a l’assimilació dels continguts d’aquestes assignatures. Amb aquest objectiu, hem considerat que una manera atractiva i motivadora per a l’alumnat seria la utilització de qüestionaris en el Campus Virtual organitzats per temes. La cronologia del projecte ha resultat rellevant. Inicialment, en un primera fase, s’havia proposat acabar el projecte el juny de 2019, però al tornar-ho a examinar, vam creure que era adient allargar el termini de finalització fins al febrer de 2021, per així posar-ho en pràctica en alguns grups i anar ampliant el nombre de preguntes disponibles. Finalment, durant la vigència del projecte s’ha elaborat una àmplia bateria de preguntes, la qual ha estat utilitzada de forma molt intensa en les assignatures de matemàtiques. La valoració del projecte és positiva en tant que ha millorat l’autoaprenentatge per part dels estudiants. També cal posar de manifest que aquest projecte ha vist augmentada la seva utilitat pràctica en el context de les excepcionals circumstàncies derivades de la pandèmia (tot i no ser la finalitat de partida). És aquest un aspecte que els alumnes han remarcat en les enquestes de satisfacció que han complimentat. En conclusió, els resultats reflecteixen la gran satisfacció dels alumnes i també del professorat en l’ús dels qüestionaris com a eina de foment del treball autònom.

Projecte: 2014PID-UB/063, L’objectiu del nostre projecte ha estat millorar la docència de les assignatures de Matemàtiques dels Graus d’Economia i ADE, introduint a la docència el software gratuït GeoGebra. Inicialment, havíem pensat treballar també amb Wiris, però ben aviat vam veure que GeoGebra s’adaptava molt millor a la nostra idea d’explicar i visualitzar conceptes teòrics. El projecte va sorgir en el context de la implantació dels graus, en un moment en què vèiem que ja no podríem seguir fent les classes de pràctiques a les aules d’informàtica amb el programa Derive, que disposaríem de menys hores de docència i que a les aules només hi hauria un ordinador per al professor i un canó de projecció. En aquelles circumstàncies vam pensar que la capacitat de GeoGebra per donar vida a funcions i vectors podia ajudar-nos a explicar els conceptes teòrics de les assignatures de Matemàtiques d’una manera tan atractiva com intuïtiva. Hem elaborat un conjunt de materials (applets) per a les assignatures de Matemàtiques I i Matemàtiques II dels graus d’ADE i ECO, i Presa de Decisions del grau d’ADE. Gràcies a la plataforma Moodle hem pogut posar aquestes applets a disposició d’alumnes i professors. Finalment, hem copsat l’interès per aquesta nova forma d’explicar i d’estudiar les Matemàtiques amb enquestes al final dels dos cursos acadèmics que ha durat el projecte.

We study resource-monotonicity properties of core allocations in coinvestment problems: those where a set of agents pool their endowments of a certain resource or input in order to obtain a joint surplus or output that must be allocated among the agents. We analyze whether agents have incentives to raise their initial contribution (resource-monotonicity). We focus not only on looking for potential incentives to agents who raise their contributions, but also in not harming the payoffs to the rest of agents (strong monotonicity property). A necessary and suficient condition to fulfill this property is stated and proved. We also provide a subclass of coinvestment problems for which any core allocation satisfies the aforementioned strong resource-monotonicity property. Moreover, we introduce the subset of core allocations satisfying this condition, namely the incentive core.

Decentralized rationing problems are those in which the resource is not directly assigned to agents, but first allocated to groups of agents and then divided among their members. Within this framework, we define extensions of the constrained equal awards, the constrained equal losses and the proportional rules. We show that the first two rules do not preserve certain essential properties and prove the conditions under which both rules do preserve those properties. We characterize the extension of the proportional rule as the only solution that satisfies individual equal treatment of equals. We prove that the proportional rule is the only solution that assigns the same allocation regardless of whether the resource is distributed directly to agents or in a decentralized manner (with agents grouped). Finally, we analyse a strategic game based on decentralized rationing problems in which agents can move freely across groups to submit their claims.

