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Orientadores: Paulo Regis Caron Ruffino, Xue-Mei Hairer Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Seja $M$ uma variedade compacta munida de um par de folheações complementares (vertical e horizontal). O objetivo desta tese é estudar decomposições de fluxos de difeomorfismos em um contexto de baixa regularidade. Provamos que dado um semimartingale $Z_t$ (o qual pode ter infinitos saltos em intervalos compactos), então, até um tempo de parada $\tau$, um fluxo de difeomorfismo em $M$ dirigido por $Z_t$ pode ser decomposto em um processo no grupo de Lie de difeomorfismos cujas trajetórias caminham ao longo das folhas horizontais composto com um processo no grupo de difeomorfismos cujas trajetórias caminham ao longo das folhas verticais. Equações para estes processos são determinadas. Os processos estocásticos com componentes de saltos são gerados por equações de Marcus (como em Kurtz, Pardoux and Protter, Annal. I.H.P., section B, 31 (1995)). Generalizamos ainda mais este contexto geométrico para quaisquer tipo de semimartingales. Mostramos também que esta decomposição também funciona para soluções de equações diferenciais de Young e exploramos alguns aspectos geométricos da integral de Young. No contexto de saltos, nossa técnica é baseada em uma extensão da fórmula de Itô-Ventzel-Kunita para processos com saltos. No contexto de integrais de Young, fazemos uma aplicação de uma fórmula de Itô-Ventzel-Kunita para caminhos $\alpha$-H{\"o}lder Contínuos proposta por Castrequini e Catuogno (Chaos Solitons Fractals, 2022). Algumas obstruções geométricas e topológicas para decomposições também são consideradas Abstract: Let $M$ be a compact manifold equipped with a pair of complementary foliations, say horizontal and vertical. This thesis aims to study a decomposition of flows of diffeomorphisms in the low regularity context. Namely, we prove that given a general semimartingale $Z_t$ (which can have an infinity number of jumps in compact intervals) up to a stopping time $\tau$, a stochastic flow of local diffeomorphisms in $M$ driven by $Z_t$ can be decomposed into a process in the Lie group of diffeomorphisms which trajectories remain along the horizontal leaves composed with a process in the Lie group of diffeomorphisms which trajectories remain along the vertical leaves. SDEs of these processes are shown. The stochastic flows with jumps are generated by the classical Marcus equation (as in Kurtz, Pardoux and Protter, Annal. I.H.P., section B, 31 (1995)). We enlarge the scope of this geometric decomposition and consider flows driven by arbitrary semimartingales with jumps. We show that this decomposition also holds for solutions of Young differential equations exploring the geometry of Young integrals. In the jump context, our technique is based on our extension of the Itô-Ventzel-Kunita formula for stochastic flows, which may jump infinitely many times. In the Young integral context, we apply a Young Itô-Kunita formula for $\alpha$-H{\"o}lder paths proved by Castrequini and Catuogno (Chaos Solitons Fractals, 2022). Geometrical and other topological obstructions for the decomposition are also considered, e.g., sufficient conditions for the existence of global decomposition for all $t\geq 0$ Doutorado Matemática Doutor em Matemática CAPES 001

Orientador: Carlos Eduardo Duran Fernandez Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Apresentaremos neste trabalho alguns dos modelos clássicos em geometria e topologia diferencial para algumas variedades diferenciáveis com o mesmo tipo homotópico de uma esfera. Em seguida apresentaremos construções mais recentes dos mesmos e algumas de suas propriedades. Abstract: We show in this work some of the classical models in geometry and diferential topology for some diferentiable manifolds with the same homotopy type of the sphere. We follow with an exposition of recent work and some of its properties Mestrado Topologia Mestre em Matemática

