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En esta tesis abordamos tres aspectos importantes de los espacios de funciones difusas que son continuas respecto a la métrica supremo cuando están dotados de las topologías más habituales en este contexto. Estudiamos su completitud, metrizabilidad y compacidad. Este último concepto está claramente relacionado con el teorema de Ascoli cuyo resultado generalizamos a un marco más amplio. Por otra parte, estudiamos los problemas de aproximación en los espacios de funciones difusas continuas, no solo utilizando redes neuronales, sino probando resultados más generales, tipo Stone-Weierstrass. Cabe destacar que estos resultados se prueban para funciones difusas que son continuas tanto respecto a la métrica supremo como respecto a la topología de la convergencia de nivel. In this thesis we deal with three important aspects of the spaces of diffuse functions that are continuous with respect to the supreme metric when they are endowed with the most common topologies in this context. We study its completeness, metrizability and compactness. This last concept is clearly related to the Ascoli theorem whose result we generalize to a wider framework. On the other hand, we studied the problems of approximation in the spaces of continuous diffuse functions, not only using neural networks, but testing more general results, such as Stone-Weierstrass. It should be noted that these results are tested for fuzzy functions that are continuous both with respect to the supreme metric and with respect to the topology of the level convergence. Programa de Doctorat en Ciències