Search

Along with the developing technology, obesity and diabetes are increasing rapidly among people. Theidentification of diabetes diseases, modeling, predicting their behavior, conducting simulations, studying control andtreatment methods using mathematical methods has become of great importance. In this paper, we have obtainednumerical solutions by considering the glucose-insulin fractional model. This model consists of three compartments:the blood glucose concentration (𝐺), the blood insulin concentration (𝐼) and the ready-to-absorb glucose concentration(𝐷) in the small intestine. The fractional derivative is used in the sense of Caputo. By performing mathematicalanalyzes for the Glucose-Insulin fractional mathematical model, numerical results were obtained with the help of theEuler method and graphs were drawn.

The grey modelling in the prediction of time series has been one of the interestingstudy fields recently due to its efficiency and convenience. Fractional grey models,on the other hand, have become preferable, despite the difficulty in calculations,since they give more effective results than standard models. Difficulties in fractionalaccumulation and difference calculations have begun to be overcome thanks to newdefinitions and theorems made in recent years. The new trend in grey modelling isto compose models that are more useful than the previous ones and give results withless error. In this paper, a new grey model derived from the conformable fractionalorder is defined and it is shown that more effective estimates are made compared tothe models created in recent years. The verification of the method is shown with realdata set. The results show that the proposed conformable fractional grey model ismore effective than the existing models.

Hemen hemen tüm dünya genelinde COVID-19 salgının neden olduğu bir pandemik durum söz konusudur. Bu salgının önlenmesi için alınan önlemler ve geliştirilen aşı çalışmalarına rağmen virüsün mutasyona uğrayarak yapısının değişmesiyle birlikte salgının seyri her geçen gün değişim göstermektedir. Uzmanların ortak kanaatleri ise salgınla mücadelenin en önemli silahın aşı olduğu yönündedir. Bu çalışmada SIQR (Hassas-Enfekte-Karantina-İyileşmiş) salgın hastalık modeline aşılanmış bireyler sınıfı eklenerek yeni bir SIQRV modeli elde edildi. Yeni oluşturulan SIQRV modelinde toplam nüfus beş bölüme ayrılmıştır. Duyarlı birey sınıfı (S), enfektif birey sınıfı (I), karantinada olan birey sınıfı (Q), iyileşmiş bireylerin sınıfı (R) ve aşılanmış bireylerin sınıfı (V) ile ilgili matematiksel analizler yapılarak nümerik sonuçlar Euler methodu yardımı ile elde edildi ve grafikler çizildi., There is a pandemic situation caused by the COVID-19 epidemic almost all over the world. Despite the measures taken to prevent this epidemic and the vaccine studies developed, the course of the epidemic changes day by day as the virus mutates and changes its structure. The common opinion of the experts is that the most important weapon in the fight against the epidemic is the vaccine. In this paper, a new SIQRV model was obtained by adding a class of individuals who have been vaccinated to the SIQR (susceptible-infected-quarantine-recovered) model. In the newly created SIQRV model, the total population is divided into five sections. Numerical results were obtained through Euler method and graphs were drawn by mathematical analysis class of the susceptible individual (S) , the class of the infected individual (I), the class of the in quarantine (Q), the class of the recovered (R) and the class of the vaccinated individuals (V).

The flow structures in the double symmetrical flow regions such as rectangular cavity strongly depends on the cavity aspect ratio, A(height to width). The aspect ratio of the rectangular cavity is a control parameter such that flow structures with the same aspect ratioare similar.The definition of aspect ratio for sectoral cavities is more complex than rectangular. The flow is governed by three physical controlparameters within a sectorial cavity: the cavity aspect ratio, A =r1/r2 (where r1 and r2 are the radii of the inner and outer curved side-walls, respectively) ; the ratio (S =U1/U2) of the upper to the lower lid speed and the cavity angle θ. If θ is fixed, the flow structures withthe same aspect ratio, A, are similar. If the cavity angle is fixed, the flow structures is the same as long as aspect ratio is kept constant. However, for two cavities, in which the cavity angles are different, it appears that the flow structures are not similar, even if the aspect ratios are the same value.In this article, we used the grey modelling theory on flow structures in the sectorial cavity. Therefore, it was shown at which aspectratios similar flow structures could be obtained in sectorial cavities with different angle.