Orientadora: Prof.ª Dr.ª Patrícia Hernandes Baptistelli Dissertação (mestrado)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Concentração: Geometria e Topologia, 2021 Neste trabalho, estudamos os diagramas divergentes de dobras e os difeomorfismos reversíveis por meio de uma associação com pares de involuções. Vamos dar ênfase ao contexto linear, determinando primeiramente as formas normais das s-uplas de involuções lineares e transversais em (Rn, 0). Utilizamos essas formas normais para classificar os diagramas divergentes de dobras associados às uplas de involuções. Em um segundo momento, determinamos os subespaços de pontos fixos, as simetrias e as simetrias reversíveis de difeomorfismos reversíveis da forma F = '1 _'2, em que ('1,'2) é um par de involuções lineares e transversais, com o intuito de analisar a dinâmica discreta gerada por F. Completamos nosso estudo analisando o comportamento dos subespaços de pontos fixos de duas sequências de involuções reversíveis associadas a F. In this work, we study the divergent diagrams of folds and the reversible diffeomorphisms through an association with pairs of involutions. We emphasize the linear context, first determining the normal forms of the s-tuples of linear and transversal involutions in (Rn, 0). We use these normal forms to classify the divergent diagrams of folds associated with the tuples of involutions. In a second moment, we determine the fixed-points subspaces, the symmetries and reversible symmetries of reversible diffeomorphisms of the form F = '1 _'2, where ('1,'2) is a pair of linear and transversal involutions, in order to analyze the discrete dynamics generated by F. We complete our study by analyzing the behavior of the fixed-points subspaces of two sequences of reversible involutions associated with F.

D. V. Anosov [1] estudou as propriedades de sistemas especiais que representam a, ideia mais perfeita de um comportamento hiperbólico global. Desde então, esses sistemas, que atualmente são conhecidos como sistemas de Anosov (fluxos e difeomorfismos de Anosov), são objeto de estudo de vários pesquisadores. Um exemplo muito famoso de difeomorfismo de Anosov no toro T² = S¹ x S¹, conhecido como mapa do gato de Arnold, é o induzido pela aplicação linear f(x,y) = (2x+y,x+y). Uma suspensão desse difeomorfismo produz um fluxo de Anosov numa 3—variedade, onde o conjunto não errante é a variedade toda, foi conjecturado que fosse verdade para qualquer variedade que suporte um fluxo de Anosov. Em 1974, Verjovsky publicou o artigo [17] dizendo que toda variedade que suporta um fluxo de Anosov de codimensão um, possui conjunto não errante como sendo toda a variedade. Neste trabalho, apresentaremos os exemplos mostrados por John Franks e Bob Williams em [7] que contradizem o artigo de Verjovski no caso especial, quando a variedade tem dimensão 3. Esse comportamento inesperado (ou anômalo) de tais exemplos é o que justifica, assim como no artigo de Franks e Williams [7], esta pesquisa. Palavras-chave: Difeomorfismo de Anosov. Fluxo de Anosov. DA-difeomorfismo. Fluxos de Anosov Intransitivos. D. V. Anosov [1], studied the properties of special systems that represent the most perfect idea of a global hyperbolic behavior. Since then, these systems that are currently known as Anosov's systems (flows and diffeomorphisms of Anosov), are the object of study by several researchers. A very famous example of Anosov’s difeomorphism in the torus T² = S¹ x S¹, known as Arnold’s cat map, is induced by the linear application f(x,y) = (2x+y,x+y). A suspension of this diffeomorphism produces an Anosov flow in a 3—manifold, where the non-wandering set is the entire variety. Many examples known even before 1980 had this property. So it was conjectured that it was true for any variety that supports an Anosov flow. In fact, Verjovsky published the article [17| saying that in every variety that supports a one-dimensional Anosov stream, it has a non-wandering set as being the whole variety. In this work, we will present the examples shown by John Franks and Bob Williams in [7] that contradict Verjovski’s article in the special case when the manifold is 3. This unexpected (or anomalous) behavior of such examples is what motivates, as in the article by Franks and Williams [7], the title presented. Keywords: Anosov diphomorphism. Anosov flow. DA-diffeomorphism. Intransitive Anosov flows.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior The main target of this work are the Anosov diffeomorphisms. Fundamental properties of dynamical systems will be addressed such as structural stability, transitivity and the fact of the set of Anosov diffeomorphisms be open in the space of diffeomorphisms. The main result is a preliminary version presented by John Franks in [4], that every Anosov diffeomorphism of the torus is topologically conjugated to a linear hyperbolic automorphism of the torus. O principal objeto de estudo deste trabalho são os difeomorfismos de Anosov. Serão tratadas propriedades fundamentais em sistemas dinâmicos tais como estabilidade estrutural, transitividade e o fato do conjunto dos difeomorfismos de Anosov ser aberto no espaço dos difeomorfismos. O resultado principal é uma versão preliminar, apresentado por John Franks em [4], de que todo difeomorfismo de Anosov no toro é topologicamente conjugado a um automorfismo linear hiperbólico do toro. Mestre em Matemática

