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Nel presente lavoro si illustrerà un percorso didattico che usa la metodologia della storia della matematica nell’insegnamento. Si tratteranno, in particolare, i vari metodi risolutivi delle equazioni di primo e di secondo grado nella storia, dal metodo di falsa posizione degli egizi, ai metodi del completamento a quadrato o delle applicazioni delle aree nei greci, fino ai metodi risolutivi di René Descartes (Cartesio). I metodi geometrici dei greci e di Cartesio sono svolti con il software di geometria dinamica Geogebra. Il percorso si conclude con i riferimenti storici al rinascimento e alle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado e a Evariste Galois.

Il presente contributo nasce da una ricerca/azione attualmente in corso relativa alla motivazione degli studenti coinvolti nell’iniziativa fiorente dei ‘Licei Matematici’ (‘LM’) in Italia. L’argomento che qui si vuole trattare riguarda una pratica d’insegnamento che rientra tra le forme del Collaborative Teaching. Nello specifico, si discute un esempio di co-planning tra docenti di matematica ed altre discipline di un Liceo Classico di Palermo, all’interno di un percorso interdisciplinare di una classe prima del LM. Sarà descritta tale forma di collaborazione in riferimento al modulo di “Matematica e Storia”, esplicitando come questa sia stata una sfida di insegnamento/apprendimento per i docenti coinvolti ma soprattutto per gli studenti.

(EN) Gender equality in scientific research is a problematic issue and has been much debated in the last years. As a consequence, some countries have implemented policies to address the problem. In this paper we collected and analysed the last data regarding the academic careers on women mathematician in Italy, as a step for further discussion on possible positive actions. (IT) La scarsa presenza di donne nella ricerca scientifica ed in particolare nelle posizioni apicali è un problema riconosciuto e una questione molto dibattuta negli ultimi anni, con conseguente attuazione in vari stati di alcune politiche di pari opportunità. In questo articolo abbiamo raccolto ed analizzato i dati più recenti sulle carriere universitarie delle donne matematiche in Italia, con l'intenzione di proporre una discussione sulle misure da attuare.

The Mathematical Circle of Palermo, founded in 1884 by 27 mathematicians all living in Palermo, became the publisher of the prestigious magazine "Rendiconti", which in thirty years became one of the leading international mathematical journals. In this talk, we will analyze the evolution of the components of the Societies and of Rendiconti towards internationalization from 1884 to 1914. Moreover, we will try to extract from the statistical data some considerations about the possible causes of the identified internationalization process

R. W. Hamilton, già nel 1850, aveva sviluppato un’estensione dei quaternioni, definendo l’algebra dei biquaternioni. In quell’anno, infatti, ne fece oggetto di una comunicazione al meeting della British Association for the Advancement of Science di Edinburgh, di cui resta soltanto il Report. Successivamente, nel 1853 in “Lectures on Quaternions” introdusse nuovamente i biquaternioni, come soluzioni immaginarie delle equazioni quadratiche a coefficienti nei quaternioni. Nel 1866, negli Elements of Quaternions, lavoro pubblicato postumo, Hamilton tornò sull’argomento e introdusse i “biquaternioni complanari”, come soluzioni di equazioni a coefficienti nei “quaternioni complanari” cioè sotto forma dell’algebra dei “bicomplessi”, come C. Segre definì nel 1891 nel contesto dello studio delle algebre e della geometria sui complessi: “L’introduzione dei punti imaginari in geometria corrisponde all’introduzione dei numeri imaginari (coordinate) in analisi. Prima di Segre, nel 1873 W. Clifford, introdusse altri due tipi di “biquaternioni”. e successivamente nel 1878 definirà quelle che conosciamo come “Algebre di Clifford”, che generalizzano i quaternioni e hanno applicazioni nell’ambito della fisica.

E' descritto il rapporto tra G. B. Guccia, fondatore del Circolo Matematico di Palermo e G. Mittag Leffler fondatore degli Acta Mathematica. La descrizione è fatta anche attraverso le lettere che i due si scambiarono.

