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We consider Coulomb gas models for which the empirical measure typically concentrates, when the number of particles becomes large, on an equilibrium measure minimizing an electrostatic energy. We study the behavior when the gas is conditioned on a rare event. We first show that the special case of quadratic confinement and linear constraint is exactly solvable due to a remarkable factorization, and that the conditioning has then the simple effect of shifting the cloud of particles without deformation. To address more general cases, we perform a theoretical asymptotic analysis relying on a large deviations technique known as the Gibbs conditioning principle. The technical part amounts to establishing that the conditioning ensemble is an I-continuity set of the energy. This leads to characterizing the conditioned equilibrium measure as the solution of a modified variational problem. For simplicity, we focus on linear statistics and on quadratic statistics constraints. Finally, we numerically illustrate our predictions and explore cases in which no explicit solution is known. For this, we use a Generalized Hybrid Monte Carlo algorithm for sampling from the conditioned distribution for a finite but large system., ccepted in SIAM Journal on Mathematical Analysis (SIMA), September 30, 2020

We establish large deviation principles (LDPs) for empirical measures associated with a sequence of Gibbs distributions on $n$-particle configurations, each of which is defined in terms of an inverse temperature $\beta _{n}$ and an energy functional consisting of a (possibly singular) interaction potential and a (possibly weakly) confining potential. Under fairly general assumptions on the potentials, we use a common framework to establish LDPs both with speeds $\beta _{n}/n \rightarrow \infty $, in which case the rate function is expressed in terms of a functional involving the potentials, and with speed $\beta _{n} =n$, when the rate function contains an additional entropic term. Such LDPs are motivated by questions arising in random matrix theory, sampling, simulated annealing and asymptotic convex geometry. Our approach, which uses the weak convergence method developed by Dupuis and Ellis, establishes LDPs with respect to stronger Wasserstein-type topologies. Our results address several interesting examples not covered by previous works, including the case of a weakly confining potential, which allows for rate functions with minimizers that do not have compact support, thus resolving several open questions raised in a work of Chafai et al.

This thesis is concerned with various aspects of large deviations theory in relation with statistical physics. Both theoretical and numerical considerations are dealt with. The first part of the work studies long time large deviations properties of diffusion processes. First, we prove new ergodicity results for Feynman-Kac dynamics, both in continuous and discrete time. This leads to new fine results (in the sense of topology) for large deviations of empirical measures of diffusion processes. Various numerical problems are then covered. We first provide precise error estimates on discretizations of Feynman-Kac dynamics, for which the nonlinear features of the dynamics demand new tools. In order to reduce the variance of naive estimators, we provide an adaptive algorithm relying on the technique of stochastic approximation. We finally consider a problem concerning low temperature systems. We present a new method for constructing an approximation of the optimal control from the instanton (or reaction path) theory. The last part of the thesis is concerned with the different topic of Coulomb gases, which appear both in physics and random matrix theory. We first present an efficient method for simulating such gases, before turning to gases under constraint. For such gases, we prove new concentration results in the limit of a large number of particles, under some conditions on the constraint. We also present a simulation algorithm, which confirms the theoretical expectations., Cette thèse s’intéresse à différents problèmes de grandes déviations en rapport avec la physique statistique, qu’elle aborde sous l’angle théorique aussi bien que numérique. La première partie concerne l’étude de grandes déviations en temps long pour les processus de diffusion. Tout d’abord, de nouveaux résultats d’ergodicité sont montrés pour les dynamiques de Feynman-Kac, en temps discret et en temps continu. Ceci conduit à de nouveaux résultats fins (au sens de la topologie considérée) sur les grandes déviations de mesures empiriques de processus de diffusion. Divers aspects numériques sont ensuite abordés. Tout d’abord, des estimées d’erreur précises sont fournies pour les discrétisations de processus de Feynman-Kac, la non-linéarité de la dynamique demandant le développement de nouveaux outils. Afin de réduire la variance des estimateurs classiques de grandes déviations, un algorithme adaptatif est ensuite présenté, qui utilise les techniques dites d’approximation stochastique. Enfin, nous abordons une problème numérique concernant les systèmes à basse température, et présentons une méthode pour construire une approximation du contrôle optimal à partir de la théorie du chemin de réaction. La dernière partie de cette thèse porte sur un sujet légèrement différent, celui des gaz de Coulomb, qui apparaissent en physique mais aussi dans la théorie des matrices aléatoires. Nous présentons d’abord une méthode efficace pour la simulation de tels gaz, avant de nous tourner vers l’étude des gaz sous contrainte. Pour ceux-ci, nous prouvons de nouveaux résultats de concentration dans la limite d’un grand nombre de particules, sous certaines conditions sur la contrainte. Nous présentons également un algorithme de simulation qui confirme les attentes théoriques.

