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In der vorliegenden Arbeit wird eine Prozesskette entwickelt, mit deren Hilfe aerodynamische numerische Optimierungen eines Hochdruckverdichters unter Berücksichtigung mehrerer relevanter Betriebspunkte effizient durchgeführt werden können. Dazu werden zwei Parametriken erarbeitet und implementiert, um neben den konventionellen Beschaufelungsparametern auch die betriebspunktspezifische Stellung der Verstellstatoren und deren Verstellgesetz als freie Parameter berücksichtigen zu können. Um die für die Optimierung nötigen Sensitivitätsinformationen des 17 Schaufelgitter umfassenden Hochdruckverdichter effizient bestimmen zu können, wird auf das Adjungiertenverfahren zurückgegriffen. Dieses entkoppelt den Aufwand zur Bestimmung der Gradienteninformation von der Anzahl der freien Parameter nahezu. Der rechenintensive Teil der Prozesskette, die Strömungslösung und -auswertung, wird mit dem diskret adjungierten Strömungslöser adjointTRACE und dem Auswertewerkzeug adjointPOST durchgeführt. Die auf einem Fixpunkt-Ansatz beruhende Vorgehensweise zur Lösung der adjungierten Gleichung ermöglicht eine konsistente adjungierte Strömungslösung, deren Konvergenzrate derjenigen der primalen Strömungslösung entspricht. Die Validierung der Sensitivitätsinformationen, auf Basis der im Rahmen der Arbeit entwickelten Prozesskette, wird in einem Vergleich zum Ansatz der Finiten Differenzen erfolgreich durchgeführt. Mithilfe der validierten Prozesskette können erfolgreich Mehrpunktoptimierungen mit dem Ziel durchgeführt werden, den Pumpgrenzabstand an einem der betrachteten Betriebspunkte deutlich zu vergrößern. Die durch die neu implementierten Verstellgitterparametriken verbesserten Optimierungsergebnisse zeigen dabei deutlich den Einfluss und das Potential modifizierbarer Statorverstellwinkel im Auslegungsprozess. Die Durchlaufzeiten der durchgeführten Optimierungen können aufgrund der erarbeiteten Prozesskette um Faktor vier bis zehn verglichen zur konventionellen Vorgehensweisen reduziert werden. Die noch stärker verkürzten Rechenaufwände gemessen in CPU-Zeit belegen die Notwendigkeit der Verwendung des Adjungiertenverfahrens für aerodynamischen Optimierungsaufgaben mit mehreren hundert Parametern und wenigen Nebenbedingungen., In the present thesis a process chain is developed, which is capable of being efficiently used in aerodynamic numerical optimizations of an high pressure compressor with respect to several relevant load cases. Two parametrizations are developed and implemented to take the load case specific positions of variable stator vanes and their schedule into account. To efficiently determine the necessary sensitivity information of the 17-row high pressure compressor, the adjoint method is used. The adjoint method makes the computational costs to calculate the gradient information almost independent of the number of free variables. The most expensive part of the process chain, the flow solution and its postprocessing, are executed with the help of the discrete adjoint flow solver adjointTRACE and the postprocessing tool adjointPOST, respectively. The chosen fixed point approach for the solution of the adjoint equation offers a consistent adjoint flow solution, which convergence rate is that of the underlying primal solver. The validity of the sensitivity information, gathered with the help of the developed process chain, is executed in comparison to the method of finite differences. With the help of this validated process chain, multi-point optimizations with the aim of improving the surge margin at a distinct load case, can be accomplished. The new implemented variables on the variable stator vanes are shown to offer better optimization results and point out the influence and the potential of the modified vane angles in the design process. Throughput times of the accomplished optimizations can be reduced due to the adjoint method by factor four to ten compared to the conventional approach. The even more reduced CPUtimes prove the necessity of the adjoint method for aerodynamic optimizations with several hundred parameters and few constraints.