Grey theory is an effective theory that deals with systems that lack weakinformation and / or information. With this theory, effective and very accurate estimates canbe created for future times by utilizing a small number of data. The grey modeling method isa sub-branch of the theory of grey systems and the modeling process is carried out with thehelp of differences equations and differential equations. The least squares approach plays arole in the precise results of the method. Using the GM (1,1) modeling method, which is thebasis of grey prediction models with its accuracy and usefulness, health expenditures inTurkey that will be achieved in the coming years were estimated.These estimates areparticularly useful for health and economic policies.

Gri teori, zayıf bilgi veya bilgilerin eksik olduğu sistemlerle ilgilenen etkili bir teoridir. Bu teoride az sayıda veriden faydalanarak gelecek zamanlar için etkin ve oldukça yaklaşık tahminler oluşturulabilmektedir. Gri modelleme yöntemi, gri sistemler teorisinin bir alt dalı olup, modelleme işlemi ilgili fark denklemleri ve diferansiyel denklemler kullanılarak yapılır. En küçük kareler yaklaşımı sonuçların uygunluğu üzerinde önemli bir rol oynamaktadır. Kesinliği ve kullanışlılığı ile gri tahmin modellerinin temelini oluşturan GM(1,1) modelleme yöntemi kullanılarak, Aksaray ilinden ileriki yıllarda elde edilecek vergi gelirlerinin tahmini yapılmıştır. Bu tahminler başta yerel yönetimler olmak üzere ekonomik politikalar için oldukça faydalıdır., Grey theory is an effective theory that deals with systems which have imperfect data or weak information. Effective and very accurate estimates can be created for the future by utilizing a small number of data in this theory. The grey modeling method is a sub-branch of the grey systems theory and the modeling process is done by using the related differential equations. The least squares approach plays an important role on accuracy of the results. Using the GM(1,1) modeling method, which is the basis of grey prediction models with its accuracy and usefulness, the tax income to be obtained in the following years are estimated. These estimates are very useful for economic policies, especially for local governments.

The paper present a different semi-analytical solutions for the Stokes flow in a rectangular cavity by using the biorthogonality condition of the eigenfunctions. Firstly, the biorthogonality condition for rectangular cavity is applied on Stokes Flow problem. Secondly, the biorthogonality condition and the new solution is verified against results available in the literature. Further, it has been found that this solution mechanism is efficient and it can be successfully used to obtain flow structures and bifurcations.

This paper analyzes the 2-D Stokes flow in annular wedge cavities with different cavity angles. In order to analyze the flow structures, the two dimensional biharmonic equation is solved analytically. The flow is governed by two physical controlparameters: the cavity angle α and the ratio of the upper and lower lid speeds (S =U1U2).By varying α for each S, the effect of cavity angle on the streamline patterns and theirbifurcations are investigated

