Günümüzde, birçok farklı problemin modellenmesinde doğrusal olmayan (nonlineer)denklem sistemlerinden yararlanılmaktadır. Nonlineer bilimsel araştırma alanlarındaen büyük gelişmeler nonlineer dalga yayılımı problemleri konusunda öne çıkmaktadır.Genellikle, nonlineer bir sistemin araştırılmasına; akışkanlar mekaniği, optik, plazmafiziği ve biyolojideki ilişkili deneysel sistemin bir yaklaşımı olarak, kısmi türevlidiferansiyel denklemin çözümünün elde edilmesiyle başlanmaktadır. Bu tiptekidenklemlerin çözümleri nonlineer dalga tipindedir ve bunların bir kısmı soliton olarakadlandırılır. Solitonlar; yayılırken yayılma hızı ve formunu koruyarak ilerleyenlokalize dalgalardır. Karşılıklı çarpışmaya dayanıklıdırlar (elastik çarpışma) ve sahipoldukları özellikleri çarpışma sonrasında koruyabilirler. KdV sine-Gordon ve NLS gibikısmi türevli diferansiyel denklemler, nonlineer dalga yayılımının modellenmesindekullanılmakta olup bu denklemlerin soliton tipi çözümleri literatürde geniş yeralmaktadır.Bir optik dalganın (atım) çeşitli optik malzemeler içinde yayılımı NLS denklemiile temsil edilir. NLS denklemi, genellikle bir piko saniyelik zaman ölçeğindeoptik atımların, doğrusal olmayan yayılımlarını modellemekte yaygın olarakkullanılmaktadır. Bu denklem, Erwin Schrödinger tarafından 1927'de geliştirilmişve yaygın olarak kullanılmı¸stır. Literatürde kübik ve/veya kübik-kuintik nonlineeriteve yalnızca ikinci mertebe dispersiyon içeren NLS denkleminin analitik ve sayısalçözümleri etraflıca incelenmiştir. Kıtalar arası veri iletimi problemlerinde, ikincimertebe dispersiyonun yanı sıra üçüncü dereceden dispersiyon terimlerinin problemekatkılarının araştırılması önem kazanmaktadır. Optik atımların biçimlerine vekararlılıklarına etki eden bir başka faktör de dış optik potansiyellerdir. Bir dışpotansiyelin eklendiği NLS denklemi, literatürde Gross-Pitaevskii denklemi olarakadlandırılır. Son yıllarda, kuantum mekaniği problemlerinde, parite-zaman simetrisinesahip potansiyeller ilgi çekmektedir.Bu tezde,VPT =V (x)+iW (x).şeklinde kompleks yapıda bir dış potansiyel kullanılmıştır ve bu potansiyelPT-simetrik özelliğindedir; yani potansiyelin reel kısmı olan V(x), çift fonksiyonolma özelli˘gine sahipken; imaginer kısmı olan W(x), tek fonksiyon olma özelli˘ginesahiptir. Böylece, V(x) =V(x) veW(x) = W(x) ili¸skisi sa˘glanır.Bu çalı¸smada,iuz+auxx+ibuxxx+juj2u+juj4u+VPT u = 0.olarak verilen, üçüncü mertebe dispersiyon terimi ve PT -simetri özelli˘gine sahipbir dış potansiyel içeren, CQNLS denkleminin soliton çözümlerinin sayısal varlığı vekararlılık analizleri incelenmiş; sonuçlar çeşitli grafikler ile gösterilmiştir.Yukarıda verilen denklemde, u kompleks değerli türevlenebilir fonksiyonu, uxxkırılımı (dispersiyon) modelleyen terimi, a ikinci dereceden dispersiyon terimininkatsayısını, b üçüncü mertebe dispersiyon teriminin katsayısını ve VPT PT -simetriözelliği olan potansiyeli temsil eder. Bu tezin amacı, PT-simetri özelliği olanbir dış potansiyelin ve üçüncü mertebe dispersiyon teriminin soliton çözümünde veçözümlerin kararlılığında yaptığı etkiyi incelemektir.Bölüm 1'de, solitonların tarihsel gelişiminden kısaca söz edilmiş, PT simetrikpotansiyel içeren, doğrusal olmayan CQNLS denkleminin yapısı ve uygulama alanlarıanlatılmıştır. Sonrasında tezin amacı ve gerekli literatür taraması verilmiştir.Bölüm 2'de, a¸sa˘gıda verilen, V + iW kompleks yapılı potansiyel içeren CQNLSdenkleminin analitik çözümlerini üretebilmek için u(x, z) = f(x)e^(i(mz+g(x))) çözümönerisi yapılmıştır.iuz+auxx+ibuxxx+u^2u+u^4u+VPT u = 0.Burada f (x) ve g(x), yapısı henüz belli olmayan reel değerli fonksiyonlardır. Önerilenbu çözüm, denklemde yerine konularak kesin çözümler elde edilmiştir. Ayrıca,kompleks potansiyelin reel kısmıV(x) =V0+V1 sech(x)+V2sech2(x)+V3sech3(x)+V4sech4(x).