Search

Definisane su neke klase polugrupa koje su uopštenja tzv. antiinverznih polugrupa. Za neke opšte klase polugrupa nađene su baze u smislu Ljapina. Dati su identiteti algebri koje se potapaju u polumreže., Some new classes of semigroups are defined which are generalizations of so called antiinverse semigroups. The Lyapin bases of some well known classes of semigroups are determined. The identities of the variety of subalgebras of semilattices are determined.

The topic of the thesis is analysis of the topological structure of scalar fields andshapes represented through Morse and cell complexes, respectively. This isachieved by defining simplification and refinement operators on thesecomplexes. It is shown that the defined operators form a basis for the set ofoperators that modify Morse and cell complexes. Based on the definedoperators, a multi-resolution model for Morse and cell complexes is constructed,which contains a large number of representations at uniform and variableresolution., Тема дисертације је анализа тополошке структуре скаларних поља иоблика представљених у облику комплекса Морза и ћелијских комплекса,редом. То се постиже дефинисањем оператора за симплификацију ирафинацију тих комплекса. Показано је да дефинисани оператори чинебазу за скуп оператора на комплексима Морза и ћелијским комплексима.На основу дефинисаних оператора конструисан је мулти-резолуционимодел за комплексе Морза и ћелијске комплексе, који садржи велики бројрепрезентација униформне и варијабилне резолуције., Tema disertacije je analiza topološke strukture skalarnih polja ioblika predstavljenih u obliku kompleksa Morza i ćelijskih kompleksa,redom. To se postiže definisanjem operatora za simplifikaciju irafinaciju tih kompleksa. Pokazano je da definisani operatori činebazu za skup operatora na kompleksima Morza i ćelijskim kompleksima.Na osnovu definisanih operatora konstruisan je multi-rezolucionimodel za komplekse Morza i ćelijske komplekse, koji sadrži veliki brojreprezentacija uniformne i varijabilne rezolucije.

The topic of the thesis is analysis of the topological structure of scalar fields and shapes represented through Morse and cell complexes, respectively. This is achieved by defining simplification and refinement operators on these complexes. It is shown that the defined operators form a basis for the set of operators that modify Morse and cell complexes. Based on the defined operators, a multi-resolution model for Morse and cell complexes is constructed, which contains a large number of representations at uniform and variable resolution. Тема дисертације је анализа тополошке структуре скаларних поља и облика представљених у облику комплекса Морза и ћелијских комплекса, редом. То се постиже дефинисањем оператора за симплификацију и рафинацију тих комплекса. Показано је да дефинисани оператори чине базу за скуп оператора на комплексима Морза и ћелијским комплексима. На основу дефинисаних оператора конструисан је мулти-резолуциони модел за комплексе Морза и ћелијске комплексе, који садржи велики број репрезентација униформне и варијабилне резолуције. Tema disertacije je analiza topološke strukture skalarnih polja i oblika predstavljenih u obliku kompleksa Morza i ćelijskih kompleksa, redom. To se postiže definisanjem operatora za simplifikaciju i rafinaciju tih kompleksa. Pokazano je da definisani operatori čine bazu za skup operatora na kompleksima Morza i ćelijskim kompleksima. Na osnovu definisanih operatora konstruisan je multi-rezolucioni model za komplekse Morza i ćelijske komplekse, koji sadrži veliki broj reprezentacija uniformne i varijabilne rezolucije.

We establish several properties of higher commutators, which wereintroduced by A. Bulatov, in congruence permutable varieties. We use thesecommutators to prove that the clone of polynomial functions of a finite Mal’cevalgebra whose congruence lattice is of height at most 2, can be described by afinite set of relations. For a finite nilpotent algebra of finite type that is a productof algebras of prime power order and generates congruence modular variety, weare able to show that the property of affine completeness is decidable. Moreover,polynomial equivalence problem has polynomial complexity in the length of theinput polynomials., Ustanovljavamo osobine viˇsih komutatora, koje je uveo A. Bulatov,u kongruencijki permutabilnim varijetetima. Te komutatore koristimo da bidokazali da se klon polinomijalnih funkcija konaˇcne Maljcevljeve algebre ˇcija jemreˇza kongruencija visine najviˇse dva moˇze opisati konaˇcnim skupom relacija. Zakonaˇcne nilpotentne algebre konaˇcnog tipa koje su proizvod algebri koje imaju redstepena prostog broja i koje generiˇsu kongruencijki modularan varijetet pokazu-jemo da je osobina afine kompletnosti odluˇciva. Takod¯e, pokazujemo za istu klasuda problem polinomijalne ekvivalencije ima polinomnu sloˇzenost u zavisnosti odduˇzine unetih polinomijalnih terma.

