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International audience; In this paper we are interested in the "fast path" fracture and we aim to use global-in-time, nonoverlapping domain decomposition methods to model flow and transport problems in a porous medium containing such a fracture. We consider a reduced model in which the fracture is treated as an interface between the two subdomains. Two domain decomposition methods are considered: one uses the time-dependent SteklovPoincaré operator and the other uses optimized Schwarz waveform relaxation (OSWR) based on Ventcell transmission conditions. For each method, a mixed formulation of an interface problem on the space-time interface is derived, and different time grids are employed to adapt to different time scales in the subdomains and in the fracture. Demonstrations of the well-posedness of the Ventcell subdomain problems is given for the mixed formulation. An analysis for the convergence factor of the OSWR algorithm is given in the case with fractures to compute the optimized parameters. Numerical results for two-dimensional problems with strong heterogeneities are presented to illustrate the performance of the two methods.

This thesis contributes to the development of numerical methods for flow and transport in porous media, in particular, by using space-time domain decomposition methods that enable the use of different time steps in the subdomains. In this work, we study two types of methods: one is based on a generalization of the Steklov-Poincaré operator to time-dependent problems and one is based on the Optimized Schwarz Waveform Relaxation (OSWR) method in which more general (Robin or Ventcell) transmission conditions are used to accelerate the convergence of the method. These two methods are derived in a mixed formulation, which is well-suited to problems arising in the modeling of flow and transport in porous media. We first consider the diffusion problem and formulate an interface problem on the space-time interfaces between the subdomains for each method. The well-posedness of the subdomain problem with either Dirichlet or Robin boundary conditions is shown. The convergence proofs of the OSWR algorithm and of the semi-discrete OSWR algorithm in mixed form with nonconforming time discretization are given. Numerical experiments in 2D comparing the performance of the two methods for strongly heterogeneous problems are carried out with a time-dependent Neumann-Neumann preconditioner with weight matrices being used to accelerate the first method. We then extend both methods to the advection diffusion equation where operator splitting is used to treat the advection and the diffusion differently. Separate transmission conditions for the advection equation and for the diffusion equation are derived. Using numerical results for various test cases, both advection-dominated and diffusion-dominated problems, we compare the convergence of the two methods and analyze the accuracy in time given by each when nonconforming time grids are used. Two prototypes for nuclear waste disposal simulation are considered and time windows are used for long-term simulation. We also consider the OSWR method with Ventcell transmission conditions extended to the mixed formulation. The subdomain problem with Ventcell boundary conditions is shown to be well-posed. We compare numerically, for a decomposition into two subdomains, the performance of the optimized Ventcell and Robin parameters for heterogeneous problems. We finally study extensions of the two methods to the case in which the interface represents a discrete-fracture in a reduced fracture model for flow in a fractured porous medium.; Cette thèse présente une contribution aux développements de méthodes numériques pour la simulation d'écoulements en milieu poreux, en particulier par des méthodes de décomposition de domaine espace--temps qui permettent l'utilisation de pas de temps différents dans les différents sous--domaines. Nous étudions deux types de méthodes: la première est basée sur une généralisation de l'opérateur de Steklov-Poincaré au cas de problèmes dépendants du temps, et la seconde est basée sur la méthode de Relaxation d'Onde Optimisée de Schwarz (OSWR) dans laquelle des conditions de transmission plus générales (Robin ou Ventcell) sont utilisées pour accélérer la convergence de l'algorithme. Ces deux méthodes sont étudiées sur une formulation mixte qui est bien adaptée à la modélisation de l'écoulement et du transport en milieu poreux. Nous considérons tout d'abord un problème de diffusion et formulons, pour chaque méthode, un problème sur l'interface espace -temps entre les sous-domaines. Le caractère bien posé de ces problèmes, avec des conditions aux limites de Dirichlet ou de Robin, est démontré. Les preuves de convergence de l'algorithme OSWR et de sa version semi-discrète sous forme mixte sont également données. Des expériences numériques sont menées en 2D pour comparer les performances des deux méthodes sur des problèmes fortement hétérogènes, et un préconditionneur de Neumann--Neumann dépendant du temps permet d'accélérer la première méthode. Les deux méthodes sont ensuite étendues au cas d'une équation d'advection-diffusion, l'advection et la diffusion étant traitées séparément grâce une technique de séparation d'opérateurs, ce qui permet d'utiliser des pas de temps différents pour les deux phénomènes dans chaque sous-domaine. Des conditions de transmission sont proposées séparément pour l'advection et pour la diffusion. La convergence des méthodes est étudiée sur des exemples numériques, pour des problèmes en régime d'advection dominante ou de diffusion dominante, et leur précision en temps est étudiée dans le cas de grilles non-conformes en temps. Deux exemples inspirés de la simulation du stockage de déchets nucléaires sont étudiés, et la simulation sur des temps longs est réalisée par l'intermédiaire de fenêtres en temps. Nous considérons également la méthode OSWR avec des conditions de transmission de Ventcell, étendues à la formulation mixte. Nous démontrons que les problèmes de sous--domaine avec des conditions aux limites de Ventcell sont bien posés. Nous comparons les performances des paramètres optimisés pour Ventcell et Robin dans le cas de problèmes hétérogènes pour une décomposition en deux sous-domaines. Enfin, nous étudions l'extension des deux méthodes au cas où l'interface représente une fracture pour un modèle réduit d'écoulement dans un milieu poreux fracturé.

