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El libro Programación del método de los elementos finitos aplicado al análisis estático de sólidos está dirigido a estudiantes de pregrado y posgrado en Ingeniería Civil e Ingeniería Mecánica, interesados en el campo de la mecánica computacional de sólidos. Este libro pretende contribuir al proceso de aprendizaje del método de los elementos finitos para cuerpos sólidos, a través de tres estrategias: a) la presentación resumida de los conceptos del modelo numérico, b) la descripción detallada del proceso de análisis y su implementación en un lenguaje de programación interpretado, y c) la preparación de ejemplos de aplicación mediante la construcción de la malla de elementos finitos, así como la representación gráfica de sus resultados. El problema planteado y resuelto en el libro consiste en obtener las componentes del desplazamiento, la deformación y el esfuerzo en cada punto material de un sólido sometido a acciones externas estáticas (como desplazamiento impuesto, carga puntual, presión y peso propio). Se considera que los materiales que conforman el sólido, cumpliendo la Ley de Hooke, exhiben un comportamiento elástico, lineal e isotrópico. Asimismo, la relación entre las componentes de deformación y desplazamiento está definida por la teoría de deformación infinitesimal. El problema se formula e implementa de acuerdo con el método de los elementos finitos sobre un espacio tridimensional. De igual forma, este se resuelve de forma simplificada en dominios unidimensionales y bidimensionales. Con las herramientas brindadas por este libro, el lector podría: entrenarse en la generación de mallas de elementos finitos para problemas bidimensionales y tridimensionales mediante el programa gmsh; prepararse para representar gráficamente los resultados de cada simulación utilizando el mismo programa; e incluso, entrenarse en el uso del programa gid para resolver problemas mecánicos bidimensionales. Introducción xix 1 Formulación del problema mecánico elástico lineal unidimensional 1.1 Barras sometidas a fuerza axial 1.1.1 Desplazamiento y funciones de forma de un elemento finito 1.1.1.1 Elemento unidimensional lineal de continuidad C0 1.1.1.2 Elemento unidimensional cuadrático de continuidad C0 4 1.1.2 Componentes de deformación infinitesimal y matriz de opera- dores diferenciales aplicados a las funciones de forma de un elemento 1.1.2.1 Elemento unidimensional lineal de continuidad C0 1.1.2.2 Elemento unidimensional cuadrático de continuidad C0 6 1.1.3 Esfuerzo normal y fuerza axial 1.1.4 Principio de los trabajos virtuales 1.1.5 Matriz de rigidez y vector de fuerzas equivalentes en el elemento finito 1.1.5.1 Elemento unidimensional lineal de continuidad C0 1.1.5.2 Elemento unidimensional cuadrático de continuidad C0 1.1.6 Matriz de rigidez y vector de fuerzas equivalentes en el sólido ii Programación del MEF aplicado al análisis mecánico estático de sólidos 1.1.7 Vector de desplazamientos nodales en el sólido 1.1.8 Vector de fuerzas en el sólido 1.1.9 Desplazamiento, deformación, esfuerzo y fuerza axial en el interior de cada elemento 1.1.10 Resumen de resultados obtenidos 1.2 Vigas sometidas a flexión 1.2.1 Elemento de viga y su matriz de funciones de forma 1.2.2 Matriz de operadores diferenciales aplicados a las funciones de forma de un elemento de viga 1.2.3 Matriz de rigidez y vector de fuerzas equivalentes del elemento finito unidimensional de viga 1.2.4 Tabla de conectividades, tablas de numeración de grados de libertad por nudo y por elemento 1.2.5 Matriz de rigidez y vector de fuerzas equivalentes en el sólido 1.2.6 Vector de desplazamientos nodales y fuerzas totales en el sólido 1.2.7 Vector de fuerzas internas en los nudos de cada elemento 1.2.8 Resumen de resultados obtenido 2 Formulación del problema mecánico elástico lineal bidimensional 2.1 Formulación general en el interior de un elemento finito 2.1.1 Desplazamiento y funciones de forma de un elemento finito 2.1.2 Componentes de deformación infinitesimal 2.1.3 Matriz de operadores diferenciales aplicados a las funciones de forma de un elemento 2.1.4 Componentes de esfuerzo y matriz constitutiva elástica 2.1.5 Esfuerzos principales 2.1.6 Criterio de fallo del material de Von Mises 2.1.7 Deformaciones principales 2.2 Formulación general en la malla de elementos finitos 2.2.1 Principio de los trabajos virtuales 2.2.2 Matriz de rigidez y vector de fuerzas equivalentes en el elemento finito 2.2.3 Matriz de rigidez y vector de fuerzas equivalentes en el sólido 2.2.4 Vector de desplazamientos nodales en el sólido 2.2.5 Vector de fuerzas en el sólido 2.2.6 Componentes de desplazamiento, de deformación y de esfuerzo en el interior de cada elemento 2.2.7 Resumen de resultados obtenido 2.3 Formulación del elemento triangular lineal 2.3.1 Matriz de funciones de forma 2.3.2 Matriz de operadores diferenciales aplicados a las funciones de forma 2.3.3 Matriz de rigidez 2.3.4 Vector de fuerzas equivalentes a la acción de una presión uniforme en sistema coordenado global 2.3.5 Vector de fuerzas equivalentes a la acción de una presión uniforme normal y tangencial 2.3.6 Vector de fuerzas equivalentes a la acción de una presión hidrostática 2.3.7 Vector de fuerzas equivalentes a la acción del peso específico del material 2.4 Formulación del