submitted by Dipl.-Ing. Simon Gerhard Hubmer, Bakk. Techn. Universität Linz, Dissertation, 2018

Model predictive control (MPC) is a modern control methodology that is based on the repetitive solution of an optimal control problem (OCP) at fixed time instances. The determined state of the system at the current sampling instance is used as initial value for the OCP and the computed control action is then injected to the plant. This procedure is repeated in the next sampling step where the OCP is resolved with the new state of the system. A model predictive controller provides a number of benefits compared to classic control methods. The desired control objective is formulated in a cost function while constraints are directly taken into account. Additionally, an MPC allows to control nonlinear and multivariable systems. However, the numerical solution of an optimal control problem requires in general a significant computational effort and hence limits the application of a model predictive controller. This is even more severe if an MPC is used to control fast dynamical systems with low sampling times. To this end, efficient algorithms, powerful hardware platforms or a combination of both have to be used to circumvent this difficulty. This thesis discusses an MPC scheme that is well-suited for controlling fast nonlinear dynamical systems in real-time. This goal is achieved by combining the efficient gradient method with a transformation technique to handle a particular class of constraints in a systematic way allowing to reformulate a constrained optimal control problem into an unconstrained counterpart to reduce the numerical burden. The related systematic and algorithmic conditions and properties are discussed in detail together with convergence and stability results. The performance of the approach is demonstrated in simulation and experimental studies.

Dipl.-Ing. Mag. Daniela Saxenhuber, Bakk.techn. Zusammenfassung in deutscher Sprache Universität Linz, Univ., Dissertation, 2016 OeBB

Die L��sung vieler Problemstellungen im naturwissenschaftlichen und technischen Bereich beruht auf Kenntnis eines Systems, das nur teilweise durch Beobachtungen erfasst werden kann. Typischerweise wird in solchen F��llen ein passendes Modell gew��hlt, das einem Satz von gemessenen Daten hinreichend gut angepasst werden kann. In manchen F��llen sind diese Daten sehr umfangreich und es kann auf entsprechend leistungsstarke numerische Mittel zur��ckgegriffen werden. In anderen F��llen, handelt es sich bei diesen Daten um einige wenige Str��me von Messwerten, die gleich nach ihrem eintreffen mit geringem Rechenaufwand verarbeitet werden m��ssen. Diese Arbeit besch��ftigt sich ausschlie��lich mit letzterer Situation und betrachtet speziell das Verhalten sowie die Verl��sslichkeit von Gradientenverfahren, sowie von Strukturen die mehrere von diesen kombinieren. Kapitel 3 widmet sich sogenannten asymmetrischen Algorithmen. Dies sind Gradientenverfahren, bei denen die Regressionsrichtung nicht wie sonst ��blich der Richtung des Eingangsvektors entspricht. In einem ersten Schritt wird gezeigt, dass die korrespondierende homogene Rekursion potentiell divergieren kann, da deren Koeffzientenmatrix einen Singul��rwert gr����er eins besitzt. Simulationsexperimente f��r eine der wichtigsten Teilklassen asymmetrischer Algorithmen, den Least-Mean-Squares (LMS) Algorithmus mit Matrixschrittweite, er��ffnen jedoch die Einsicht, dass diese Divergenz selbst unter widrigsten Umst��nden in einigen F��llen nicht zutage tritt. Eine anschlie��ende detaillierte Analyse dieses Ph��nomens basierend auf geometrischen Argumenten f��hrt zu der Erkenntnis, dass nur dann Divergenz auftreten kann, wenn sich die Eigenr��ume der Schrittweitenmatrix unaufh��rlich ver��ndern. Der zweite Teil dieses Kapitels pr��sentiert zwei Methoden, mit deren Hilfe konkrete Algorithmen auf die Existenz eines solchen Verhaltens getestet werden k��nnen. Beide Methoden erlauben die Generierung ung��nstiger Anregungsfolgen, wobei in einem Fall analytische Mittel, im anderen Fall eine numerische Suche f��r deren Erzeugung eingesetzt wird. Das vierte Kapitel konzentriert sich auf konventionelle Gradientenverfahren, hier auch als symmetrische Algorithmen bezeichnet. Es wird allerdings nicht nur ein solcher Algorithmus isoliert betrachtet, sondern eine spezielle Struktur, die mehrere von diesen kombiniert, indem deren individuelle a priori Fehler gegenseitig linear und ohne Ged��chtnis interferieren. F��r diese Struktur werden einerseits Bedingungen f��r l2-Stabilit��t hergeleitet, basierend auf der L��sung von Systemen linearer Ungleichungen in Kombination mit der Theorie zu M-Matrizen. Andererseits erfolgt eine Analyse auf Basis der Inhalte von Kapitel 3. Mit Hilfe des Khatri-Rao Matrixprodukt lassen sich so kompakte Schranken angeben, die einen endlichen Grenzwert des Parameterfehlers garantieren. Schlie��lich wird der f��r die Praxis relevante Spezialfall behandelt, bei dem alle