Bu tez iki ana kısımdan oluşur. Birinci kısımda yan duvarları hareketsiz, alt ve üst kapakları hareketli sektörel kaviteler içerisindeki Stokes akış ve ikinci kısımda ise ayni kavite içindeki Navier-Stokes akış analiz edildi. Bir sektörel şeklinde tanımlanır. Burada ve sırasıyla iç ve dış çemberlerin yarıçaplarıdır. ve sınırları (alt ve üst kapak olarak tanımlanır) birer düzgün şerit şeklinde olup yarıçap yönünde sırasıyla ve hızları ile hareket ederler.Stokes akış durumu için formüle edilen sınır-değer problemi, akış fonksiyonu için analitik olarak çözüldü. Analitik çözüm öz-fonksiyonların bir sonlu serisi olarak ifade edildi. Bu öz-fonksiyonlar görünüm oranı ve hız oranı 'ye bağlıdır. Akış fonksiyonunun çözümü, ve parametrelerinin değişimiyle lokal akış yapılarındaki değişiklikleri ortaya çıkartmak için her bir durgun nokta civarında Taylor serisine açıldı. ve 'in kritik değerlerinde durgun nokta çatallanmaları gerçekleşti. Öyle ki bir merkez noktanın bir eyer noktaya (yada tersi) dönüşerek akış yapılarının değiştiği görüldü.Sert yan duvarlı bir sektörel kavite için S 'in herhangi bir değerinde azaltıldığında akış çatallanmalarının bir serisi görülür ve kavite içerisinde yeni eddy'ler (girdaplar) oluşur. için ana sonuçlar çatallanma eğrileriyle oluşturulan bir kontrol uzay diyagramı ile gösterildi. Ayrıca için çubuk diyagramları kullanıldı.Tezin 2. parçasında, yönetici denklemin özel bir sonlu elemanlar formulasyonu kullanılarak, Reynolds sayısının akış yapılarına olan etkisi aralığı için araştırıldı. sabit tutularak, değiştiğinde Reynolds sayısının akış yapılarına olan etkisi, durgun nokta çatallanmaları ve akıştaki asimetriklik ile kendini gösterdi. Verilen bir değeri için kritik değerlerinin dakilerden farklı olduğu görüldü.Anahtar Kelimeler: Navier-Stokes, Akışkanlar Mekaniği, Akış Yapısı, Çatallanma, Girdap This thesis consists of two main parts. In the first part, we analyzed Stokes flow and in the second part incompressible, non-zero Reynolds number flows in sectorial lid-driven cavities with rigid side walls and the upper and the lover lid moving. A secrotial cavity is defined by . Here and are radius of inner and outer circles respectively. The boundaries and are two flat plates which translates with speeds and in the radial direction respectively, thus setting the fluid into motion.A boundary value problem is formulated for the case of Stokes flow, which is solved analytically for the streamfunction, , expressed as an infinite series of eigenfunctions. The solution of streamfunction is then expanded about any stagnation point to reveal changes in the local flow structure as and varied. At critical values of and stagnation point bifurcations arise at which a centre changes to a saddle (and vice versa) and the flow structure is transformed.For a sectorial cavity with rigid side walls, as decreases for any , sequences of flow bifurcations arise by which additional eddies are generated within the cavity. The key results are shown in - control space diagram as with bifurcation curves for . In addition we used the pipe bifurcation diagrams for .In the second part of this thesis, the effect of the Reynolds number, Re, on the flow structure in sectorial cavities is investigated in range using a primitive variable finite element formulation of the governing equation of motion. Results with varying and constant show that Reynolds number affects flow patterns by introducing asymmetries and stagnation point bifurcations; for a given there are seen to occur at different values of critical aspect ratio than is the case when .Keywords: Navier-Stokes; Fluid Mechanics; Flow Structure; Bifurcation, Eddy 157

Bu tez çalışmasında lineer olmayan oluşum denklemleri hakkında genel bilgi verilerek bu denklemlerin integrallenebilirliği üzerinde durulmuştur. İntegrallenebilirlik kavramının temelini teşkil eden korunum kanunları, Lax çiftleri, Backlund dönüşümleri ayrıntılı olarak 1. bölümde verilmiştir. 2. bölümde ise tekil noktaların sınıflandırılması, lineer ve lineer olmayan adi diferensiyel denklemlerin hareketli tekillikleri, Painleve transandant denklemleri ve Painleve özelliği konularına örneklerle değinilmiştir. 3. bölümde, lineer olmayan oluşum denklemlerinden Korteweg-de Vries ve Burger denklemlerinin Painleve özelliği ARS ve WTC algoritmaları kullanılarak gösterilmiştir. Son bölümde ise Painleve transandant denklemlerinin Hirota yöntemiyle tam çözümleri bulunarak integrallenebilirlikleri araştırılmıştır. Anahtar Kelimeler: Hareketli ve sabit tekil nokta, İntegrallenebilirlik, Laurent açılımı, Lineerlik, Oluşum denklemi, Painleve özelliği, Tekil nokta Non linear evolution equations are described in this thesis study. The integrability of these equations became the center of interest. The conservation laws basic to this integrability concept, Lax Pairs, Backlund transformations are provided in detail in chapter one. In the second chapter, classification of singuler points and movable singularity of the linear and non linear ordinary differential equations, Painleve transandant equations and Painleve features are studied by giving some examples. In the following chapter, Painleve properties of the non linear evolution equations such as Korteveg de Vries and Burger' equations are shown by using ARS and WTC algorithms. In the final chapter, integrability of the Painleve transandant equations are shown by finding the exact solitons with Hirota method. Key Words : Movable and stable singuler point, integrability, Laurent series, Linear equations, Evolution equation, Painleve property, singuler point. 72