We study a variant of the multi-issue rationing model, where agents claim for several issues. In this variant, the available amount of resource intended for each issue is constrained to an amount fixed a priori according to exogenous criteria. The aim is to distribute the amount corresponding to each issue taking into account the allocation for the rest of issues (issue-allocation interdependence). We name these problems constrained multi-issue allocation situations (CMIA). In order to tackle the solution to these problems, we first reinterpret some single-issue egalitarian rationing rules as a minimization program based on the idea of finding the feasible allocation as close as possible to a specific reference point. We extend this family of egalitarian rules to the CMIA framework. In particular, we extend the constrained equal awards rule, the constrained equal losses rule and the reverse Talmud rule to the multi-issue rationing setting, which turn out to be particular cases of a family of rules, namely the extended α-egalitarian family. This family is analysed and characterized by using consistency principles (over agents and over issues) and a property based on the Lorenz dominance criterion.

An extension of the standard rationing model is introduced. Agents are not only identified by their respective claims on some amount of a scarce resource, but also by some exogenous ex-ante conditions (initial stock of resource or net worth of agents, for instance), different from claims. Within this framework, we define a generalization of the constrained equal awards rule. We provide two different characterizations of this generalized rule. Finally, we use the corresponding dual properties to characterize a generalization of the constrained equal losses rule.

An extension of the standard rationing model is introduced. Agents are not only identi fied by their respective claims over some amount of a scarce resource, but also by some payoff thresholds. These thresholds introduce exogenous differences among agents (full or partial priority, past allocations, past debts, ...) that may influence the final distribution. Within this framework we provide generalizations of the constrained equal awards rule and the constrained equal losses rule. We show that these generalized rules are dual from each other. We characterize the generalization of the equal awards rule by using the properties of consistency, path-independence and compensated exemption. Finally, we use the duality between rules to characterize the generalization of the equal losses solution.

Durante el curso 2006-2007, un equipo de profesores del Departamento de Matemática Económica, Financiera y Actuarial de la Universidad de Barcelona, relacionados con la asignatura de Matemática Financiera, vio la necesidad de adaptar materiales y crear nuevas formas para mejorar el aprendizaje, aprovechando el plan Bolonia. En nuestra facultad el número de alumnos siempre ha sido muy elevado y es una de las principales variables a tener en cuenta. En aquel curso, el volumen de alumnos que cursaban asignaturas relacionadas con la Matemática Financiera ascendió a 3.328. Utilizando Moodle hemos elaborado un material de aprendizaje y autoevaluación consistente en un banco de 218 preguntas. Con los datos completos de tres cursos académicos, desde 2008-2009 hasta el curso 2010-2011, los resultados de la experiencia se exponen en esta ponencia y se pueden calificar de esperanzadores.

[cat] En l'article es dona una condició necessària per a que els conjunts de negociació definits per Shimomura (1997) i el nucli d'un joc cooperatiu amb utilitat transferible coincideixin. A tal efecte, s'introdueix el concepte de vectors de màxim pagament. La condició necessària consiteix a verificar que aquests vectors pertanyen al nucli del joc., [eng] A necessary condition for the coincidence of the bargaining sets defined by Shimomura (1997) and the core of a cooperative game with transferable utility is provided. To this aim, a set of payoff vectors, called max-payoff vectors, are introduced. This necessary condition simply checks whether these vectors are core elements of the game.

[eng] In the context of cooperative TU-games, and given an order of players, we consider the problem of distributing the worth of the grand coalition as a sequentia decision problem. In each step of process, upper and lower bounds for the payoff of the players are required related to successive reduced games. Sequentially compatible payoffs are defined as those allocation vectors that meet these recursive bounds. The core of the game is reinterpreted as a set of sequentally compatible payoffs when the Davis-Maschler reduced game is considered (Th.1). Independently of the reduction, the core turns out to be the intersections of the family of the sets of sequentially compatible payoffs corresponding to the different possible orderings (Th.2), so it is in some sense order-independent. Finally, we analyze advantagenous properties for the first player, [cat] Dins el context de jocs cooperatius i problemes de repartiment de guanys, l¿article proposa realitzar aquest repartiment de forma seqüencial, on el pagament a cada jugador s'assigna un darrera l'altre i seguint un ordre. El procés consisteix a fixar successivament, a cada pas del procés, una fita inferior i superior que delimiten el possible pagament al jugador analitzat, i a 'reduir' el joc un cop assignat el pagament al jugador. Els pagaments seqüencialment compatibles són aquells que compleixen aquestes fites definides de forma recurrent. El nucli del joc es reinterpreta aleshores com el conjunt de pagament seqüencials compatibles amb la reducció del joc de la Davis-Maschler. Independentment del tipus de reducció utilitzat, el nucli és exactament la intersecció de tota la família de conjunts de pagaments seqüencialment compatibles relatius als diferents ordres possibles (Th.2). D'aquesta manera diem que el nucli és independent de l'ordre. Finalment, a l'article s'analitza les avantatges del jugador que figura en primer lloc en l'ordre fixat