This thesis contributes to the development of numerical methods for flow and transport in porous media, in particular, by using space-time domain decomposition methods that enable the use of different time steps in the subdomains. In this work, we study two types of methods: one is based on a generalization of the Steklov-Poincaré operator to time-dependent problems and one is based on the Optimized Schwarz Waveform Relaxation (OSWR) method in which more general (Robin or Ventcell) transmission conditions are used to accelerate the convergence of the method. These two methods are derived in a mixed formulation, which is well-suited to problems arising in the modeling of flow and transport in porous media. We first consider the diffusion problem and formulate an interface problem on the space-time interfaces between the subdomains for each method. The well-posedness of the subdomain problem with either Dirichlet or Robin boundary conditions is shown. The convergence proofs of the OSWR algorithm and of the semi-discrete OSWR algorithm in mixed form with nonconforming time discretization are given. Numerical experiments in 2D comparing the performance of the two methods for strongly heterogeneous problems are carried out with a time-dependent Neumann-Neumann preconditioner with weight matrices being used to accelerate the first method. We then extend both methods to the advection diffusion equation where operator splitting is used to treat the advection and the diffusion differently. Separate transmission conditions for the advection equation and for the diffusion equation are derived. Using numerical results for various test cases, both advection-dominated and diffusion-dominated problems, we compare the convergence of the two methods and analyze the accuracy in time given by each when nonconforming time grids are used. Two prototypes for nuclear waste disposal simulation are considered and time windows are used for long-term simulation. We also consider the OSWR method with Ventcell transmission conditions extended to the mixed formulation. The subdomain problem with Ventcell boundary conditions is shown to be well-posed. We compare numerically, for a decomposition into two subdomains, the performance of the optimized Ventcell and Robin parameters for heterogeneous problems. We finally study extensions of the two methods to the case in which the interface represents a discrete-fracture in a reduced fracture model for flow in a fractured porous medium.; Cette thèse présente une contribution aux développements de méthodes numériques pour la simulation d'écoulements en milieu poreux, en particulier par des méthodes de décomposition de domaine espace--temps qui permettent l'utilisation de pas de temps différents dans les différents sous--domaines. Nous étudions deux types de méthodes: la première est basée sur une généralisation de l'opérateur de Steklov-Poincaré au cas de problèmes dépendants du temps, et la seconde est basée sur la méthode de Relaxation d'Onde Optimisée de Schwarz (OSWR) dans laquelle des conditions de transmission plus générales (Robin ou Ventcell) sont utilisées pour accélérer la convergence de l'algorithme. Ces deux méthodes sont étudiées sur une formulation mixte qui est bien adaptée à la modélisation de l'écoulement et du transport en milieu poreux. Nous considérons tout d'abord un problème de diffusion et formulons, pour chaque méthode, un problème sur l'interface espace -temps entre les sous-domaines. Le caractère bien posé de ces problèmes, avec des conditions aux limites de Dirichlet ou de Robin, est démontré. Les preuves de convergence de l'algorithme OSWR et de sa version semi-discrète sous forme mixte sont également données. Des expériences numériques sont menées en 2D pour comparer les performances des deux méthodes sur des problèmes fortement hétérogènes, et un préconditionneur de Neumann--Neumann dépendant du temps permet d'accélérer la première méthode. Les deux méthodes sont ensuite étendues au cas d'une équation d'advection-diffusion, l'advection et la diffusion étant traitées séparément grâce une technique de séparation d'opérateurs, ce qui permet d'utiliser des pas de temps différents pour les deux phénomènes dans chaque sous-domaine. Des conditions de transmission sont proposées séparément pour l'advection et pour la diffusion. La convergence des méthodes est étudiée sur des exemples numériques, pour des problèmes en régime d'advection dominante ou de diffusion dominante, et leur précision en temps est étudiée dans le cas de grilles non-conformes en temps. Deux exemples inspirés de la simulation du stockage de déchets nucléaires sont étudiés, et la simulation sur des temps longs est réalisée par l'intermédiaire de fenêtres en temps. Nous considérons également la méthode OSWR avec des conditions de transmission de Ventcell, étendues à la formulation mixte. Nous démontrons que les problèmes de sous--domaine avec des conditions aux limites de Ventcell sont bien posés. Nous comparons les performances des paramètres optimisés pour Ventcell et Robin dans le cas de problèmes hétérogènes pour une décomposition en deux sous-domaines. Enfin, nous étudions l'extension des deux méthodes au cas où l'interface représente une fracture pour un modèle réduit d'écoulement dans un milieu poreux fracturé.

International audience; The far field simulation of underground nuclear waste disposal site requires a high computational cost due to the widely varying properties of different materials, the different length and time scales, and the high accuracy requirements. Nonoverlapping domain decomposition methods allow local adaptation in both space and time and result in parallel algorithms. We have extended the optimized Schwarz waveform relaxation (OSWR) method, successfully used for finite elements and finite volumes, to the case of mixed finite elements with their local mass-conservation property. Another choice is the substructuring method, which has been shown to be efficient for steady state problems with strong heterogeneities. We study a time-dependent Schur complement method, which is the algebraic counterpart of the discrete Steklov Poincaré operator, and introduce the Neumann preconditioner as well as weight matrices designed to make the convergence speed independent of the heterogeneities. Both methods enable the use of local time steps when the subdomains have highly different physical properties. Their performance is illustrated on test cases suggested by nuclear waste disposal problems.