Submitted by Rafael Robson Lino dos Santos (rafael.robson@unesp.br) on 2020-08-07T11:24:26Z No. of bitstreams: 1 Dissertação_Rafael.pdf: 1199631 bytes, checksum: 42a01befd2aa57a363d82a9da8be42c3 (MD5) Approved for entry into archive by Pamella Benevides Gonçalves null (pamella@feg.unesp.br) on 2020-08-12T15:55:24Z (GMT) No. of bitstreams: 1 santos_rrl_me_guara.pdf: 1199631 bytes, checksum: 42a01befd2aa57a363d82a9da8be42c3 (MD5) Made available in DSpace on 2020-08-12T15:55:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 santos_rrl_me_guara.pdf: 1199631 bytes, checksum: 42a01befd2aa57a363d82a9da8be42c3 (MD5) Previous issue date: 2020-07-29 Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) Nesta dissertação, estudamos o modelo TDiff, assim chamado por ser invariante sob difeomorfismos transversais, que descreve a propagação de modos de spin-2 e spin-0. Exploramos a dimensão reducional a la Kaluza-Klein para obter, a partir do modelo TDiff em D+1 dimensões, um modelo massivo D-dimensional. Esta extensão massiva é uma descrição escalar-tensorial cujo limite de massa nula é invariante sob difeomorfismos (Diff). Em seguida, generalizamos a discussão para métricas de fundo curvas e concluímos que espaços de Einstein são sempre exigidos para descrever de modo consistente modelos escalares-tensoriais linearizados, e que é possível obter modelos cujos limites de massa nula são invariantes apenas sob TDiff devido à presença de termos de curvatura não mínimos. In this thesis, we study the so-called linearized TDiff model, which is invariant under transverse diffeomorphisms and describes spin-2 and spin-0 propagation modes. We explore Kaluza-Klein dimensional reduction to obtain a D-dimensional massive model from TDiff in D+1 dimensions. This massive extension is a scalar-tensor description propagating massive spin-2 and spin-0 modes, and whose massless limit is invariant under diffeomorphisms (Diff). Then, we generalize the discussion to curved backgrounds, and conclude that Einstein spaces are always required to consistently describe linearized scalar-tensor models and it is possible to obtain models whose massless limit is invariant only under TDiff due to the presence of non-minimal curvature terms. FAPESP: 2018/24767-2

Topological entropy is one of the most important invariants of topological conjugacy in dynamical systems. By the Ω−stability of Axiom A diffeomorphisms with no cycle condition, it comes out that the entropy is a C−locally constant function among such dynamics. We say that a diffeomorphism f is a point of constancy of topological entropy in C topology if there exists a C−neighborhood U of f such that for any diffeomorphism g ∈ U , h(g) = h(f). We also call a diffeomorphism as a point of variation of entropy if it is not a point of constancy. In [11], Pujals and Sambarino proved that surface diffeomorphisms far from homoclinic tangency are the constancy points of topological entropy in C topology. In this paper we address the reciprocal problem. That is we are interested in the effect of a homoclinic tangency to the variation of the topological entropy for a surface diffeomorphism. Of course after unfolding a homoclinic tangency, new periodic points will emerge, but it is not

CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Nesta dissertação, vamos fazer um estudo de difeomorfismos sobre classes homoclínicas. Introduziremos a propriedade de períodos grandes, como no artigo de Arbieto, Catalan e Santiago [3], e nesta linha tiraremos propriedades robustas de classes homoclínicas genéricas. In this dissertation, we will study homoclinic classes of diffeomorphisms. We will introduce the large periods property as in the paper of Arbieto, Catalan and Santiago [3], and thus we will take robust properties of generic homoclinic classes. Dissertação (Mestrado)

