Search

The task of the description up to equivalency of the matrix representations of finite pgroups of order greater then p aver a commutative local ring of characteristics of ps (s > 0) that is not a field contains the classical unsolved problem of pair of matrices over a field. Therefore, consideration of partial cases and the study of special representation matrix representations is importent. Let K be a commutative ring with a identity, G is a finitely generated group with some fixed system of generator elements a1,...,ar. Every matrix representation of the group G over the ring K equivalent to Γ : ai → E+Mi (i = 1,...,r), where E be an identity n×n-matrix, Mi be a monomial n×n-matrix (i = 1,...,r), we call unimonomial. An reducible unimonomial representation over the ring K, in a reducible form of which on diagonal blocks at least one unimonomial representation is formed, we call hereditary reducible over the ring K. A series of unimonomial representations of a finite cyclic p-group H = haiover commutative local principle ideal ring K of characteristic p with nilpotent Jacobson radical of the degree l (1 < l < ∞) of the form a → E + 0 ... 0 1 1 ... 0 0 . . . ... . . . . . . 0 ... 1 0!· diag[ε1ts1,...,εntsn], where si ≥ 0, εi be elements from K∗ (i = 1,...,n), t be an generator element of Jacobson radical ring K. It is making up clear the criterion, when the map of the given form sets the representation of the group H (P|H|−1 j=0 si+j ≥ l (i = 1,...,n), herethe indexes are considered by the module n). It have been found the sufficient condition of hereditary irreducibility of the constructed representations ((Pn i=1 si,n) = 1,tPn i=1 si 6= 0). In addition, we can obtain the hereditary reducibility of the constructed representations in the case when (Pn i=1 si,n) > 1,Qn i=1 εi = 1). Based on the researches of Bondarenko V. M., Bortosh M. Yu. of similarity of the monomial matrices it is making up clear the criterion the equivalence of the constructed representations (the corresponding sequences (s1,...,sn) are cyclically equivalent a relevant productsQn i=1 εi are equal modulo Ann (ts), where s is the largest member of the weight sequence (s1,...,sn)). In the case of the finiteness of the ring K by computation in the GAP system it have been found the number of all, up to equivalence, constructed unimonomial hereditary irreducible matrix representations of a cyclic nontrivial p-group depending on the number of elements of the residue class field of the ring K., Задача про опис з точнiстю до еквiвалентностi матричних зображень скiнченних pгруппорядкувище p надкомутативнимлокальнимкiльцемхарактеристики ps (s > 0), що не є полем, мiстить у собi класичну нерозв’язну задачу про пару матриць над полем. Тому актуальним є розгляд частинних випадкiв i вивчення матричних зображень спецiальноговигляду.Нехай K —комутативнекiльцезодиницею, G —скiнченнопородженагрупаздеякоюфiксованоюсистемоютвiрнихелементiв a1,...,ar.Всякематричне зображення групи G над кiльцем K еквiвалентне до Γ : ai → E+Mi (i = 1,...,r), де E — одинична матриця порядку n, Mi — мономiальна матриця порядку n (i = 1,...,r), назвемо унiмономiальним. Звiдне унiмономiальне зображення над кiльцем K, в зведеному виглядi якого на дiагональних блоках утворюється хоч одне унiмономiальне зображення, назвемо спадково звiдним над кiльцем K. Побудовано серiю унiмономiальних зображень скiнченної циклiчної p-група H = hai над комутативним локальним кiльцем K головних iдеалiв характеристики p з нiльпотентностим радикалом Джекобсона ступуня l (1 < l < ∞), вигляду a → E + 0 ... 0 1 1 ... 0 0 . . . ... . . . . . . 0 ... 1 0!·diag[ε1ts1,...,εntsn], де si ≥ 0, εi — елементи iз K∗ (i = 1,...,n), t — твiрний елемент радикалу Джекобсона кiльця K. З’ясовано критерiй, коли вiдображення заданого вигляду задає зображення групи H (P|H|−1 j=0 si+j ≥ l (i = 1,...,n), тут iндекси розглядаються за модулем n). З’ясованодостатнюумовуспадковоїнезвiдностiпобудованихзображень((Pn i=1 si,n) = 1,P n i=1 si < l). Крiм того, можна отримати спадкову звiднiсть побудованих зображень у випадку, коли (Pn i=1 si,n) > 1,Qn i=1 εi = 1). На основi дослiджень Бондаренка В. М., Бортош М. Ю. подiбностi мономiальних матриць з’ясовано критерiй еквiвалентностi побудованих зображень (вiдповiднi послiдовностi (s1,...,sn) циклiчно еквiвалентнi а вiдповiднi добуткиQn i=1 εi рiвнi за модулем Ann(ts), де s — найбiльший член вагової послiдовностi (s1,...,sn)). У випадку скiнченностi кiльця K засобами обчислень в системiGAPпорахованочисловсiх,зточнiстюдоеквiвалентностi,побудованихунiмономiальних спадково незвiднi матричних зображень циклiчної нетривiальної p-групи залежно вiд числа елементiв поля лишкiв кiльця K.

The quadratic cycle cover problem is the problem of finding a set of node-disjoint cycles visiting all the nodes such that the total sum of interaction costs between consecutive arcs is minimized. In this paper we study the linearization problem for the quadratic cycle cover problem and related lower bounds. In particular, we derive various sufficient conditions for the quadratic cost matrix to be linearizable, and use these conditions to compute bounds. We also show how to use a sufficient condition for linearizability within an iterative bounding procedure. In each step, our algorithm computes the best equivalent representation of the quadratic cost matrix and its optimal linearizable matrix with respect to the given sufficient condition for linearizability. Further, we show that the classical Gilmore–Lawler type bound belongs to the family of linearization based bounds, and therefore apply the above mentioned iterative reformulation technique. We also prove that the linearization vectors resulting from this iterative approach satisfy the constant value property. The best among here introduced bounds outperform existing lower bounds when taking both quality and efficiency into account.