einzelnen Gradientenverfahren denselben Fehler benutzen um deren Parameter zu adaptieren. Es zeigt sich, dass das Verhalten einer solchen Struktur durch einen LMS Algorithmus mit Matrixschrittweite beschrieben werden kann, wodurch s��mtliche Erkenntnisse aus Kapitel 3 zur Anwendung gebracht werden k��nnen. Kapitel 5 wendet die zuvor entwickelte Theorie auf praktisch eingesetzte adaptive Systeme an. Dies erlaubt f��r das, in der digitalen Vorverzerrung von Leistungsverst��rkern eingesetzte, adaptive Wiener Modell, bestehend aus einem linearen Filter gefolgt von einer ged��chtnislosen Nichtlinearit��t, Bedingungen f��r l2-Stabilit��t und f��r einen begrenzten Parameterfehler anzugeben. ��quivalente Ergebnisse werden auch f��r den mehrkanaligen LMS Algorithmus mit gefiltertem Eingangssignal (MC-FXLMS), verwendet in der aktiven Rauschunterdr��ckung, hergeleitet. Abschlie��end wird ein k��nstliches neuronales Netz (ein mehrlagiges Perzeptron) betrachtet, das mittels Fehlerr��ckf��hrung trainiert wird. Das Resultat f��r ein solches Netz beliebiger Gr����e zeigt, dass Parameterkonvergenz kaum garantiert werden kann und wesentlich von der Qualit��t der Initialisierung abh��ngt., Nowadays, many disciplines in science and engineering deal with problems for which a solution relies on knowledge about the characteristics of one or more given systems that can only be ascertained based on restricted observations. This requires the fitting of an adequately chosen model, such that it "best" conforms to a set of measured data. Depending on the context, this fitting procedure may resort to a huge amount of recorded data and abundant numerical power, or contrarily, to only a few streams of samples, which have to be processed on the fly at low computational cost. This thesis, exclusively focuses on the latter scenario. It specifically studies unexpected behaviour and reliability of the widely spread and computationally highly efficient class of gradient type algorithms. Additionally, special attention is paid to systems that combine several of them. Chapter 3 is dedicated to so called asymmetric algorithms. These are gradient type algorithms that do not employ the (commonly used) unaltered input vector for regression. In a first step, it is shown that for such algorithms, the mapping matrix of the underlying homogeneous recursion has one singular value that is larger than one. This entails the risk of parameter divergence. Restricting to the most prominent subclass of asymmetric algorithms, the least-mean-squares (LMS) algorithm with matrix step-size, simulation experiments demonstrate that such divergence does not occur for all step-size matrices, even under worst case conditions. Motivated by this observation, the first part of this chapter dissects this phenomenon based on geometric arguments and comes to the novel insight that persistently changing eigenspaces of the step-size matrix are at the core of this worst case parameter divergence. In the second part, analytic as well as numeric methods are derived that allow to intentionally provoke this type of divergence, in order to assess specific algorithms. A combination of arbitrarily many symmetric algorithms, i.e., conventional LMS algorithms, is addressed in Chapter 4. It considers a structure of such algorithms that mutually interfere with each other via a linear memoryless coupling among their individual a priori errors. Conditions for l2-stability as well as boundedness of the parameter error are derived. The primer are obtained by the solution of a linear system of inequalities, resorting to the theory of M-matrices. The latter are compactly stated by means of the Khatri-Rao matrix product. Finally, a practically relevant case of coupling is analysed, where all of the individual adaptive schemes employ the same update error. This situation is found to be equivalent to an LMS algorithm with matrix step-size, making it accessible to the findings of Chapter 3. The such obtained theoretic apparatus is applied in Chapter 5 to types of adaptive systems that are encountered in real life. First, for an adaptive Wiener model in a configuration that is typically used in digital pre-distortion of microwave power amplifiers, consisting of a linear filter followed by a memoryless non-linearity, a condition for l2-stability and boundedness of its parameter error is identified. Resorting to the knowledge gained about asymmetric algorithms, this boundedness is then found to be extendible to less restrictive and practically more feasible constraints. Then, the multichannel filtered-x LMS is studied in context of active noise control, leading to sufficient bounds for l2-stability and boundedness of its parameter error. Finally, the theory of Chapters 3 and 4 is harnessed to confirm that parameter convergence of an arbitrarily sized multilayer perceptron trained by the backpropagation algorithm can barely be ensured and strongly depends on the quality of its parameter initialisation.

