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In this work, we apply several functional inequalities (Poincaré,logarithmic Sobolev etc.) to solve two problems. First, we study aninhomogeneous diffusion, akin to the discrete simulated annealingalgorithm, in the spirit of a paper by L. Miclo. We show that thisdiffusion converges under weaker hypotheses than what was assumed inprevious work. In particular, the potential governing the drift isallowed to grow very slowly at infinity. In a second part, we turn toa model of statistical mechanics with unbounded spins, recentlystudied by T. Bodineau and B. Helffer, N. Yoshida and G. Royer (amongothers). We clarify links between mixing properties, uniqueness of theGibbs measure, and functional inequalities. We show in particular thatthe infinite volume tempered Gibbs measure is unique, provided thatthe finite volume measures for one boundary condition satisfy aBeckner inequality.; Dans cette thèse, nous utilisons différentes inégalités fonctionnelles(Poincaré, Sobolev logarithmique, etc.) pour étudier deux questions.Nous appliquons d'abord des inégalités affaiblies à l'étude d'unediffusion inhomogène, analogue continu de l'algorithme de recuitsimulé, dans la lignée d'un travail de L. Miclo. Nous montrons unrésultat de convergence de la diffusion, sous des hypothèses plusfaibles que celles posées précédemment : le potentiel dans lequel ladiffusion évolue peut croître très lentement à l'infini.Dans le cadre d'un modèle de mécanique statistique à spins non-bornés,en nous basant sur des résultats de T. Bodineau et B. Helffer, N. Yoshidaet G. Royer, nous éclaircissons ensuite les liens entre différentesinégalités fonctionnelles, des propriétés de mélange et l'unicité dela mesure de Gibbs en volume infini. Nous montrons en particulierl'unicité si les mesures en volume fini et pour une seule conditionaux bords vérifient uniformément une inégalité de Beckner.

In this work, we apply several functional inequalities (Poincaré,logarithmic Sobolev etc.) to solve two problems. First, we study aninhomogeneous diffusion, akin to the discrete simulated annealingalgorithm, in the spirit of a paper by L. Miclo. We show that thisdiffusion converges under weaker hypotheses than what was assumed inprevious work. In particular, the potential governing the drift isallowed to grow very slowly at infinity. In a second part, we turn toa model of statistical mechanics with unbounded spins, recentlystudied by T. Bodineau and B. Helffer, N. Yoshida and G. Royer (amongothers). We clarify links between mixing properties, uniqueness of theGibbs measure, and functional inequalities. We show in particular thatthe infinite volume tempered Gibbs measure is unique, provided thatthe finite volume measures for one boundary condition satisfy aBeckner inequality.; Dans cette thèse, nous utilisons différentes inégalités fonctionnelles(Poincaré, Sobolev logarithmique, etc.) pour étudier deux questions.Nous appliquons d'abord des inégalités affaiblies à l'étude d'unediffusion inhomogène, analogue continu de l'algorithme de recuitsimulé, dans la lignée d'un travail de L. Miclo. Nous montrons unrésultat de convergence de la diffusion, sous des hypothèses plusfaibles que celles posées précédemment : le potentiel dans lequel ladiffusion évolue peut croître très lentement à l'infini.Dans le cadre d'un modèle de mécanique statistique à spins non-bornés,en nous basant sur des résultats de T. Bodineau et B. Helffer, N. Yoshidaet G. Royer, nous éclaircissons ensuite les liens entre différentesinégalités fonctionnelles, des propriétés de mélange et l'unicité dela mesure de Gibbs en volume infini. Nous montrons en particulierl'unicité si les mesures en volume fini et pour une seule conditionaux bords vérifient uniformément une inégalité de Beckner.