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In this paper, we present algebraic tools to obtain normal forms of $��$-Hamiltonian vector fields under a semisymplectic action of a Lie group, by taking into account the symmetries and reversing symmetries of the vector field. The normal forms resulting from the process preserve the Hamiltonian condition and the types of symmetries of the original vector field. Our techniques combine the classical method of normal forms of Hamiltonian vector fields with the invariant theory of groups., 25 pages

The purpose of this paper is presenting a theoretical basis for the study of $��$-Hamiltonian vector fields in a more general approach than the classical one. We introduce the concepts of $��$-symplectic group and $��$-semisymplectic group, and describe some of their properties. We show that the Lie algebra of such groups is a useful tool in the recognition of an $��$-Hamiltonian vector field defined on a symplectic vector space $(V,��)$ with respect to coordinates that are not necessarily symplectic., 13 pages

Orientador: Prof. Dr. Alexandre José Santana Tese (doutorado em Matemática)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Concentração: Geometria e Topologia, 2022 In this thesis we presente our study of control sets with non void interior for homogeneous bilinear control systems and affine control systems definedon Rn; considering that the control range is a bounded set. For homogeneous bilinear control systems the control sets are characterized using the Lie álgebra rank condition for the induced system on projectives pace. This is based on a classic Diophantine approximation result. For affine control systems we start by studying the control sets around the equilibrium points, with more attention to the case where these sets are unbounded. Then, we started to consider periodic trajectories, so our study started to consider spectral properties. For hyperbolic systems, we prove that there is a unique control set with nonvoid interior, and if the system is uniformly hyperbolicthen it is bounded. For non hyperbolic systems we prove that every control set with a nonvoid interior is unbounded. We induce a system inprojectives pace and study some relation between control sets and chain control sets of na affine control system and its homogeneous part. Nesta tese apresentamos nosso estudo sobre conjuntos controláveis com interior não vazio para sistemas de controle bilinear homogêneo e sistemas de controle afim definidos em Rn; considerando que a imagem de control e é um conjunto limitado. Para sistemas bilineares homogêneos os conjuntos controláveis são caracterizados usando a condição do posto da álgebra de Lie para o sistema induzido no espaço projetivo. Isto é baseado em um resultado clássico de aproximação Diofantina. Para sistemas de controle afim nós começamos estudando os conjuntos controláveis em torno dos pontos de equilíbrio, com maior atenção para o caso em que estes conjuntos são ilimitados. Em seguida, passamos a considerar trajetórias periódicas, assim nosso estudo passou a considerar propriedades espectrais. Para sistemas hiperbólicos, provamos que existe um único conjunto controlável com interior não vazio, e se o sistema for ainda uniformemente hiperbólico então este é limitado. E para sistemas não hiperbólicos nós provamos que todo conjunto controlável com interior não vazio é ilimitado. Nós induzimos um sistema no espaço projetivo e estudamos algumas relações entre conjuntos controláveis e conjuntos controláveis por cadeias de um sistema de controle afim e sua parte homogênea.

Orientador: Prof. Dr. Ryuichi Fukuoka Dissertação (mestrado)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Concentração: Geometria e Topologia, 2021 Planos quase-hiperbólicos são semiplanos superiores abertos, com estrutura do grupo de Lie bidimensional não abeliano, munidos com uma norma invariante à esquerda F em cada espaço tangente. Neste trabalho vamos classificar os caminhos minimizantes em planos quase-hiperbólicos seguindo as ideias deI. A. Gribanova [9]. Iniciaremos esse trabalho apresentando algumas definições e resultados sobrea teoria da medida, equações diferenciais e análise convexa que serão utilizados no decorrer deste trabalho. Seguiremos estudando sistemas de controle e o Princípio do Máximo de Pontryagin (PMP). Para classificar os caminhos minimizantes em planos quase-hiperbólicos, utilizaremos um sistema de controle onde a função de custo é o comprimento de arco e o conjunto de controle é a esfera unitária. Comisso, o problema de encontrar os caminhos minimizantes desse espaço se torna um problemade tempo ótimo, e por meio do PMP, encontraremos os possíveis caminhos minimizantes. Análises mais aprofundadas determinarão os caminhos minimizantes. Terminaremos esse trabalho estudando um pouco a respeito dos caminhos minimizantes dos planos quase-hiperbólicos quando cada plano tangente está munido com uma norma assimétrica invariante à esquerda.