Riemann-Hilbert Probleme können als Werkzeug für die Analyse des asymptotischen Verhaltens von orthogonalen Polynomen verwendet werden. Diese Theorie wurde von Ken McLaughlin und Peter Miller in ihrer Arbeit "The dbar steepest descent method for orthogonal polynomials on the real line with varying weights" auf Maße mit endlicher Regularität verallgemeinert. In dieser Arbeit werden die Ergebnisse von McLaughlin und Miller detailliert diskutiert und es werden Integralabschätzungen bewiesen, die zu verbesserten Ergebnissen bezüglich der Konvergenzgeschwindigkeit führen.

In this work, we compared six global search heuristics and two scoring functions in the field of ligand-receptor docking. A new way for the gradient based minimization of a ligand whose position in space is defined by translation, orientation and a set of torsional flexible angles was implemented and thoroughly tested. The default local search method of a Lamarckian genetic algorithm was replaced by our novel gradient based approach and the new hybrid was compared to non-gradient global search heuristics. Finally, we present our docking program BALLDock, in which we incorporated our findings. In der vorliegenden Arbeit wurden sechs populationsbasierte Optmierungsheuristiken und zwei Scoring-Funktionen im Hinblick auf ihre Leistungsfähigkeit im Bereich Ligand-Rezeptor Docking miteinander verglichen. Parallel dazu wurde eine neuer Ansatz entwickelt, der die lokale, gradientenbasierte Optimierung partiell flexibler Moleküle, deren Position und Konformation durch Translation, Orientierung und eine Anzahl flexibler Bindungswinkel definiert ist, erlaubt. Danach wurde die gradientenfreie Methode zur lokalen Optimierung eines Lamarck genetischen Algorithmus durch das neuartige gradientbasierte Verfahren ersetzt und dessen Einfluss auf die Ergebnisse der globalen Suchheuristik analysiert. Abschließend wird das Dockingprogramm BALLDock vorgestellt, in das die neu gewonnenen Erkenntnisse einflossen.

