Search

During the latest decades, inquiry-based teaching (IBMT) has become one of the top issues at the agenda for educational politics. IBMT is seen as having a potential for enhancing the students' motivation for and appreciation of mathematics as a field of activity and as a tool for understanding the world. IBMT can be conceptualized and operationalized in different ways. In this paper, we focus on a three-phased didactical model for IBMT, which can frame the students' inquiry in and with mathematics, and support the teachers' planning and implementation of an inquiry based activity. More specifically, we present a case study of how the use of the didactical model can facilitate the implementation of IBMT, and what are the challenges that remain and need to be addressed.

Source at http://matematikdidaktik.org/ Inquiry-based mathematics education (IBME) is an increasingly important ingredient of the mathematics education in the Nordic countries. The central principle of IBME is that the students are to work in ways similar to how professional mathematicians work. In this qualitative case study, we investigate whether mathematical pathologies induce students to work like mathematicians, and thus if pathologies are suitable starting points for IBME. We based our investigations on a little-known pathology: multiplication problems that can be mirrored about the equal sign without altering the answer.

International audience; SUM is a four-year research and developmental project with the aim of contributing to coherence in children’s and students’ motivation for, activities in, and learning of mathematics throughout the educational system from kindergarten to higher education. The concept of inquiry is key in the project, and it involves the implementation of different types of theories and methods related to inquiry based mathematics teaching (IBMT) at three systemic levels: (1) The students’ inquiry in and with mathematics. (2) The teachers’ use of inquiry based mathematics teaching as a means for supporting the students’ learning and inquiry into their own practice across a particular transition. (3) Inquiry into the interplay between the development of teaching practice and research in IBMT. In this paper, based on the project design and preliminary findings from the implementation, we discuss the project as an implementation of theory at these three levels, with a particular focus on level 2.

The papers of this thesis are not available in Munin: 1. Haavold, P.: 'What characterises high achieving students' mathematical reasoning', The Elements of Creativity and Giftedness in Mathematics Advances in Creativity and Giftedness (2011), vol. 1:193-215. Available at http://dx.doi.org/10.1007/978-94-6091-439-3_13 2. Haavold, P.: 'An empirical investigation of a theoretical model for mathematical creativity', (manuscript). 3. Haavold, P.: 'Differences in mathematical creativity between 14 year old and 17 year old students', (manscript). 4. Sriraman, B., Haavold, P. & Lee, K.: 'Mathematical creativity and giftedness: a commentary on and review of theory, new operational views, and ways forward', ZDM (2013), vol. 45(2):215-225. Available at http://dx.doi.org/10.1007/s11858-013-0494-6 The main research question in this research project was "what are the characteristics of mathematical creativity?" It was investigated both qualitatively and quantitatively and the findings are presented in four articles. In the first article, three high achieving students were given an unfamiliar trigonometric problem. The findings indicate strongly that the student’s way of thinking is strongly linked with imitative reasoning and only when received some form of guidance, were they able to display creative and flexible reasoning. In the second article, a theoretical model for optimizing creativity was investigated empirically using ANCOVA. Intrinsic motivation and an aesthetic sense of mathematics were found to be significant predictors of mathematical creativity. The data also revealed a strong relationship between mathematical achievement and mathematical creativity. The third article looked at differences in mathematical creativity between 8th grade students and 11th grade students. Older students were found to score significantly higher on the mathematical creativity test. A proposed explanation for this is that the older students have three more years of schooling and might have developed a stronger connectedness of their mathematical knowledge base. Article four is a commentary and synthesis of three articles on mathematical creativity, giftedness and ability. The synthesis revealed that mathematical creativity is strongly linked with mathematical ability, spatial cognitive style and high intelligence.

This study investigates high achieving students’ mathematical reasoning when given an unfamiliar trigonometric equation. The findings indicate that the students’ way of thinking is strongly linked with imitative reasoning and only when they received some form of guidance, were they able to display flexible and creative mathematical reasoning.

This study investigates high achieving students’ mathematical reasoning when given an unfamiliar trigonometric equation. The findings indicate that the students’ way of thinking is strongly linked with imitative reasoning and only when they received some form of guidance, were they able to display flexible and creative mathematical reasoning.

Masteroppgaven vår er et resultat av en kvalitativ studie, hvor formålet er å finne ut hvilke faktorer som spiller inn for hvilken støtte som blir gitt i den undersøkende fasen i en undersøkende undervisningssekvens, ved bruk av interaksjonsskalaen til Knutsen og Ittelin (2021). Interaksjonsskalaen til Knutsen og Ittelin (2021) bestod av fem ulike nivåer av interaksjoner, men vi har i vår oppgave valgt å dele den opp i seks nivåer: 1) fortellende, 2) losende, 3) orienterende, 4) utfordrende, 5) deltakende og 6) tilretteleggende. Vi fikk være med i FoU-prosjektet SUM. Gjennom dette prosjektet fikk vi tildelt datamaterialet, dette var videopptak fra undersøkende undervisningssekvenser som var planlagt av lærere som er deltakende i SUM-prosjektet. For å analysere datamaterialet vårt har vi benyttet oss av en kvalitativ innholdsanalyse. Resultatet av vår analyse var at vi valgte å dele opp den ene kategorien, i tillegg så vi på interaksjonsskalaen i forhold til støtte og hvordan litteratur som omhandler støtte i undersøkende undervisning, litteratur om undersøkende undervisning og kommunikasjon i matematikk hang sammen med resultatene våre. Vi telte opp alle kategoriene, og så på hver av øktene for seg selv. Og til sist så vi på hva som forårsaket interaksjonene og hva som skjedde etterpå. Vår studie viser at hver og en av kategoriene i interaksjonsskalaen er en slags støtte i seg selv, og ingen av de er bedre eller dårligere enn en annen dersom en ser på hensikten med kategorien. Sosiomatematiske normer som er etablert i klasserommet er etter vår tolkning en viktig del av hvilken støtte som blir gitt, i tillegg til klasseromskulturen.