Ova teza se bavi ¤-kvazilinearnim varijetetima grupoida. Pokazano je da postoji ta·cno dvadeset osam idempotentnih ¤-kvazilinearnih varijeteta grupoida, od kojih dvadeset ·sest varijeteta imaju kona·cnu bazu i te baze su i navedene, dok preostala dva varijeteta imaju inherentno beskona·cnu bazu. U tezi je opisano ured enje svih idempotentnih ¤-kvazilinearnih varijeteta grupoida i nalazimo male grupoide koji generi·su svaki od navedenih varijeteta. Na kraju je pokazano da postoji kontinum mnogo ¤-kvazilinearnih variejeteta grupoida., The topic of this thesis are ¤-quasilinear varieties of groupoids.We show that there exist exactly twenty-eight idempotent ¤-quasilinear varieties of groupoids, twenty-six of which are ¯nitely based (and we explicitlygive ¯nite bases for each of them), while two are inherently non¯nitely based.We describe the ordering of these twenty-eight idempotent ¤-quasilinear varieties of groupoids and ¯nd small generating algebras for each of them. Inthe end we show that there exist continuum many ¤-quasilinear varieties ofgroupoids, not all of which are even locally ¯nite.

Ovaj rad se bavi algebrama kompleksa i stepenim konstukcijama uopste. Prvo poglavlje sadrzi pregled poznatih rezultata iz ove oblasti. U drugom poglavlju razmatrani su neki univerzalno-algebarski problemi vezani za algebre kompleksa, koji su pokrenuti u radovima C. Brinka. Trece poglavlje sadr ´ zi rezultate o stepenim grafovima, sa posebnim osvrtom na globalnu odredjenost grafova., The thesis deals with power algebras and power constructions in general. The first chapter contains the most important known results from this field. In Chapter 2 some universal-algebraic problems concerning power algebras are considered. Chapter 3 is devoted to the investigation of power graphs. The main attention is focused on the problem of global determinism of graphs.&nbsp

Tema ove disertacije je involucijau algebarskim strukturama. Involucije su bijektivna preslikavanja koja se poklapaju sa svojim inverznim funkcijama. One se pojavljuju u skoro svim oblastima matematike: podsetimo se samo projektivne geometrije, teorije algebarskih krivih, inverzije u euklidskoj geometriji i njenog značaja za modele hiperboličke geometrije, teorije matrica i drugih disciplina. Cilj disertacije je da prikaže teoriju involutivnih algebri, tj. neke rezultate u okviru te teorije. Najviše su istraženi odnosi između algebarskih zakona i involucije, i ti odnosi daju jednu sasvim novu algebarsku teoriju. Materijal je podeljen u četiri dela. U prvom delu se posmatraju tzv. Plonkine sume. Ispostavilo se da su mnoge klasične konstrukcije u algebri samo specijalni slučajevi Plonikih suma. Kako bismo ih prilagodili izučavanju involutivnih algebri, ove sume su modifikovane, tako da dobijamo involutivne Plonkine sume. U radu su ispitane neke osobine takvih suma. U drugom delu istražujemo involutivne polugrupe. Između ostalog, dokazano je da je klasa regularnih *-traka globalno određena. Treći deo prikazuje neke od najnovijih rezultata u oblasti involutivnih poluprstena. Najzad, poslednji, četvrti deo govori o involutivnim prstenima. Posmatrani su neki poddirektno nesvodljivi prsteni sa involucijom, i dokazan je involutivni analogon čuvene teoreme N. Jacobsona., The topic o f this dissertation is involutionin algebraic structures. Involutions are bijective mappings which coincide with their inverse functions. They appear in almost all mathematical disciplines: recall projective geometries, theory of algebraic curves, inversion in euclidean geometry and its importance in the models of hyperbolic geometry, theory of matrices and other parts of mathematics. The aim of this dissertation is to present the theory o f involution algebras, i.e. some results in the frame o f that theory. We are investigating the relationship of algebraic laws and involution, which together give a new algebraic theory. The material is divided into four parts. In the first part, we are considering the so called Plonka sums. It turned out that many classical constructions in algebra are special cases o f Plonka sums. We modify these sums in order to make them applicable to involution algebras, and so we obtain the involutorial Plonka sums, whose properties are explored. In the second part, we investigate involution semigroups. Among other things, it is shown that the class o f regular ‘ -bands is globally determined. The third part is about semirings with involution. We review some of the latest results in the area o f involution semirings. The final, fourth part is about rings with involution. We are considering some subdirectly irreducible involution rings and prove an involutorial analogue of the wellknown theorem o f N. Jacobson.

