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Neste trabalho, baseado no artigo Classification of algebroid curves with semigroup de autoria de Hefez e Hernandes (ver [10]), classificamos, módulo classe de equivalência formal, as curvas algebróides planas irredutíveis que possuem semigrupo de valores Γ = . In this work, based on the article Classification of algebroid curves with semigroup by Hefez and Hernandes (see [10]), we classify, modulo formal equivalence, all irreducible algebroid plane curves with semigroup of values Γ

Orientador: Prof. Dr. César Adolfo Hernández Melo Dissertação (mestrado em Matemática)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Concentração: Álgebra, 2022 Nas últimas décadas, o grupo de unidades de um anel associativo R com identidade tem recebido bastante atenção da comunidade matemática, saber quando um elemento especifico do anel é invertível, como calcular inversos de elementos invertíveis, classificar o grupo de unidades ou ainda, calcular a cardinalidade do grupo de unidades de um anel dado, são alguns dos problemas que tem sido analisados. Trabalhos recentes mostram que, quando o anel R contém uma família de ideais {N1,N2, · ·· ,Nk} satisfazendo a condição CNC, propriedades do grupo de unidades do anel R podem ser obtidas recursivamente em termos das propriedades do grupo de unidades do anel quociente R/N1. O objetivo principal desta dissertação é descrever os resultados da teoria presente nesses trabalhos, como aplicação, descrevemos algumas propriedades do grupo de unidades de alguns anéis específicos, a saber, anéis de grupos, anéis de matrizes e anéis de polinômios. Adicionalmente, fornecemos uma demonstração alternativa ao teorema de Fermat-Euler In the last decades, the group of units of na associative ring R with identity has received a lot of attention from the mathematical community, knowing when a specific elemento of the ring is invertible, how to calculate inverses of invertible elements, classify the group of units or even, calculating the cardinality of the unit group of a given ring a resome of the problems that have been analyzed. Recent Works show that whent hering R contains a Family of ideals N1,N2, · ·· ,Nk satisfying the CNC condition, properties of the group of units of the ring R can be obtained recursively in terms of the properties of the group of units of the quotient ring R/N1. The main goal of this dissertation is to describe the results of the theory presente in these works, as an application, we describe some properties of the group of units of some specific rings, namely, group rings, matrix rings and polynomial rings. Additionally, we provide na alternative proof of the Fermat-Eulertheorem

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Escudeiro Hernandes Dissertação (mestrado)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Concentração: Álgebra, 2022 Neste trabalho, estudaremos o conjunto dos pontos racionais em curvas cúbicas regulares definidas sobre o corpo dos números racionais. Primeiramente apresentaremos alguns resultados sobre interseções entre curvas algébricas e mostraremos que se o conjunto dos pontos racionais de uma cúbica regular for não vazio ele admite uma estrutura de grupo abeliano. Nosso principal objetivo neste trabalho é demonstrar o Teorema de Mordell o qual garante que o grupo dos pontos racionais de uma cúbica regular é finitamente gerado. In this work we study the set of rational points in non singular cubics de_ned over the rational numbers field. Firstly we present some results concerning intersection of algebraic curves and we show that if the set of rational points of a non singular cubic is non empty then it admits an abelian group structure. Our main aim in this work is to proof the Mordell Theorem that ensures that the group of rational points of a non singular cubic is finitely generated.

Orientador: Prof. Dr. Laerte Bemm Dissertação (mestrado)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Concentração: Álgebra, 2021 Neste trabalho, consideramos uma ação parcial de um grupo G sobre um anel R. Estudamos condições necessárias e suficientes para que o skew anel de grupo parcial R ×_ G seja associativo e obtemos alguns critérios para a existência de uma ação envolvente de . Apresentamos, ainda, extensões de _ a anéis quocientes. Por fim, consideramos uma ação global _ de um grupóide G em um anel R e também extensões dessas ações a anéis In this work we consider a partial action _ of a group G on a ring R. We study necessary and sufficient conditions to the associativity of the parcial skew group ring R ×_ G and we obtain some criteria to the existence of an enveloping action for _. Moreover, we show extensions of _ on quocient rings. Finally, we consider a global action of a groupoid G on a ring R and also extensions of these actions on quocient rings

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Escudeiro Hernandes Tese (doutorado)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Concentração: Álgebra, 2021 Este trabalho trata de aspectos relacionados com hipersuperficies quase ordinárias. Dentre as principais contribuições, destacamos a apresentação de um método que permite encontrar um conjunto de geradores para a subalgebra gerada pelas componentes de uma parametrização de uma hipersuperficie quase ordinária. Apresentamos um modo de obter uma hipersuperficie quase ordinária em Cr a partir de uma hipersuperfície quase ordinária de Cs com s

Orientador: Prof. Dr. Edinei Aparecido Santulo Junior Dissertação (mestrado)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Concentração: Álgebra, 2021 No presente trabalho apresentamos as bases da teoria ordinaria e graduada de algebras satisfazendo identidades polinomiais com o objetivo de obter bases de identidades ordinarias e graduadas para a algebra de matrizes triangulares superiores. In the present text we present the basics of the ordinary and graded theory of algebras satisfying a polynomial identity with the aim of obtaining ordinary and graded bases of identities for the algebra of upper triangular matrices.

