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Introduction. In 1772 LAGRANGE published a celebrated meinoiron the Problem of Three Bodies, which contained all the solutions in which the ratios of the mutual distances of the bodies are constants. He found two distinct configurations. In the one, the three bodies always lie in a straight line; in the other, they are always at the vertices of an equilateral triangle. Their distribution upon the line depends upon their masses, being explicitly defined by the real positive root of a certain quintic equation. The equilateral triangular configuration is possible for all distributions of the masses. In both cases the three bodies move in the same plane, in conic sections with respect to each other or with respect to their common center of gravity, and in such a manner that the law of areas is true for each body considered separately. No other periodic solutions of the motion of three or more bodies were discovered for more than a century, although many splendid papers appeared on the Problem of Three Bodies. A new impetus was given to the subject by the celebrated memoir of Dr. HILL on the Lunar Theory,t in which he discussed a new species of per iodic solutions. He made the restrictions that one body should be infinitesimal, and that the finite bodies should describe circles around their center of gravity. For the purposes of the applications to the Lunar Theory he neglected the ratio of the distances of the iiioon and the sun, thus introducing errors in the numerical results which in certain cases became important. Professor DARWIN has more recently taken up the subjectt by a method not essentially different from that employed by HILL, and discussed a great many orbits in detail, not neglecting the solar parallax. He has considered only cases in which the infinitesimal body moves in the plane of the finite bodies with direct motion. To these must be added the masterful researches ? of POINCARP, who has

On the occasion of the GAUSS-WEBER celebration in 1899 HILBERT published an important memoir, Grundlagen der Geometrie, in which he devoted chapter V to the consideration of DESARGUES's theorem. He summarized the results obtained in this chapter as follows :t The necessary and sufficient condition that a plane geometry fulfilling the plane axioms 1 1-2, II, III may be a part of (or set in) a spatial geometry of more than two dimensions fulfllling the axioms I, II, III, is that in the plane geometry Desargues's theorem shall be fulfllled. The proofs of the necessity and of the sufficiency of the condition are given by HILBERT in ? 22 and ?? 24-29 respectively. In ? 23 he proves that DDESARGUES'S theorem is not a consequence of the axioms I 1-2, II, III,t and states (theorem 33) that it cannot be proved even though the axioms IV 1-5 and V be added. His method is to exhibit a non-desarguesian geometry fulfilling the axioms in question. His example is of a somewhat complicated nature, involving in its description the intersections of an ellipse and a system of circles (euclidean) which are defined so that no circle intersects the ellipse in more than two real points. The demonstration that the geometry fulfills the axioms in question, the details of which are not given by HILBERT, depends upon the real solutions of simultaneous quiadratic equations. Moreover, HILBERT's example does not fulfill all of the axioms enumerated, the exception being IV 411 -which, in connection with the definition which precedes it, requires that the angles (h, Ik) and (k, h) shall be congruent, while the angles in HILBERT'S geometry whose vertices are on the ellipse depend upon the order in which their arms are taken for their non-desarguesian congruence relations. HILBERT'S final theorem, stated at the beginning of this paper, does not involve IV 4 and was completely

Die vorhergehenden Kapitel enthielten Probleme, in denen das Kraftgesetz gegeben war, oder sie behandelten die Bestimmung des Kraftgesetzes bei gegebener Bahnkurve. In den samtlichen Untersuchungen wurden die Massen als punktformige und nicht als ausgedehnte Grosen betrachtet. Wenn aber Krafte zwischen je zwei Massenpunkten verschiedener Korper wirken, so kann nicht angenommen werden, das die Anziehung zwischen den ausgedehnten Korpern selbst nach denselben Gesetzen vor sich geht. Das Problem der Anziehung zwischen ausgedehnten Korpern (verschiedener Gestalt) mus daher einer besonderen Behandlung unterworfen werden.

Jedes wissenschaftliche Problem bezieht sich auf gewisse Grosen, die als Elemente bezeichnet werden sollen, und seine Losung hangt ab von gewissen Prinzipien und Gesetzen. Die Elemente entstammen dem eigentlichen Wesen der Sache und werden bei der Formulierung der Probleme entweder ausdrucklich angegeben oder stillschweigend vorausgesetzt. Die Prinzipien und Gesetze bilden die Beziehungen, die, wie man weis oder annimmt, zwischen den verschiedenen Elementen bestehen. Sie ergeben sich induktiv aus der Erfahrung oder als Schlusfolgerungen aus vorlaufig angenommenen Prinzipien und Gesetzen, oder beruhen einfach auf Ubereinkommen.