Poluprsten je algebarska struktura (5, + , •) sa dve binarne operacije u kojoj su (S,+ ) i (5, •) polugrupe i druga je distributivna prema prvoj sa obe strane. U radu su uvedeni pojmovi p-polugrupe kao i p-poluprstena. Kažemo daje polugrupa ( S, + ) p-polugrupa ako (Vz G S)(3yG S)(x+py+x = y,py + x+py = z ). Poluprsten ( S, +.•)zovemo p-poluprsten ako (Vz G S)(3yG S)(x + py + x = y,py + x + py = z,4p z2 = 4pz). Dokazano je da je svaka p-polugrupa pokrivena grupama koje su u potpunosti opisane. Takođe je pokazano da su p-poluprsteni pokriveni pretprsteni-ma. Za p = 4A; + 3 (kG N0)ili p paran broj p-polugrupe, odnosno p-poluprsteni su varijeteti., A semiring (5 ,+ ,-) is an algebric structure with two binary operations in which ( S, + ) and (S,•) are semigroups, and the second operation is two-side dis­ tributive with respect to the first one. In the present paper notions of p-semigroup and p-semiring are introduced. We say that a semigroup (S', + ) is a p-semigroup if (Vx £ S)(3y £ S)(x + py + x = y,py + x + py = x).A semiring (S', + , •) is called a p-semiring if (Vx £ S)(3y£ S)(x +py + x = y,py + x + py = x,4px2 = 4px). It is proved that each p-semigroup is covered by groups which are completely described. It is also proved that p-semirings are covered by prering. For p = 4k + 3 (k £ No) or for even p, the class of p-semigroups, respectively of p-semirings are varieties.