We explore probabilistic models usually called Coulomb gases. They arise naturally in mathematics and physics. We can mention random matrix theory, the Laughlin fractional quantum Hall effect and the Ginzburg-Landau systems of superconductivity. In order to better understand the role of the ambient space, we study geometric versions of such systems. We exploit three structures. The first one comes from the electrostatic nature of the interaction given by Gauss's law. The second one is the determinantal structure which appears only for a specific temperature. The third one is the minimization of the free energy principle, coming from physics which gives us a tool to understand more general models. This work leads to many open questions on a whole family of models which can be of independent interest.; Nous explorons des modèles probabilistes appelés gaz de Coulomb. Ils apparaissent dans différents contextes comme par exemple dans la théorie des matrices aléatoires, l'effet Hall quantique fractionnaire de Laughlin et les modèles de supraconductivité de Ginzburg-Landau. Dans le but de mieux comprendre le rôle de l'espace ambiant, nous étudions des versions géométriques de ces systèmes. Nous exploitons trois structures sur ces modèles. La première est définie par l'interaction électrostatique provenant de la loi de Gauss. La deuxième est la structure déterminantale disponible que pour des valeurs précises de la température. La troisième est le principe de minimisation de l'énergie libre en physique, qui permet d'étudier des modèles plus généraux. Ces travaux conduisent à des nombreux questions ouvertes et à une famille de modèles d'intérêt.

For general dimension $d$ we prove the equidistribution of energy at the micro-scale in $\mathbb R^d$, for the optimal point configurations appearing in Coulomb gases at zero temperature. At the microscopic scale, i.e. after blow-up at the scale corresponding to the interparticle distance, in the case of Coulomb gases we show that the energy concentration is precisely determined by the macroscopic density of points, independently of the scale. This uses the "jellium energy'' which was previously shown to control the next-order term in the large particle number asymptotics of the minimum energy. As a corollary, we obtain sharp error bounds on the discrepancy between the number of points and its expected average of optimal point configurations for Coulomb gases, extending previous results valid only for $2$-dimensional log-gases. For Riesz gases with interaction potentials $g(x)=|x|^{-s}, s\in]\min\{0,d-2\},d[$ and one-dimensional log-gases, we prove the same equidistribution result under an extra hypothesis on the decay of the localized energy, which we conjecture to hold for minimizing configurations. In this case we use the Caffarelli-Silvestre description of the non-local fractional Laplacians in $\mathbb R^d$ to localize the problem.

