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El objetivo de este trabajo es hacer un estudio del método subgradiente, que es un método usado para la minimización de funciones convexas no necesariamente diferenciables. Presentamos el método para el caso con restricciones como para el caso irrestricto, presentamos resultados de convergencia para los diferentes tamaños de pasos más usados y estudiamos variantes para las dificultades que pueden acontecer en el método También estudiamos un algoritmo para resolver desigualdades variacionales definidas por un operador monótono e un conjunto convexo y cerrado, se prueba un resultado de convergencia asumiendo que el operador es monótono maximal y paramonotono. Y por ultimo extendemos el algoritmo del subgradiente para el caso de funciones cuasiconvexas asumiendo la condición de ser Holder sobre el conjunto optimal, probando que la sucesión generada converge a un punto óptimo. PALABRAS CLAVES: Método del Subgradiente, Análisis no diferenciable, Desigualdades variacionales, Analisis convexo, Métodos para optimización no diferenciable --- The objective of this work is to study the subgradient method, which is a method used to minimize not necessarily differentiable convex functions. We present a method for the case restricted to the unrestricted case, we present results of convergence for the different sizes of commonly used steps and study alternatives for the difficulties that may occur in the method Also study an algorithm for solving variational inequalities defined by a monotone operator and a convex closed set, a result of convergence assuming that the operator is monotone and maximal paramonotono is tested. And finally the algorithm Subgradient is extend to the case of functions cuasiconvexas assuming the condition of being Holder on the optimal set, proving that the generated sequence converges to an optimal point. KEYWORDS: Subgradient Method,Analysis not differentiable, Variational inequalities, Convex analysis, Methods for optimization not differentiable Tesis

En esta tesis, construimos un esquema general de dualidad para problemas de desigualdad variacional. Este esquema es análogo al esquema clásico de dualidad en programación convexa en el sentido que la dualidad es obtenida introduciendo variables de perturbaciones. Para lograr este objetivo, antes desarrollamos algunas propiedades y caracterizaciones de las multifunciones (subconjuntos) monótonos y monótonos maximales desde un punto de vista global y local. En particular damos un algoritmo para construir una extensión monótono maximal de una multifunción monótono arbitraria. Hemos estudiado específicamente los subespacios afines monótonos. En este caso particular, la construcción de una extensión monótono maximal puede ser elaborada con un número finito de pasos. Finalmente aplicamos nuestro esquema de dualidad para algunas clases particulares de problemas de desigualdad variacional. In this thesis, we construct a general duality scheme for monotone varialional incquulüy problems. This scheme is analogous to the classical duality scheme in convex program-ming in the sense that the duality is obtained by adding perturbation variables. In order to reach this goal, we have before deepened some properties and characteriza-tions of monotone and maximal monotone multi-valued maps (subsets) on a global and a local point of view. In particular, we give an algorithm for constructing a maximal monotone extensión of an arbitrary monotone map. We have specifically studied monotone affine subspaces. In this particular case, The construction of a maximal monotone extensión can be processed within a finite number of steps. Finally, applications of our duality scheme to some classes of variational inequality problems are discussed. Tesis