I vår mastergradsavhandling har vi undersøkt hvordan barneskoleelever oppnår innsikt i arbeid med problemløsningsoppgaver. Tidligere forskning viser at innsikt er en viktig del av problemløsningsprosessen, men at det ikke forkommer tydelig hvor og når innsikt oppstår i forhold til problemløsningsmodellene (Haavold & Sriraman, 2021). Dette var noe vi fant interessant og som vi har til hensikt å undersøke nærmere. På bakgrunn av dette kom vi frem til følgende problemstilling: «Hvordan oppnår høytpresterende barneskoleelever innsikt i møte med tre problemløsningsoppgaver med én, ingen og flere riktige løsninger?» For å besvare denne problemstillingen har vi utarbeidet fire forskningsspørsmål: 1) Når i problemløsingsprosessen oppstår innsikt? 2) Hva skjer like før innsikt oppstår? 3) Hvilken type innsikt oppnår elevene? 4) Hva er mulige årsaker til at innsikt oppstår? For å besvare dette har vi gjennomført oppgavebaserte intervjuer med 12 elever på en barneskole. Her fikk elevene tre problemløsningsoppgaver med én, ingen og flere løsninger. Intervjuene ga oss innblikk i elevenes løsningsprosess og tanker de gjorde seg i arbeid med disse oppgavene. Disse intervjuene ble transkribert, analysert med kvalitativ innholdsanalyse, og funnene diskuterer vi i sammenheng med relevant teori og tidligere forskning. Funnene fra denne avhandlingen viser at innsikt kan oppstå på to ulike måter. Enten plutselig og ubevisst etter man har stått fast med en oppgave, eller gjennom gradvis og systematisk arbeid. Disse to innsiktskategoriene har vi funnet at oftest forekommer i midten eller slutten av oppgaveløsingen. Angående hva som skjer like før innsikt, viser funnene at det var faktoren hint som oftest forekom før oppnåelse av innsikt. Det ble også avdekket andre faktorer før oppnåelsen av innsikt, slik som prøving og feiling, streving med lite produktive strategier og oppløsning av misforståelser. Undersøkelsene av hvilken type innsikt elevene oppnådde viser at plutselig innsikt forekom omtrent dobbelt så ofte som gradvis innsikt. Dette mener vi kan skyldes grad av åpenhet, struktur og antall løsninger i oppgavene. Vi har avdekket seks mulige årsaker til at innsikt oppsto. Disse var: hint, gradvis og systematisk arbeid, oppløsning av misforståelsen, oppdagelse av små detaljer, få en plutselig uforventet idé og strategioverføring.

Utforskende undervisning blir stadig mer aktuelt i skolen, og en finner elementer fra nettopp dette i LK-20. Problemgenerering kan i mange tilfeller være en stor del av den utforskende undervisningen, og i flere tilfeller selve grunnstenen. Studien er gjennomført på to byskoler, med totalt 25 deltakere. For å måle elevene innenfor problemgenerering har vi brukt en kreativitetsskala, da kreativitet i matematikk ofte kan sees i sammenheng med høyt prestasjonsnivå. For å se nærmere på tematikken har vi forsøkt å svare på følgende problemstilling og forskningsspørsmål. 1) I hvilken grad skårer elever på kategoriene fleksibilitet, flyt og originalitet, når de får presentert et eksempel i en oppgave? 2) I hvilken grad skårer elever med høy måloppnåelse i matematikk i kategoriene flyt, fleksibilitet og originalitet, sammenliknet med middels og lav måloppnåelse når de får presentert et eksempel? 3) I hvilken grad skårer elever med høy måloppnåelse i matematikk i kategoriene flyt, fleksibilitet og originalitet, sammenliknet med middels og lav måloppnåelse når de ikke får presentert et eksempel? For å svare på overnevnte spørsmål har vi brukt kvantitativ metode, nærmere spesifisert eksperiment med kontroll og eksperimentgruppe med post-test. Fra testene kunne man se klare forskjeller på kontroll og eksperimentgruppene, i favør eksperimentgruppen. Både måloppnåelse og bruk av eksempel virker til å ha en positiv effekt.

I mitt masterprosjekt har jeg studert flyt hos elever som jobber med problemløsningsoppgaver i matematikk. Dette bli gjort innenfor rammene av undervisningsmetoden Thinking Classrooms. Teori og tidligere forskning som ligger til grunn for denne studien er undersøkende matematikk og problemløsning, undervisningsmetoden Thinking Classrooms, flyt og engasjement. For å svare på problemstillingen har jeg gjennomført en kvalitativ studie. Metodene jeg har benyttet for å samle inn data er videoobservasjon med GoPro-kamera av elever i gruppearbeid. I analysen har jeg benyttet et analyseverktøy utviklet av Stålesen & Hansen (2021). Her har jeg studert flyt gjennom å se på faglig engasjement gjennom kategorier innen on-task og off-task adferd hos elevene. Funn 1 viste at undervisningsmetoden Thinking Classroom bidro til tidlig faglig engasjement hos syv av åtte grupper. Elementer som tidlig igangsettelse, tilfeldige grupper, vertikale flater og verbal gjennomgang hvor elevene sto oppreist, tilrettela for dette. En annen faktor som kan ha spilt inn på tidlig faglig engasjement er at det var et klart og tydelig mål med oppgaven. Funn 2 viste at en gruppe fikk til å jobbe selv om oppgaven virket for vanskelig. Dette funnet samsvarer ikke med Flytmodellen til Csikszentmihalyi (1990). Gruppen viste utholdenhet, som hindret de i å bikke over til frustrasjon som mest sannsynlig hadde resultert i at de hadde gitt opp. Funn 3 viste til varierende gruppesamarbeid. Jeg valgte å tolke dette som at det var usikkerhet blant elevene om hvilken rolle de skulle ta på seg i gruppearbeidet. Noen grupper fikk til et godt samarbeid, mens andre samarbeidet mindre godt. Jeg så grupperinger innad i gruppene, hvor to jobbet godt i lag. Her var det tendenser til gruppeflyt. Jeg så også at grupper på tre fikk til å arbeide selv om en elev var off-task store deler av tiden.