Many particle systems may exhibit interesting properties depending on the interaction between their constituents. Among them, it is possible to find situations where highly ordered microscopic structures may emerge from these interactions. The central problem to identify the mechanisms which activate the ordered particle arrangements has been the subject matter of theoretical and experimental studies. In the past decades, it was rigorously proved that systems in two dimensions with sufficiently short-range interactions and continuous degrees of freedom do not have long-range order. In contrast, numerical studies of systems featuring lack of positional order in two dimensions showed evidence of phase transitions. This apparent contradiction was explained by the Kosterlitz-Thouless (KT)-transition for the XY-model showing that transitions may take place in positional isotropic bidimensional systems if they still have quasi-long range (QLR) order. Such QLR order associated to the orientational order of the system, is lost when topological defects activated by thermal fluctuations begin to unbind in pairs producing a transition. On the other hand, two-dimensional systems with positional order at vanishing temperature may show a melting scenario including three phases solid/hexatic/fluid with transitions driven by a unbinding mechanism of topological defects according to the Kosterlitz-Thouless-Halperin-Nelson-Young (KTHNY)-theory.This work is focused on the study of the two dimensional one component plasma 2dOCPa system of N identical punctual charges interacting with an electric potential in a two-dimensional surface with neutralizing background. The system is a crystal at vanishing temperature and it melts at sufficiently high temperature. If the interaction potential is logarithmic, then the system on the flat plane and the sphere is exactly solvable at a special temperature located at the fluid phase. We use analytical approaches to compute exactly thermodynamic variables and structural properties which enables to study the crossover behaviour from a disordered phases to crystals for small systems finding interesting connections with the Ginibre Ensemble of the random matrix theory.We perform numerical Monte Carlo simulations of the 2dOCP with inverse power law interactions and periodic boundary conditions finding a hexatic phase for sufficiently large systems. It is found a weakly first order transition for the hexatic/fluid transition by using finite size analysis and the multi-histogram method. Finally, a statistical analysis of clusters of defects during melting confirms in a detailed way the predictions of the KTHNY-theory but also provides alternatives to detect transitions in two-dimensional systems.; Les systèmes de nombreuses particules peuvent présenter des comportements variés en fonction du type d’interaction entre ses composants.Dans certaines situations, des structures macroscopiques hautement ordonnées peuvent émerger de telles interactions. Le problème de l’identification des mécanismes qui activent l’ordre microscopique dans les systèmes bidimensionnels a fait l’objet d’études théoriques et expérimentales. Il y a plusieurs décennies, il a été montré que les systèmes bidimensionnels avec des interactions de paramètres d’ordre suffisamment court et d’ordre continu n’ont pas d’ordre à longue portée (ils n’ont pas de phase solide). D’autre part, des études numériques sur des systèmes sans ordre positionnel ont montré que de tels systèmes pourraient présenter des transitions de phase. Cette contradiction apparente dans les systèmes bidimensionnels a été expliquée dans la transition KT (Kosterlitz-Thouless) proposée pour le modèle XY. Depuis lors, on a commencé à observer que les systèmes sans ordre positionnel pouvaient montrer des transitions de phase quand ils avaient un ordre de demi-longue portée (ODLP). Ce type d’ordre est associé à l’ordre d’orientation du système qui est perdu lorsque les défauts topologiques activés par les fluctuations thermiques sont divisés en paires produisant une transition. D’autre part, les systèmes bidimensionnels avec ordre de position à la température T = 0 peuvent être fusionnés dans un scénario comprenant trois phases : solide / hexatique / liquide dont les transitions sont dues à la division en deux étapes de défauts topologiques à deux températures différentes (Théorie de Kosterlitz-Thouless-Halperin-Nelson-Young KTHNY).Ce travail se concentre sur l’ étude du plasma d’un composant bidimensionnel (PUC2d), un système classique de N charges ponctuelles identiques qui interagissent à travers un potentiel électrique et immergées dans une surface bidimensionnelle avec densité de charge opposée. Le système est un cristal à T = 0 qui commence à fondre si T est suffisamment élevé. Si le potentiel d’interaction entre les particules est logarithmique,alors le système dans le plan et la sphère a une solution exacte pour une valeur spéciale de T située dans la phase fluide. Dans cette étude, un formalisme analytique est utilisé pour déterminer exactement les propriétés thermodynamiques et structurelles qui permettent de suivre le comportement du PUC2d en la phase désordonnée jusqu’`a ce que celui-ci cristallise avec la restriction de N pas très grand. Par le formalisme, nous trouvons des connexions intéressantes avec l’ensemble de Ginibre défini dans la théorie des matrices aléatoires.Nous avons effectué des simulations de Monte Carlo pour modéliser le PUC2d avec des interactions potentiel en inverse de distance et des conditions aux limites périodiques dans le plan. Trois phases sont identifiées incluant la phase hexatique pour des systèmes suffisamment grands. Nous avons déterminé par l’analyse de taille finie et la méthode multi-histogramme que la transition hexatique/ liquide est de premier ordre faible. Finalement,une étude statistique sur les arrangements de défauts (clusters) lors de la fusion cristalline est effectuée, confirmant en détail la théorie de KTHNY et décrivant des alternatives pour la détection de transitions en deux dimensions.

