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In this thesis, we are studying topological and dynamical conditions imposing infinitely many periodic orbits for some dynamical systems. In a first part, weelaborate on theories of Givental and Théret based on generating functions in order to study the case of complex projective spaces. We find recent results back without appealing to the theory of J-holomorphic curves. Inparticular, we prove Shelukhin theorem showing a homology version of the Hofer-Zehnder conjecture. In a second part, we study the geodesic flow and show new results bringing examples of topological and dynamical conditions imposing infinitely manyclosed geodesics or geodesic chords. We give conditions under which the existence of one or two closed geodesics on a complete Riemannian plane,cylinder or Möbius band impose the existence of infinitely many closed geodesics. In particular, we show that a complete Riemannian cylinder (whose closed geodesics are isolated) has zero, one or infinitely many homologically visible closed geodesics ; it solves a conjecture of Alberto Abbondandolo. We also prove that every complete Finsler manifold with an infinite fundamental group that is not homotopy equivalent to a circle possesses infinitely many geometrically distinct geodesic chords joining any given pair of points. Results of this part are partially joint with Tobias Soethe.; Dans cette thèse, nous nous intéressons aux conditions dynamiques ou topologiques imposant l’existence d’un nombre infini de trajectoires périodiques pour certains types de systèmes hamiltoniens. Dans une première partie, nous prolongeons les théories de Givental et Théret basées sur les fonctions génératrices afin d’étudier le cas des espaces projectifs complexes ; nous retrouvons ainsi des résultats très récents sans faire appel à la théorie J-holomorphe. Nous montrons, en particulier, le théorème de Shelukhin démontrant une version homologique de la conjecture de Hofer-Zehnder. Dans une seconde partie, nous nous intéressons aux flots géodésiques et démontrons de nouveaux résultats apportant des exemples de telles conditions dynamiques ou topologiques. Nous énonçons des conditions sous lesquelles la présence d'une ou deux géodésiques fermées géométriquement distinctes sur un plan, un cylindre ou un ruban de Möbius riemannien complet impose la présence d'une infinité de géodésiques fermées géométriquement distinctes. En particulier, nous montrons qu'un cylindre riemannien complet (dont les géodésiques fermées sont isolées) admet zéro, une ou une infinité de géodésiques fermées homologiquement distinctes ; cela répond à une question d'Alberto Abbondandolo. On prouve aussi que toute variété de Finsler complète de groupe fondamental infini et non homotopiquement équivalente à un cercle possède une infinité de géodésiques géométriquement distinctes joignant n'importe quelle paire de points. Les résultats de cette seconde partie sont partiellement issus d’une collaboration avec Tobias Soethe.

This thesis establishes the existence of a version of Floer homology in a Morse-Bottcontext. Given a toric manifold (Wⁿ, ω, µ) and a hamiltonian H : W × S¹ → ℝ invariant bythe action of the torus Tⁿ, the periodical orbits of H are stable by the toric action.The latter admits fix points in W and hence it not free, neither one induced on the spaceof the loops of W and it is, a priori, impossible to establish a equivariant infinite-dimensionalMorse-Bott theory on C∞(S¹, W)/Tⁿ. We deal with this problem using Borel’s construction : we choose a space contractible E witha free action from the torus and look at the infinite-dimensional Morse-Bott homology of thespace (C∞(S¹, W) × E)/Tⁿ where Tⁿ act in a diagonal way on the product.We obtain an invariant for symplectic toric manifold and computes it for a closed manifold.; Cette thèse établit l'existence d'une variante de l'homologie de Floer de type Morse-Bott. Étant donnés une variété torique (W²ⁿ, ω, µ) et un hamiltonien H : W × S ¹ → ℝ invariant par l’action du tore de dimension n Tⁿ, , les orbites de H sont stables par l’action torique. Cette dernière admettant des points fixes dans W, elle n’est pas libre, pareillement pour celle induit sur les lacets de W et il est, a priori, impossible de construire une théorie de Morse-Bott équivariante au niveau de C∞(S¹, W)/Tⁿ. Nous remédions à ce problème en adoptant la construction de Borel : nous choisissons un espace E contractile muni d’une action libre du tore regardons l’homologie de Morse-Bott en dimension infinie de l’espace (C∞(S¹, W) × E)/Tⁿ où Tⁿ agit cette fois de manière diagonale sur le produit.L’homologie obtenue est un invariant pour les variétés symplectiques toriques et nous le calculons dans le cas d’une variété fermée.