elemento cuadrilateral bilineal 2.4.1 Matriz de funciones de forma 2.4.2 Matriz de operadores diferenciales aplicados a las funciones de forma 2.4.3 Matriz de rigidez 2.4.4 Vector de fuerzas equivalentes a la acción de una presión uniforme en sistema coordenado global 2.4.5 Vector de fuerzas equivalentes a la acción de una presión uniforme normal y tangencial 2.4.6 Vector de fuerzas equivalentes a la acción de una presión hidrostática 2.4.7 Vector de fuerzas equivalentes a la acción del peso específico del material 2.5 Ejemplo demostrativo 2.5.1 Conectividades y grados de libertad de los elementos finitos 2.5.2 Matriz de rigidez de los elementos finitos y de la malla 2.5.3 Vector de fuerzas equivalentes a la acción del peso propio en los elementos finitos y en la malla 2.5.4 Vector de fuerzas equivalentes a la acción de presión en los elementos finitos y en la malla 2.5.5 Vector de fuerzas aplicadas directamente en los nudos de la malla 2.5.6 Vector de fuerzas totales en la malla 2.5.7 Vector y tabla de desplazamientos nodales en la malla 2.5.8 Vector y tabla de fuerzas totales en los nudos de la malla 2.5.9 Vector de desplazamientos nodales de cada elemento finito 2.5.10 Componentes de deformación y de esfuerzo en el interior de los elementos finitos 2.5.11 Componentes de deformación y de esfuerzo promedio en los nudos de la malla 3 Formulación del problema mecánico elástico lineal tridimensional 3.1 Campo del desplazamiento, de la deformación y del esfuerzo en un punto material 3.2 Esfuerzos principales y esfuerzo equivalente de Von Mises 3.3 Deformaciones principales 3.4 Desplazamiento y matriz de funciones de forma de un elemento tetraédrico lineal 3.5 Deformación, esfuerzo y matriz de derivadas de funciones de forma para un elemento tetraédrico lineal 3.6 Formulación general en la malla de elementos finitos y principio de los trabajos virtuales 3.7 Matriz de rigidez y vector de fuerzas equivalentes en un elemento finito 3.8 Matriz de rigidez y vectores de fuerzas equivalentes del elemento tetraédrico lineal 3.8.1 Matriz de rigidez 3.8.2 Vector de fuerzas equivalentes a la acción de una presión uniforme en sistema coordenado global 3.8.3 Vector de fuerzas equivalentes a la acción de una presión uniforme normal a una cara del elemento 3.8.4 Vector de fuerzas equivalentes a la acción de una presión hidrostática 3.8.5 Vector de fuerzas equivalentes a la acción del peso específico del material 3.9 Matriz de rigidez y vector de fuerzas equivalentes en el sólido 3.10 Vector de desplazamientos nodales en el sólido 3.11 Vector de fuerzas totales y reacciones en el sólido 3.12 Componentes de desplazamiento, deformación y de esfuerzo en el interior de cada elemento 3.13 Resumen de resultados obtenidos 4 Generalidades y estructura del programa PEFiCA 2.0 4.1 Antecedentes 4.2 Objetivo 4.3 Alcance 4.4 Características 4.5 Estructura general 4.6 Formatos de los archivos de entrada y de salida 4.7 Instalación del programa PEFiCA 2.0 5 Lenguaje y compilador GNU-Octave 5.1 Interfaz gráfica de usuario 5.1.1 Selección del directorio de trabajo 5.1.2 Archivos de entrada de datos tipo script 5.1.3 Edición de archivos de la función principal de las demás funciones propias 5.2 Límites del programa PEFiCA 2.0 compilado en GNU-Octave 5.3 Ejecución de la rutina principal del programa 5.3.1 Opciones para el análisis bidimensional 5.3.2 Opciones para el análisis tridimensional 6 Implementación de la solución del problema mecánico elástico lineal unidimensional 6.1 Archivo de entrada tipo script de GNU-Octave y variables de datos del programa 6.1.1 Parámetros generales del problema 6.1.2 Tabla de categorías 6.1.3 Tabla de conectividades y categorías de los elementos 6.1.4 Tabla de coordenadas de los nudos 6.1.5 Tabla de desplazamientos conocidos en los nudos 6.1.6 Tabla de fuerzas aplicadas en los nudos 6.1.7 Tabla de cargas distribuidas uniformemente en los elementos 6.2 Variables del proceso de cálculo 6.2.1 Variables escalares 6.2.2 Variables matriciales 6.3 Variables de resultados del programa 6.4 Rutina principal del programa PEFICA.m 6.4.1 Ubicación de archivos y lectura de datos de entrada 6.4.2 Grados de libertad de nudos y elementos 6.4.3 Matriz de rigidez de los elementos y de la malla 6.4.4 Vector de fuerzas equivalentes de los elementos y de la malla 6.4.5 Vector de fuerzas en los nudos de la malla 6.4.6 Vector y tabla de desplazamientos en los nudos de la malla 6.4.7 Vector y tabla de reacciones en los nudos de la malla 6.4.8 Resultados en el interior de cada elemento 6.4.8.1 Problema unidimensional de barras sometidas a fuerza axial 6.4.8.2 Problema unidimensional de barras sometidas a flexión 6.5 Funciones propias del programa 6.5.1 Función propia de la matriz de funciones de forma del elemento: NELEME 6.5.2 Función propia de la matriz de operadores diferenciales aplicados a las funciones de forma del elemento: BELEME 6.5.3 Función propia de la matriz de rigidez del elemento: KELEME 6.5.4 Función propia del vector de fuerzas equivalentes del elemento: FELEMD 6.5.5 Funciones propias de construcción de la tabla de grados de libertad por nudo y por elemento: NGLUCO y NGLELE 6.5.6 Funciones propias de organización de vectores y tablas de valores nodales: ORTAEX, ORTAVE y ORVETA 6.5.7 Función propia de extracción de vectores elementales: EXTRAV 