Orientador: Rafael de Freitas Leão Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Em seu artigo clássico "On Manifold Homeomorphic to the 7-Sphere", Milnor constrói, por meio de fibrados de esferas, os primeiros exemplos de Esferas Exóticas utilizando para verificar a exoticidade destas esferas o "invariante Lambda". Posteriormente, Eells e Kuiper constroem no artigo "An invariant for certain smooth manifolds" um invariante para exoticidade de esferas homotópicas 7-dimensionais, o "invariante mu", que nos permite verificar quais das esferas exóticas são, de fato, Esferas de Milnor. Mais recentemente, Crowley e Goette construíram um novo invariante, chamado de "invariante t", que nos permite detectar exoticidade em 7-esferas homológicas racionais 2-conexas. O propósito deste trabalho foi estudar as construções destes invariantes e as ferramentas utilizadas para as construções das mesmas, como Classes Características, Teoria de Morse e Geometria Spin Abstract: In his classic paper "On Manifolds Homeomorphic to the 7-Sphere", Milnor builds, using sphere bundles, the first examples of Exotic Spheres using to verify the exocity of these spheres the "lambda invariant". Later, Eells and Kuiper construct in the paper "An invariant for certain smooth manifolds" an invariant for exoticity of 7-dimensional homotopic spheres, the "mu invariant", which allows us to verify which of the exotic spheres are, in fact, Milnor's exotic spheres. More recently, Crowley and Goette have constructed a new invariant, called the "t-invariant", which allows us to detect exoticity in 2-connected rational homology 7-spheres. The purpose of this work was to study the constructions of these invariants and the tools used to construct them, such as Characteristic Classes, Morse Theory and Spin Geometry Mestrado Matemática Mestre em Matemática CNPQ 130578/2015-0

CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior FAPERJ - Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro We use the Invariance Principle of Avila and Viana to prove that every partially hyperbolic symplectic diffeomorphism with 2-dimensional center bundle, having a periodic point and satisfying certain pinching and bunching conditions, can be C r -approximated by non-uniformly hyperbolic diffeomorphisms. Usamos o Princípio de Invariância de Ávila e Viana para provar que todo difeomorfismo simplético parcialmente hiperbólico com feixe central bidimensional, tendo um ponto periódico e satisfazendo certas condições de pinçamento e agrupamento, pode ser C r aproximado por difeomorfismos hiperbólicos não uniformemente.

We address the classical problem of equivalence between Kolmogorov and Bernoulli property of smooth dynamical systems. In a natural class of volume preserving partially hyperbolic diffeomorphisms homotopic to Anosov ("derived from Anosov") on 3-torus, we prove that Kolmogorov and Bernoulli properties are equivalent. In our approach, we propose to study the conditional measures of volume along central foliation to recover fine ergodic properties for partially hyperbolic diffeomorphisms. As an important consequence we obtain that there exists an almost everywhere conjugacy between any volume preserving derived from Anosov diffeomorphism of 3-torus and its linearization. Our results also hold in higher dimensional case when central bundle is one dimensional and stable and unstable foliations are quasi-isometric., Comment: 27 pages

Let f f be a C r C^r -diffeomorphism of the closed annulus A A that preserves the orientation, the boundary components and the Lebesgue measure. Suppose that f f has a lift f ~ \tilde f to the infinite strip A ~ \tilde A which has zero Lebesgue measure rotation number. If the rotation number of f ~ \tilde f restricted to both boundary components of A A is positive, then for such a generic f f ( r ≥ 16 r\geq 16 ), zero is an interior point of its rotation set. This is a partial solution to a conjecture of P. Boyland.

Made available in DSpace on 2014-11-10T11:09:53Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2014-05-09Bitstream added on 2014-11-10T11:57:47Z : No. of bitstreams: 1 000790521.pdf: 574596 bytes, checksum: ecbb89ff14712fc03df62da2fba0500e (MD5) Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior In this work we consider two sufficient conditions for the global injectivity of local diffeomorphisms X : R2 → R2 of class C1. The first is based on the spectrum of X, in this case it is enough to consider X differentiable, and the second is known as Palais-Smale Condition. In fact, these conditions ensure the triviality of the foliations in R2 induced by the coordinated functions of X and this guarantees the global injectivity of the map X. Besides discussing the proofs of this results, we exhibit a collection of examples showing that such conditions provide different classes of globally injective maps. Neste trabalho consideramos duas condições suficientes para que um difeomorfismo local X : R2 → R2, de classe C1, seja globalmente injetivo. A primeira baseada no espectro da aplicação X, neste caso basta considerar X diferenciável, e a segunda é a condição de Palais-Smale. De fato, tais condições garantem a trivialidade das folheações em R2 induzidas pelas funções coordenadas de X e isto garante a injetividade global da aplicação X. Além de apresentar as demonstrações destes resultados, exibimos uma coleção de exemplos que permitem concluir que tais condições estabelecem classes distintas de aplicações globalmente injetivas. Mestre em Matemática