I denne masteroppgaven i matematikkdidaktikk har vi undersøkt i hvor stor grad nye lærebøker ivaretar tre sentrale kjerneelementer i Fagfornyelsen. Grunnen til at vi valgte å analysere lærebøker er basert på Valverde, Bianchi, Wolfe, Schmidt, & Houang (2002) sin fremvisning av hvordan lærebøker bygger en bro mellom den overordnede læreplanen og det som blir implementert i klasserommet. Rapporten til TIMSS sin internasjonale undersøkelse fra 2011 viste at 97% av norske skoleelever selv opplever at læreboken er grunnlaget for matematikkundervisningen (Mullis, Martin, Foy, & Arora, 2012). På bakgrunn av dette har vi formulert følgende problemstilling og forskningsspørsmål: I hvor stor grad er nye læreverk i tråd med Fagfornyelsen 2020? 1) I hvor stor grad ivaretar nye læreverk kjerneelementet utforskning og problemløsning? 2) I hvor stor grad ivaretar nye læreverk kjerneelementet modellering og anvendelse? 3) I hvor stor grad ivaretar nye læreverk kjerneelementet resonering og argumentasjon? For å kunne svare på dette analyserte vi tre lærebøker fra de største forlagene i Norge: Matematikk 5, Multi 5 og Matemagisk 5. Vi brukte et konseptuelt rammeverk for å analysere oppgavene i lærebøkene. Vi la vekt på kognitive krav, kontekst/ikke kontekst, type svar, regnesteg og oppgavetype. Gjennom et pragmatisk kunnskapssyn valgte vi å bruke metoden mixed method. Tolkningen av oppgavene ble gjort kvalitativt i lys av rammeverket, mens funnene våre ble presentert kvantitativt. Funnene våre viser at kjerneelementet utforskning og problemløsning sammen med kjerneelementet resonering og argumentasjon blir i liten grad ivaretatt av alle lærebøkene vi har analysert. Kjerneelementet modellering og anvendelse blir ivaretatt i noe større grad. Analysen vår har tatt utgangpunkt i hvordan bøkene presenterer oppgaver og teori til elevene, ikke hvordan det blir tatt i bruk av lærere i klasserommet. Vi kan derfor ikke uttale oss om det totale læringsutbyttet bøkene gir til elevene.

Studien har til hensikt å undersøke hva som kjennetegner grunnskoleelevers motivasjon i matematikk. Mer spesifikt hvilke sammenhenger det kan være mellom motivasjon og faktorer som måloppnåelse, alder og kjønn. Studiens overordnede problemstilling er: Hva kjennetegner motivasjon hos elever i grunnskolen? Og studiens tre forskningsspørsmål er: I hvilken grad påvirker måloppnåelse motivasjon? I hvilken grad påvirker alder motivasjon? I hvilken grad påvirker kjønn motivasjon? Studien benytter en kvantitativ undersøkelse med et tverrsnittdesign for å belyse disse forskningsspørsmålene. Datamaterialet ble innhentet ved hjelp av spørreskjema/survey utviklet av SUM (Sammenheng gjennom Undersøkende Matematikkundervisning) som er et utviklingsprosjekt ved UiT. For å kunne besvare problemstillingen og forskningsspørsmålene ble det utarbeidet tre samlevariabler som skulle belyse ulike aspekter ved motivasjon; Interest enjoyment, Percieved competence, og Utility, for å kunne si noe om i hvilken grad det var en sammenheng mellom faktorene (måloppnåelse, alder og kjønn) og motivasjon til grunnskoleelever. Funnene fra min studie indikerer at det er sammenhenger mellom elevers motivasjon og faktorene måloppnåelse, alder og kjønn.

Kreativitet er en sentral kompetanse i fagfornyelsen som ble innført høsten 2020. Formålet med denne masteroppgaven er å få innblikk i elevenes kreative tenkning i matematikk. Dette undersøkes ved å se på konvergent og divergent tenkning, som er to aspekter av kreativitet. Det undersøkes også i hvilken grad disse samsvarer. I tillegg undersøkes det om det er en sammenheng mellom divergent tenkning og måloppnåelse, samt konvergent tenkning og måloppnåelse. Forskningsprosjektet er en kvantitativ studie, der det er utviklet en utforskende test som 374 elever fra 8 skoler i Troms har svart på. På testen har elevene svart på to konvergente oppgaver og tre divergente oppgaver. Dette er videre blitt analysert med korrelasjonsanalyser, effektstørrelser og ikke-parametriske tester. Resultatene i oppgaven indikerer at elevene gjennomsnittlig skårer lavt både på divergent og konvergent tenkning. De indikerer også at det er ulike elever som gjør det bra på divergente og konvergente oppgaver. Samtidig kan det se ut som at elevenes konvergente og divergente tenkning har innvirkning på elevenes måloppnåelse. Den lave skåren innenfor både divergent og konvergent tenkning kan tyde på at kreativitet ikke blir ivaretatt i så stor grad i klasserom i Norge.

Denne oppgaven er et resultat av en kvalitativ innholdsanalyse på undervisningsøkter karakterisert som undersøkende matematikkundervisning. Formålet med studien har vært å finne kjennetegn på hvordan lærere gjennomfører oppstarten av undersøkende matematikkundervisning, og hvordan elevene går i gang med utfordringen de blir gitt. Lærerens oppstart er referert til som iscenesettelse, og hvordan elevene forstår utfordringen og går i gang med den, er referert til som konseptualisering. Følgende problemstilling ligger til grunn for oppgaven: hva kjennetegner læreres iscenesettelse av undersøkende matematikkundervisning, og hvordan konseptualiserer elevene utfordringen de blir gitt? Studien er basert på seks undervisningsøkter fra mellomtrinn, ungdomsskole og videregående skole. Undervisningsøktene er utviklet av lærerne i samarbeid med andre lærere og veiledere fra forskningsprosjektet SUM (Sammenheng gjennom Undersøkende Matematikkundervisning). Datamaterialet består av videoopptak av undervisningsøktene i sin helhet, samt elevarbeidet ved hjelp av actionkamera. For å analysere datamaterialet har jeg benyttet meg av kvalitativ innholdsanalyse og konstant komparativ metode. Resultatet av analyseprosessen er en rekke kategorier som beskriver læreres iscenesettelse av undersøkende matematikkundervisning og elevenes konseptualisering av utfordringen de blir gitt. Blant studiens funn er kjennetegn på hvordan læreren 1) overdrar utfordringen til elevene 2) etablerer felles faglig språk med elevene om utfordringen, 3) etablerer didaktisk miljø for det undersøkende arbeidet, og til slutt 4) hvordan elevene konseptualiserer utfordringen de blir gitt. Kategoriene kan fungere som et hjelpemiddel når lærere skal planlegge undersøkende matematikkundervisning.