6.5.8 Funciones propias de presentación de resultados: IMREAX, IMREFL y IMTIEM 6.5.9 Otras funciones propias 6.6 Ejemplos de aplicación de barras sometidas a fuerza axial 6.6.1 Barra doblemente empotrada con malla de tres elementos lineales 6.6.2 Barra doblemente empotrada con malla de diez elementos lineales 6.6.3 Barra doblemente empotrada con malla de 32 elementos lineales 6.6.4 Barra doblemente empotrada con malla de elementos cuadráticos 6.7 Ejemplos de aplicación de barras sometidas a flexión 6.7.1 Viga empotrada-articulada sometida a cargas transversal distribuida y puntual 6.7.2 Viga doblemente empotrada con sección transversal variable 7 Implementación de la solución del problema mecánico elástico lineal bidimensional 7.1 Archivo de entrada de datos para PEFiCA 2.0 7.1.1 Archivo de entrada tipo script de GNU-Octave 7.1.2 Archivo de entrada tipo mesh de GMSH 7.2 Variables de datos del programa 7.2.1 Parámetros generales del problema 7.2.2 Tabla de categorías 7.2.3 Tabla de conectividades y categorías de los elementos 7.2.4 Tabla de coordenadas de los nudos 7.2.5 Tabla de desplazamientos conocidos en los nudos 7.2.6 Tabla de fuerzas aplicadas en los nudos 7.2.7 Tabla de cargas distribuidas en los elementos 7.3 Variables del proceso de cálculo 7.3.1 Variables escalares 7.3.2 Variables matriciales 7.4 Variables de resultados del programa 7.5 Rutina principal del programa PEFICA.m 7.5.1 Ubicación de archivos y lectura de datos de entrada 7.5.2 Grados de libertad de nudos y elementos 7.5.3 Matriz de rigidez de los elementos y de la malla 7.5.4 Vector de fuerzas equivalentes a la acción del peso propio del material en los elementos y en la malla 7.5.5 Vector de fuerzas equivalentes a la acción de cargas distribuidas en los elementos y en la malla 7.5.6 Vector de fuerzas aplicadas directamente en los nudos de la malla y vector de fuerzas totales 7.5.7 Vector y tabla de desplazamientos en los nudos de la malla 7.5.8 Vector y tabla de fuerzas totales en los nudos de la malla 7.5.9 Vector y tabla de fuerzas aplicadas directamente en nudos y reacciones de la malla 7.5.10 Deformaciones y esfuerzos en el interior de cada elemento finito 7.5.11 Presentación de resultados 7.6 Formatos de las tablas de desplazamientos conocidos y fuerzas puntuales 7.7 Funciones propias del programa 7.7.1 Función de lectura de datos del programa GMSH: LEGMSH 7.7.2 Función de la matriz de funciones de forma del elemento: NELEME 7.7.3 Función de la matriz de operadores diferenciales aplicados a las funciones de forma del elemento: BELEME 7.7.4 Función de la matriz constitutiva elástica del material asociado al elemento: DELEME 7.7.5 Función propia de la matriz de rigidez del elemento: KELEME 7.7.6 Función propia del vector de fuerzas equivalentes a la acción del peso propio: FELEMC 7.7.7 Función propia del vector de fuerzas equivalentes a la acción de las presiones: FELEMS 7.7.8 Funciones propias de construcción de la tabla de grados de libertad por nudo y por elemento: NGLUCO y NGLELE 7.7.9 Funciones propias de organización de vectores y tablas de valores nodales: ORTAEX, ORTAVE y ORVETA 7.7.10 Función propia de extracción de vectores elementales: EXTRAV 7.7.11 Funciones propias de presentación de resultados: IMRESU, IMGIDR y IMGMSH 7.7.12 Otras funciones propias 7.8 Ejemplos de aplicación 7.8.1 Lámina sometida a carga distribuida y fuerza puntual longitudinal 7.8.1.1 Posproceso gráfico en GMSH 7.8.1.2 Posproceso gráfico en GiD y en ventana de comandos 7.8.2 Ménsula sometida a una carga distribuida transversal 7.8.2.1 Preproceso y posproceso gráfico en GiD 7.8.2.2 Posproceso gráfico en GMSH a partir del archivo .m 7.8.2.3 Preproceso y posproceso gráfico en GMSH 7.8.3 Lámina cuadrada con orificio sometida a presiones axiales 7.8.4 Aplicación del principio de Saint-Venant a una lámina con carga puntual 7.8.5 Puente romano de seis luces 7.8.6 Estructura de drenaje sometida a carga distribuida uniformemente 7.8.7 Presa hidráulica de sección constante 7.8.7.1 Resultados evaluados en el interior de los elementos 7.8.7.2 Resultados promedio en los nudos y suavizados 7.8.8 Suelo sometido a una carga vertical bajo una zapata de cimentación 8 Implementación de la solución del problema elástico lineal tridimensional 8.1 Archivo de entrada de datos para PEFiCA 2.0 8.1.1 Archivo de entrada tipo script de GNU-Octave 8.1.2 Archivo de entrada tipo mesh de GMSH 8.2 Variables de datos del programa 8.2.1 Parámetros generales del problema 8.2.2 Tabla de categorías 8.2.3 Tabla de conectividades y categorías de los elementos 8.2.4 Tabla de coordenadas de los nudos 8.2.5 Tabla de desplazamientos conocidos en los nudos 8.2.6 Tabla de fuerzas aplicadas en los nudos 8.2.7 Tabla de cargas distribuidas en los elementos 8.3 Variables del proceso de cálculo 8.3.1 Variables escalares 8.3.2 Variables matriciales 8.4 Variables de resultados del programa 8.5 Rutina principal del programa PEFICA.m 8.5.1 Ubicación de archivos y lectura de datos de entrada 8.5.2 Grados de libertad de nudos y elementos 8.5.3 Matriz de rigidez de los elementos y de la malla 8.5.4 Vector de fuerzas equivalentes a la acción del peso propio del material en los elementos y en la malla 8.5.5 Vector de fuerzas equivalentes a la acción de cargas distribuidas en los elementos y en la malla 8.5.6 Vector de fuerzas aplicadas