Search

Simplektik geometri simplektik çokkatlıları (yani, üzerlerinde kapalı ve dejenereolmayan diferansiyel 2-form olan düzgün çokkatlıları) inceler. Bu tezde, simplektikgeometriye giriş yapmayı amaçladık.Ilk iki ünitede simplektik doğrusal cebirden bahsettik ve simplektik çokkatlınıntanımını verdik. Simplektik çokkatlılar çift boyutlu ve yönlendirilebilir çokkatlılardır.Aynı zamanda, 5. ünitede bahsettiğimiz üzere, Darboux'nun simplektik çokkatlı teoreminden dolayı simplektik değişmezler Riemann geometrisinin aksine yerel değişmezlerdeğillerdir.Öte yandan, simplektik çokkatlıların tek boyuttaki benzerleri olarakdeğerlendirilebilecek olan temas çokkatlıları da 7. ünitede ispatladığımız üzere Darboux'nun temas çokkatlı teoreminden dolayı yerel olarak aynıdırlar.Dördüncü ünite simplektik çokkatlıların Lagrange altçokkatlılarına ayrılmıştır.Konunun uygulaması olarak simplektik çokkatlılar arasındaki bir difeomorfizmanınhangi koşullar altında bir simplektomorfizma olduğunu gösterdik.Moser hilesi bu konuda önemli bir yer tutmaktadır ve 6.2. bölümde ondan bahsettik. Örnek olarak, Moser hilesini kullanarak, her yönlendirilebilir 2 boyutlu çokkatlınınsimplektik çokkatlı olduğunu gösterdik ve Gray'in kararlılık teoremini ispatladık. Ekolarak, Weinstein'ın Lagrange ve tüp komşuluk teoremlerini ispatladık.Sekizinci ve dokuzuncu ünitelerde sırasıyla hemen hemen karmaşık ve karmaşıkçokkatlıları anlattık. Ayrıca Dolbeault kohomolojisini tanımlayıp hemen hemenkarmaşık bir çokkatlının ne zaman karmaşık bir çokkatlı olduğunu inceledik. Sonolarak, son ünitede Kaehler çokkatlılarını tanımladıktan sonra karmaşık izdüşel uzayüzerinde Fubini-Study formunu inceledik. Symplectic geometry is the study of symplectic manifolds, i.e., smooth manifolds equipped with closed nondegenerate differential 2-forms. Our aim in this work is to give an introduction to symplectic geometry.In the first two chapters, we explore symplectic linear algebra and give the definition of a symplectic manifold. Symplectic manifolds are even dimensional and necessarily orientable. Also, by Darboux's theorem for symplectic manifolds which we discuss in Chapter 5, symplectic invariants are not local invariants in contrast to the invariants in Riemannian geometry. On the other hand, contact manifolds which can be seen as odd dimensional analogues of symplectic manifolds are locally the same as well by Darboux's theorem for contact manifolds that we prove in Chapter.7Chapter 4 is devoted to the lagrangian submanifolds of symplectic manifolds. Moreover, as an application, we determine when a diffeomorphism between symplectic manifolds is a symplectomorphism.The heart of the subject is Moser trick which we discuss in Section 6.2. For example, using the Moser trick, we show that every oriented 2-manifold is a symplectic manifold and prove Gray's stability theorem. Also we prove Weinstein Lagrangian Neighborhood Theorem and Weinstein Tubular Neighborhood Theorem in Chapter 6.Chapter 8 and 9 are concerned with almost complex and complex manifolds, respectively. We also define Dolbeault cohomology and discuss the criterions when an almost complex manifold is complex. Finally, in the last chapter, we define Kaehler manifolds and study the Fubini-Study form on complex projective space. 109