Tema for avhandlingen er motivasjon og oppfatninger om matematikkfaget og matematikkundervisning blant elever. Avhandlingen mål er å undersøke elevers motivasjon og oppfatninger gjennom en sammenligning av svarene til de enkelte elevene på et spørreskjema og i et intervju. Fokuset er på om svarene elevene gir i intervjuet kan utdype hva de har svart i spørreskjemaet.

Vår masteroppgave er en kvalitativ studie med formål å undersøke hvordan lærerens kommunikasjon med elevene kan påvirke elevaktiviteten i undersøkende undervisning. Gjennom det NFR-finansierte FoU-prosjektet SUM har vi samlet inn videomateriale fra lærerplanlagte undersøkende undervisning, der vi videre har gjennomført videoobservasjon av kommunikasjon mellom lærer-elev i tre utvalgte klasser. Konseptualisering av teori om matematisk kommunikasjon ble utgangspunkt for vår analyse og bearbeidelse av datamaterialet. Det konseptuelle rammeverket baserte seg på ulike samtalegrep læreren kan gjøre i den matematiske samtalen. Vi tolket lærerens atferd og hensikt med samtalen basert på de ulike samtalegrepene vi observerte i interaksjonssegmentene, som resulterte i syv kategorier:1) læreren forteller hvordan elevene skal utføre oppgaven, 2) læreren tydeliggjør matematiske sammenhenger for elevene, 3) læreren loser elevene mot riktig løsning, 4) læreren forsøker å sette seg inn i elevenes matematiske tanker, 5) læreren utfordrer elevenes matematiske tanker, 6) læreren deltar i det undersøkende arbeidet for å få elevene framover i prosessen og 7) læreren legger til rette for undersøkende arbeid. Videre analyse av de syv kategoriene førte til utviklingen av interaksjonsskalaen. Interaksjonsskalaen vår består av henholdsvis fem nivåer av interaksjoner: 1) fortellende, 2) losende, 3) orienterende og utfordrende, 4) deltakende og 5) tilretteleggende. Hvert nivå i skalaen vil svare til en stadig mer elevaktiv interaksjon og dermed mindre lærerstyrt, hvor tilretteleggende interaksjon vil ha høyest grad av elevaktivitet. I en undersøkende undervisning ser vi det er nødvendig å variere mellom ulike former for interaksjoner, da hver interaksjonskategori svarer til hvert sitt formål og hensikt.

Fra og med høsten 2020 vil det være et økt fokus på undersøkende matematikkundervisning i norsk skole på grunn av fagfornyelsen. Dette kommer tydelig frem i de nye læreplanene i matematikk. Formålet med denne studien er å få økt innsikt i hvordan man kan vurdere undersøkende matematikkproblemer, og med det få innsikt i elevenes utgangspunkt i forkant av fagfornyelsen. For å oppnå dette er det utviklet en test med undersøkende matematikkproblemer, som 376 elever fra 20 klasser i Troms har respondert på. Testen er vurdert etter elevenes konvergerende og divergerende tankegang, som er to aspekter ved kreativitet som inngår i undersøkende matematikk. Elevenes respons er analysert kvantitativt for å undersøke samsvar mellom de to tankegangene, hvilken grad måloppnåelsen blir predikert av responsen på testen og hvilken påvirkning elevenes matematiske kompetanse har på responsen på testen. Funnene i denne studien viser at elevene har svært ulike forutsetninger i forkant av fagfornyelsen, og at det er krevende og interessant å vurdere undersøkende matematikkproblemer. Resultatene indikerer at det er ulike elever som presterer høyt ved konvergerende og divergerende oppgaver og responsen predikerer måloppnåelsen svakt. Elevenes måloppnåelse i matematikk viser seg er en påvirkende faktor på responsen på testen, og dette kan kanskje ses i sammenheng med elevenes mestringsforventning og opplevde viktighet av testen. Det blir interessant å se om elevenes måloppnåelse blir bedre predikert av utforskningsoppgaver etter fagfornyelsen trer i kraft.

Bakgrunn for studien kom til høsten 2019 i forbindelse med fordypning i matematikkdidaktikk. Her fikk jeg bedre kjennskap til modellering og fagfornyelsen. Modellering og problemløsning har i tillegg vært et område innenfor matematikken som jeg har funnet interessant i lang tid. Basert på den nye fagfornyelsen og hvordan den skal implementeres formulerte jeg følgende problemstilling for min masteroppgave: Hvordan resonnerer elever som er vant til tradisjonell undervisning mellom seg når de arbeider med en modelleringsoppgave i grupper? For å besvare problemstillingen ble det formulert tre forskningsspørsmål. Teorikapittelet presenterer relevant teori knyttet til modellering, resonnering, bevis og kvalitet i undervisningen. Her kan elevenes handlinger innenfor modelleringsoppgaver, modelleringsmodeller og bevis trekkes fram. Videre defineres begrepene og de ulike definisjonene til teorien og knyttes opp mot min studie. Metodekapittelet presenterer studiens forskningsdesign, før utvalgsprosessen og datainnsamlingsprosedyren knyttet til observasjon med lydopptak og gruppeintervju presenteres. Videre beskriver jeg analyseprosessen og presentasjonen av datamaterialet. Videre vurderer jeg studiets kvalitet gjennom begrepene validitet og reliabilitet, samt etiske aspekter. Til slutt ser jeg på metodiske utfordringer ved studien. Resultatkapittelet er delt opp i tre hoveddeler: 4.1 Intervjuet, som ser på elevenes opplevelser med tema. 4.2 Elevenes handlinger i arbeid med en modelleringsoppgave. 4.3 Elevenes resonnementer sett i lys av bevis. Diskusjonskapittelet oppsummerer først oppgavens funn. Deretter drøftes resultatene til de tre forskningsspørsmålene. Kapittelet avsluttes med en oppsummering av problemstillingen. I avslutningen diskuterer jeg hva masterprosjektet har bidratt til i egen læring, samt veien videre.