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Escudeiro Hernandes Dissertação (mestrado em Matemática)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Concentração: Álgebra, 2020 Resumo: O objetivo principal, neste trabalho, e calcular o fecho de Ratliff-Rush de uma classe especifica de ideais monomiais no anel de polinômios K[x1; : : : ; xn], em que K _e um corpo, utilizando, para isso, um algoritmo definido por Gasanova em [G]. Abstract: The main goal, in this work, is to compute the Ratliff-Rush closure of a specific class of monomial ideals in the polynomial ring K[x1; : : : ; xn], where K is a field, using an algorithm presented by Gasanova in [G].

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Escudeiro Hernandes Tese (doutorado em Matemática)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Concentração: Álgebra, 2019 90 Neste trabalho, estudamos como dados analíticos de uma semirraiz Ci de uma curva C determinam dados analíticos da própria curva C. Mais especificamente, considerando o conjunto de valores de diferenciais i de Ci, mostramos como podemos determinar parte do conjunto de valores de diferenciais de C. Como consequência deste fato, podemos obter um limitante superior para o número de Tjurina de C em termos do semigrupo ?? = hv0, v1, . . . , vgi de C e relacionar com o número de Tjurina de Ci. Particularmente, para o caso em que mdc(v0, . . . , vg?1) = 2, mostramos que se expressa única e exclusivamente em termos de ??, generalizando um resultado de Luengo e Pfister (1990), bem como respondemos de modo mais geral a uma questão de Watari (2019). TIn this work we study how the analytical data of a semiroot Ci of an irreducible plane curve C determine the analytical data of C itself. More specifically, considering the set of values of differentials i of Ci we show how we can determine part of the set of values of differentials of C. As a consequence of this fact, we can obtain a upper bound for the Tjurina number of C by means the semigroup ?? = hv0, v1, . . . , vgi of C and we relate with the Tjurina number of Ci. Specifically, for the case gcd(v0, . . . , vg?1) = 2, we show that can be express solely in terms of ?? that generalizes a result by Luengo e Pfister (1990) and we answer in a more general way a question ask by Watari (2019).

Orientador: Paulo Roberto Brumatti Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Científica Resumo: O objetivo geral desse trabalho é entender a teoria das bases SAGBI num ponto de vista estrutural, buscando critérios para sua existência e resultados que comprovem sua eficácia para o estudo de certas k-subalgebras de k[x], bem como estudar a teoria geral das derivações sobre anéis de polinômios, suas localizações e quocientes, visando explorar as propriedades algébricas do núcleo destas derivações e as estruturas das k-subalgebras de k[x] que podem ser vistas como tais núcleos. O objetivo específico é estudar a teoria algébrico-geométrica para k-derivações em k[x], desenvolvida por Shigeru Kuroda, e utilizar dessa teoria para estabelecer uma condição para que o núcleo de uma tal derivação seja uma k-subalgebra finitamente gerada e outra para que este possua uma base SAGBI finita. Em cada momento ao longo do trabalho também é desejado enfatizar o comportamento das k-derivações que são localmente nilpotentes e obter uma forma algorítmica para determinar os geradores de seus núcleos, no caso particular da derivação ao possuir uma slice Abstract: The general objective of this work is to understand the SAGBI bases theory from a structural point of view, seeking criterias for it¿s existence and results that prove it¿s effitiency in the study of certain subalgebras of k[x], as well as to study the general theory of derivations over polynomial rings, it¿s localizations and quotients, in order to explore the algebraic properties of the kernel of this derivations and the structures of the k-subalgebras of k[x] that may be seen as such kernels. The specific objective is to study the algebraic-geometric theory of k-derivations in k[x], developed by Shigeru Kuroda, and to use this theory to stabilish a condition for the kernel of one such derivation to be a finitely generated k-subalgebra and another condition for this derivation to have finite SAGBI base. Along this work we also want to emphasize the behavior of locally nilpotent k-derivations and to obtain an algorithmic way to determine the generators of it¿s kernels, in the particular case that the derivation has a slice Mestrado Matemática Mestre em Matemática