directamente en los nudos de la malla y vector de fuerzas totales 8.5.7 Vector y tabla de desplazamientos en los nudos de la malla 8.5.8 Vector y tabla de fuerzas totales en los nudos de la malla 8.5.9 Vector y tabla de fuerzas aplicadas directamente en nudos y reacciones de la malla 8.5.10 Deformaciones y esfuerzos en el interior de cada elemento finito 8.5.11 Presentación de resultados 8.6 Formatos de las tablas de desplazamientos conocidos y fuerzas puntuales 8.7 Funciones propias del programa 8.7.1 Función de lectura de datos del programa GMSH: LEGMSH 8.7.2 Función de la matriz de operadores diferenciales aplicados a las funciones de forma: BELEME 8.7.3 Función de la matriz de rigidez: KELEME 8.7.4 Función de la matriz constitutiva del material asociado a un elemento: DELEME 8.7.5 Función del vector de fuerzas equivalentes a la acción de una presión en un elemento: FELEMS 8.7.6 Función del vector de fuerzas equivalentes a la acción del peso propio de un elemento: FELEMC 8.7.7 Funciones propias de construcción de la tabla de grados de libertad por nudo y por elemento: NGLUCO y NGLELE 8.7.8 Funciones propias de organización de vectores y tablas de valores nodales: ORTAEX, ORTAVE y ORVETA 8.7.9 Función propia de extracción de vectores elementales: EXTRAV 8.7.10 Función propia de presentación de resultados: IMGMSH 8.7.11 Otras funciones propias 8.8 Ejemplos de aplicación 8.8.1 Bloque empotrado sometido a carga distribuida y puntual 8.8.1.1 Resultados evaluados en el interior de los elementos a partir de un archivo de datos script 8.8.1.2 Resultados promedio en los nudos y suavizados en la malla a partir de los archivos de datos de GMSH 8.8.2 Cabezal de pilotes sometido a una carga transmitida por una columna 8.8.3 Presa de bóveda sometida a la presión hidráulica y su peso propio 8.8.4 Ensayo de resistencia al arrancamiento del concreto 8.8.5 Ensayo de compresión de un cilindro de concreto como material formado por agregados y mortero 9 Programa GMSH en el preproceso 9.1 Procedimiento general 9.2 Deshacer en GMSH 9.3 Comenzar a utilizar GMSH 9.4 Opciones de presentación de las entidades geométricas 9.5 Construcción directa de entidades geométricas 9.5.1 Construcción de puntos 9.5.2 Construcción de líneas 9.5.3 Construcción de superficies 9.5.4 Construcción de volúmenes 9.6 Construcción de formas habituales con una instrucción 9.6.1 Construcción de un rectángulo 9.6.2 Construcción de un círculo 9.6.3 Construcción de un paralelepípedo regular 9.6.4 Construcción de un cilindro 9.6.5 Construcción de una esfera 9.7 Operaciones booleanas entre entidades geométricas 9.7.1 Resta entre superficies 9.7.2 Resta entre la entidad objeto y la herramienta, conservando la herramienta 9.7.3 Intersección entre superficies 9.7.4 Unión entre superficies mediante la operación Union 9.7.5 Unión entre todas las superficies mediante la operación Coherence 9.7.6 División de una superficie mediante una línea 9.7.7 Fusionar puntos y líneas superpuestas 9.7.8 Operaciones booleanas entre volúmenes 9.8 Construcción de entidades geométricas mediante extrusión de entidades de menor jerarquía 9.8.1 Construcción de volúmenes a partir de la extrusión por traslación de superficies 9.8.2 Construcción de volúmenes a partir de la extrusión por rotación de superficies 9.9 Preparación de entidades físicas en GMSH para el proceso en PEFiCA en problemas bidimensionales 9.9.1 Definición del espesor y las propiedades mecánicas del material 9.9.2 Definición de desplazamientos conocidos: condiciones de borde 9.9.3 Aplicación de cargas puntuales 9.9.4 Aplicación de cargas distribuidas 9.10 Preparación de entidades físicas en GMSH para el proceso en PEFiCA en problemas tridimensionales 9.10.1 Definición de las propiedades mecánicas del material 9.10.2 Definición de desplazamientos conocidos: condiciones de borde 9.10.3 Aplicación de cargas puntuales 9.10.4 Aplicación de cargas distribuidas 9.11 Generación de malla de elementos finitos en GMSH para problemas bidimensionales 9.11.1 Opciones de presentación de la malla 9.11.2 Generación de mallas no estructuradas uniformes con elementos triangulares lineales 9.11.2.1 Generación de malla utilizando Characteristic Length 9.11.2.2 Generación de malla utilizando un parámetro en la definición de los puntos 9.11.3 Apariencia y diferenciación de los elementos finitos en la malla generada 9.11.4 Generación de mallas no estructuradas con elementos triangulares lineales de diferente tamaño 9.11.4.1 Definición del tamaño del elemento finito sobre puntos 9.11.4.2 Definición del número de nudos sobre una línea 9.11.5 Generación de mallas estructuradas con elementos triangulares lineales 9.11.6 Generación de mallas de elementos cuadrilaterales bilineales 9.11.7 Generación de mallas de elementos triangulares lineales y cuadrilaterales bilineales 9.11.8 Tipos de elementos finitos generados por GMSH 9.12 Generación de malla de elementos finitos en GMSH para problemas tridimensionales 9.12.1 Generación de mallas uniformes no estructuradas con elementos tetraédricos lineales 9.12.2 Generación de mallas no uniformes y no estructuradas con elementos tetraédricos lineales 9.12.3 Generación de mallas no estructuradas con elementos tetraédricos lineales con una cara estructurada 9.12.4 Generación de mallas estructuradas con elementos tetraédricos lineales 