Hensikten med studien er å få et innblikk i hvordan elever resonnerer og argumenterer i ulike nivåer av åpenhet i undersøkende matematikkundervisning. I denne studien har jeg besvart på følgende problemstilling: Hvordan resonnerer og argumenterer elever i videregående skole i undersøkende undervisning av ulike nivåer av åpenhet? Studien har en kvalitativ tilnærming og bygger på observasjonsnotater, lyd- og videoopptak i to ulike klasser ved en videregående skole. Utvalget består av ti elever, fordelt på to ulike undervisningsopplegg med ulike nivåer av åpenhet. Undervisningsopplegget påfølgende heltall kan karakteriseres som nivå 3 av undersøkelse, mens palindromer kan karakteriseres som nivå 5 av undersøkelse. I studien er det gjennomført en analyse av elevenes resonnering og argumentasjon ved bruk av Lithners (2008) rammeverk for resonnementsstrukturer og Balacheffs (1988) taksonomi av bevisstrategier. Videre ble de ulike resultatene sammenlignet, og det ble sett på likheter og ulikheter i elevenes resonnering og argumentasjon. Resultatene preges av naiv empirisme og lavt argumentasjonsnivå på tvers av undervisningsoppleggene. Grad av åpenhet i undervisningen, elevenes måloppnåelse og det matematiske innholdet i undervisningen er faktorer som kan påvirke elevenes resonnering og argumentasjon. Ut ifra resultatene kan man se at de ulike faktorene vil i liten grad påvirke resonnering og argumentasjonen til elevene.

I dette masterprosjektet har vi undersøkt hvordan et utvalg elever på mellomtrinnet resonnerer i et undersøkende undervisningsopplegg i geometri. Vår hensikt har vært å analysere elevenes tilnærming til oppgaven de møtte og identifisere geometriske tenkevaner i elevenes resonnementer. Bakgrunnen for studien er resultatene fra TIMSS som viser at norske elever presterer dårligere enn elever fra andre land i temaet geometri. Videre er det en økende interesse for undersøkende matematikkundervisning, både på forskningsfeltet og på skolepolitisk nivå med den nye læreplanen, samt at undersøkende matematikkundervisning skal legge til rette for resonnering. Dermed virker det interessant å undersøke hvordan elever på mellomtrinnet resonnerer i et undersøkende undervisningsopplegg i temaet geometri. For å undersøke dette har vi gjennomført en kvalitativ casestudie hvor vi har observert og filmet én undervisningsøkt i 7.klasse ved en skole i Tromsø kommune. Undervisningsopplegget hadde en tydelig trefasestruktur, først med en iscenesettelsesfase, deretter en fase med elevenes selvstendige arbeid og undersøkelse, og til slutt en oppsummeringsfase for refleksjon og faglig læring. På bakgrunn av denne tydelige trefasestrukturen, og ulik grad av abstraksjonsnivå i fasene, var elevenes resonnement forskjellig underveis i undervisningsopplegget. Den kvalitative, tematiske analysen av datamaterialet førte til fire kategorier for elevenes tilnærming i møte med oppgaven: (1) Prøve og feile, (2) Systematisk tilnærming, (3) Eksempel som utgangspunkt og (4) Visuell forklaring. Videre analyserte vi resonnementene for å identifisere geometriske tenkevaner definert av Driscoll et.al. (2007). De geometriske tenkevanene er: balancing exploration and reflection, reasoning with relationships, generalizing geometric ideas og investigating invariants. Alle fire tenkevanene Driscoll et al. beskriver ble identifisert gjennom undervisningsopplegget, men i ulik grad og på forskjellige måter, og svarer på hva som kjennetegner resonnementene. Funnene vi har kommet fram til er gjeldende for vårt utvalg og prosjekt. Et naturlig steg videre vil likevel være å undersøke om dette er gjeldene for et større utvalg. Videre om det fremkommer flere strategier og andre trender med tanke på geometriske tenkevaner, og i andre undersøkende undervisningsopplegg i geometri.

I mitt mastergradsprosjekt har jeg sett på hvordan elever opplever undersøkende oppgaver og tradisjonelle oppgaver på en skriftlig prøve. I 2020 innføres gradvis en ny læreplan i matematikk med større fokus på undersøking. Tradisjonelle oppgaver og undersøkende oppgaver stiller forskjellige kognitive krav, og det vil derfor være spennende å se hvordan elever opplever de forskjellige oppgavene. Studiet er av typen mixed methods, der den kvalitative delen er mest vektlagt. Jeg har en pragmatisk tilnærming, der jeg har benyttet meg av flere metoder og former for datainnsamlinger. I den kvantitative delen svarte elevene på et spørreskjema basert på en prøve jeg og læreren utformet. I den kvalitative delen valgte jeg ut fire elever basert på spørreskjemaet, der hensikten var å utdype svarene som kom frem i spørreskjemaet. Studien viser at elevers opplevelse av oppgavene i hovedsak går ut på vanskelighetsgrad og engasjement. Tre av elevene jeg intervjuet anså de tradisjonelle oppgavene som lett fordi de var vist på tavlen før og ofte inneholdt lik struktur. Det at oppgavene ofte var lik i strukturen krever at en bruker samme fremgangsmåte for å løse oppgavene, noe to av elevene anså som ensformig og kjedelig. En av elevene hoppet over de tradisjonelle oppgavene fordi eleven ifølge seg selv ikke kunne det. Elevene synes de undersøkende oppgavene var utfordrende, noe tre av elevene jeg intervjuet anså som gøy. Det at oppgavene stilte krav til å bruke egen kompetanse på en annen måte og tenke selv var utfordrende, noe de likte. En av elevene som synes de tradisjonelle oppgavene var lett mestret ikke de undersøkende oppgaven på grunn av lange setninger og mye informasjon.

Denne kvalitative masteroppgaven i matematikkdidaktikk har følgende problemstilling med tilhørende forskningsspørsmål: «Hvilke strategier og undervisningsformer mener matematikklærere det er viktig å vektlegge i arbeidet med algebra på 8. trinn?», 1) «Hvilke tanker har matematikklæreren omkring tilpasset opplæring innenfor algebra på 8. trinn?», 2) «Hvilke erfaringer med bruk av læreverk har lærere i arbeidet med algebra på 8. trinn?», 3) «I hvilken grad vektlegger lærerne kollektive versus individuelle undervisningsformer og læringsstrategier i algebraundervisninga på 8. trinn?». Funnene analyseres og diskuteres hver for seg, før jeg ser på noen utfordringer. Et mål for studien er at praksisen som beskrives kan gi grobunn for en naturalistisk generalisering andre kan ta i bruk. Denne studien har relevans for matematikklærere som ønsker å utvikle egen praksis. Hovedfunn i studien viser at tilpasset opplæring er et sentralt poeng, og at hyppig kartlegging av elevenes kunnskap fremheves som viktig for å kunne tilpasse opplæringa til ulike elever. Det viser seg også at misoppfatninger i algebra må avdekkes og oppklares så tidlig som mulig. Videre pekes det på at lærebøker mangler kvaliteten som læreplanen etterspør innenfor algebra, og at de dermed på brukes med omhu. Til sist gjøres det et poeng av at variasjonen mellom ulike undervisningsformer, både individuelle og kollektive, er viktige for elevers utvikling i faget og da spesielt innenfor algebra.

