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Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2020. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq). Neste trabalho abordamos o comportamento assintótico de sequências regenerativas. Para somas parciais estabilizadas mostramos a convergência em distância Mallows para uma variável aleatória Gaussiana. Para o processo empírico e o processo quantil empirico associados provamos a convergência fraca para um processo Gaussiano de média zero e com trajetórias continuas B, sendo B uma variante da ponte Browniana. Como subproduto obtemos a distribuição assintótica nula para as estatísticas clássicas de Kolmogorov-Smirnov e Crámer-von Mises. Além disso, propomos testes de similaridade relativo a familias de escala-locação para cadeias de Markov Harris com átomo. In this work we address the asymptotic behavior of regenerative sequences. For stabilized partial sum we establish convergence in Mallows distance to a Gaussian random variable. For the associated empirical process and the empirical quantile process we show the weak convergence to functionals of a mean-zero Gaussian process with continuous sample paths B, being B a modified Brownian motion. As a by product asymptotic null distributions are derived for the classical statistics of Kolmogorov-Smirnov and Crámer-von Mises. And, applications include similarity tests of location-scale families for Harris Markov chain with atom.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2019. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico(CNPq). Neste trabalho exploramos a conexão entre o domínio de atração da distribuição Fréchet e a convergência na distância de Mallows. Quando as variáveis aleatórias são i.i.d. provamos as convergências clássicas na distância de Mallows. E para estruturas de dependência geral apresentamos as condições suficientes que garantem a convergência desejada. Métodos regenerativos são utilizados possibilitando a análise para todos os três tipos de distribuições extremais. Como consequência temos a extensão dos resultados clássicos para cadeias de Markov com espaço de estados geral. In this work we explore the connection between domain of attraction for Fréchet distribution and Mallows distance convergence. Under the framework of i.i.d. random variables classical results are derived for Mallows convergence. When the assumption of i.i.d. is dropped sufficient conditions for the desired convergence are proposed. By making use of regeneration approach these results are extended to all three types of extreme distributions. As byproduct, one obtains characterization for domains of attraction for Markov chains with general state space.

Tese (doutorado) — Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2016. Nesta tese estudamos o comportamento assintótico de somas parciais de variáveis aleatórias que constituem uma cadeia de Markov X={Xn}n≥0. Assim, provamos a convergência, em distância Mallows, de somas parciais associadas a cadeias de Markov com espaço de estados enumerável para uma variável aleatória α-estável, com 1

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2016. Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro da agência de fomento à pesquisa, CNPq. Este trabalho é concernente à teoria básica de percolação e representações gráficas para o modelo de Ising/Potts sobre látices com presença de campos externos invariantes e não invariantes por translação. Descrevemos, explicitamente, em termos do modelo de aglomerados aleatórios, a função distribuição e, em consequência, o valor esperado de um único spin para os modelos de Ising e de Potts de q-estados com campos externos gerais. Consideramos, também, os estados de Gibbs para a representação do modelo de Potts com campo magnético invariante e não invariante por translação, e provamos uma versão da desigualdade FKG para o chamado modelo de aglomerados aleatórios geral (modelo GRC), com condição de fronteira livre e conectada no caso invariante e não invariante translacional. Adicionando a hipótese de amenabilidade sobre o látice, obtemos a unicidade do aglomerado infinito e a quase-localidade (quase certa) das medidas de Gibbs para o modelo GRC com tais campos magnéticos. Como uma aplicação da teoria desenvolvida, mostramos a unicidade das medidas de Gibbs para o modelo de Ising ferromagnético, com campo magnético decaindo segundo uma lei de potência com potência suficientemente pequena, como conjecturado em [23]. Finalmente, apresentamos uma pequena introdução e alguns resultados sobre distância Mallows, dando algumas relações com as medidas de Gibbs apresentadas previamente. This work is concerned with the basic theory of percolation and graphical representation for the Ising and Potts models over general lattices with invariant and non-translation invariant external field. We explicitly describe in terms of the random-cluster representation the distribution function and, consequently, the expected value of a single spin for the Ising and q-state Potts models with general external fields. We also consider the Gibbs states for the Edwards-Sokal representation of the Potts model with invariant and non-translation invariant magnetic field and prove a version of the FKG inequality for the so called general random-cluster model (GRC model) with free and wired boundary conditions in the invariant and non-translation invariant case. Adding the amenability hypothesis on the lattice, we obtain the uniqueness of the infinite connected component and the almost sure quasilocality of the Gibbs measures for the GRC model with such general magnetic fields. As a application of the theory developed, we show the uniqueness of the Gibbs measures for the ferromagnetic Ising model with a positive power-law decay magnetic field with small enough power, as conjectured in [23]. Finally we present a brief introduction and some results on Mallows distance giving some relationship with Gibbs measures presented previously.