9.13 Opciones de visibilidad de entidades específicas 9.13.1 Visualizar un elemento escogiéndolo de una lista 9.13.2 Visualizar un elemento escribiendo su número identificador 9.13.3 Ocultar un elemento haciendo clic sobre él 9.14 Producción del archivo de características del problema 9.15 Obtención del archivo de la malla de elementos finitos 9.16 Tipos de entidad física y tipos de elementos finitos definidos en GMSH 10 Programa GMSH en el posproceso 10.1 Archivo de resultados gráficos para GMSH 10.1.1 Bloques de la malla de elementos finitos 10.1.2 Generalidades sobre la representación gráfica de resultados mediante vistas 10.1.3 Formato de un bloque de resultado en los nudos 10.1.4 Formato de un bloque de resultado en el interior de los elementos 10.2 Malla de elementos finitos utilizada para el análisis 10.3 Opciones en la presentación de resultados de la malla 10.3.1 Opciones gráficas generales 10.3.2 Opciones gráficas de los ejes 10.3.3 Opciones en el aspecto del gráfico 10.3.4 Opciones de visualización de la malla sobre el resultado 10.3.5 Opciones de color de la malla sobre el resultado 10.3.6 Opciones de la escala de colores del resultado 10.3.7 Superposición de la geometría con los resultados 10.4 Presentación del desplazamiento, la deformada y las fuerzas en los nudos de la malla 10.5 Presentación de las componentes de esfuerzo y de deformación en problemas bidimensionales 10.5.1 Problema bidimensional con una categoría de material y espesor 10.5.2 Problema bidimensional con varias categorías de material o espesor 10.6 Presentación de las componentes de esfuerzo y de deformación en problemas tridimensionales 10.6.1 Problema tridimensional con una categoría de material 10.6.2 Problema tridimensional con varias categorías de material o espesor 10.6.3 Problema tridimensional, incluyendo direcciones principales de esfuerzo 10.7 Presentación de resultados nodales a partir de resultados elementales en GMSH: suavizado 10.8 Presentación de resultados de problemas bidimensionales sobre líneas de corte 10.9 Presentación de resultados de problemas tridimensionales en el interior del sólido 10.9.1 Presentación de resultados mediante superficies de igual valor 10.9.2 Presentación interactiva de resultados en planos de corte 10.9.3 Presentación en una vista nueva de resultados en un plano de corte 11 Programa de preproceso y posproceso GiD para problemas bidimensionales 11.1 Instalación del problem type en GiD 11.2 Preproceso: construcción del archivo de entrada en GiD 11.2.1 Geometría del problema 11.2.2 Condiciones de borde del problema 11.2.3 Cargas aplicadas al problema 11.2.4 Propiedades del material y espesor del sólido 11.2.5 Parámetros generales y opciones de posproceso del problema 11.2.6 Generación de una malla no estructurada de elementos triangulares lineales 11.2.7 Eliminar una malla generada y sus parámetros 11.2.8 Generación de una malla estructurada de elementos cuadrilaterales bilineales 11.2.9 Generación de una malla estructurada de elementos triangulares lineales 11.2.10 Construcción del archivo de datos de entrada 11.3 Proceso de cálculo en PEFiCA 2.0 11.4 Posproceso: representación gráfica de los resultados en GiD 11.4.1 Configuración deformada y desplazamientos 11.4.2 Esfuerzo o deformación en el interior de los elementos 11.4.3 Esfuerzo o deformación promedio en los nudos de la malla: suavizado 11.4.4 Definición de opciones de representación gráfica Referencias Índice analítico

This paper presents the mono-objective and multi-objective solution to the cell manufacturing layout problem using two new discrete hybrid algorithms based on bacterial chemotaxis and genetic algorithms. The proposed models simultaneously solve the issues that constitute the problem of the layout of manufacturing cells: the formation of the cells and the inter- and intra-cell layout, considering the clustering of cells, and the cost of transportation and material handling. The performance of the proposals was evaluated with benchmark problems of manufacturing cells, traveling salesman problem and a multi-objective version of knapsack problem. The mono-objective results were compared with GA, BFOA and Bacterial-GA, while the multi-objective results were compared with well-known algorithms NSGA2 and SPEA2, obtaining better performances in both cases. Este trabajo presenta la solución mono-objetivo y multi-objetivo del problema de la distribución de planta en celdas de manufactura a través de dos nuevos algoritmos híbridos discretos basados en quimiotaxis de bacterias y en algoritmos genéticos. Los modelos propuestos resuelven simultáneamente los dos inconvenientes que constituyen el problema de la distribución de planta en celdas de manufactura: la formación de las celdas y la distribución de planta intra e inter celdas, considerando el agrupamiento de las celdas y el costo de transporte y manipulación de materiales. El desempeño de las propuestas se evaluó con problemas de prueba de distribución de planta de celdas de manufactura, agente viajero (TSP) y el caso multi-objetivo del problema de las mochilas. Los resultados mono-objetivo se compararon con AG, BFOA y Bacterial-GA, mientras que los resultados multi-objetivo se compararon con los reconocidos algoritmos NSGA2 y SPEA2 en los que se obtuvo un mejor desempeño en los dos casos.