This note provides a large deviations principle for a class of biorthogonal ensembles. We extend the results of Eichelsbacher, Sommerauer and Stotlz to more general type of interactions. Our result covers the case of the singular values of lower triangular random matrices with independent entries introduced by Cheliotis. In particular, we obtain as a consequence a variational formulation for the Dykema-Haagerup as it is the limit law for the singular values of lower triangular matrices with i.i.d. complex Gaussian entries.

International audience; This article revisits the work by Ofer Zeitouni and Steve Zelditch on large deviations for the empirical measures of random orthogonal polynomials with i.i.d. Gaussian complex coefficients, and extends this result to real Gaussian coefficients. This article does not require any knowledge in geometry. For clarity, we focus on two classical cases: Kac polynomials and elliptic polynomials.

In this thesis, we study minimization problems for discrete energies and we search to understand why a periodic structure can be a minimizer for an interaction energy, that is called a crystallization problem. After showing that a given Bravais lattice of R^d submitted to some parametrized potential can be viewed as a local minimum, we prove that the triangular lattice is optimal, among Bravais lattices of R^2, for some energies per point, with or without a fixed density. Finally, we prove, from Sandier and Serfaty works about 2D Coulomb gases, Rakhmanov-Saff-Zhou conjecture, that is to say the existence of a term of order n in the asymptotic expansion of the optimal logarithmic energy for n points on the 2-sphere. Furthermore, we show the equivalence between Brauchart-Hardin-Saff conjecture about the value of this term of order n and Sandier-Serfaty conjecture about the optimality of triangular lattice for a coulombian renormalized energy, Dans cette thèse, nous étudions des problèmes de minimisation d'énergies discrètes et nous cherchons à comprendre pourquoi une structure périodique peut être un minimiseur pour une énergie d'interaction, c'est ce que l'on appelle un problème de cristallisation. Après avoir montré qu'un réseau de R^d soumis à un certain potentiel paramétré peut être vu comme un minimum local, nous démontrons des résultats d'optimalité du réseau triangulaire parmi les réseaux de Bravais du plan pour certaines énergies par point, avec ou sans densité fixée. Finalement, nous démontrons, à partir des travaux de Sandier et Serfaty sur les gaz de Coulomb bidimensionnels, la conjecture de Rakhmanov-Saff-Zhou, c'est-à-dire l'existence d'un terme d'ordre n dans le développement asymptotique de l'énergie logarithmique optimale pour n points sur la sphère unité de R^3. De plus, nous montrons l'équivalence entre la conjecture de Brauchart-Hardin-Saff portant sur la valeur de ce terme d'ordre n et celle de Sandier-Serfaty sur l'optimalité du réseau triangulaire pour une énergie coulombienne renormalisée

We establish large deviation principles (LDPs) for empirical measures associated with a sequence of Gibbs distributions on n-particle configurations, each of which is defined in terms of an inverse temperature bn and an energy functional that is the sum of a (possibly singular) interaction and confining potential. Under fairly general assumptions on the potentials, we establish LDPs both with speeds (bn)/(n) ® ¥, in which case the rate function is expressed in terms of a functional involving the potentials, and with the speed bn =n, when the rate function contains an additional entropic term. Such LDPs are motivated by questions arising in random matrix theory, sampling and simulated annealing. Our approach, which uses the weak convergence methods developed in ``A weak convergence approach to the theory of large deviations", establishes large deviation principles with respect to stronger, Wasserstein-type topologies, thus resolving an open question in ``First-order global asymptotics for confined particles with singular pair repulsion". It also provides a common framework for the analysis of LDPs with all speeds, and includes cases not covered due to technical reasons in previous works.

We consider in this note a class of two-dimensional determinantal Coulomb gases confined by a radial external field. As the number of particles tends to infinity, their empirical distribution tends to a probability measure supported in a centered ring of the complex plane. A quadratic confinement corresponds to the complex Ginibre Ensemble. In this case, it is also already known that the asymptotic fluctuation of the radial edge follows a Gumbel law. We establish in this note the universality of this edge behavior, beyond the quadratic case. The approach, inspired by earlier works of Kostlan and Rider, boils down to identities in law and to an instance of the Laplace method., Comment: Minor corrections. Accepted in Journal of Statistical Physics