I forslag til ny læreplan i matematikk er utforsking og problemløsing blitt et av kjerneelementene i faget. Andre kjerneelementer er modellering, resonnering, argumentasjon og kommunikasjon, noe som er sentralt i problemløsing. I dette forslaget er verbet «utforske» nå et av de mest brukte i kompetansemålene, og det kan ikke lenger være tvil om at problemløsing skal mer inn i undervisningen. Derfor er det viktig at lærerne vet hva problemløsing er, og for meg som lærerutdanner blir kunnskap om lærernes oppfatning om og bruk av problemløsning enda viktigere. Formålet med denne studien er å få bedre kunnskap om hvordan lærere oppfatter begrepet problemløsing, og på hvilken måte de bruker problemløsing i sin undervisning. Det er også et mål å finne ut hvilke oppgavetyper lærerne forbinder med problemløsing, og hva lærerne finner spesielt utfordrende ved å jobbe med problemløsing. Analysen av viste at lærerne har svært ulik erfaring med problemløsing, og derfor ulik oppfatning av hva problemløsing er. Det kom likevel fram at de fleste lærerne har en klar oppfatning av at en problemløsingoppgave skiller seg fra en «vanlig» oppgave, og at når elevene jobber med et problem må elevene selv finne en framgangsmåte eller metode. De største utfordringene lærerne forteller om, er mangel på tid, det å få alle elevene med, og det å finne den gode oppgaven.

Denne masteroppgaven har som hensikt å undersøke hva matematikklærere på ungdomsskolen mener er hensiktsmessig undervisning i emnet ligninger. Vi har undersøkt læreres oppfatninger av matematikk og ligninger, og deres oppfatninger av læring og undervisning i matematikk og ligninger. Vi svarer på vår problemstilling ved å se sammenhenger mellom disse oppfatningene. Denne studien tar utgangspunkt i en konstruktivistisk kunnskapssyn, og vi har benyttet oss av generisk kvalitativ metode. Datainnsamlingen ble gjort ved hjelp av semistrukturerte intervju av seks matematikklærere på ungdomsskolen. Videre ble dataene transkribert og kodet, og det ble gjort en tematisk analyse av dataene for å finne ulike funn. Gjennom analysen og drøftingen har vi funnet ut at det er sammenheng mellom våre informanters oppfatning av matematikk og ligninger, og deres undervisning. Vi har også funnet ut at de fleste lærerne i vår studie mener at en undervisning som fremmer konseptuell forståelse er mest hensiktsmessig i undervisningen i emnet ligninger.

I mitt mastergradsprosjekt har jeg sammenliknet undervisningsformene direkte instruksjon og undersøkende undervisning, som ofte anses som to motsetninger. Studien hadde et mixed methods design, hvor jeg la størst vekt på den kvantitative delen. Den kvantitative undersøkelsen bestod av en førtest, et toukers undervisningsopplegg i likninger og en ettertest. Den kvalitative undersøkelsen innebar å undersøke hvordan elevene opplevde undervisningen og kartlegging av ikke-faglige aspekter. Den kvantitative undersøkelsen fremviste signifikante forskjeller (p=0,045) med moderat effekt (0,51 d) mellom de to gruppenes endring av likningskompetanse, i favør til den undersøkende gruppen. Dette indikerer at undersøkende undervisning kan påvirke elevers læring i emnet likninger i større grad enn direkte instruksjon. De kvalitative undersøkelsene indikerer at den undersøkende gruppen sammenliknet med den direkte gruppen hadde en mer positiv opplevelse av undervisningen og et mer positivt syn på matematikk. Funnene indikerer likeledes at den direkte gruppen sammenliknet med den undersøkende gruppen hadde en mer negativ opplevelse av undervisningen og et mer negativt syn på matematikk. Det var imidlertid vanskelig å si hvorvidt elevenes syn på matematikk hadde endret seg i løpet av studien, men det kan ha blitt forsterket. Funnene indikerer følgelig en sammenheng innad i hver av gruppene mellom opplevelse av undervisningen i studien og syn på matematikk. Sett i lys av resultatet på t-testen fremstår det videre som at det finnes en forbindelse mellom disse (syn og opplevelse) og forskjellene mellom gruppenes endringsskår målt via t-testen. På denne måten kan undervisningsformene påvirke elevers læring i emnet likninger, og dersom undervisningsformene vedvarer kan de potensielt påvirke fremtidig læring. Generelt utgjorde ikke-faglige aspektene en svak alternativ forklaring på elevers læring i emnet likninger, men at terminkarakter i matematikk kan ha hatt en effekt. De kvantitative og kvalitative funnene indikerer samlet at undervisningsform påvirket elevers læring i emnet likninger ved å gi ulike muligheter for å lære. I praksis medfører dette at lærere bør ha et bevisst forhold til undervisningsform.