Orientadora: Prof.ª Dr.ª Maria Elenice Rodrigues Hernandes Dissertação (mestrado em Matemática)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Concentração: Geometria e Topologia, 2019 Resumo: Neste trabalho, caracterizamos a geometria de uma determinada classe de curvas planas parametrizadas em R2, por meio dos pontos singulares de campos vetoriais associados a estas curvas. Mais precisamente, provamos que os pontos duplos, ou bitangências, ou inflexões, ou cúspides de uma dada curva, são pontos singulares de um campo F. Relacionamos o índice topológico de F, com a quantidade de pontos duplos, bitangências, inflexões e cúspides de. No caso complexo, temos uma abordagem mais algébrica, obtendo uma relação entre a multiplicidade do campo F e o número de pontos duplos, bitangências e inflexões de uma deformação da curva, tanto no caso local, quanto global. Também obtivemos relações entre invariantes bem conhecidos da teoria de singularidades, como o número de Milnor e a Ae-codimensão, e os números de inflexões e bitangências de uma deformação da curva. Abstract: In this work, we characterize the geometry of a certain class of parametrized plane curves in R2, through the singular points of vector fields associated with these curves. More precisely, we prove that the double points, or bitangencies, or inflections, or cusps of a given curve , are singular points of a vector field F. We relate the topological index of F, with the quantities of double points, bitangencies, inflections and cusps of . In the complex case, with an algebraic approach, we obtain a relation among the multiplicity of the vector field F and the number of double points, bitangencies and inflections of a deformation of, in the local and global case. We also obtain relations among well known invariants of singularity theory, as the Milnor number and Ae-codimension, and the number of inflections and bitangencies of a deformation of the curve.

Orientadora: Profa. Dra. Maria Elenice Rodrigues Hernandes. Dissertação (mestrado em Matemática)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2017 A presente dissertação tem como objetivo o estudo do conjunto dos números complexos com o propósito de apresentar algumas propriedades especiais de funções complexas. Fazendo inicialmente um resgate histórico do surgimento dos números complexos, que contou com a colaboração de grandes ícones matemáticos como Tartaglia, Cardano, Bombelli, Euler, Gauss, entre outros. Apresentamos as principais propriedades dos números complexos como base para a introdução ao estudo das funções complexas. Neste contexto enunciamos um dos principais teoremas da matemática, o chamado Teorema Fundamental da Algebra, em ' seguida exploramos algumas classes especiais de funções complexas, dentre elas, a exponencial, as trigonométricas, os logaritmos, potências complexas e as transformações de Mobius, estabelecendo semelhanças e diferenças entre o caso real e o caso complexo. Finalizamos com algumas aplicações que podem ser exploradas no ensino médio sob a perspectiva dos números complexos. The aim of this dissertation is to study complex numbers with the purpose of presenting some special properties of complex functions. Initially with a historical rescue of complex numbers, that counted on the collaboration of great mathematical icons like Tartaglia, Cardano, Bombelli, Euler, Gauss, and others. We present the main properties of the complex numbers as basis for the study of complex functions. In this context we enunciate one of the main theorems of mathematics, the so-called Algebra Fundamental Theorem, and we explore some special classes of complex functions, among them, the exponential, trigonometrics, logarithms, powers functions and M¨obius Transformations, establishing similarities and differences between the real case and the complex case. We finish with some applications that can be explored in high school from the perspective of complex numbers.