Sistemas dinamicos discretos holomorfos em (C; 0) tangentes a identidade sao germes de difeomor smos locais da forma f(z) = z + ar+1zr+1 + ar+2zr+2 + ..., ar+1 6= 0; (1.1) onde r+1 é chamado de multiplicidade de f. O conjunto desses sistemas sera denotado por Di (C; 0) e chamaremos seus elementos simplesmente de difeomor smos tangentes a identidade. Denotamos por Di r+1(C; 0) o conjuntos dos difeomor smos tangentes a identidade com multiplicidade r + 1. O conjunto das series formais do tipo (1:1) s~ao os difeomor smos formais tangentes a identidade.

Based on work of Hasseler Whitney and André Haefliger we seek to know under what conditions smooth application f : M → R2 of a compact surface in space R2 an be studied as a composition of a immersion g : M → R3 with the natural projection п : R3 → R2. Baseados nos trabalhos de Hasseler Whitney e André Haefliger, buscamos saber sobre que condições uma aplicação suave f : M → R2 de uma superfície compacta no espaço R2 pode ser estudada como composição de uma imersão g : M → R3 com a projeção natural п : R3→R2.

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Este trabalho tem como foco o estudo do índice de Conley discreto e do par de matrizes de conexão para difeomorfismos fitted Smale em variedades compactas. Foi estabelecido um teorema que apresenta o cálculo do índice de Conley de conjuntos básicos zero - dimensionais usando a informação dinâmica contida nas matrizes de estrutura associadas. A classificação do índice de Conley homológico reduzido de conjuntos básicos zero - dimensionais, utilizando a sua forma de Jordan real foi apresentada. Estabelecemos uma caracterização de pares de matrizes de conexão para decomposições de Morse em conjuntos básicos zero - dimensionais para uma classe de difeomorfismos fitted Smale Abstract: Our focus in this thesis was on the further development of the discrete Conley index theory with the aim of addressing questions on the pair of connection matrices for fitted Smale diffeomorphisms on compact manifolds. A theorem was established where the computation of the discrete Conley index for zero dimensional basic sets was given with respect to the dynamical information contained in the associated structure matrices. A classification of the reduced homology Conley index of a zero dimensional basic set in terms of its Jordan real form is presented. A characterization of a pair of connection matrices for a Morse decomposition of zero dimensional basic sets of a class of fitted Smale diffeomorphisms is established Doutorado Matemática Doutora em Matemática

In this paper we consider $C^{1+\epsilon}$ area-preserving diffeomorphisms of the torus $f,$ either homotopic to the identity or to Dehn twists. We suppose that $f$ has a lift $\widetilde{f}$ to the plane such that its rotation set has interior and prove, among other things that if zero is an interior point of the rotation set, then there exists a hyperbolic $\widetilde{f}$-periodic point $\widetilde{Q}$$\in {\rm I}\negthinspace {\rm R^2}$ such that $W^u(\widetilde{Q})$ intersects $W^s(\widetilde{Q}+(a,b))$ for all integers $(a,b)$, which implies that $\bar{W^u(\widetilde{Q})}$ is invariant under integer translations. Moreover, $\bar{W^u(\widetilde{Q})}=\bar{W^s(\widetilde{Q})}$ and $\widetilde{f}$ restricted to $\bar{W^u(\widetilde{Q})}$ is invariant and topologically mixing. Each connected component of the complement of $\bar{W^u(\widetilde{Q})}$ is a disk with uniformly bounded diameter. If $f$ is transitive, then $\bar{W^u(\widetilde{Q})}=$${\rm I}\negthinspace {\rm R^2}$ and $\widetilde{f}$ is topologically mixing in the whole plane., Comment: to be published in Erg. Th. & Dyn. Sys