A static comparative study on set-solutions for cooperative TU games is carried out. The analysis focuses on studying the compatibility between two classical and reasonable properties introduced by Young (1985) in the context of single valued solutions, namely core-selection and coalitional monotonicity. As the main result, it is showed that coalitional monotonicity is not only incompatible with the core-selection property but also with the bargaining-selection property. This new impossibility result reinforces the tradeoff between these kinds of interesting and intuitive economic properties. Positive results about compatibility between desirable economic properties are given replacing the core selection requirement by the core-extension property., En aquest article es realitza un estudi comparatiu de solucions conjuntistes per a jocs cooperatius d'utilitat transferible. L'anàlisi es centra en la compatibilitat entre dues propietats introduides per Young (1985) en el contexte de solucions puntuals: monotonia coalicional i selecció dins el nucli del joc. Com a principal resultat, es mostra que la monotonia coalicional no és només incompatible amb què es seleccionin solucions dins el nucli sinó que també és incompatible amb la selecció dins el conjunt de negociació. Aquest nou resultat d'incompatibilitat reforça la confrontació entre aquesta mena de propietats econòmiques que són interessants i també molt intuïtives. En l'article també es donen resultats positius respecte a la compatibilitat entre propietats, si es canvia l'exigència de seleccionar solucions dins el nucli per la selecció de solucions que continguin el nucli.

El campo de estudio de la Teoría de Juegos se centra en los modelos matemáticos de conflicto y cooperación entre agentes decisores racionales. Las situaciones y problemas que analiza surgen de la interdependencia que tienen las decisiones de los agentes y de su repercusión sobre la utilidad de cada uno de ellos (repercusiones de tipo económico, de poder o, simplemente, de satisfacción). Este planteamiento hace que un objeto de estudio importante para la Teoría de Juegos sea la Economía y, en general, las Ciencias Sociales.Las decisiones y acciones llevadas a cabo por los agentes pueden tomarse de forma independiente, aunque tomando en cuenta la actuación de otros decisores, o en cooperación y de forma coordinada con ellos. Estos dos enfoques dan lugar a la división de la Teoría de Juegos en un parte dedicada a los juegos cooperativos y en otra dedicada a los juegos no cooperativos. En la presente Tesis nos ocuparemos de modelizar situaciones dentro del campo de la Teoría de Juegos cooperativos.Básicamente, un juego cooperativo analiza cuál es el fruto de la cooperación conjunta entre los agentes con la intención de encontrar un criterio que permita la distribución de las ganancias o beneficios obtenidos. En muchos de los modelos estudiados se observa o se asume que la cooperación siempre incrementa positivamente los resultados; sin embargo, la forma en cómo se incrementa es diferente según los problemas analizados.Una primera idea al respecto nos diría que la adhesión de nuevos miembros a una coalición de agentes nunca empeora el resultado obtenido por la coalición; en Teoría de juegos esta noción se expresa mediante el concepto de monotonía. Una segunda idea reforzaría la anterior e indicaría que romper una coalición de agentes ya formada resultaría ineficiente pues los grupos resultantes de la escisión saldrían perdiendo; esta condición nos conduce a lo que en Teoría de Juegos se denomina superaditividad. Una tercera vía aún más restrictiva respecto a la manera en que la cooperación es beneficiosa exigiría que el efecto positivo de la adhesión de un nuevo agente a una coalición fuera mayor cuanto mayor fuera el número de participantes en la coalición; en otras palabras, estaríamos hablando de la noción de convexidad. Las dos primeras condiciones (monotonía y superaditividad) son muy generales y se asumen en la mayoría de modelos. La convexidad, sin embargo, implica una regularidad en la aportación de los nuevos jugadores al juego: siempre resulta más productivo que un jugador se incorpore a una coalición con muchos jugadores que a una con pocos jugadores.

