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This thesis is dedicated to the study of nanocomposite materials, which are the most promising and active approach to making the best permanent magnets today. This type of magnet is called a spring magnet.Mathematically speaking, the study of these materials is difficult.because the usual models are non-linear and the material dependence ofthe parameters vary on a very small scale. Thus, solving the magnetic models for these magnets directly is impractical, as the small dimensions of the materials would increase the number of cells in the mesh prohibitively. A more practical way is to derive a macroscopic model using homogenization techniques, which refers to a set of averaging methods in partial differential equations. In other words, homogenization searchs for effective parameters (also called homogenized, or macroscopic) to describe disordered or highly heterogeneous media.The thesis consists of four chapters, the first of which introduces the framework of our study, and the next three are largely independent. In the second chapter, we study the stochastic homogenization of the Landau-Lifschitz-Gilbert equation, which describes the temporal evolution of magnetization in a ferromagnetic continuum, in order to obtain a homogeneous model for spring magnets, from a heterogeneous model. Once this homogeneous model has been identified, we study in the third chapter the behaviour of a homogeneous, but not uniform permanent magnet, by solving an eigenvalue problem. Finally, the fourth chapter deals with the numerical calculation of homogenized coefficients, which requires the resolution of a partial differential equation. We explore in this chapter a method using finite elements, as well as multi-grid methods.; Cette thèse est consacrée à l'étude de matériaux nanocomposites, qui sont l'approche la plus prometteuse et la plus active pour fabriquer les meilleurs aimants permanents actuellement. Ce type d'aimant est appelé spring magnet.Mathématiquement parlant, l'étude de ces matériaux est difficilecar les modèles habituels sont non linéaires et la dépendance matérielle deles paramètres varient à une très petite échelle. Ainsi, résoudre directement les modèles magnétiques pour ces aimants est irréalisable, car les faibles dimensions des matériaux augmenteraient le nombre de cellules dans le maillage de manière prohibitive. Un moyen plus pratique est de dériver un modèle macroscopique en utilisant des techniques d'homogénéisation, ce qui désigné un ensemble de méthodes de moyennisation dans les équations aux dérivées partielles. En d'autres termes, l'homogénéisation cherche des paramètres effectifs (aussi appelés homogénéisés, ou macroscopiques) pour décrire des milieux désordonnés ou très hétérogènes.La thèse consiste en quatre chapitres, dont le premier introduit le cadre de notre étude, et les trois suivants sont en grande partie indépendants. Nous étudions dans le second chapitre l'homogénéisation stochastique de l'équation de Landau-Lifschitz-Gilbert, qui décrit l'évolution temporelle de l'aimantation dans un continuum ferromagnétique, afin d'obtenir un modèle homogène pour les spring magnets, à partir d'un modèle hétérogène. Une fois ce modèle homogène identifié, nous étudions dans le troisième chapitre le comportement d'un aimant permanent homogène, mais non uniforme, via la résolution d'un problème aux valeurs propres. Enfin, le quatrième chapitre s'intéresse au calcul numérique des coefficients homogénéisés, qui nécessite la résolution d'une équation aux dérivées partielles. Nous explorons dans ce chapitre une méthode utilisant des éléments finis, ainsi que des méthodes multi-grilles.