Jezik nad E je proizvoljan skup reci nad E, tj. proizvoljan podskup slobodnog monoida E*. Jezici nad datom azbukom formiraju al­ gebre jezika, sa operacijama unije, konkatenacije (dopisivanja red), Kleene-jeve iteracije i sa 0, {A} kao konstantama. Regularni jezici nad E su elementi podalgebre algebre jezika nad E generisane konačnim jezicima. Ispostavlja se da algebre jezika generišu isti varijetet (i stoga zadovoljavaju iste iden­titete) kao i algebre binarnih relacija snabdevene operacijama unije, kompozi­cije, refleksivno-tranzitivnog zatvorenja i praznom relacijom i dijagonalom kao konstantama. Reč je o varijetetu Kleenejevih algebri, i slobodne algebre tog varijeteta su baš algebre regularnih jezika. Na početku disertacije, izloženi su neki aspekti algebarske teorije automata i formalnih jezika, teorije binarnih relacija i univerzalne algebre, relevantni za ispitivanje identiteta na algebrama jezika. Zatim je dat klasični rezultat (Redko, 1964.) da varijetet Kleenejevih algebri nema konačnu bazu identiteta. Ovde je prikazan dokaz Conwaya iz 1971., budući da on sadrži neke ideje koje su se pokazale korisne za dalji rad. Glave 3 i 4 sadrže originalne rezultate usmerene na profinjenje Redkovog rezultata. Pokazano je da uzroci beskonačnosti baze identiteta za Kleenejeve algebre leže u interakciji operacija konkatenacije i iteracije jezika (odnosno, kompozicije i refleksivno-tranzitivnog zatvorenja relacija). Drugim recima, klasa redukata algebri jezika bez operacije unije nema konačnu bazu identiteta. To daje odgovor na problem D. A. Bredikhina iz 1993. godine. S druge strane, proširenjem tipa Kleenejevih algebri involutivnom operacijom inverza jezika, odnosno relacija, takođe se dolazi do beskonačno baziranih varijeteta, čime se rešava problem B. Jonssona iz 1988. godine. Analogno, komutativni jezici nad E su proizvoljni podskupovi slobodnog komutativnog monoida E®. U Glavi 5 je dokazano da se jednakosna teorija algebri komutativnih jezika poklapa sa jednakosnom teorijom algebre (regu­larnih) jezika nad jednoelementnim alfabetom, što daje odgovor na problem koji je još 1969. formulisao A. Salomaa u svojoj monografiji Theory of Au­tomata.Na taj način, iz poznatih rezultata o jednakosnoj aksiomatizaciji komutativnih jezika se dobija jedna baza za algebre jezika nad jednoelement­nim alfabetom, kao i veoma kratak dokaz poznate činjenice (takođe Redko, 1964.) da algebre komutativnih jezika nemaju konačnu bazu identiteta. Na kraju disertacije, identiteti Kleenejevih algebri se posmatraju u kon­tekstu dinamičkih algebri. Reč je o algebarskoj verziji dinamičkih logika, koje su konstruisane sedamdesetih godina kao matematički model rada računara, kada se na njima izvršava program pisan u nekom imperativnom program­ skom jeziku. Na primer, problemi verifikacije i ekvivalentnosti programa se lako izražavaju preko identiteta dinamičkih algebri, tako da razne njihove jednakosne osobine odgovaraju pojmovima iz teorijskog računarstva. Takođe, interesatno je da je jednakosna teorija Kleenejevih algebri ’’ kodirana” u konačno baziranoj jednakosnoj teoriji dinamičih algebri. Polazeći od poznatih rezul­tata za dvosortne dinamičke algebre (pri čemu je jedna komponenta algebra istog tipa kao i Kleenejeve algebre, dok je druga Booleova algebra), neki od tih rezultata su transformisani i prošireni za Jonssonove dinamičke algebre (jednosortne modele dinamičkih logika). Na primer, ako se Kleenejeva algebra K može predstaviti kao konačan direktan proizvod slobodnih algebri varijeteta Kleenejevih algebri generisanih Kleenejevim relacionim algebrama, tada vari­jetet K-dinamičkih algebri ima odlučivu jednakosnu teoriju. Odavde se izvodi da svaki varijetet Kleenejevih algebri generisan Kleenejevim relacionim algeb­rama takođe ima odlučivu jednakosnu teoriju., A language over £ is an arbitrary set of words, i.e. any subset of the free monoid £*. All languages over a given alphabet form the algebra of languages, which is equipped with the operations of union, concate­nation, Kleene iteration and 0, {A } as constants. Regular languages over £ are the elements of the subalgebra of the algebra of languages over £ generated by finite languages. It turns out that algebras of languages generate exactly the same variety as algebras of binary relations, endowed with union, rela­tion composition, formation of the refelxive-transitive closure and the empty relation and the diagonal as constants. The variety in question is the vari­ety of Kleene algebras, and the algebras of regular languages are just its free algebras. The present dissertation starts with several aspects of algebraic theory of automata and formal languages, theory of binary relations and universal alge­bra, which are related to problems concerning identities of language algebras. This material is followed by the classical result (Redko, 1964) claiming that the variety of Kleene algebras have no finite equational base. We present the proof of Conway from 1971, since it contains some ideas which can be used for generalizations in different directions. Chapters 3 and 4 contain original results which refine the one of Redko. It is shown that the cause of nonfinite axiomatizability of Kleene algebras lies in the superposition of the concatenation and the iteration of languages, that is, composition of relations and reflexive-transitive closure. In other words, the class of -(--free reducts of algebras of languages has no finite equational base, which answers in the negative a problem of D. A. Bredikhin from 1993. On the other hand, by extending the type of Kleene algebras by the involutive operation of inverse of languages (converse of relations), we also obtain a nonfinitely based variety, which solves a problem of B. Jonsson from 1988. Analogously, commutative languages over E are defined as subsets of the free commutative monoid £®. It is proved in Chapter 5 that equational the­ ories of algebras of commutative languages and, respectively, of the algebra of (regular) languages over the one-element alphabet, coincide. This result settles a thirty year old problem of A. Salomaa, formulated back in his wellknown monograph Theory of Automata.Thus, we obtain an equational base for the algebra of one-letter languages, and, on the other hand, a very short proof of another Redko’s result from 1964, according to which there is no finite equational base for algebras of commutative languages. Finally, identities of Kleene algebras are considered in the context of dy­namic algebras, which are just algebraic counterparts of dynamic logics. They were discovered in the seventies as a result of the quest for an appropriate logic for reasoning about computer programs written in an imperative pro­ gramming language. For example, problems concerning program verification and equivalence can be easily translated into identities of dynamic algebras, so that many of their equational properties correspond to notions from computer science. It is also interesting that the whole equational theory of Kleene alge­ bras is ’’encoded” in the finitely based equational theory of dynamic algebras.Starting with known results on two-sorted dynamic algebras (where one com­ ponent is an algebra of the same signature as Kleene algebras, while the other is a Boolean algebra), some of those results are transformed and extended for Jonsson dynamic algebras (that is, one-sorted models of dynamic logics). For example, if a Kleene algebra K can be represented as a finite direct product of free algebras of varieties of Kleene algebras generated by Kleene relation algebras, then the variety of K-dynamic algebras has a decidable equational theory. The latter yields that all varieties of Kleene algebras generated by Kleene relation algebras have decidable equational theories, too.