Die kontinuierliche Weiterentwicklung und Verbesserung technischer Prozesse erfolgt heute auf der Basis stochastischer und deterministischer Optimierungsstrategien in Kombination mit der numerischen Simulation dieser Abläufe. Da die FE-Simulation von Umformvorgängen in der Regel sehr zeitintensiv ist, bietet sich für die Optimierung solcher Prozesse der Einsatz deterministischer Methoden an, da hier weniger Optimierungsschritte und somit auch weniger FE-Simulationen notwendig sind. Eine wichtige Anforderung an solche Optimierungsverfahren ist globale Konvergenz zu lokalen Minima, da die optimalen Parametersätze nicht immer näherungsweise bekannt sind. Die zwei wichtigsten Strategien zum Ausdehnen des beschränkten Konvergenzradius der natürlichen Optimierungsverfahren (newtonschrittbasierte Verfahren und Gradientenverfahren) sind die Line-Search-Strategie und die Trust-Region-Strategie. Die Grundlagen der Line-Search-Strategie werden aufgearbeitet und die wichtigsten Teilalgorithmen implementiert. Danach wird dieses Verfahren auf eine effiziente Kombination der Teilalgorithmen und Verfahrensparameter hin untersucht. Im Anschluss wird die Leistung eines Optimierungsverfahrens mit Line-Search-Strategie verglichen mit der eines ebenfalls implementierten Optimierungsverfahrens mit skalierter Trust-Region-Strategie. Die Tests werden nach Einfügen der implementierten Verfahren in das Programm SPC-Opt anhand der Lösung eines Quadratmittelproblems aus der Materialparameteridentifikation sowie der Formoptimierung eines Umformwerkzeugs vorgenommen.:1 Einleitung 7 2 Verfahren zur unrestringierten Optimierung 9 2.1 Vorbemerkungen 9 2.2 Der Schrittvektor sk 10 2.3 Natürliche Schrittweite und Konvergenz der Verfahren 11 2.4 Richtung des steilsten Abstiegs 12 2.5 Newtonschrittbasierte Verfahren 13 2.5.1 Newton-Verfahren 15 2.5.2 Quasi-Newton-Verfahren der Broyden-Klasse 15 2.5.3 Der BFGS-Auffrisch-Algorithmus 18 2.5.4 Die SR1-Auffrisch-Formel 19 2.5.5 Die DFP-Auffrisch-Formel 20 2.5.6 Gauß-Newton-Verfahren 20 2.6 Erzwingen der Bedingung der positiven Definitheit von Gk 21 3 Übersicht über die Verfahren zum Stabilisieren der natürlichen Schrittweiten 24 3.1 Das Prinzip der Line-Search-Verfahren 24 3.2 Das Prinzip der Trust-Region-Verfahren 26 3.3 Vergleich der Trust-Region- und der Line-Search-Strategien 27 4 Line-Search-Strategien 30 4.1 Vorbemerkungen 30 4.2 Ein prinzipieller Line-Search-Algorithmus 33 5 Die Akzeptanzkriterien für die Line-Search-Strategien 36 5.1 Die exakte Schrittweite 37 5.2 Das Armijo-Kriterium, ein Abstiegskriterium 39 5.2.1 Das klassische Armijo-Kriterium 39 5.2.2 Armijo-Kriterium mit unterer Schranke fflo > 0 40 5.3 Die Goldstein-Kriterien 42 5.4 Die Wolfe-Kriterien 44 5.4.1 Die einfachen Wolfe-Kriterien 44 5.4.2 Die starken Wolfe-Kriterien 46 5.5 Näherungsweiser Line-Search basierend auf Armijo, ff-Methode 47 6 Ermittlung der nächsten Testschrittweite ffj+1 49 6.1 Die Startschrittweite ffj=1 51 6.2 Verfahren mit konstanten Faktoren 52 6.3 Verfahren mit konstanten Summanden 53 6.4 Verfahren mit quadratischen Polynomen 54 6.5 Verfahren mit kubischen Polynomen 56 6.6 Sektionssuche mit goldenem Schnitt 58 7 Absicherung und Abbruchbedingungen des Line-Search-Verfahrens 60 7.1 Die drei Konvergenzpunkte eines Line-Search-Verfahrens 60 7.1.1 Lokales Minimum in f 60 7.1.2 Algorithmus konvergiert gegen −1 61 7.1.3 Der Winkel zwischen sk und −rfk wird 90° 61 7.2 Weitere Absicherungen 62 7.2.1 Abstiegsrichtung 62 7.2.2 Der gradientenbezogene Schrittvektor 62 7.2.3 Zulässige Schrittweiten in der Extrapolationsphase 63 7.2.4 Intervalle bei der Interpolation 63 7.2.5 Maximale Durchlaufzahlen 63 