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In this note, we give a simple proof of the combinatorial conjecture proposed by Tang, Carlet and Tang, based on which they constructed two classes of Boolean functions with many good cryptographic properties. We also give more general properties about the generalization of the conjecture they propose.

The first part is devoted to the study of a combinatorial conjecture whose validity entails the existence of infinite classes of Boolean functions with good cryptographic properties. Although the conjecture seems quite innocuous, its validity remains an open question. Nonetheless, the author sincerely hopes that the theoretical and experimental results presented here will give the reader a good insight into the conjecture. In the second part, some connections between (hyper-)bent functions -- a subclass of Boolean functions --, exponential sums and point counting on (hyper)elliptic curves are presented. Bent functions and hyper-bent functions are known to be difficult to classify and to build explicitly. However, exploring the links between these different worlds makes possible to give beautiful answers to theoretical questions and to design efficient algorithms addressing practical problems. The third and last part investigates the theory of (hyper)elliptic curves in a different direction. Several constructions in cryptography indeed rely on the use of highly specific classes of such curves which can not be constructed by classical means. Nevertheless, the so-called "complex multiplication" method solves some of these problems. Class polynomials are fundamental objects for that method, but their construction is usually considered only for maximal orders. The modest contribution of the author is to clarify how a specific flavor of their construction -- the complex analytic method -- extends to non-maximal orders.; La première partie de cette thèse est dévolue à l'étude d'une conjecture combinatoire dont la validité assure l'existence de familles infinies de fonctions booléennes dotées de propriétés cryptographiques intéressantes. Quoique particulièrement innocente au premier abord, la validité de cette conjecture reste un problème ouvert. Néanmoins, l'auteur espère que les résultats théoriques et expérimentaux présentés ici permettront au lecteur d'acquérir un tant soit peu de familiarité avec la conjecture. Dans la seconde partie de ce manuscrit, des liens entre fonctions (hyper-)courbes -- une classe particulière de fonctions booléennes --, sommes exponentielles et courbes (hyper)elliptiques sont présentés. Les fonctions (hyper-)courbes sont en effet particulièrement difficiles à classifier et à construire. L'étude des liens mentionnés ci-dessus permet de résoudre de façon élégante des problèmes d'ordre tout aussi bien théorique que pratique. La troisième et dernière partie pousse plus avant l'étude des courbes (hyper)elliptiques d'un point de vue sensiblement différent. De nombreuses constructions cryptographiques reposent en effet sur l'utilisation de classes particulières de telles courbes qui ne peuvent être construites en utilisant des méthodes classiques. Cependant, la méthode CM permet de donner une réponse positive à ce problème. Les polynômes de classes sont des objets fondamentaux de cette méthode. Habituellement, leur construction n'est envisagée que pour des ordres maximaux. La modeste contribution de l'auteur est d'expliciter comment une telle construction -- la méthode analytique complexe -- s'étend aux ordres non-maximaux.

Recently, Dziembowski et al. introduced the notion of non-malleable codes (NMC), inspired from the notion of non-malleability in cryptography and the work of Gennaro et al. in 2004 on tamper proof security. Informally, when using NMC, if an attacker modifies a codeword, decoding this modified codeword will return either the original message or a completely unrelated value. The definition of NMC is related to a family of modifications authorized to the attacker. In their paper, Dziembowski et al. propose a construction valid for the family of all bit-wise independent functions. In this article, we study the link between the second version of the Wire-Tap (WT) Channel, introduced by Ozarow and Wyner in 1984, and NMC. Using coset-coding, we describe a new construction for NMC w.r.t. a subset of the family of bit-wise independent functions. Our scheme is easier to build and more efficient than the one proposed by Dziembowski et al., 12 pages