şeklinde bir çift fonksiyon, imaginer kısmı ise, W(x) =W0sech2(x) tanh(x)+W1sech(x) tanh(x)+W2 tanh(x).şeklinde bir tek fonksiyon olarak elde edilmiştir. Böylece, bulunan potansiyel PT -simetrik yapıda olup aşağıdaki gibi belirlenmiştir:VPT = [V0+V1sech(x)+V2sech2(x)+V3sech3(x)+V4sech4(x)] +i[W0sech2(x) tanh(x)+W1sech(x) tanh(x)+W2 tanh(x)].Bölüm 3'te, Ablowitz ve Musslimani'nin geliştirdiği, çeşitli alanlarda kullanılan bir sayısal yöntem olan SR yönteminden bahsedilmiştir. SR yöntemiyle soliton çözüm elde etmek için,w0 = e^x2.Gaussian başlangıç koşulu kullanılmış ve yakınsama koşulu 10^12 olarak alınmıştır.Bu sayısal yöntem kullanılarak, bir dış potansiyel içeren üçüncü dereceden dispersiyonterimi bulunan CQNLS denkleminin sayısal çözümleri elde edilmiştir. Daha sonra, SRalgoritması MATLAB bilgisayar programına aktarılarak elde edilen sayısal çözümlerile Bölüm 2'de elde edilen kesin çözümlerin üst üste düştüğü gözlemlenmiş ve böylecekullanılan sayısal yöntemin uygunluğu ve uygulanan algoritmanın doğruluğu testedilmiştir.MATLAB programı kullanılarak; belirli bir potansiyel derinliğinde, 3OD terimininkatsayısındaki değişimin potansiyelin yapısına etkisi grafiksel olarak incelenmiştir.Elde edilen dış potansiyelin katsayılarının soliton çözüme etkileri sayısal olarakincelenmiş ve sonuçlar grafik ile gösterilmiştir. Ayrıca, üçüncü mertebe dispersiyonteriminin, elde edilen potansiyel altında soliton çözüme etkisi grafiksel olarak ifadeedilmiştir.Bölüm 4'te, elde edilen solitonların kararlılık analizini yapmak için kullanılanayrık adımlı Fourier metodundan bahsedilmiştir. Daha sonra nonlineer stabilite(kararlılık) analizi için ayrık adımlı Fourier metodu; PT dış potansiyeli ve üçüncümertebe dispersiyon içeren CQNLS denklemine uygulanmıştır. Üç farklı 3ODterimi katsayısı için 0 ile 4 arasında değişen potansiyel derinliklerinde nonlineerstabilite bölgeleri çizilmiş ve 3OD teriminin solitonun kararlılığı üzerindeki etkisiaraştırılmıştır. Nonlineer olarak stabil ve stabil olmayan soliton örnekleri çeşitligrafiklerle gösterilmiştir.Nonlineer stabilitenin yanı sıra, solitonların lineer stabilitesi de incelenmiştir.Lineer spektrum hakkında kısa bir bilgi verilerek, CQNLS denklemine uygulanı¸sıanlatılmıştır. Belirli bir potansiyel derinliğinde, üç farklı b katsayısı için, eldeedilen solitonların lineer spektrumları bulunarak 3OD teriminin lineer stabiliteye etkisiincelenmiştir. Ayrıca, a; kübik nonlineerite teriminin, b; kuintik nonlineerite terimininkatsayıları olmak üzere,iuz+auxx+ibuxxx+au^2u+bu^4u+VPT u = 0.denklemi ele alınarak, 0'dan 1'e; 0:2 artımla değişen b katsayısı için solitonların lineerspektrumları çizilmiş ve kuintic nonlineeritenin, solitonun lineer stabilitesine etkisiüzerinde çalışılmıştır. Nowadays, nonlinear equations are used to model many different problems. Nonlinearwave propagations shine as the most important developments in nonlinear scientificresearches. Generally, starting with the solution of the partial differential equation(PDE), a nonlinear system should be investigated as an approach to the relatedexperimental system in fluid mechanics, optics, plasma physics and biology. Typesof the solutions of these kinds of equations are nonlinear wave types, and some ofthese wave types