I numeri duali furono introdotti per la prima volta da William Kingdon Clifford (1845-1879) nel 1873, come estensione dei quaternioni (biquaternioni), nell’ambito dello studio dei numeri ipercomplessi. In seguito, furono chiamati così da Eduard Study (1862-1930) [Study 1902], il quale ne fece poi oggetto di studio [Study 1903]. Già nel 1885 Arthur Buchheim (1859-1888) [Buchheim 1885], aveva rintracciato l’origine dei duali in Clifford e si era soffermato sulla (sostanziale) differenza tra l’introduzione dei biquaternioni in Hamilton e in Clifford. Nel 1906, in perfetto accordo alle teorie esposte da Study nel 1903, Joseph Grünwald (1876-1911), introdusse i numeri duali come u+vε, dove u e v sono numeri complessi e ε2= 0 e vi costruì una geometria proiettiva. Nel 1911 Corrado Segre (1863-1924) pubblicava un articolo che prendeva le mosse dall’idea di estendere ciò che aveva fatto Pilo Predella (1863-1939) in un suo articolo [Predella 1911] pubblicato appena prima e che consisteva nel porre le basi per lo sviluppo di una geometria i cui elementi (o punti in un nuovo senso) sono le omografie paraboliche (trasformazioni con punti uniti coincidenti) di rette punteggiate; lo scopo di tale articolo era quello di sviluppare in modo nuovo le geometrie non archimedee di Veronese. Era ovviamente noto a Segre che la geometria delle dinami (quella di Study del 1903) faceva uso dei numeri duali, e che essi erano stati oggetto di alcuni lavori di Grünwald. Egli però, nel confrontare l’idea di Predella con quella che era stata circa 60 anni prima di Staudt, cioè di introdurre gli elementi immaginari come involuzioni ellittiche di punti sopra forme di prima specie, si chiese se esistessero altre e diverse proiettività che portino alla costruzione di nuove geometrie e a sistemi più generali di numeri complessi. L’articolo che Segre scrisse nel 1911 è diviso in due note; la prima introduce la teoria dei numeri duali generalizzati che viene estesa ai punti duali, ai piani duali e alle rette duali; nella seconda viene sviluppata la teoria delle rappresentazioni geometriche dei punti del campo binario duale (la retta duale) sui punti di una quadrica, quindi sono definiti i protofili, i legami lineari fra punti duali, le proiettività e le antiproiettività nel campo duale. In questa comunicazione analizzeremo e confronteremo le varie geometrie sui duali e illustreremo la prosecuzione di questi studi nel primo dopoguerra della prima guerra mondiale.

Viene descritta un'attività laboratoriale svolta nell'ambito del Progetto Lauree Scientifiche, collegata al Bando UMI sul Premio Archimede.

In this work the situation of the “Circolo Matematico di Palermo” between 1914 and 1928 is analyzed. It will be observed that during this time the Circolo was among the few European scientific associations with German as well as French associates. During the 1930s, the nationalist politics of Fascism and above all the racial laws dealt a deadly blow to the Circolo as an international scientific association. We will use the rich correspondence in the Circolo's archives to shed some light on this. In particular, the correspondence between M. De Franchis and E. Landau and other recently found documents will figure prominently.

We describe the historical framework and the main issues (biographical, scientific, political, etc.) of the correspondences of Placido Tardy and Luigi Cremona in the libraries of Genoa, which constitute an important contribution to the reconstruction of the History of Mathematics in the Italian “Risorgimento”. In particular, we mainly deal with the Cremona-Tardy, Betti-Tardy and Cremona-Guccia correspondences. Tardy’s letters are preserved at the Genoa University Library and Cremona’s letters at the Mazzini Institute of Genoa.

L'articolo mostra come la storia della matematica può diventare strumento didattico.

We will study the historical pathway of the emergence of Tessarines or Bicomplex numbers, from their origin as "imaginary" solutions of irrational equations, to their insertion in the context of study of the algebras of hypercomplex numbers., Comment: 27 pages

Si sono descritte le relazioni lavorative e personali tra H. Poincaré e G. B. Guccia e si è tracciato un escursus delle pubblicazioni di Poincaré nei Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo.

Lo studio dei fondamenti della geometria dopo la pubblicazione dei Grundlagen der Geometrie di Hilbert (1899), si è concentrato sull’analisi delle relazioni tra pro- prietà geometriche e proprietà algebriche. Questo filone di ricerche, si è inserito in quello già esistente dello studio dei sistemi di numeri ipercomplessi. Oggetto di questa comunicazione è analizzare il contributo di questi studi alla nascita delle strutture algebriche. In particolare, si prenderanno in considerazione i lavori di O. Veblen e J. H. Wedderburn e il programma proposto da M. Dehn e sviluppato da una sua studentessa R. Moufang e le ricadute di essi nella teoria e nella classificazione delle algebre.

Si descrive il percorso storico che ha portato alla nascita della teoria delle algebre ed il rapporto con la geometria

Descrizione, attraverso documenti e carteggi, della figura di Placido Tardy, sia dal punto di vista biografico che delle opere scientifiche