A subclass of games with population monotonic allocation schemes is studied, namely games with regular population monotonic allocation schemes (rpmas). We focus on the properties of these games and we prove the coincidence between the core and both the Davis-Maschler bargaining set and the Mas-Colell bargaining set, En aquest article s'estudia una subclase dels jocs cooperatius amb esquemes de distribució monótons des del punt de vista poblacional, i que anomenem jocs amb esquemes de distribució regulars. L'anàlisi es centra en les propietats d'aquests jocs i, com a resultat principal, es demostra que el nucli del joc coincideix amb el conjunt de negociació de Davis-Maschler, així com també amb el conjunt de negociació de Mas-Colell.

Decentralized rationing problems are those in which the resource is not directly assigned to agents, but first allocated to groups of agents and then divided among their members. Within this framework, we define extensions of the constrained equal awards, the constrained equal losses and the proportional rules. We show that the first two rules do not preserve certain essential properties and prove the conditions under which both rules do preserve those properties. We characterize the extension of the proportional rule as the only solution that satisfies individual equal treatment of equals. We prove that the proportional rule is the only solution that assigns the same allocation regardless of whether the resource is distributed directly to agents or in a decentralized manner (with agents grouped). Finally, we analyse a strategic game based on decentralized rationing problems in which agents can move freely across groups to submit their claims.

[cat] En aquest article es considera un problema de cooperació entre agents on cada agent realitza una contribució (diners, capital, treball, esforç) per tal d'obtenir un benefici comú a repartir. El repartiment proporcional respecte a les contribucions és una distribució que pertany al nucli del joc cooperatiu associat. A partir d'aquest model bàsic s'introdueix un agent extern que pot realitzar una determinada aportació que serveix per avaluar el potencial benefici de cada subcoalició d'agents si aquest nou agent finalment entrés. Aquesta anàlisi pot produir que el poder relatiu dels agents hagi variat. en concret s'avalua si la distribució proporcional és encara robusta des del punt de vista de la seva pertinença al conjunt de negociació. Amb aquest objectiu, analitzem el problema utilitzant el model de joc cooperatius amb estructura de coalició. Donat que, en general, la distribució proporcional, no pertany al conjunt de negociació, s'estudia una condició suficient per a que així sigui. També enunciem una condició necessària, i finalment es proposa una condició suficient que garanteix que el repartiment proporcional és la única distribució existent dins del conjunt de negociació., [eng] We study a cooperative problem where agents contribute a certain amount of money or capital in order to obtain a surplus. The proportional distribution with respect to the contributions of players is a core element of the cooperative game associated. Within this basic model, an external agent is introduced in order to evaluate the potential profit of every subcoalition of agents in the case this new agent enters. This analysis can produce that the relative bargaining power of agents may be modified. In particular, we evaluate whether the proportional distribution is still a robust proposal from the point of view of the bargaining set of a cooperative game with coalition structure (Davis and Maschler, 1963). Since, in general, the proportional distribution fails to be a bargaining set element of this game, a sufficient condition for the proportional allocation to belong to the bargaining is stated. A necessary condition is also analysed. Finally, we state a sufficient condition that guarantees the proportional distribution to be the unique element of the bargaining set of the associated game with coalition structure.

Treballs Finals del Màster d'Economia, Facultat d'Economia i Empresa, Universitat de Barcelona. Curs: 2021-2022, Tutor: Josep Maria Izquierdo Aznar; Pedro Calleja Cortes, Greenhouse gas(GHGs) emissions have resulted in global warming which further leads to climate change. To reduce GHGs emissions, governors make attempts to create multilateral agreements among countries. Their failure of establishing sustainable agreements drives researchers to find fair and equitable distribution rules. Based on Emission Egalitarianism for each individual, this paper creatively generates the generalized constraint equal awards rule (GEA), provides corresponding algorithm to compute emission allocations from the GEA rule and points out several characteristics of this rule. To determine a fairer rule, this paper introduces Lorenz dominance and proved in n-agent case that the allocation provided by the GEA rule is Lorenz-undominated by all other allocations from any other rules. Furthermore, in a simplified 2-agent case this paper confirmed the allocations derived from the GEA rule Lorenz dominates all other allocations from any other rules.