Se implementó un modelo que simula el proceso de maquinado ortogonal de metales por el método de elementos finitos (MEF). Para el desarrollo del modelo se utilizó el programa Ansys Flotran. El material de trabajo se simuló como un fluido de alta viscosidad que impacta un sólido cuya geometría es la de la arista de corte. A partir del modelo numérico, se realizó un diseño de experimentos factorial fraccionado usando el programa Minitab, donde las variables de entrada seleccionadas fueron: profundidad de corte, velocidad de corte, ángulo de desprendimiento, densidad y viscosidad del fluido. Las variables de salida consideradas fueron la velocidad de salida de la de viruta y la posición del punto de estancamiento en la formación de la viruta. Se realizaron dos metamodelos funcionales que representan la interacción entre las variables de entrada y de salida del modelo MEF. El primer metalmodelo se realizó por medio de una regresión lineal y el segundo por lógica difusa. Los experimentos con los dos metamodelos mostraron que dos de las variables de entrada (profundidad de corte y ángulo de desprendimiento), tienen la mayor influencia en las variables de salida elegidas: velocidad de la viruta y en la posición del punto de estancamiento. El metamodelo basado en lógica difusa presentó una mejor representación de la relación entre las variables de entrada y de salida. In this work it was implemented a numerical model that simulates the process of orthogonal machining of metallic materials by means of the Finite Elements Method (FEM). For the development of the model, the program Ansys Flotran was used. The material was simulated as a high viscosity fluid crashing against a solid with the cutting edge geometry. From the numerical model it was made a factorial fractionated design of experiments using Minitab software, where the selected input variables were: cutting speed, depth of cut, rake angle, density and viscosity of the fluid. The considered output variables were the velocity of chip and the position of the stagnation point. Two functional metamodels of the FEM model were made, the first one by determining the empirical equations by means of a linear regression. The second was made by establishing functions based on fuzzy logic. The experiments with both metamodels showed that the depth of cut and the rake angle have the greater influence in the chip speed and in the position of the stagnation point. The metamodel based on fuzzy logic presented a better representation between the input and output variables.

Antecedentes. En Colombia las amputaciones de miembro superior se producen por enfermedades, traumas de toda índole, y por el conflicto armado. El 40 % de las lesiones por accidentes laborales, comprometen los dedos índice y pulgar. Objetivo. El objetivo de esta investigación fue diseñar y construir un prototipo de una prótesis parcial de mano, como una solución funcional para un paciente con amputación total del 2do. y 3er. dedos de la mano y con artrodesis de la IF del pulgar en posición funcional (45°) de la mano izquierda. Materiales y métodos. Se plantearon 4 fases: (a) Evaluación del paciente para conocer necesidades funcionales especificas, y aplicación del QFD (Quality Function Deployment) para conocer expectativas con la prótesis; (b) Modelado de la mano, modelos físicos como estándar para implementar la prótesis y realizar mediciones y pruebas; (c) Diseño mecánico, se construyó un prototipo y un sistema de sujeción a la medida del usuario (d) Implementación del Prototipo, pruebas y modificaciones, durante la cual el usuario prueba el prototipo. Resultados. Se obtuvo prototipo de la prótesis con 3° de libertad, uno de los cuales permite movimiento de flexión y extensión de los dedos índice y medio a partir del movimiento del dedo anular del usuario, los otros 2° de libertad se encuentran en el pulgar de la prótesis y permiten movimientos de flexión, extensión, abducción y aducción a partir de los dedos pulgar y meñique del usuario. Conclusiones. La prótesis de mano realizada es ligera, y corresponde a los requerimientos del paciente.

This paper presents several numerical tests performed on Turing space when spatial parameters in reaction-diffusion equations changes. The tests are performed in 2D on square units in which we perform subdivisions (subdomains). In each subdomain we set parameters that correspond to different wave numbers and therefore presents a heterogeneous medium. Each wave number is predicted by the linear stability theory and correspond to different Turing patterns. The reaction equation chosen is that of Schnakenberg. The results show complex patterns that mix bands and spots, as well as patterns that do not correspond with the original patterns that could be found independently in each subdomain.

En este artículo se presentan varios ensayos numéricos sobre las ecuaciones de reacción-difusión en el espacio de Turing afectadas por campos convectivos presentes en flujos incompresibles, bajo el mecanismo de reacción de Schnakenberg. Los ensayos se realizan en 2D sobre cuadrados unitarios, a los cuales se les impone un campo advectivo proveniente de la solución del problema de flujo en una cavidad. El modelo desarrollado consiste en un sistema desacoplado de ecuaciones de reacción-advección-difusión, junto con las ecuaciones de Navier-Stokes de flujo incompresible, el cual se soluciona de forma simultánea mediante el método de los elementos finitos. Los resultados muestran patrones complejos que mezclan bandas y puntos que llegan al estado estable. Además, se muestran resultados en los que el patrón generado por las concentraciones del sistema reactivo varía tanto en el tiempo como en el espacio, debido al efecto ejercido por el campo advectivo. Los ensayos numéricos muestran que los patrones obtenidos son independientes de las condiciones iniciales y de la malla empleada para la solución. This work presents a number of numerical examples of reaction-difussion equations in Turing space, modified by convective fields in incompressible flows, using a Schnakenberg reaction mechanism. Examples were made in 2D using quad elements, which have an imposed advective field derived from the cavity problem solution. The developed model consists of an uncoupled system of equations including the reaction-advection-diffusion equations and the Navier-Stokes equations for incompressible flow. This system is solved simultaneously using the finite element method. Results illustrate that complex patterns are formed, mixing dots and stripes which reach a stable state. Changes in pattern concentration in both space and time are also shown due to the effect of the advective field. Numerical examples confirm that pattern formation is independent of initial conditions and mesh. Neste artigo apresentam-se vários ensaios numéricos sobre as equações de reação-difusão no espaço de Turing afetadas por campos convectivos presentes em fluxos incompreensíveis, sob o mecanismo de reação de Schnakenberg. Os ensaios realizam-se em 2D sobre quadrados unitários, aos quais se impõem um campo advectivo proveniente da solução do problema de fluxo em uma cavidade. O modelo desenvolvido consiste em um sistema desacoplado de equações de reação-advecção-difusão, junto com as equações de Navier-Stokes de fluxo incompreensível, que se soluciona de forma simultânea mediante o método de os elementos finitos. Os resultados mostram padrões complexos que misturam bandas e pontos que chegam ao estado estável. Além disso, mostramse resultados em que o padrão gerado pelas concentrações do sistema reativo varia tanto no tempo como no espaço, devido ao efeito exercido pelo campo advectivo. Os ensaios numéricos mostram que os padrões obtidos são independentes das condições iniciais e da malha empregada para a solução.