This thesis is dedicated to the study of nanocomposite materials, which are the most promising and active approach to making the best permanent magnets today. This type of magnet is called a spring magnet.Mathematically speaking, the study of these materials is difficult.because the usual models are non-linear and the material dependence ofthe parameters vary on a very small scale. Thus, solving the magnetic models for these magnets directly is impractical, as the small dimensions of the materials would increase the number of cells in the mesh prohibitively. A more practical way is to derive a macroscopic model using homogenization techniques, which refers to a set of averaging methods in partial differential equations. In other words, homogenization searchs for effective parameters (also called homogenized, or macroscopic) to describe disordered or highly heterogeneous media.The thesis consists of four chapters, the first of which introduces the framework of our study, and the next three are largely independent. In the second chapter, we study the stochastic homogenization of the Landau-Lifschitz-Gilbert equation, which describes the temporal evolution of magnetization in a ferromagnetic continuum, in order to obtain a homogeneous model for spring magnets, from a heterogeneous model. Once this homogeneous model has been identified, we study in the third chapter the behaviour of a homogeneous, but not uniform permanent magnet, by solving an eigenvalue problem. Finally, the fourth chapter deals with the numerical calculation of homogenized coefficients, which requires the resolution of a partial differential equation. We explore in this chapter a method using finite elements, as well as multi-grid methods., Cette thèse est consacrée à l'étude de matériaux nanocomposites, qui sont l'approche la plus prometteuse et la plus active pour fabriquer les meilleurs aimants permanents actuellement. Ce type d'aimant est appelé spring magnet.Mathématiquement parlant, l'étude de ces matériaux est difficilecar les modèles habituels sont non linéaires et la dépendance matérielle deles paramètres varient à une très petite échelle. Ainsi, résoudre directement les modèles magnétiques pour ces aimants est irréalisable, car les faibles dimensions des matériaux augmenteraient le nombre de cellules dans le maillage de manière prohibitive. Un moyen plus pratique est de dériver un modèle macroscopique en utilisant des techniques d'homogénéisation, ce qui désigné un ensemble de méthodes de moyennisation dans les équations aux dérivées partielles. En d'autres termes, l'homogénéisation cherche des paramètres effectifs (aussi appelés homogénéisés, ou macroscopiques) pour décrire des milieux désordonnés ou très hétérogènes.La thèse consiste en quatre chapitres, dont le premier introduit le cadre de notre étude, et les trois suivants sont en grande partie indépendants. Nous étudions dans le second chapitre l'homogénéisation stochastique de l'équation de Landau-Lifschitz-Gilbert, qui décrit l'évolution temporelle de l'aimantation dans un continuum ferromagnétique, afin d'obtenir un modèle homogène pour les spring magnets, à partir d'un modèle hétérogène. Une fois ce modèle homogène identifié, nous étudions dans le troisième chapitre le comportement d'un aimant permanent homogène, mais non uniforme, via la résolution d'un problème aux valeurs propres. Enfin, le quatrième chapitre s'intéresse au calcul numérique des coefficients homogénéisés, qui nécessite la résolution d'une équation aux dérivées partielles. Nous explorons dans ce chapitre une méthode utilisant des éléments finis, ainsi que des méthodes multi-grilles.

This thesis deals with quantitative stochastic homogenization of parabolic partial differential equations, and discrete elliptic problems.In the introduction, we see how can such problems come from random models, even when the coefficients are deterministic. Then, we introduce homogenization : what happen if the coefficients themselves are random ? Could we consider that an environment with microscopical random heterogeneities behaves, at big scale, as a fictious deterministic homogeneous environment ? Then, we give a random walk in random environment interpretation and the sketch of the proofs in the two following chapters.In chapter II, we prove a quantitative homogenization result for parabolic PDEs, such as heat equation, in environment admitting time and space dependent coefficients. The method of the proof consists in considering solutions of such problems as minimizers of variational problems. The first step is to express solutions as minimizers, and then to use the capital property of subadditivity of the corresponding quantities, in order to deduce convergence and concentration result. From that, we deduce a rate of convergence of the actual solutions to the homogenized solution.In chapter III, we adapt these methods to a discrete elliptic problem on the lattice Zd.; Cette thèse porte sur l’homogénéisation quantitative d’équations aux dérivées partielles paraboliques, et de problèmes elliptiques discrets.Dans l’introduction, nous voyons comment de tels problèmes, même lorsque les coefficients sont déterministes, résultent d’un modèle aléatoire. Nous donnons ensuite une notion de ce qu’est l’homogénéisation : que se passe-t-il lorsque les coefficients eux-mêmes sont aléatoires, est-il possible de considérer qu’un environnement présentant des inhomogénéités sur de très petites échelles, se comporte d’une manière proche d’un environnement fictif qui serait homogène ?Nous donnons ensuite une interprétation de cette question en terme de marche aléatoire en conductances aléatoires, puis donnons une idée des outils utilisés dans les preuves des deux chapitres suivants.Dans le chapitre II, nous démontrons un résultat d’homogénéisation quantitative pour une équation parabolique – l’équation de la chaleur par exemple – dans un environnement admettant des coefficients aléatoires et dépendant du temps. La méthode utilisée consiste à considérer les solutions d’un tel problème comme optimiseurs de fonctionnelles qui seront définies au préalable, puis d’utiliser la propriété cruciale de sous-additivité de ces quantités, afin d’en déduire une convergence puis un résultat de concentration, qui permettra d’en déduire une vitesse de convergence des solutions vers la solution du problème homogénéisé,Dans le chapitre III, nous adaptons ces méthodes pour un problème elliptique sur le graphe Zd.