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2021, Director: Josep Maria Izquierdo Aznar i Vives i Josep Santa Eulàlia, [en] Bankruptcy problems appears when a company goes to bankrupt and with his assets can not cope with the demands of creditors. In this essay we will focus on study how to distribute the assets among the plaintiffs. We will mention the main distribution rules and we will focus on study the implementation of the Talmudic rule proposed by Tsay and Yeh (2019) and the alternative version suggested by Moreno-Ternero et al. (2020). We will see the differences between both implementations and we will demonstrate that using backward induction the rules proposed by both correspond to the payout of the Talmudic rule. Finally, we’ll briefly mention that it is also possible do the implementation for the whole family of the Talmudic rule.

Treballs Finals del Doble Grau d'Administració i Direcció d'Empreses i de Matemàtiques, Facultat d'Economia i Empresa i Facultat de Matemàtiques i Informàtica, Universitat de Barcelona, Curs: 2020-2021, Tutors: Xavier Jarque i Ribera i Josep Maria Izquierdo Aznar, [en] Evolutionary game theory is the application of game theory to evolving populations in different contexts as biology or economics. It defines a theoretical framework of contests and strategies into which Darwinian competition can be modelled. In this work, we will present the main concepts of this field from a mathematical perspective, being the evolutionary stable strategies (ESS) and the replicator dynamics systems the most important concepts. Firstly, we present the basic concepts of game theory and qualitative theory of differential equations that will be used throughout the work. We also study how to represent plannar differential systems using the Poincaré compactification. Then, we develop a theoretical study of the ESS and explain the different type of games where this concept can be applied, player versus environment games and player versus player games. Finally, we explain the replicator dynamics and weaker concepts of evolution than ESS. All the sections will have different examples in order to help the reader understand and apply the theory.

Treballs Finals del Doble Grau d'Administració i Direcció d'Empreses i de Matemàtiques, Facultat d'Economia i Empresa i Facultat de Matemàtiques i Informàtica, Universitat de Barcelona, Curs: 2019-2020, Tutors: Josep Maria Izquierdo Aznar i Josep Vives i Santa Eulàlia, [en] In the field of Theory of Games, in this work we will focus on cooperative games, specifically on the study of the kernel and prekernel concepts of cooperative games and their geometric properties. We will also look at some of the most important non-geometric properties of the prekernel and bankruptcy games, to end with a conjecture on how to calculate points of the prekernel of a game of three players.

Treballs Finals del Màster d'Economia, Facultat d'Economia i Empresa, Universitat de Barcelona, Curs: 2019-2020, Tutor: Josep María Izquierdo Aznar, A claims problem involves the distribution of a divisible and scarce resource within a group of individuals with a specific right over this endowment. In the classic model, the final allocation of the estate among the agents is based on a single criterion: their own claims. However, what happens when the initial conditions of the individuals are not equal?. To answer this, we provide an extension of two of the most well-known rules: the proportional rule and the Talmudic rule. These extensions include new relevant information that characterizes the claimants and impacts the final distribution. We provide a formal definition for these generalized rules, check the properties that each of these satisfies, and give a respective characterization to each of them. Finally, we propose an empirical approach for the analysis of this kind of problems, and the perceptions from the agents among them, with and without ex-ante conditions. From this, we found a significant preference among the proportional rule in situations with ex-ante conditions. While for the cases with ex-ate conditions the perceptions tend to vary depending on the role played by the agent.

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2019, Director: Xavier Jarque i Ribera i Josep Maria Izquierdo Aznar, [en] Harold Hotelling (1895-1973) was an American statistician and an important theoretician of the economy. He earned a PhD in Mathematics from Princeton in 1924 and began as an associate professor at Stanford University until he moved to Columbia University in 1931. It was not until 1946 that he served as professor of Mathematical Statistics at the University of North Carolina at Chapel Hill. His greatest contribution was in the field of monopoly competition. Harold Hotelling developed in his article Stability of Competition in 1929, what is known today as the Hotelling model or linear city model, which contributed greatly to the field of the differentiation of the product. In this Hotelling model he introduced notions of the equilibrium of location in a duopoly. The Hotelling model was a source of inspiration for a large amount of literature that is not only limited to the theory of industrial organization but also in other sciences, such as politics, since some of its conclusions can be applied directly to these matters. This paper is based on Hotelling article Stability of Competition with the main objective of analyzing the model and its subsequent revisions. The model is studied in a one-dimensional space (as defined by H.Hotelling). Finally, in the second part of the paper, the model is developed for a two-dimensional space.