El presente artículo analiza la estabilidad espacial y temporal de una solución numérica de la ecuación de difusiónadvección, a través del método de PetrovGalerkin en contracorriente (SUPG), junto con una discretización temporal BackwardEuler. En la primera parte del artículo se plantean los conceptos fundamentales de la técnica de estabilización espacial SUPG para dos dimensiones y posteriormente se presentan las consideraciones empleadas para la discretización temporal. A continuación se trata la metodología y las expresiones necesarias para la implementación computacional del método. Se analizan dos casos de estudio en los cuales se compara la estabilidad espacial y temporal de la solución implementada, con la obtenida por medio de la aproximación convencional BubnovGalerkin. Se emplea el error en norma de energía para analizar la estabilidad de las aproximaciones obtenidas. Videos y gráficas adicionales de los problemas presentados en este artículo pueden ser descargados de www.gnum.unal.edu.co

La solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales que evolucionan en el tiempo es un área de trabajo en constante desarrollo. En este trabajo se aborda la solución computacional de la ecuación de onda bajo dos métodos para problemas que involucran el tiempo: el de Newmark y el de diferencias finitas (DF). El método de Newmark tiene una alta precisión y una excelente tasa de convergencia, comparado con el de DF. Por su parte, el método de DF es de fácil implementación. Con el ánimo de comparar estos dos métodos se han puesto en funcionamiento dos problemas típicos-test en FORTRAN: el de una membrana cuadrada totalmente fija en sus bordes con una velocidad inicial en el centro y una viga simplemente empotrada con una velocidad inicial en uno de sus extremos. Cada uno de estos problemas son implementados, espacialmente, con el método de los elementos finitos y, temporalmente, con Newmark y DF. Los resultados muestran que Newmark permite utilizar pasos de tiempo mayores que DF, pero presentan mayor oscilación numérica. Con estos resultados se espera obtener datos iniciales para comparar con otros métodos que serán implementados posteriormente. The numerical solution of partial differential equations that evolve over time is a research field in constant development. In this paper on the computational solution to the wave equation, two algorithms of time integration are used: the Newmark method and the finite difference method (FDM). The Newmark method has a high precision and excellent convergence rate compared to the FDM. The FDM can be easily implemented. In an effort to compare these two methods, two typical problems using FORTRAN were implemented: first, a square membrane completely fixed at its edges with an initial velocity in the center, and second, a simply supported beam with an initial velocity at one of its ends. These test problems are discretized in the space domain through the finite element method, and in the time domain through the Newmark method and the FDM. The results show that the Newmark method allows using time steps that are greater than those of the FDM, but present a higher numerical oscillation. These results are expected to be the source of initial data for a subsequent comparison with other methods. A solução numérica de equações diferenciais parciais que evoluíram no tempo é uma área de trabalho em constante desenvolvimento. Neste trabalho aborda-se a solução computacional da equação de onda sob dois métodos para problemas que envolvam o tempo: o de Newmark e o de diferenças finitas (DF). O método de Newmark tem uma alta precisão e uma excelente taxa de convergência, comparado com o de DF. Por sua parte, o método de DF é de fácil implementação. Com o objetivo de comparar estes dois métodos forma colocados em funcionamento dois problemas típicos em FORTRAN: o de uma membrana quadrada totalmente fixa em suas bordas com uma velocidade inicial no centro e uma viga simplesmente embutida com uma velocidade inicial num de seus extremos. Cada um destes problemas são implementados, espacialmente, com o método dos elementos finitos e, temporalmente, com Newmark e DF. Os resultados mostram que Newmark permite utilizar passos de tempo maiores que DF, mas apresentam maior oscilação numérica. Com estes resultados espera-se obter dados iniciais para comparar com outros métodos que serão implementados posteriormente.

El presente artículo plantea y soluciona el problema de síntesis de posición y velocidad de mecanismos de cuatro barras empleando diseño óptimo dimensional e implementando algoritmos de optimización no-lineal (Programación Cuadrática Secuencial-SQP). El problema de optimización se define acorde al tipo de síntesis necesaria: que puede ser generación de trayectoria, de función o de velocidad. Esta última con síntesis implícita o explicita de trayectoria. La exactitud del algoritmo es evaluada mediante el desarrollo de cuatro casos de estudio. El problema de optimización definido, junto con el algoritmo de búsqueda empleado permite alcanzar de forma simple y en pocas iteraciones la configuración más adecuada. El desarrollo de un problema de síntesis mixta de posición y velocidad, permitió validar la eficiencia del algoritmo. In this work, we have developed and solved the synthesis of position and velocity for four bar mechanisms by means of dimensional and optimal algorithms of nonlinear optimization (sequential quadratic programming SQP). The optimization problem was defined according to the synthesis needed: it can be trajectory, function or velocity generation. The velocity can be defined with an explicit or implicit trajectory. The optimization problem and the search algorithm used in this work allow reaching the best configuration by way of a simple scheme and few iterations. Alternatively, the development of a mix synthesis of position and velocity allows us validate the algorithm efficiency.