Wir betrachten Korper aus homogenen Kugelschichten; solche Korper ziehen einander an, als wenn ihre Massen in den Mittelpunkten vereinigt waren. Sie mogen m 1, m 2,..., m n heisen. Die Koordinaten von m i in bezug auf ein festes System seien x i , y i , z i (i = 1,..., n). Die Entfernung zwischen den Mittelpunkten von m i und m j sei r i , j , k 2 bedeute eine von den benutzten Einheiten abhangige Konstante. Dann sind die Kraftkomponente von m 1 parallel zur x-Achse: $$ - \frac{{{k^2}{m_1}{m_2}}}{{r_{1,2}^2}}\cdot \frac{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{{r_{1,2}}}},\cdot \cdot \cdot - \frac{{{k^2}{m_1}{m_n}}}{{{r_{1,n}}}}, \to $$ (2) ihre Summe liefert also die ganze Komponente. Folglich ist $${m_1}\frac{{{d^2}{x_1}}}{{r_{1,j}^3}},$$ (2) und entsprechend fur y und z.

In Kapitel V wurde gezeigt, das, wenn zwei kugelformige Korper sich unter dem Einflus ihrer gegenseitigen Anziehungen bewegen, ein jeder einen Kegelschnitt in bezug auf ihren Massenmittelpunkt als dem einen Brennpunkt beschreibt, und das ferner die Bahn eines jeden Korpers in bezug auf den anderen einen Kegelschnitt darstellt. Ebenso besteht die Umkehrung dieses Theorems: Wenn bei Geltung des Flachensatzes die Bahnkurve des einen Korpers in bezug auf den anderen als den einen Brennpunkt ein Kegelschnitt ist, so ist die zwischen ihnen wirkende Kraft, falls sie nur von der Entfernung abhangt, dem Quadrat der Entfernung umgekehrt proportional (siehe auch § 58). Ist ein widerstehendes Mittel vorhanden, oder einer von den Korpern abgeplattet, oder werden die beiden in Rede stehenden Korper von einem dritten angezogen, oder unterliegen sie uberhaupt noch einer Kraft auser ihrer gegenseitigen Anziehung, so werden ihre Bahn-kurven keine exakten Kegelschnitte mehr darstellen. Unter der Annahme, das die Koordinaten und Geschwindigkeitskomponenten in einem bestimmten Augenblick t 0 gegeben sind, wurden die Bahnkurven, falls die Bedingungen des Zweikorperproblems genau erfullt sind, bestimmte Kegelschnitte darstellen, in welchen sich die Korper nach dem Flachensatz bewegen.

Der Gegenstand der gegenseitigen Storungen in den Bewegungen der Himmelskorper ist eines der Probleme gewesen, dem viele bedeutende Mathematiker, von Newtons Zeiten an, einen grosen Teil ihrer Aufmerksamkeit geschenkt haben. Es ist unnotig, zu sagen, das das Problem sehr schwierig ist, und das viele Methoden, es zu bewaltigen, erdacht wurden. Da die allgemeinen Losungen des Problems nicht gefunden wurden, war es notwendig, besondere Klassen von Storungen nach besonderen Methoden zu behandeln. Es erschien angemessen, die im Sonnensystem auftretenden Falle in drei Klassen einzuteilen (a) die Mondtheorie und die Satellitentheorien; b) die gegenseitigen Storungen der Planeten und c) die Storungen der Kometen durch die Planeten. Die in diesem Kapitel behandelte Methode ist auf die Planetentheorien anwendbar; und es wird an den passenden Stellen darauf hingewiesen werden, warum sie sich nicht auch auf die anderen Falle anwenden last. In dem letzten Kapitel wurden Abhandlungen uber die Mondtheorie, speziell die von Tisserand und Brown angefuhrt. In diesem Kapitel werden einige Hinweise auf die Methode, Kometenstorungen zu berechnen, gegeben werden.