This thesis is divided into two independent parts. In the first part, we study the early time dynamics of some 2d kinetic Ising models subject to an istantaneous quench from the disordered to the ordered phase. The post-quench relaxation dynamics is realised by means of stochastic spin update rules, of various types, which are simulated numerically through Monte Carlo methods. Measurements of different observables related to the statistical and geometrical properties of ordered domains suggest that the relaxation dynamics approaches a dynamical scaling regime with features ascribed to 2d critical percolation. In all the cases in which the stochastic dynamics satisfies detailed balance, the critical percolation state persists over a very long period of time before usual coarsening of domains takes over and leads the system to equilibrium. In the second part, we study the Hamiltonian dynamics of the 2-spin spherical spin glass model, following a uniform quench of the strength of the disorder. In each case, we consider initial conditions from Gibbs-Boltzmann equilibrium at a given temperature, and subsequently evolve the configurations with Newton dynamics dictated by a new Hamiltonian, obtained from the initial one by a uniform quench of the interaction couplings. We notice that the post-quench dynamics of this model is equivalent to that of the Neumann integrable model, and thus we analyse the integrals of motion, using them to show that the system is not able to reach an equilibrium stationary state à la Gibbs-Boltzmann.; Cette thèse est divisée en deux parties indépendantes. Dans la première partie, on étudie la dynamique aux temps très courts d'un modèle cinétique d'Ising en d=2 qui est soumis à une trempe instantanée de la température. Les mesures des différentes observables reliées aux propriétés statistiques et géométriques des domaines ordonnés suggèrent que la dynamique de relaxation approche un régime de "scaling'' dynamique dans lequel les domaines présentent les caractéristiques du modèle de la percolation critique en 2d. À travers l'étude des propriétés de scaling pendant l'évolution du système, on peut identifier une longueur critique lp(t) liée à la percolation. En particulier, pour des modèles d'Ising en d=2 évoluant avec une dynamique stochastique qui satisfait le principe de bilan détaillé, on observe que des gros domaines ordonnés qui percolent deviennent stable, par leur topologies, par rapport à la dynamique microscopique jusqu'au moment à lequel tout le système est équilibré. Dans la deuxième partie, on étudie la dynamique hamiltonienne du modèle de Sherrington-Kirkpatrick (SK) sphérique dans le cas p=2, suivant une trempe uniforme de l'intensité du désordre. À partir des solutions numériques des équations de type Schwinger-Dyson, on peut identifier trois phases dynamiques différentes selon la température initiale du système et le paramètre qui quantifie l'intensité du désordre dans l'Hamiltonien post-trempe. On observe que le système ne réussit pas à thermaliser dans aucune de ces phases. On peut aussi vérifier que le modèle SK sphérique avec p=2, avec une dynamique hamiltonienne, est équivalent au modèle de Neumann, un modèle intégrable de la mécanique classique.

N the first part of the thesis, we give, under some hypotheses, a lower bound on the intersection number of a closed monotone Lagrangian submanifold L with its image by a generic Hamiltonianisotopy. For monotone Lagrangian submanifolds L which are K(pi, 1) and, in particular with negative sectional curvature, this bound is 1 + beta_1(L), where beta_1 is the first Betti number with coefficients in Z_2. Another consequence, is the non-displaceability of a monotone Lagrangian embedding of RPn x K (where K is a submanifold with negative sectional curvature such that H^1(K, Z) ≠ 0) in some symplectic manifolds. In the second part, given a closed monotone Lagrangian submanifold L, which is not displaceable, we use Floer homology defined on Lagrangians which are C^1 - close to L, to get information about it Maslov number. Besides, if L can be approached by a sequence of displaceable Lagrangians, then, under some topological assumptions on L, the displacement energy of the elements of this sequence converge to infinity., Dans la première partie de cette thèse, on donne, sous certaines hypothèses, une minoration du nombre de points d’intersections d’une sous-variété Lagrangienne monotone L avec son image par une isotopie Hamiltonienne. Dans le cas où L est un espace K(pi, 1), et en particulier à courbure sectionnelle strictement négative, le minorant est 1 + beta1(L), où beta1 est le premier nombre de Betti à coefficients dans Z2. Une autre conséquence est la non-déplaçabilité d’un plongement Lagrangien monotone de RPn × K (où K est une sous-variété à courbure sectionnelle strictement négative telle que H1(K, Z) ≠ 0) dans certaines variétés symplectiques. Dans la seconde partie, on considère une sous-variété Lagrangienne monotone L non déplaçable. En utilisant l’homologie de Floer définie pour les Lagrangiennes qui sont C-1-proches de L, on obtient des informations sur son nombre de Maslov. De plus, si L peut être approchée par une suite de Lagrangiennes déplaçables, alors, sous certaines hypothèses topologiques sur L, l’énergie de déplacement des éléments de cette suite tend vers l’infini.

Ce mémoire est une introduction aux phénomènes de rigidité C0 en topologie symplectique. Plus précisément, il sera question de la rigidité C0 du crochet de Poisson sur une variété symplectique. Les notions élémentaires de la géométrie symplectique et de la dynamique hamiltonienne sont rappelées au premier chapitre. Le second chapitre traite de la géométrie d’Hofer du groupe des difféomorphismes hamiltoniens d’une variété symplectique. Le chapitre 3 concerne l’application de la géométrie d’Hofer à l’étude de fonctionnelles définies à partir du crochet de Poisson. Le résultat principal qui est démontré, dû à Buhovski, Entov et Polterovich, est la semi-continuité inférieure dans la topologie C0 de la fonctionnelle qui associe à chaque paire de fonctions la norme uniforme de leur crochet de Poisson., This master’s thesis is an introduction to C0 rigidity phenomena in symplectic topology. More precisely, the main concern is the C0 rigidity of the Poisson bracket on a symplectic manifold. The elementary notions of symplectic geometry and Hamiltonian dynamics are recalled in the first chapter. The second chapter introduces the Hofer geometry of the group of Hamiltonian diffeomorphisms of a symplectic manifold. Chapter 3 concerns the application of Hofer geometry to the study of functionals defined in terms of the Poisson bracket. The main result, due to Buhovski, Entov and Polterovich, is the lower semi-continuity of the functional which assigns to every pair of functions the uniform norm of their Poisson bracket.