I denne masteroppgaven i matematikkdidaktikk undersøker vi de kognitive utfordringene i oppgavene i to norske lærebokserier for ungdomsskolen. Norske matematikklærere benytter seg i stor grad av læreboka i undervisningen (Mullis, Martin, Foy & Arora, 2012), samt at en rekke studier hevder at det er læreboka og oppgavene i dem som i stor grad legger til rette for hva elevene lærer seg (Fan, Miao & Zhu, 2013; Hiebert m.fl., 1997; Hiebert & Wearne, 1997; Pepin & Haggarty, 2007; Robitaille & Travers, 1992). På bakgrunn av dette ønsker vi å undersøke denne problemstillingen: I hvilken grad får elevene kognitive utfordringer gjennom oppgavene som gis i de to mest brukte lærebøkene på ungdomskolen i Norge? 1. Hvilken grad av kognitive nivåkrav krever oppgavene? 2. Hvilke typer svar krever oppgavene? For å svare på denne problemstillingen har vi gjennomført en mixed methods studie. Analysen er delt inn i en horisontal del og en vertikal del. Den horisontale analysen har gitt oss oversikt over bakgrunnsinformasjonen og en generell oversikt over læreverkene vi har benyttet oss av. Denne analysen har blant annet gitt oss grunnlaget for å dele oppgavene inn i ulike tema. Den vertikale analysen gikk mer i dybden. Her benyttet vi oss av to ulike tilnærminger, en kvantitativ og en kvalitativ del. I den kvantitative analysen kodet vi oppgaver i forhold til vårt konseptuelle rammeverk. I tillegg gjennomførte vi en kvalitativ tilleggsanalyse av et utvalg av lærebøkenes grubleoppgaver. Den kvantitative analysen av oppgavene har hovedtyngden i denne masteroppgaven, mens hensikten med den kvalitative tilleggsanalysen var å ytterligere belyse elementer som vårt konseptuelle rammeverk ikke fanget opp. Funnene våre viser at oppgavene i begge lærebokseriene i stor grad er lavere kognitivt krevende. Særlig Faktor, men også Maximum gir elevene få muligheter til å møte på kognitivt utfordrende oppgaver. Oppgaver med lavere kognitive nivåkrav gir elevene minimal mulighet for å møte på kognitive utfordringer som igjen fører til svakere utvikling av matematisk kompetanse. Flesteparten av oppgavene vi har kategorisert krever kun at elevene gir et svar, i stedet for en forklaring eller en begrunnelse. I og med at en så stor andel av oppgavene kun krever et svar mener vi dette begrenser de kognitive utfordringene i oppgavene.

Denne masteroppgaven har problemstillingen: På hvilken måte er det sammenheng mellom læreres oppfatninger av undersøkende matematikkundervisning i lærerutdanningen og hvordan de bruker undersøkende matematikkundervisning i sin matematikkundervisning? Jeg har avgrenset problemstillingen min til å gjelde lærere som er utdannet i løpet av de to første kullene i den nye lærerutdanningen ved UiT og som har matematikk som fag 1 eller 2. Der fokuset i oppgaven er å finne ut i hvilken grad nyutdannede lærere tar med seg sine erfaringer med undersøkende matematikkundervisning fra lærerutdanningen med inn i sin egen undervisning, med at jeg har sett på hvilke oppfatninger de har av undersøkende matematikkundervisning i fra lærerutdanningen og hvordan de underviser i matematikk nå. Metoden for innsamling av data jeg har brukt er kvalitativt forskningsintervju, der jeg har intervjuet seks nyutdannede lærere. I analyseprosessen har jeg benyttet meg av en kombinasjon av personsentrert og tematisk analyse. Jeg har funnet ut at graden av hvor mye lærerne husker eller lærte om undersøkende matematikkundervisning i lærerutdanningen påvirker i hvilken grad de anvender undersøkende matematikkundervisning selv. I tillegg fant jeg ut at det er andre faktorer som påvirker bruken av undersøkende matematikkundervisning som tidspress, eksamenspress, lite erfaring, elevene, skolen man jobber på.

Denne mastergradsoppgaven er en komparative studie av tre norske lærebøker ved R1-matematikk. Bakgrunnen for oppgaven er hvordan de forskjellige lærebøkene velger å fremstille deres matematiske teori og deres oppgaver til elevene. Oppgaven begrenser seg til å se på områdene algebra og funksjoner. Problemstillingen er: "Hvilke forskjeller og likheter er det mellom tre ulike lærebøkers presentasjon av matematisk innhold og krav til elevene i emnene algebra og funksjoner for R1-matematikk?". Problemstillingen blir besvart ved å ta utgangspunkt i et konseptuelt rammeverk bestående av ulike rammeverk som på hver sin måte er med på å besvare problemstillingen. Oppgaven baserer seg på en concurrent mixed methods, noe som vil si at jeg har tatt i bruk både kvalitative og kvantitative data for å kunne gjøre analyser av problemstillingen. Ved å trekke fram noen av det viktigste ved oppgavens resultater, viste at lærebøkene hadde likheter og forskjeller. For forskjellene skilte Matematikk R1 seg ut ved å inneholde flest unike temaer, Sigma R1 hadde flest beviseksempler og eksempler knyttet til en dagligdagskontekst, Sinus R1 hadde flest tilfeller hvor teorien ble presentert med enten en deduktiv begrunnelse eller en empirisk begrunnelse. For lærebøkenes oppgaver hadde Sigma R1 og Sinus R1 den største andelen av deres oppgaver som kreativ resonnering for algebra, mens Matematikk R1 fulgte en motsatt tendens ved å ha sin største andel kreativ resonnering for funksjoner. Ved å knytte disse funnene mot Kilpatrick, Swafford og Findell (2001) sine fem matematiske kompetanser og elevenes mulighet for læring gjennom disse lærebøkene, fant jeg ut at lærebøkene vil ha ulike styrker og svakheter når det gjelder å gi elevene mulighet for å oppnå disse kompetansene. Noen lærebøker vil inneholde momenter som styrker muligheten for å oppnå en eller flere kompetanser, men de vil også inneholde momenter som påvirker disse mulighetene negativt igjen. Dette viser at måten de ulike lærebøkene velger å presentere deres matematiske innhold og hvilke krav de velger å gi elevene gjennom oppgavene deres, vil påvirke hvilke muligheter de gir for læring for elevene.

Denne masteroppgaven har tittelen Læreres begrunnelser for undervisning om ligninger. Hensikten med denne studien er å undersøke hva lærere mener det er viktig å fokus på når man underviser om ligninger. Problemstillingen til denne oppgaven er: «Hvordan begrunner lærere på ungdomstrinnet sine didaktiske valg i undervisning om ligninger?» Denne studien tar utgangspunkt i et konstruktivistisk kunnskapssyn, og har et generisk kvalitativt forskningsdesign. Datainnsamlingen ble gjort ved hjelp av semistrukturerte intervju av seks matematikklærere på ungdomstrinnet på ulike skoler i Norge. Videre har intervjuene blitt transkribert og kodet, og det er gjort en tematisk analyse av dataen for å se etter ulike funn. Gjennom analysen har jeg funnet ut at lærerne har stort fokus på at elevene skal oppnå forståelse som resultat av undervisningen. Lærernes begrunnelser er videre satt i sammenheng med teori som sier noe om hvilke kunnskaper man bør ha for å være en kyndig matematikklærer.

