GENELLEŞTİRİLMİŞ ELASTİK BİR ORTAMDA KÜPLE YÜKSEK MERTEBE NONLİNEER SCHRÖDLNGER DENKLEMLERİ ÖZET Diğer birçok olayda gözlendiği gibi elastik kristallerde de yeteri kadar yüksek bir enerji düzeyine ulaşılırsa nonlineer etkiler önemli olmaya başlar. Eğer nonlineer etkiler ile dispersif etkiler dengelenebilirse, yalnız dalgalar gibi ilginç nonlineer yapılar ortaya çıkabilir. Son zamanlarda, bu olaylar birçok uygulamalı matematikçi ve teorik fizikçinin ilgisini çekmekte, elastik kristallerdeki nonlineer dalgalar hakkındaki yayınlar giderek artmaktadır. Cisimdeki ortalama parçacık büyüklüğünün karakteristik bir uzunlukla karşılaştırılabilir mertebede olduğu bir ortam içinde yüksek frekanslı dalga yayılımı ele alındığında, ortamdaki parçacıklar hareketten etkilenebilir. Bu durumda bu parçacıkların kendi başlarına yaptıkları hareketler de göz önüne alınmalıdır. Böyle olayları klasik elastisite sınırları içinde kalarak açıklamak mümkün değildir ve maddenin iç yapısmı bünye denklemlerinde içermek için yeni sürekli ortam teorilerine gerek vardır. Bu teoriler arasında, yerel olmayan parçacık etkileşimleri, parçacığın yerel dönmeleri ve yüksek-mertebe gradyan teorileri sayılabilir. Bu çalışmada; sonsuz, homojen, yüksek-mertebe yer değiştirme gradyanlanm içeren zayıf nonlineer ve zayıf dispersif elastik bir ortamda yüksek frekanslı dalga yayılımı ele alınmıştır. Ortamdaki dalgaların uzun-zaman davranışım belirleyen yüksek-mertebe nonlineer ve dispersif etkileri içeren iki küple nonlineer evolüsyon denklemi elde edilmiştir. Bu çalışmanın anahatları aşağıda verilmiştir: ilk bölüm giriş olup nonlineer dalgalar, özellikle nonlineer Schrödinger denkleminin değişik formları hakkında genel bilgi vermektedir. 2. Bölümde, lineer ve nonlineer dalgaların kısa bir tanıtımı ve daha sonra dalgaların asimptotik davranışım incelemek için kullanılacak pertürbasyon yöntemi verilmiştir. Daha sonra, yüksek-mertebe gradyanları içeren üçüncü mertebe nonlineer elastik bir katının hareket denklemleri kısaca özetlenmiş; boyuna ve enine dalga modlan için dispersiyon bağıntıları 3. Bölümde verilmiştir. 4. Bölümde, genelleştirilmiş elastik ortamda yayılan enine dalgaların nonlineer modülasyonu problemi, hemen hemen tek dalga saydı dalga çözümlerinin çok ölçekli açılımı kullanılarak incelenmiştir. Özellikle, evolüsyon denklemlerinde yüksek-mertebe nonlineer ve dispersif etkileri içermek için, yüksek-mertebe pertürbasyon denklemleri ele alınmış ve iki enine dalganın değişiminin bir çift küple yüksek-mertebe nonlineer iv rr YÜKSEKÖ?RETİM MIT`Schrödinger (YMNLS) denklemleri ile verildiği gösterilmiştir. Enine dalgalardan birinin olmaması durumunda, küple YMNLS denklemlerinin daha önce nonlineer optikte elde edilen tek YMNLS denklemine indirgendiği bulunmuştur. Küple YMNLS denklemlerinin sech-sech ve tanh-tanh gibi yalnız dalga şeklindeki bazı özel çözümleri de aynı bölümde verilmiştir. 5. Bölümde, küple NLS denklemlerindeki nonlineer terimlerin katsayısını sıfır yapan kritik bir dalga sayısı civarında aynı ortamda yayılan iki enine dalganın nonlineer değişimi problemi ele alınmıştır. Küple NLS denklemlerinde nonlineer terimlerin düşmesi ve böylece küple NLS denklemlerin geçerli olmaması nedeniyle, marjinal durum denen kritik dalga sayısı civarında bağımlı değişkenler için yeni pertürbasyon açılımları göz önüne alınmıştır. Küple evolüsyon denklemlerinde dispersif etkileri dengelemek amacı ile daha yüksek-mertebe nonlineer terimleri içermek için, açıhmlardaki nonlineerliğin etkisi arttırılmıştır. Marjinal durum civarında iki enine dalganın değişiminin genelleştirilmiş nonlineer Schrödinger (GNLS) denklemleri denen bir çift küple evolüsyon denklemi ile verildiği gösterilmiştir. Enine dalgalardan birinin olmaması durumunda küple GNLS denklemlerinin, Benjamin-Feir kararsızlığı olarak adlandırılan k = 1.363 kritik dalga sayısı civarında su dalgalarının hareketini karakterize eden tek GNLS denkleminin formuna indirgendiği gösterilmiştir. Küple GNLS denklemlerinin bazı özel çözümleri de aynı bölümde verilmiştir. Son olarak, bu çalışmanın sonuçları 6. Bölümde verilmiştir. COUPLED HIGHER-ORDER NONLINEAR SCHRODINGER EQUATIONS IN A GENERALIZED ELASTIC MEDIUM SUMMARY As in many physical