The first part of this manuscript presents a well-posedness result for a quasilinear version of the KdV equation.The proof takes advantage of structural properties and gauge techniques to deal with apparent loss of derivativesin a priori estimates.In the second part, we investigate the modulational and orbital coperiodic stability of periodic waves by computingalgebraic criteria involving the same abbreviated action integral and its second order derivatives. Our methoduses numerical integrations followed by finite differences to compute the Hessian matrix of the action integral.We pay attention to the asymptotic behavior of this matrix in the large period and small amplitude limits. Thenumerical results about stability give some new insight on several analytical open questions.Finally, direct numerical computations are done on the original system of PDEs to study the behavior of periodictraveling waves under various kinds of perturbations and the solutions of Cauchy problem with discontinuousinitial data. For the latter, we expect dispersive shock waves to arise. The building block for understandingdispersive shocks is known as the Gurevich-Pitaevskii problem, in which modulated equations 'a la Whitham'are used as an approximate model for the oscillatory zone. We compare direct numerical simulations to idealizedsolutions of Gurevich-Pitaevskii problems, starting with the famous KdV equation, La première partie de cette thèse concerne l'étude du problème de Cauchy pour l'équation de KdV quasi-linéaire.On établit un théorème d'existence locale obtenu grâce à des propriétés structurelles et des techniques de jauge qui permettent de compenser les pertes de dérivées apparentes dans les estimations a priori.Dans la seconde partie, les propriétés de stabilité orbitale co-périodique et modulationnelle sont explorées numériquement en exploitant des critères algébriques tous établis à partir d'une même intégrale d'action et de ses dérivées secondes. Notre méthode utilise des quadratures numériques suivies de différences finies afin de calculer la matrice hessienne de l'intégrale d'action. Le comportement asymptotique de cette matrice nous pousse à prêter beaucoup d'attention à l'étude des ondes de grande période ou de faible amplitude. Les résultats numériquesprésentés fournissent de nombreuses informations en lien avec des questions ouvertes.On effectue également des simulations directes sur le système d' ÉDP original pour étudier à la fois le comportement des ondes périodiques sous différents types de perturbations, et les solutions de problèmes de Cauchy avec donnée initiale discontinue. Pour ces derniers, on s'attend à observer des chocs dispersifs, dont la compréhension est basée sur le problème de Gurevich-Pitaevskii, où les équations modulées à la Whitham sont utilisées pour approcher la zone oscillante des chocs. On compare des simulations directes aux solutions idéales du problème de Gurevich-Pitaevskii, en commençant par la célèbre équation de KdV

A method of chaos reduction for Hamiltonian systems is applied to control chaotic advection. By adding a small and simple term to the stream function of the system, the construction of invariant tori has a stabilization effect in the sense that these tori act as barriers to diffusion in phase space and the controlled Hamiltonian system exhibits a more regular behaviour.

In this thesis, we study several problems from symplectic topology, where C°-topology interfere. We study some completions of the space of Hamiltonian maps, and apply this study to the Hamilton-Jacobi equations. Then, we tackle the problem of the extension of the Calabi morphism to some homeomorphism groups. Finally, we consider the C°-rigidity of Poisson bracket and the extension to the continuous framework of the notion of Hamiltonian representation., Dans cette thèse, nous étudions divers problèmes issus de la topologie symplectique où la topologie C° intervient. Nous étudions diverses complétions de l'espace des applications hamiltoniennes, puis appliquons cette étude aux équations d'Hamilton-Jacobi. Nous abordons ensuite le problème de l'extension du morphisme de Calabi à des groupes d'homéomorphismes. Enfin, nous nous intéressons à la rigidité C° du crochet de Poisson et à l'extension au cadre C° de la notion de représentation hamiltonienne.

International audience; Nous nous intéressons à la dynamique saturé du Laser à Electrons Libres Simple Passage, à travers une approche champ moyen. Nous proposons une méthode afin d'accroître la taille de la macro-particule. Celle-ci repose sur la reconstruction de tores invariants de la dynamique de particules-test. A cette fin, un terme de contrôle - qui agit comme une faible perturbation du système - est calculé. Les possibles conséquences de cette stratégie vis-à-vis de l'optimisation du laser sont discutées.

Nous présentons une application d'une méthode du contrôle du chaos pour les systèmes Hamiltoniens à un modèle d'advection chaotique en hydrodynamique. Cette méthode permet de créer des barrières à la diffusion chaotique des particules en ajoutant un terme de contrôle petit et simple à la fonction de courant du système.