Orientadores: Alcibiades Rigas, Carlos Eduardo Duran Fernandez Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Nesse trabalho estudaremos a geometria e a topologia de algumas variedades homeomorfas, porém não difeomorfas, à esfera padrão Sn, chamadas esferas exóticas. Realizaremos duas dessas variedades como quocientes isométricos de fibrados principais com métricas de conexão sobre esferas de curvatura constante. Através disso, apresentaremos simetrias desses espaços e exemplos explícitos de difeomorfismos não isotópicos a identidade, usando-os para o cálculo de grupos de homotopia equivariante. Como mais uma aplicação dessa construção, provaremos que, se uma esfera homotópica de dimensão 15 é realizável como um fibrado linear sobre S8, então a mesma esfera é realizável como um fibrado linear sobre a esfera exótica de dimensão 8 com as mesmas funções de transição. No ultimo capítulo lidaremos com a geometria de fibrados induzidos, deduzindo uma condição necessária sobre a função indutora para que a métrica da conexão induzida tenha curvatura seccional não-negativa Abstract: In this work we study the geometry and topology of manifolds homemorphic, but not diffeomorphic, to the standard sphere Sn, the so called exotic spheres. We realize two of these manifolds as isometric quotients of principal bundles with connection metrics over the constant curved sphere. Through this, we present symmetries in these spaces and explicit examples of diffeomorphisms not isotopic to the identity, using them for the calculation of equivariant homotopy groups. As another application, we prove that, if a homotopy 15-sphere is realizeble as the total space of a linear bundle over the standard 8-sphere, then, it is realizeble as the total space of a linear bundle over the exotic 8-sphere with the same transition maps. In the last chapter we deal with the geometry of pull-back bundles, deducing a necessary condition on the pull-back map for nonnegative curvature of the induced connection metric Doutorado Matemática Doutor em Matemática

En este trabajo realizaremos una demostración del Teorema de la Variedad Estable, para difeomorfismos C∞ Anosov, f : M → M, en variedades (M) riemanianas, conexas, compactas. Las técnicas serán del tipo de las usadas en [1], el método se basará fundamentalmente en el uso de formas cuadráticas y funciones de Lyapunov asociadas al carácter Anosov del difeomorfismo y a la condición de compacidad de la variedad M , a diferencia de las demostraciones tradicionales basadas en métodos analíticos.

A family of period minimal pseudo-Anosov braids, one for each pair of Farey neighbors in ( 0 , 1 / 2 ] (0,1/2] , is described.

The Decoration Conjecture describes the structure of the set of braid types of Smale's horseshoe map ordered by forcing, providing information about the order in which periodic orbits can appear when a horseshoe is created. A proof of this conjecture is given for the class of so-called lone decorations, and it is explained how to calculate associated braid conjugacy invariants which provide additional information about forcing for horseshoe braids., Comment: 41 pages, 13 figures

En esta tesis presentamos resultados genéricos de difeomorfismos de variedades relacionados con una conjetura de [ABD] que afirma que una clase homoclínica genérica con interior ha de ser toda la variedad. En particular, damos una prueba nueva para el caso en dimensión 2 (este resultado se encontraba probado en [ABCD]) y una prueba para un caso particular en dimensión 3 (por ejemplo, cuando la clase homoclínica se encuentra lejos de tangencias).

