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En este trabajo se presentan diferentes modelos epidemiológicos de tipo SIR utilizados en el estudio de la propagación de enfermedades infecciosas. Se analizan las circunstancias particulares de cada modelo, los factores que tiene en cuenta y las situaciones en las que su empleo es adecuado. Asismismo, se estudian las ecuaciones diferenciales de cada modelo y la estabilidad de las órbitas resultantes. Finalmente, se llevan a cabo simulaciones a partir de los datos de la pandemia de COVID-19 mediante procedimientos de integración numérica. In this work are presented different SIR type epidemiological models utilized in the study of the spreading of infectious diseases. Particular circunstances of each model, factors taken into account and situations where its employ is adequate are analized. Likewise, differential equations of each model and the stabiity of the resultant orbits are studied. Finally, simulations based on the COVID-19 pandemic data are carried out by numerical integration procedures.

Este trabajo está dedicado al estudio de métodos lineales multipaso, siguiendo la línea que presenta Ernst Hairer y coautores en dos sus textos clásicos ”Solving Ordinary Differential Equations”Nonstiff and Stiff problems editados por Springer y que han sido ampliamente citados en la comunidad científica del análisis numérico de ecuaciones diferenciales. Se iniciará comentando algunos métodos clásicos desarrollados históricamente (Adams Bashforth, Adams Moulton, Nystrom, etc), y se continuará en los siguientes capítulos con los métodos lineales multipaso mas generales, centrándose en el estudio del orden, la estabilidad y las propiedades de convergencia. Se comentarán y demostrarán importantes resultados, así como dos de los Teoremas establecidos a lo largo del siglo XX por el gran matemático sueco Germund Dahlquist, los cuales han desempeñado un papel clave en el estudio de la estabilidad y convergencia de los métodos lineales multipaso. This paper is dedicated to the study of linear multistep methods by following the line presented by Ernst Hairer and coauthors in his classical books ”Solving ordinary differential equations” non-stiff and stiff problems, edited by Springer. The textbooks have been widely quoted and constitute a cornerstone in the numerical analysis community. Our work will start with some classical multistep methods in the historical order they were developed by Adams Bashforth, Adams Moulton, Nystrom, etc. We will continue in the following chapters with general multistep methods focusing on the study of order, stability and convergence properties. Important results will be discussed and demonstrated, as well as two of the theorems established throughout the 20th century by the great mathematician Germund Dahlquist, which play a crucial role in the study of stability and convergence of linear multistep methods.

En esta tesis se lleva a cabo un tratamiento numérico y teórico de diversos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Tras un primer capítulo carácter introductorio en el que se dan a conocer al lector los aspectos fundamentales que serán tratados en los capítulos siguientes, estudiamos en primer lugar los sistemas diferenciales con equilibrios semiestables que poseen una variedad centro unidimensional. De esta manera se analiza en el capítulo segundo de la memoria la estabilidad incondicional de los métodos y se prueba que en la práctica el método de Euler implícito es el único que posee tal propiedad. Para recuperar estabilidad para muchos métodos de tipo Runge-Kutta implícito, así como para métodos de Rosenbrock, se consideran en los capítulos tercero y cuarto integraciones sobre redes temporales para las que las razones entre tamaños de pasos consecutivos están acostadas por alguna constante mayor que uno. Así, en tales capítulos se demuestra que la A-estabilidad fuente de los métodos es una condición suficiente para alcanzar integraciones estables en entornos de los equilibrios semiestables. En añadidura, la experimentación numérica llevada a cabo refleja que la A-estabilidad fuerte de los Métodos Lineales Generales aplicados a problemas estrictamente disipativos en intervalos temporales semi-infinitos. Concretamente se obtienen resultados de contractividad y convergencia que generalizan resultados clásicos conocidos para la familia de métodos de tipo Runge-Kutta. Esta tesis concluye en el capítulo sexto, en el que se estudia la conservación de invariantes por medio de métodos Runge-Kutta explícitos