called soliton. Solitons are the propagating localized waves withoutchanging their speeds and shapes. They are resistant to collision and can preservetheir properties after collision. For many years, PDEs such as Korteweg-de Vries(KdV), sine-Gordon and nonlinear Schrödinger (NLS) have been used in the modelingof nonlinear waves and soliton type solutions of these equations are widely investigatedin the literature.In literature, the analytical and numerical solutions of the NLS equation with cubicand / or cubic-quintic nonlinearity and second order dispersion are investigated indetail. In inter-continent data transmission problems, it is important to investigate thecontribution of third-order dispersion terms to the problem as well as the second orderdispersion. Another factor which affects the shape and stability of optical pulses is theexternal optical potentials.In this thesis, the numerical existence and stability analysis of the soliton solutionsof the cubic-quintic nonlinear Schrödinger (CQNLS) equation with the third-orderdispersion, an external potential with parity time (PT )-symmetry properties areanalyzed and the results are shown with various graphics.In chapter 1, the historical development of the solitons has been shortly discussed andthen the structure and the application areas of the CQNLS equation which includes aPT -symmetric potential have been explained. Afterwards the aim of the thesis andthe necessary literature review have been given.In chapter 2, an ansatz solution has been proposed in order to produce the analyticalsolution under a PT -symmetric potential and then the exact solution has beenobtained via necessary substitutions. In addition, the structure of the PT -symmetricpotential was determined.In chapter 3, a numerical method which is called spectral renormalization (SR) thathas been previously used in solutions of numerous PDEs is explained. This methodis originally developed by Ablowitz and Musslimani and in this chapter, we havemodified the method for our problem. Using this method, numerical solutions ofthe CQNLS equation with the third-order dispersion containing an external potentialwere obtained. Then, the numerical solutions obtained by SR algorithm and the exact solutions obtained in chapter 2 have been observed to be consistent; thus, the suitabilityof the numerical method and the accuracy of applied algorithm have been tested andfound to be in good agreement. The effects of obtained external potential coefficientson the soliton solution have been analyzed and the results have been shown withadequate number of graphics. Furthermore, the effect of third order dispersion termon the existence of soliton solution is analyzed and the results have been graphicallyexpressed.In chapter 4, the split-step Fourier method is used to analyze the nonlinear stabilityof previously obtained solitons. The split-step Fourier method has been modified toapply the CQNLS equation with an external potential and third order dispersion term.Then the effect of different potential depths on stability properties has been depictedin graphics. Additionally, the effect of third order dispersion on the stability of solitonwas investigated.Not only nonlinear stability but also linear stability of the obtained solitons has beeninvestigated. A brief information of the linear spectrum has been given and itsapplication to the CQNLS equation has been explained, and finally, the effect of thirdorder dispersion on linear stability has been shown by graphics. 63