system nonlinearities become important when a sufficiently high level of energy is reached in elastic crystals. If nonlinear effects are balanced with the effect of dispersion, remarkable nonlinear structures such as solitary waves may exist. These phenomena have attracted many applied mathematicians and theoretical physicists recently, and a great amount of literature on nonlinear waves in elastic crystals is steadily growing. If high frequency wave propagation in a material body is considered, where the length scale is comparable with the average grain size in the body, then the individual constituents may get excited. In such a case the intrinsic motions of those constituents must be considered. Such a phenomenon cannot be explained within the limits of classical elasticity, and new continuum theories should be considered in order to include internal structure of matter into the constitutive equations. Among those theories, nonlocal particle interactions, local intrinsic rotations and higher-order gradient theories may be mentioned. In the present study; high frequency wave propagation in an infinite, homogeneous, weakly nonlinear and weakly dispersive elastic medium with higher-order displacement gradients are considered. Two coupled nonlinear evolution equations that include higher-order nonlinear and dispersive effects, are obtained for determining the long-time behavior of waves. The outline of the present study is as follows: The first section is the introduction and gives general information about nonlinear wave equations, especially various forms of the nonlinear Schrödinger equations. Brief reviews of linear waves, nonlinear waves, and eventually, the multi-scale perturbation method to be used in determining the asymptotic behavior of waves are presented in Section 2. Then, the governing equations for a cubically nonlinear elastic solid with higher order gradients are briefly summarized and the dispersion relations for the longitudinal and transverse modes are presented in Section 3. In Section 4, the nonlinear modulation of transverse waves propagating in the generalized elastic solid are studied using a multi-scale expansion of quasi-monochromatic wave solutions. In particular, to include the higher-order nonlinear and dispersive effects in the evolution equations, higher-order perturbation equations are considered, and it is shown that the modulation of two transverse waves is governed by a pair of the coupled higher-order nonlinear Schrödinger (HONLS) equations. It is found that the coupled HONLS equations reduce to the single viHONLS equation which has already been obtained in the context of nonlinear optics, in the absence of one of the transverse waves. Some special solutions, such as sech-sech and tanh-tanh solitary waves, to the coupled HONLS equations are also presented in the same section. In Section 5, the problem of nonlinear wave modulation of two transverse waves propagating in the same medium is considered about a critical wave number for which the coefficients of the nonlinear terms in the coupled NLS equations are zero. New perturbation expansions for the dependent variables near the critical wave number, called the marginal state, are considered since the nonlinear terms drop from the coupled NLS equations, and thus the coupled NLS equations are no longer valid. In order to include higher order nonlinear terms in the coupled evolution equations to balance the effect of dispersion, the effect of nonlinearity is intensified in the expansions. It is shown that the modulation of two transverse waves near the marginal state is governed by a pair of the coupled evolution equations called the generalized nonlinear Schrödinger (GNLS) equations. It is found that the coupled GNLS equations reduce to the same form of the single GNLS equation which has already been obtained for a description of the behavior of water waves about the critical wave number, k = 1.363, called Benjamin-Feir instability, in the absence of one of the transverse waves. Some special solutions of the coupled GNLS equations are also presented in the same section. Finally, a conclusion of the present study is presented in Section 6. vu 76