International audience; Le but de cette communication est de préciser les ingrédients permettant de définir une méthode d'homogénéisation stochastique en temps. Le principe est de considérer deux échelles de temps caractéristiques très différentes: l'une lente et déterministe, l'autre rapide et stochastique. Sous certaines hypothèses, il est alors possible de les séparer afin de traiter la résolution d'un problème homogénéisé à l'échelle lente seulement. La méthode est illustrée sur un exemple académique mettant en œuvre un comportement viscoplastique non linéaire.

In this thesis we investigate numerical methods for the homogenization of materials the structures of which, at fine scales, are characterized by random heterogenities. Under appropriate hypotheses, the effective properties of such materials are given by closed formulas. However, in practice the computation of these properties is a difficult task because it involves solving partial differential equations with stochastic coefficients that are additionally posed on the whole space. In this work, we address this difficulty in two different ways. The standard discretization techniques lead to random approximate effective properties. In Part I, we aim at reducing their variance, using a well-known variance reduction technique that has already been used successfully in other domains. The works of Part II focus on the case when the material can be seen as a small random perturbation of a periodic material. We then show both numerically and theoretically that, in this case, computing the effective properties is much less costly than in the general case, Le travail de cette thèse a porté sur le développement de techniques numériques pour l'homogénéisation de matériaux présentant à une petite échelle des hétérogénéités aléatoires. Sous certaines hypothèses, la théorie mathématique de l'homogénéisation stochastique permet d'expliciter les propriétés effectives de tels matériaux. Néanmoins, en pratique, la détermination de ces propriétés demeure difficile. En effet, celle-ci requiert la résolution d'équations aux dérivées partielles stochastiques posées sur l'espace tout entier. Dans cette thèse, cette difficulté est abordée de deux manières différentes. Les méthodes classiques d'approximation conduisent à approcher les propriétés effectives par des quantités aléatoires. Réduire la variance de ces quantités est l'objectif des travaux de la Partie I. On montre ainsi comment adapter au cadre de l'homogénéisation stochastique une technique de réduction de variance déjà éprouvée dans d'autres domaines. Les travaux de la Partie II s'intéressent à des cas pour lesquels le matériau d'intérêt est considéré comme une petite perturbation aléatoire d'un matériau de référence. On montre alors numériquement et théoriquement que cette simplification de la modélisation permet effectivement une réduction très importante du coût calcul

In this thesis we investigate numerical methods for the homogenization of materials the structures of which, at fine scales, are characterized by random heterogenities. Under appropriate hypotheses, the effective properties of such materials are given by closed formulas. However, in practice the computation of these properties is a difficult task because it involves solving partial differential equations with stochastic coefficients that are additionally posed on the whole space. In this work, we address this difficulty in two different ways. The standard discretization techniques lead to random approximate effective properties. In Part I, we aim at reducing their variance, using a well-known variance reduction technique that has already been used successfully in other domains. The works of Part II focus on the case when the material can be seen as a small random perturbation of a periodic material. We then show both numerically and theoretically that, in this case, computing the effective properties is much less costly than in the general case, Le travail de cette thèse a porté sur le développement de techniques numériques pour l'homogénéisation de matériaux présentant à une petite échelle des hétérogénéités aléatoires. Sous certaines hypothèses, la théorie mathématique de l'homogénéisation stochastique permet d'expliciter les propriétés effectives de tels matériaux. Néanmoins, en pratique, la détermination de ces propriétés demeure difficile. En effet, celle-ci requiert la résolution d'équations aux dérivées partielles stochastiques posées sur l'espace tout entier. Dans cette thèse, cette difficulté est abordée de deux manières différentes. Les méthodes classiques d'approximation conduisent à approcher les propriétés effectives par des quantités aléatoires. Réduire la variance de ces quantités est l'objectif des travaux de la Partie I. On montre ainsi comment adapter au cadre de l'homogénéisation stochastique une technique de réduction de variance déjà éprouvée dans d'autres domaines. Les travaux de la Partie II s'intéressent à des cas pour lesquels le matériau d'intérêt est considéré comme une petite perturbation aléatoire d'un matériau de référence. On montre alors numériquement et théoriquement que cette simplification de la modélisation permet effectivement une réduction très importante du coût calcul

Given a subset E of convex functions from R N+k into R which satisfy growth conditions of order p>1 and an open bounded subset O = O × O ⊥ of R N+k , we establish the continuity of a map μ↦Φμ from the set of all Young measures on O ×E equipped with the narrow topology into a set of suitable functionals defined in L p ( O ,W 1,p 0 ( O ⊥ )) and equipped with the topology of Γ-convergence. Some applications are given in the setting of periodic and stochastic homogenization.