“La storia della matematica ha mostrato a più riprese che scartare una teoria bella e profonda solo perché non sembra avere applicazioni immediate è una pessima mossa” [I. Stewart] Il lavoro qui presentato riguarda una particolare struttura algebrica che e' una perfetta esemplificazione del significato della frase citata. Gli Ottonioni, nati in un contesto di ricerca di matematica pura sui sistemi di numeri ipercomplessi, aprirono la strada alla nascita del concetto generale di “struttura algebrica”. Pertanto, sembrava che il loro ruolo fosse semplicemente quello di essere un esempio di struttura non associativa all’interno dell’Algebra Moderna e perfino lo stesso Cayley dopo averli introdotti “si dimentico'” di loro per circa 30 anni. Contrariamente ai Quaternioni, nati nello stesso contesto e quasi contemporaneamente, pareva che gli Ottonioni non avessero alcuna interpretazione geometrica immediata o applicazioni ad altre scienze. Bisogna arrivare così alla prima metà del XX secolo per trovare le prime importanti applicazioni sia alla geometria proiettiva che alla teoria delle algebre di Lie. Sorprendentemente, negli anni Ottanta si intravide un loro collegamento con la teoria delle Stringhe, che li ha fatti tornare al centro dell’interesse della ricerca scientifica e li ha resi oggi protagonisti di molteplici libri sia divulgativi che tecnici come “L’eleganza della verità. Storia della Simmetria” di I. Stewart e “On Quaternions and Octonions” di J.H. Conway e D.A. Smith.

Sono descritti alcuni dei principali modelli di geometrie non desarguesiane e non archimedee Abstract: We investigate the contribution of Max Dehn to the development of non-Archimedean geometries and the contribution of his student Ruth Moufang to the development of non-Desarguesian geometries.

Il carteggio qui preso in esame e' quello con Enrico Betti (Pistoia 1823 – Pisa 1892). La corrispondenza tra Betti e Tardy e' costituita da 128 lettere, che coprono un arco cronologico che va dal 1850 al 1891. In particolare, le lettere di Betti a Tardy sono 79 e si trovano nella Cassetta Loria della Biblioteca Universitaria di Genova. Le lettere di Tardy a Betti sono 49 e si trovano nella Biblioteca della Scuola Normale Superiore di Pisa.Dall’esame del carteggio abbiamo rilevato la presenza di alcuni temi sopra gli altri: argomenti di carattere scientifico come i riferimenti alla teoria delle equazioni algebriche e al corso di algebra superiore, alla teoria di Riemann e alle ricerche di fisica matematica; questioni riguardanti il riordinamento dell’Istruzione Pubblica; riferimenti a varie cattedre proposte a P. Tardy; informazioni sulla Societa' dei XL; argomenti di carattere privato.

In this paper we investigate the contribution of Dehn to the development of non- Archimedean geometries. We will see that it is possible to construct some models of non- Archimedean geometries to prove the independence of the continuity axiom and we will study the interrelations between Archimede’s axiom and Legendre‘s theorems. Some of these interrelations were studied also by Bonola who was one of the very few italian scholars to really appreciate Dehn’s work. We will see that, if Archimede’s axiom does not hold, the hypothesis on the existence and the number of parallel lines through a point is not related to the hypothesis on the sum of the inner angles a triangle. Hilbert himself returned on this problem giving a very interesting model of a non-Archimedean geometry such that in it there are infinite parallel lines to a fixed line throught a point and the sum of inner angles of a triangle is equal a two right angles.

In questo volume è pubblicata la corrispondenza tra Placido Tardy e Luigi Cremona. Si tratta complessivamente di 124 lettere, di cui 74 sono le lettere di Cremona a Tardy e sono conservate presso la Biblioteca Universitaria di Genova nella Cassetta Loria, mentre le 50 sono le lettere di Tardy a Cremona sono conservate presso L’istituto Mazziniano (Museo del Risorgimento) di Genova e fanno parte del Legato Itala Cremona Cozzolino. Da un punto di vista cronologico le lettere si possono suddividere in quattro periodi. Un primo gruppo (Maggio 1860), che riguarda le lettere del primo periodo milanese di Cremona, quando egli ancora ambiva ad una cattedra universitaria. Un secondo gruppo (Ottobre 1860-Settembre 1866), che riguarda le lettere del periodo bolognese di Cremona, quando egli era un giovane professore universitario già avviato a una brillante carriera di caposcuola. Un terzo gruppo (Gennaio 1867- Giugno 1870), che riguarda le lettere del secondo periodo milanese di Cremona, quando era professore al Politecnico. Un quarto gruppo (Ottobre 1875-Marzo 1885), che riguarda le lettere del periodo romano di Cremona, quando era divenuto oramai un personaggio autorevole anche sul piano politico. Il quadro di riferimento di tale progetto è quello dell’edizione della corrispondenza dei matematici italiani dell’Ottocento, e si colloca in continuità con quella, già intrapresa da qualche tempo, riguardante la corrispondenza di L. Cremona.

In this work, we study the development of non-Desarguian geometry from David Hilbert to Ruth Moufang. We will see that a geometric model became a complicated interrelation between algebra and geometry.

Dall’esame del carteggio si evince la presenza di alcuni temi sopra gli altri: la descrizione della carriera scientifica e dei collegamenti internazionali di Guccia con relazioni dettagliate sui viaggi all’estero; i riferimenti al Circolo Matematico di Palermo, sin dalla prima fase della sua costituzione, e le acute valutazioni dell’ambito matematico europeo compiute da Guccia per garantire lo sviluppo internazionale del Circolo e dei Rendiconti.