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International audience; We study the homogenization of a scalar problem posed in a composite medium made up of two materials, a positive and a negative one. An important feature is the presence of a flux jump across their oscillating interface. The main difficulties of this study are due to the sign-changing coefficients and to the appearance of an unsigned surface integral term in the variational formulation. A proof by contradiction (nonstandard in this context) and T−coercivity technics are used in order to cope with these difficulties.

International audience; We study the homogenization of a diffusion-type problem, for sign-changing conductivities with extreme contrasts. The weak limit, which is proved to be the same as in the elliptic case of positive conductivities, has an explicit dependence on the conductivities.

International audience; We study a scalar problem in thin periodic composite media formed by two materials, a classical one and a metamaterial (also known as negative material). By applying T-coercivity methods and homogenization techniques specific to the thin periodic domains under consideration, for two geometric settings, we derive the homogenized limit problems, which both exhibit dimension-reduction effects.

International audience; In this work, we are interested in the homogenization of time-harmonic Maxwell's equations in a composite medium with periodically distributed small inclusions of a negative material. Here a negative material is a material modelled by negative permittivity and permeability. Due to the sign-changing coefficients in the equations, it is not straightforward to obtain uniform energy estimates to apply the usual homogenization techniques. The goal of this article is to explain how to proceed in this context. The analysis of Maxwell's equations is based on a precise study of two associated scalar problems: one involving the sign-changing permittivity with Dirichlet boundary conditions, another involving the sign-changing permeability with Neumann boundary conditions. For both problems, we obtain a criterion on the physical parameters ensuring uniform invertibility of the corresponding operators as the size of the inclusions tends to zero. In the process, we explain the link existing with the so-called Neumann-Poincaré operator, complementing the existing literature on this topic. Then we use the results obtained for the scalar problems to derive uniform energy estimates for Maxwell's system. At this stage, an additional difficulty comes from the fact that Maxwell's equations are also sign-indefinite due to the term involving the frequency. To cope with it, we establish some sort of uniform compactness result.; Dans ce travail, nous nous intéressons à l’homogénéisation des équations de Maxwell harmoniques dans un milieu composite contenant une distribution périodique de petites inclusions de matériau négatif. On désigne ici par matériau négatif un matériau décrit par une permittivité et une perméabilité négatives. En raison du changement de signe des coefficients intervenant dans les équations, il n’est pas évident d’obtenir des estimations d’énergie uniformes et d’appliquer les techniques d’homogénéisation classiques. Le but de cet article est d’indiquer comment on peut néanmoins procéder dans ce contexte. L’analyse des équations de Maxwell est basée sur une étude précise de deux problèmes scalaires : l’un faisant intervenir la permittivité changeant de signe avec des conditions aux limites de Dirichlet, et l’autre la perméabilité changeant de signe avec des conditions aux limites de Neumann. Pour chacun de ces deux problèmes, on obtient un critère portant sur les paramètres physiques garantissant l’inversibilité uniforme des opérateurs associés lorsque la taille des inclusions tend vers zéro. Incidemment, nous expliquons le lien existant avec l’opérateur de Neumann–Poincaré, complétant la littérature existant sur le sujet. Les résultats obtenus pour les problèmes scalaires sont ensuite utilisés pour obtenir des estimations d’énergie uniforme pour le système de Maxwell. A ce stade, il faut contourner une difficulté supplémentaire liée au caractère indéfini induit par le terme fréquentiel. Ceci est réalisé en établissant un résultat de type compacité uniforme.

International audience; We derive asymptotic formulas for the solutions of the mixed boundary value problem for the Poisson equation on the union of a thin cylindrical plate and several thin cylindrical rods. One of the ends of each rod is set into a hole in the plate and the other one is supplied with the Dirichlet condition. The Neumann conditions are imposed on the whole remaining part of the boundary. Elements of the junction are assumed to have contrasting properties so that the small parameter, i.e. the relative thickness, appears in the differential equation, too, while the asymptotic structures crucially depend on the contrastness ratio. Asymptotic error estimates are derived in anisotropic weighted Sobolev norms.

This work represents a mathematical study, theoretical and numerical, of some problems related to fluid mechanics. The thesis has three chapters. Chapter I, "nonlinear flow throught a thin slab", is devoted to the study of an incompressible fluid flow. We work in a 3D domain with the height much more smaller than the other two dimensions. We are interested in the Navier-Stokes flow : two cases are treated, provided the presence or not of volume forces and boundary conditions. In chapter II we treat some problems related to the homogenization theory and small parameters technic. The homogenization method is a mathematical method used for the study of the non-homogeneous media with periodic structure. In chapter II, "three-scale convergence for the Stokes problem", we study the classical stationnary Stokes problem. We work in a 3D domain which contains solid obstacles two-periodically distributed, with [epsilon]-periodicity (respectively [epsilon] 2), where [epsilon] is a small parameter. For passing to the limit we use the 3-scale convergence method. The homogenized problem is a three-pressures system. Chapter III, "calculation of the charge in a hydraulic system" is a theoretical and numerical study of a pratical problem : calculation of the charge in a hydraulic system. The equations presented here are find in other domains, such as thermical problems. So this study can be applied to a large class of physical problems, Le présent travail porte sur l'étude mathématique, théorique et numérique, de quelques problèmes issus de la mécanique des fluides. La thèse est divisée en trois chapitres. Le chapitre I, fluide à viscosité non linéaire dans un domaine de faible épaisseur, étudie l'écoulement d'un fluide incompressible dans un domaine tridimensionnel pour lequel la troisième dimension est beaucoup plus petite que les deux autres. L'écoulement est régi par des équations du type Navier-Stokes stationnaire, les inconnues étant la vitesse et la pression du fluide. Deux cas sont traités, suivant la présence ou l'absence des forces volumiques et les conditions au bord. Le chapitre II, ainsi que le chapitre III de la thèse portent essentiellement sur des problèmes d'homogénéisation et des techniques de petits paramètres. La méthode d'homogénéisation est une méthode mathématique utilisée pour l'étude des problèmes posés dans un milieu non-homogène qui présente une structure périodique. Au chapitre II, convergence triple-échelle pour le problème de Stokes, on étudie le problème de Stokes classique. Le problème est posé dans un domaine qui contient des inclusions solides réparties périodiquement, avec périodicités de l'ordre d'un petit paramètre [epsilon] et de l'ordre de [epsilon] 2. Pour le passage à la limite on utilise la méthode de convergence 3-échelle. Le problème homogénéisé obtenu est un problème à trois pressions. Le chapitre III, calcul de la charge dans un système hydraulique est une étude théorique et numérique d'un problème pratique: le calcul de la charge dans un système hydraulique. Les équations traitées ici sont également rencontrées dans d'autres domaines, comme les problèmes du type thermique par exemple. L'étude faite ici peut donc être appliquée à une classe plus large de problèmes physiques