Nesta Tese discutimos três problemas chave que estabelecem um número de conexões entre aspectos fundamentais e aplicações práticas em Dinâmica Não-Linear. No primeiro capítulo revisamos conceitos básicos e como simplificar e resolver de modo exato as equações de movimento de um difeomorfismo polinomial que exibe um cenário rico em complexidade, da integrabilidade ao caos dissipativo: o mapa de Hénono Apresentamos resultados exatos definindo todas as órbitas periódicas de períodos até 6 no limite Hamiltoniano do modelo para uma de não-linearidade representativa onde existe uma ferradura completa de Smale, quando todas órbitas possíveis são reais. Mostramos que é possível classificar as órbitas segundo as irracionalidades algébricas envolvidas nas soluções exatas, re-ordenando e mostrando inter-dependências dos rótulos normalmente derivados através da dinâmica simbólica. Nossas soluções exatas permitem-nos resolver de uma vez por todas o enigma do centro de massa orbital, que consiste na observação empírica, apresentada na literatura, da simplificação freqüente da soma das coordenadas dos pontos orbitais em simples números racionais. No segundo capítulo mostramos que, ainda no limite Hamiltoniano mas para valores arbitrários do parâmetro de não-linearidade, o conjunto das órbitas periódicas é formado por três classes de conjugação algébrica bem definidas. Mostramos que a classe das órbitas assimétricas é composto por pares de órbitas que exibem simetria quiral. Apesar de ser comum na literatura estudar-se preferencialmente apenas as órbitas simétricas, mostramos que as órbitas assimétricas são as que dominam por completo a estatística orbital à medida que o período cresce. Por exemplo, para período 20, computamos que 97.2% das 52377 órbitas existentes, consideradas até aqui como meramente assimétricas são, na verdade, pares de órbitas com simetria quiral. A Tese é concluida no terceiro capítulo, onde apresentamos um estudo numérico para verificar alguns aspectos dinâmicos que, devido à extensão dos cálculos, não podem ser decididos analiticamente como nos dois capítulos precedentes. Mais especificamente, estudamos a conexão entre os espaços de fase real e complexo de mapa de Hénon dissipativos, quando se mantém os parâmetros de controle no domínio real. Tal cenário nos permite encontrar dois resultados novos: (i) a existência de uma infinidade de órbitas periódicas que, apesar de existirem no plano complexo, são estáveis para valores reais dos parâmetros de controle, e (ii) que os pontos críticos, atores centrais hoje em dia da dinâmica holomórfica (i. e. analítica complexa), na verdade são totalmente não-essenciais. Isto porque, como demonstramos, a mesma fenomenologia da dinâmica holomórfica pode ser obtida num regime realístico onde sequer é possível definir-se pontos críticos. Em particular, mostramos como obter conjuntos mais gerais que o famoso conjunto de Mandelbrot sem envolver considerações de pontos críticos. In this Thesis we discuss three key prablems that establish a number of connections between fundamental aspects and practical applications in Nonlinear Dynamics. In the first chapter we review basic concepts and how to simplify and exactly solve the equations of motion of a polynomial di.ffeomorphism which exhibits a full range of complexity, fram integrability to dissipative chaos: the Hénon map. We report exact results defining all periodic orbits with periods up to 6 in the Hamiltonian limit of the model for a representative nonlinearity supporting a full Smale horseshoe, when all possible orbits are real. We show that it is possible to classify the orbits according the algebraic irrationality involved in the exact solutions) re-ordering and making visible interdependencies of the labels normally derived via symbolic dynamics. Our exact solution allow us to solve for good the puzzle of the orbital center-of-mass. In the second chapter we show that, still in the Hamiltonian limit but for arbitrary values of the nonlinearity parameter) the set of periodic orbits is composed by three well-defined algebraic con,jugacy classes. We show that the class of asymmetrical orbits is composed by pairs of orbits exhibiting a chiral symmetry. Although in the literature it is common to study mainly symmetrical orbits) we show that it is the asymmetric orbits that completely dominate the orbital statistics when the period graws. For instance, for period 20 we computed that 97.2% of the 52377 existing orbits, considered thus far as being merely asymmetric orbits, are in fact pairs of orbits with chiral symmetry. The Thesis concludes in the third chapter, where we present a numerical study to verify some dynamical aspects that) due to the extension of the calculations) cannot be decided analytically as in the two preceding chapters. More specifically) we study the connection between the real and the complex phase-spaces of the dissipative Hénon map when maintaining the control parameters in the real domain. This scenario allows v.S to find two new results which are extremely surprising: (i) The existence of an infinity of periodic orbits which, albeit living in the complex plane) are stable for real values of the contral parameters) and (ii) That the critical point) key players nowadays in holomorphic (i. e. analytic complex) dynamics, in fact are totally non-essential. This because, as we show, the same phenomenology of holomorphic dynamics may be obtained in a realistic regime where it is not even possible to define critical points. In particular, we show how to obtain sets more general than the famous Mandelbrat set without considering critical points.