El presente artículo estudia el método Streamline Upwind Petrov Galerkin como técnica de estabilización de la solución numérica de las ecuaciones diferenciales de advección-difusión-reacción; se analiza el método a la luz de la naturaleza no auto adjunta del operador diferencial convectivo y de las transformaciones necesarias para la estabilización de la solución por medio de la eliminación del efecto no autoadjunto inducido por el término convectivo. Se desarrollaron seis diversos ejemplos numéricos, los cuales incluyen problemas de coeficientes variables, altamente convectivos, fuertemente reactivos, sistemas de ecuaciones diferenciales y soluciones transitorias. Se encuentra un excelente desempeño de esta técnica de estabilización para todos los casos anteriormente mencionados, exceptuando los problemas con términos reactivos fuertes. This paper examines the Streamline Upwind Petrov Galerkin method as a stabilizing technique for the numerical solution of differential equations of advection-diffusion-reaction; it analizes the method taking into account the non self-adjoint nature of the convective diferential operator and the necessary transformations for the solution stabilization through the elimination of non self-adjoint effect induced by the convective term. Presents six different numerical examples, which include problems of variable coefficients, high convective problems, highly reactive systems and transitional solutions. This method presents an excellent performance of this stabilization technique for all the cases mentioned above, except for the problems with strong reactives terms.

El análisis matemático de modelos biológicos descritos por ecuaciones de reacción difusión da lugar al concepto de inestabilidad de Turing. En este artículo se analiza este concepto y el espacio matemático en donde tiene lugar, conocido como espacio de Turing. El objetivo es establecer la relación entre el conjunto de parámetros que definen la presencia de patrones espacio-temporales en un sistema de reacción difusión. Estos parámetros son validados mediante la implementación numérica por el método de los elementos finitos en 1D y 2D de dos modelos conocidos: el modelo de Schnakenberg y el modelo de glucólisis. Los resultados demuestran que los parámetros obtenidos mediante el análisis matemático cumplen las restricciones de Turing y permiten la formación de patrones espacio-temporales. Se concluye que el análisis matemático de estabilidad es una herramienta útil para la obtención de parámetros desconocidos en modelos que usualmente requieren de ajustes mediante experimentación numérica.

El presente artículo describe el método Petrov-Galerkin en contracorriente (SUPG) como técnica de estabilización de las solucio- nes por elementos finitos de la ecuación diferencial de difusión –advección- reacción. En la primera parte del artículo se hace un breve análisis de la importancia de este tipo de ecuaciones diferenciales para el modelado de fenómenos físicos en múltiples campos. Posteriormente, se realiza una descripción unidimensional del método SUPG y se desarrolla la metodología para im- plementar la técnica en dos o tres dimensiones. Se presentan los resultados de un experimento numérico fuertemente advéctico y de elevada complejidad desde el punto de vista numérico. Los resultados muestran cómo la versión de la técnica SUPG imple- mentada permite aproximaciones estabilizadas en el espacio, aun para altos números de Peclet. Gráficas adicionales de los ex- perimentos numéricos aquí presentados pueden ser descargados de www.gnum.unal.edu.co. This article describes the streamline upwind Petrov-Galerkin (SUPG) method as being a stabilisation technique for resolving the diffusion-advection-reaction equation by finite elements. The first part of this article has a short analysis of the importance of this type of differential equation in modelling physical phenomena in multiple fields. A one-dimensional description of the SUPG me- thod is then given to extend this basis to two and three dimensions. The outcome of a strongly advective and a high numerical complexity experiment is presented. The results show how the version of the implemented SUPG technique allowed stabilised approaches in space, even for high Peclet numbers. Additional graphs of the numerical experiments presented here can be downloaded from www.gnum.unal.edu.co.

Se presenta en este documento un modelo matemático de hipertrofia de condrocitos, regulado por factores moleculares capaces de predecir la aparición y localización de los centros secundarios de osificación durante el desarrollo de los huesos largos. De los resultados obtenidos, concluimos que la retroalimentación (bucle) química entre dos factores moleculares reactivos a través de un mecanismo de reacción-difusión podría explicar el patrón espacial estable encontrado en el origen de los centros secundarios de osificación, así como también la dependencia de dicho patrón en el tamaño y forma de la cabeza del hueso, según lo observado en diferentes animales.

Los caminadores bípedos pasivos pueden lograr una caminata estable descendiendo por un plano inclinado solamente bajo la influencia de la atracción gravitacional. Este artículo presenta el modelamiento de un caminador bípedo pasivo de tres grados de libertad, buscando la relación entre las características de la caminata, las propiedades físicas del robot y la inclinación del plano. Se incluyen las ecuaciones del modelo dinámico adimensional propuesto para estudiar el caminador, se describen el proceso de implementación y modelamiento y los principales resultados obtenidos. Se analizan también los límites en los parámetros del robot que permiten obtener ciclos límites estables, ya que aparecen bifurcaciones dobles periódicas que aparentemente son naturales en la caminata pasiva. Finalmente, se hallan resultados interesantes cuando se compara la caminata natural pasiva con la locomoción bípeda humana. Passive dynamic walkers can achieve a steady gait down an inclined plane simply by the influence of gravity. This article presents the modelling of a 3 DOF passive bipedal walker, searching for a relationship between gait characteristics, the robot’s physical properties and the slope of the plane. The proposed adimensional dynamical model’s equations are also given, implementing and modelling the dynamics is described and the main results are presented. Limits on robotic parameters leading to establishing stable limit cycles are also analysed as periodic doubling bifurcations appear to be natural in passive gait. Interesting results arose when comparing natural passive walking with human bipedal locomotion.