8 Implementierung 65 8.1 Grundlegende Struktur der Implementierung 65 8.2 Anwendungsgebiete 67 8.2.1 Identifikation der Materialparameter der isotropen Verfestigung und der HILLschen Fließbedingung 67 8.2.2 Optimierung der Form eines Umformwerkzeugs 70 8.3 Test des Programms anhand der Identifikation der Parameter der isotropen Verfestigung und der HILLschen Fließbedingung 71 8.3.1 Einfluss der Funktionsumgebung 71 8.3.2 Test der Line-Search-Verfahrensparameter 74 8.3.3 Einfluss der Startwerte und der Qualität der Ableitungsermittlung 77 8.3.4 Test der Quasi-Newton-Strategien 77 8.3.5 Test der Trust-Region-Skalierung 79 8.3.6 Vergleich der Trust-Region- und der Line-Search-Strategie 80 8.3.7 Tests mit den HILLschen Anisotropieparametern und drei Vorwärtsrechnungen 81 9 Zusammenfassung und Ausblick 83 9.1 Zusammenfassung 83 9.2 Ausblick 84 Liste häufig verwendeter Formelzeichen 85 Literaturverzeichnis 88 A Zusätzliches zur Implementierung 90 A.1 Parametervorschläge für die Line-Search-Verfahren 90 A.2 Fehlercode-Liste 92 A.3 Programmablaufpläne 94 A.3.1 Ablauf in main.cpp 94 A.3.2 Ablauf in OneOptLoop 95 A.3.3 Ablauf während des Trust-Region-Verfahrens 96 A.3.4 Ablauf während des Line-Search-Verfahrens 97 A.4 Steuerung der Optimierungsoptionen über OptInputData.dat 98 A.4.1 Übergeordnete Algorithmen 98 A.4.1.1 Quasi-Newton-Verfahren 98 A.4.1.2 Absichern der positiven Definitheit von Gk 99 A.4.1.3 Auswahl des Optimierungsverfahrens, Auswahl der Schrittweitensteuerung 100 A.4.1.4 Abbruchbedingungen für die Lösungsfindung 100 A.4.1.5 Wahl des Startvektors x0 101 A.4.2 Die Trust-Region-Algorithmen 102 A.4.2.1 Wahl des Anfangsradius 0 des Vertrauensbereichs 102 A.4.2.2 Wahl des Skalierungsverfahrens 102 A.4.2.3 Wahl des Startwertes l=0 für die Regularisierungsparameteriteration 103 A.4.2.4 Regularisierungsparameteriteration 103 A.4.2.5 Wahl des Verfahrens zum Auffrischen des Radius des Vertrauensbereichs 103 A.4.2.6 Bedingungen für einen akzeptablen Schritt 104 A.4.2.7 Absicherungen des Trust-Region-Verfahrens 104 A.4.3 Die Line-Search-Algorithmen 105 A.4.3.1 Die Akzeptanzkriterien 105 A.4.3.2 Die Verfahren zur Extrapolation 105 A.4.3.3 Die Verfahren zur Interpolation 106 A.4.3.4 Verfahren zur Wahl von ffj=2 106 A.4.3.5 Absicherung des Line-Search-Verfahrens 106 B Testrechnungen 107 B.1 Ausgewählte Versuchsreihen 107 B.2 Bilder der Funktionsumgebung der Materialparameteridentifikation 109 B.3 Beschreibung der digitalen Anlagen 112 Eidesstattliche Erklärung und Aufgabenstellung 113

This paper proposes new iterative methods for the efficient computation of the smallest eigenvalue of symmetric nonlinear matrix eigenvalue problems of large order with a monotone dependence on the spectral parameter. Monotone nonlinear eigenvalue problems for differential equations have important applications in mechanics and physics. The discretization of these eigenvalue problems leads to nonlinear eigenvalue problems with very large sparse ill-conditioned matrices monotonically depending on the spectral parameter. To compute the smallest eigenvalue of large-scale matrix nonlinear eigenvalue problems, we suggest preconditioned iterative methods: preconditioned simple iteration method, preconditioned steepest descent method, and preconditioned conjugate gradient method. These methods use only matrix–vector multiplications, preconditioner-vector multiplications, linear operations with vectors, and inner products of vectors. We investigate the convergence and derive grid-independent error estimates for these methods. Numerical experiments demonstrate the practical effectiveness of the proposed methods for a model problem.