In an explicit family of partially hyperbolic diffeomorphisms of the torus T 3, Shub andWilkinson recently succeeded in perturbing the Lyapunov exponents of the center direction. We present here a local version of their argument, allowing one to perturb the center Lyapunov exponents of any partially hyperbolic system, in any dimension and with arbitrary dimension of the center bundle.

Orientador: Ketty Rezende Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Não informado Abstract: Not informed Mestrado Mestre em Matemática

The present work represents my Master thesis in Pure Mathematics, next to the Federal University of Ceará. It is a structural stability of Anosov diffeomorphisms. The proof presented here is essentially contained in the work of K. W. Robbin in which the structural stability of the C2 diffeomorphisms satisfying the A-axiom and the condition of the strong transversality, defined on compact varieties, C-infinite, without edge, is demonstrated. We clarify that the structural stability of the Anosov diffeomorphisms is already a proven fact, what we do here is only to present a different proof, assuming that diffeomorphism is class C2, and using the demonstration of J. W. Robbin. In Chapter 1, we make a brief approach on the study of varieties, informing about the main things that will be used in our work. In Chapter 2, we introduced the Anosov diffeomorphisms, an example of such diffeomorphisms, and we also give the definition of structural stability. We conclude chapter 2 giving the ideas of the proof that will be developed in chapter 3. In Chapter 1, when we speak of varieties, we forget the mathematical rigor in the definitions a little, and in a less rigorous way, we only present the objects on which we work. I believe that this is a very reasonable attitude, since a detailed study of varieties would run away from the objectives of our work. O presente trabalho representa a minha tese de Mestrado em Matemática pura, junto à Universidade Federal do Ceará. Trat-se de uma estabilidade estrutural dos difeomorfismos de Anosov. A prova apresentada aqui está essencialmente contida no trabalho da K. W. Robbin no qual se demonstra a estabilidade estrutural dos difeomorfismos C2 satisfazendo o axioma-A e a condição da transversalidade forte, definidos sobre variedades compactas, C-infinito, sem bordo. Esclarecemos que a estabilidade estrutual dos difeomorfismos de Anosov é já um fato demonstrado, o que fazemos aqui é apenas apresentar uma prova diferente, supondo que o difeomorfismo é a classe C2, e utilizando a demonstração de J. W. Robbin. No capítulo 1, fazemos uma breve abordagem sobre o estudo das variedades, informando sobre as principais coisasa que serão utilizadas em nosso trabalho. No capítulo 2, introduzimos os difeomorfismos de Anosov, um exemplo de tais difeomorfismos e damos também a definição de estabilidade estrutural. Finalizamos o capítulo 2 dando as ideias da prova que será deenvolvida no capítulo 3. No capítulo 1, quando falamos de variedades, esquecemos um pouco o rigor matemático nas definições, e de forma pouco rigorosa, apenas apresentamos os objetos sobre os quais trabalhamos. Acredito que essa é uma atitude bastante razoável, visto que um estudo detalhado sobre variedades, fugiria aos objetivos do nosso trabalho.

En este trabajo se demuestra como la de singularización de los gérmenes en 0 ∈ R2 de campos vectoriales permiten construir, bajo ciertas hipótesis, de singularizaciones de los gérmenes de difeomorfismos en el mismo punto. Se deduce entonces que bajo ciertas condiciones un germen de difeomorfismos tiene separatrices (las mismas del campo asociado) y puede prolongarse al flujo de un gérmen en 0 ∈ R2 de campo vectorial.

En el presente trabajo se estudia la dinámica de los homeomorfismos de la circunferencia unitaria desde el punto de vista topológico. A cada homeomorfismo de tal circunferencia se le puede asociar un invariante topológico, conocido como el número de rotación de Poincaré. Se muestra que si f es un homeomorfismo que preserva orientación con número de rotación irracional, entonces f es semiconjugado a una rotación irracional. Cuando el difeomorfismo es de clase C2 se consigue incluso conjugación topológica. Además, se construye un difeomorfismo de la circunferencia unitaria no transitivo de clase C1 cuyo número de rotación es irracional. Tesis