Denne masteroppgaven i matematikkdidaktikk har hatt som formål å finne ut i hvilken grad lærebøker i matematikk legger til rette for problemfylt aktivitet på 8. trinn. For å svare på dette utledet jeg en teoridel omhandlende problemfylt aktivitet i sammenheng med DNR-basert undervisning og spesielt intellektuelt behov. Deretter bygde jeg opp et konseptuelt rammeverk for analyse. Spesielt sentral ble Fuller, Rabin, & Harels (2011) fire punkter for problemfylt undervisning gjennom intellektuelt behov. Gjennom lærebokanalysen hadde jeg et pragmatisk kunnskapssyn og anvendte et mixed methods design på et utvalg bestående av de tre mest brukte lærebøkene i matematikk på 8. trinn; Maximum 8, Faktor 8 og Nummer 8. Til slutt satt jeg igjen med statistikk som viste at 15 % av oppgavene i bøkene var problemfylte oppgaver i min forstand. Andelen i henholdsvis Nummer, Maximum og Faktor var 17,4 %, 14,8 % og 8,9 %, noe som viser til en ganske stor forskjell, der Faktor skiller seg negativt ut. Selv om jeg ble positivt overrasket over helhetsinntrykket til Nummer, vil jeg påstå at alle bøkene kunne hatt større fokus på problemfylt aktivitet for å underbygge elevenes relasjonelle forståelse, i stedet for instrumentelle forståelse (Skemp, 1976).

Oppgaven beskriver et undervisningsopplegg som ble gjort i emnet funksjoner på en ungdomsskole. Undersøkelsen ble gjennomført med hjelp fra seks 10.klasseelever. Studien bestod av to intervjuer og et undervisningseksperiment. Det ene intervjuet ble gjennomført før undervisningen for å etablere hvordan kunnskapsnivået til elevene var og det andre ble gjennomført i etterkant. Undervisningen fokuserte på hvordan bruk av problemløsning og teknologiske verktøy overfor elevene kunne fremme forståelse for funksjonsbegrepet. Niss sin kompetansemodell ble brukt som et rammeverk for å se på elevenes utvikling av forståelsen for funksjonsbegrepet og de mange underbegreper som følger med. For eksempel grafer, verditabell, funksjonsuttrykk, lineær funksjons, stigningstall, konstantledd m.m. Jeg ønsket i studien å se på endringer i elevenes forståelse av begrepet funksjoner, for deretter å diskutere hva i undervisningen som kan ha ført til at forståelsen er blitt slik. I oppgaven diskuterer jeg opp mot tidligere forskning som er gjort på området for å se hvordan resultatene i min studie er sammenlignet med andre. Deretter har jeg også diskutert rundt hva slags innvirkninger denne studien vil ha på min egen praksis og for skolematematikken generelt.

Denne undersøkelsen har tittelen: Problemløsningsmønstre. Hensikten med oppgaven er å bedre forståelsen av hvilke problemløsningsstrategier som kommer til syne når elever løser oppgaver med tallrekker innenfor algebrafeltet. Studien tar utgangspunkt i et konstruktivistisk kunnskapssyn, og har et kvalitativt forskningsdesign. Datainnsamlingen fant sted i to 9. klasser ved to skoler. Jeg har tatt i bruk oppgavebasert intervju som metode, og filmet de 10 elevene mens de har løst de ulike oppgavene. Videre transkriberte og kodet jeg datamaterialet, og ut i fra mitt konseptuelle rammeverk har jeg tolket det og sett etter mønster i valg av strategier. Jeg har presentert de ulike strategiene som kommer frem av elevenes løsninger. Gjennom analysen fant jeg at elevene har ganske like strategivalg, for de to første oppgavene, mens de velger flere ulike måter å løse den tredje oppgaven. Av strategivalg for oppgavene er det se etter mønster som elevene benytter seg flest ganger av, som nok henger mye med oppgavenes tema: numeriske rekker og geometriske mønstre. Hvorfor elevene velger disse strategiene er interessant og en kan avdekke elevers syn på matematikkfaget i disse.

Vi har gjennomført et kvalitativt forskningsprosjekt med utgangspunkt i generisk kvalitativ forskningsstil, og gjennomført semistrukturerte intervjuer med fem matematikklærere som hadde erfaringer med bruk av nettressurser som Khan Academy og Campus Inkrement. Problemstillingen til forskningsprosjektet var ”Hvilke oppfatninger har lærere til arbeidsmåter som kombinerer bruk av Khan Academy og lignende nettressurser med tradisjonell undervisning i matematikk?” Vi har gjort funn der tre av lærerne har et kunnskapssyn som har overvekt av konseptuell orientasjon. To av lærerne har et kunnskapssyn som har en overvekt av prosedyrebasert orientasjon. Vi har gjort funn der alle lærerne hadde et læringssyn med overvekt på tradisjonell skolematematikk. Fire av fem lærere hadde erfaringer med Khan Academy, og har valgt å redusere bruken av nettressursen, og istedenfor tatt i bruk andre alternativer som Campus Inkrement og Faktor. Årsaken som oftest blir nevnt er utfordringer med det engelskspråklige innholdet på Khan Academy. Fire av fem lærere som ble intervjuet trekker fram at bruk av omvendt undervisning frigjør tid på skolen som kan brukes til oppgaveløsning og tettere oppfølging av elevene på skolen. To av lærerne trekker fram at bruk av omvendt undervisning har en utjevnende effekt på elevenes forutsetninger til å få læringsutbytte av leksearbeid. Tre av lærere trekker fram tekniske utfordringer som ustabil nettforbindelse, trege PCer og mangel på nettbrett. Slike tekniske utfordringer kan føre til at bruk av digitale verktøy som Geogebra velges bort til fordel for tradisjonell undervisning. Samtlige lærere har gitt et inntrykk av at de har en positiv holdning til bruk av nettressurser, og bruker nettressurser som Khan Academy og Campus Inkrement der de vurderer det som hensiktsmessig for undervisningen i matematikk.