Search

Here, we construct a modification of the (,)-Bernstein operators for the two-dimensional case. We study some important properties of these new operators. We estimate the rate of convergence of these operators using modulus of continuity then we give these estimation for functions belonging to class (1,2).

In the present paper we introduce linear positiveoperators which are defined in [1] by generalization of Gadjiev-Ibragimovoperators and give some approximation properties of these operators in thespace of continuous functions of two variables on a compact set. We findcertain moments of this operator and estimate for approximation error of theoperators in terms of modulus of continuity. Then, we give some approximationproperties of these operators.

Buçalışmada düzgün dört yüzlü olmayan bir bölge üzerinde üç boyutlu Bernstein-Chlodowskypolinomlarını ve bu operatörün q-analoğunu tanıtacağız. Bu lineer pozitifoperatörlerin yaklaşım özellikleri ve genelleştirmeleri yapılacaktır.Operatörün yakınsaklık hızı süreklilik modülü anlamında hesaplanacaktır., In the present paper we introduce positive linear three-dimensionalBernstein-Chlodowsky polynomials on a non-tetrahedron domain and we get theirq-analogue. We obtain aproximation properties for these positive linear operatorsand their generalizations in this work. The rate of convergence of this operatorsis calculated by means of the modulus of continuity.

Bu tez üç bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde; doğrusal pozitif operatörlerin temel özellikleri ile tezde kullanılacak fonksiyon uzayları ve bu uzaylar için bazı yaklaşım teoremlerine yer verilmiştir. İkinci bölümde; öncelikle klasik Gadjiev Ibragimov opreatörleri ile yaklaşımın temel özellikleri verilmiş daha sonra bu operatörün Gönül,Coşkun (2013) tarafından verilen bir genelleştirmesinin yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Son bölümde; ikinci bölümde verilen genelleştirmenin iki değişkenli hali tanımlanarak bu operatörlerin yaklaşım durumları grafik ve nümerik hesaplarla ayrıntılı olarak çalışılmıştır. Bu bölüm tezin orijinal bölümüdür. This thesis consist of three parts. In the first part, basic properties of linear positive operators with function spaces to be used in the thesis and some approach theorems for these spaces were included.In the second part, the basic properties of the approach with the classical Gadjiev-Ibragimov operators are given and then the approach properties of the generalization of this operator by the Gonul,Coskun (2013) were investigated.In the last part, two dimensional state of the generalization given in the second part is defined and the approximate cases of these operators are studied in detail with graphical and nımerical calculations. This section is the original part of the thesis. 105

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, doğrusal pozitif operatörlerle ilgili temel bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde yedi operatörün genel yaklaşım özellikleri, sürekli fonksiyonlar uzayında Voronovskaya tipli teorem yardımıyla araştırılmıştır.Üçüncü bölümde, farklı yakınsama türlerine göre operatörlerin yaklaşım durumları Voronovskaya tipi teoremler yardımıyla verilmiştir. Dördüncü bölümde, bazı q-operatörler için Voronovskaya tipi teoremler incelenmiştir. This thesis consists of fourt chapters. In the first chapter, fundamentalin formation about the linear positive operators is given.In these condchapter, some approximation properties of the seven operators have been investigated using the Voronovskaya typed theorem in the space of continuous functions.In the third chapter, the approximation properties of operators according to different types of convergence are given with the help of Voronovskaya type theorems. In the fourth chapter, Voronovskaya type theorems areexamined for some q-operators. 115

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, doğrusal pozitif operatörlerle ilgili genel bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde sekiz operatörün bazı yaklaşım özellikleri, sürekli fonksiyonların uzayında Korovkin tipli teorem yardımıyla incelenmiştir. Bu operatörlerin yaklaşım hızları süreklilik modülü yardımıyla elde edilmiştir.Üçüncü bölümde, bir değişkenli q-operatörlerin yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde, iki değişkenli bazı q-operatörler tanıtılmıştır. Bu operatörlerin düzgün yakınsaklığı Volkov tipli teorem yardımıyla incelenmiştir. This thesis consists of fourt chapters. In the first chapter, general information about the linear positive operators is given.In the second chapter, eight operators based on q-integers are introduced and some convergence properties of these operators are investigated in continous functions with the help of Korovkin type theorem. In addition, the convergence rates of approximation of these operators are obtained with the help of the modulus of continuity.In the third chapter, the approximation properties operators for one variables based on q integers are examined. In the fourth chapter, some q-operators for two variables are introduced and uniform convergence of these operators is examined by the help of Volkov theorem. 187

Bu tezde ilk bölüm; tez boyunca kullanılacak olan temel tanım ve teoremlere ayrılmıştır. Bu bölümde bazı fonksiyon uzaylarının genel özellikleri tanıtılmıştır. Doğrusal pozitif operatörlerin genel özellikleri verilmiştir ve C[a,b], C_ρ (R), C_ρ^k (R) uzaylarında Korovkin tipli yaklaşım teoremleri incelenmiştir. C[a,b] ve C_ρ^k (R) uzayları için klasik anlamda süreklilik modülünün genel özellikleri verilmiştir.İkinci bölümde, C[0,A] uzayında klasik Gadjiev-İbragimov operatörü ve Gadjiev-İbragimov operatörünün iki farklı genelleştirmesi tanımlanmıştır. Klasik Gadjiev-İbragimov operatörünün ve bu genelleştirmelerinin yaklaşım hızı alışılmış süreklilik modülü yardımıyla araştırılmıştır.Üçüncü bölümde, sınırsız kümelerde Gadjiev-İbragimov operatörünün bazı genelleştirmeleri tanımlanarak yaklaşım özellikleri verilmiştir. Ağırlıklı süreklilik modülü yardımıyla bu operatörlerin yaklaşım hızı hesabı yapılmıştır.Son bölüm olan dördüncü bölümde ise, sonuç ve önerilere yer verilmiştir. The first chapter in this thesis is devoted to fundamental definitions and theorems. In this chapter general properties of some function spaces are presented. General properties of linear positive operators are given, and Korovkin Type approximation theorems in spaces C[a,b], C_ρ (R), 〖 C〗_ρ^k (R) are investigated. General properties of classical modulus of continuity for spaces C[a,b] and 〖 C〗_ρ^k (R) are given.In the second chapter, in C[0,A] space classic Gadjiev-İbragimov operators and two different generalizations of the Gadjiev-Ibragimov operators are defined .The rate of convergence of classic Gadjiev-İbragimov operators and these generalizations of the Gadjiev-Ibragimov operators are investigated by means of the usual definition modulus of continuity.In the third chapter ,by defining some generalizations of the Gadjiev-Ibragimov operators in unbounded sets,their approximation properties are given. Approximation speeds of these operators are studied by the weighted modulus of continuity. In the last chapter, results and suggestions are given. 170