Gri modelleme teorisi zaman serilerinin tahminleri için son yıllarda tercih edilen matematiksel modellemelerden biridir. Az veri ile düşük hatalı tahminler yapabilmesi ve uygulanabilirliği basit olmasından dolayı giderek ilgi görmektedir. Bu çalışmada GM (1,1), NGM (1,1) ve TDPGM (1,1) modelleri kullanılarak Türkiye'nin 2011-2020 ye kadar olan sera gazı emisyon verileri kullanılarak 2021-2028 yılları için tahminler yapılmıştır. Ortalama mutlak yüzde hatası (MAPE) kesinliği değerlendirmek için tahmini değerleri gerçek değerlerle karşılaştırır. Türkiye'nin toplam sera gazı emisyon göstergesinin önümüzdeki 8 yıl içinde katlanarak artacağı değerlendiriliyor., Gray modeling theory is one of the preferred mathematical models for the predictions of time series in recent years. It is getting more and more attention due to its ability to make low-error predictions with little data and its simplicity in applicability. In this study, estimates were made for the years 2021-2028 using Turkey's greenhouse gas emission data from 2011 to 2020 with GM (1,1), NGM (1,1) and TDPGM (1,1). Mean absolute percentage error (MAPE) compares the actual values with forecasted values to evaluate the precision. It is evaluated that the total greenhouse gas emission indicator of Turkey will increase exponentially within next eight years.

Zaman serilerinin tahmininde gri modelleme, etkinliği ve uygunluğu nedeniyle son zamanlarda ilgi çeken çalışma alanlarından biri olmuştur. Kesirli gri modeller ise standart modellere göre daha etkili sonuçlar verdikleri için hesaplamalardaki zorluğa rağmen tercih edilir hale gelmiştir. Son yıllarda yapılan yeni tanım ve teoremler sayesinde kesirli birikim ve fark hesaplamalarındaki zorluklar aşılmaya başlanmıştır. Gri modellemede yeni eğilim, öncekilerden daha kullanışlı ve daha az hatayla sonuç veren modeller oluşturmaktır. Bu tez çalışmasında, uyumlu kesirli basamaktan türetilen ve OCCFGM (1, 1), ECFGM (1, 1) ve FEXGM (1, 1) olarak kısaltılan üç yeni kesirli gri model oluşturuldu. Sonuçlar, bu yeni modellerin, karşılaştırılan diğer modellere göre daha yüksek tahmin doğruluğu ve daha iyi bir performans sergilediğini gösterdi. Ayrıca, yeni modellerin farklı reel uygulamaları yapılarak elde edilen sonuçlar yorumlandı. Kesir mertebenin en uygun değerleri, Kaba Kuvvet yaklaşımı ile belirlendi. Modellerin yapısal parametreleri en küçük kareler yöntemi kullanılarak hesaplandı., The grey modelling in the prediction of time series has been one of the interesting study fields recently due to its efficiency and convenience. Fractional grey models, on the other hand, have become preferable, despite the difficulty in calculations, since they give more effective results than standard models. Difficulties in fractional accumulation and difference calculations have begun to be overcome thanks to new definitions and theorems made in recent years. The new trend in grey modelling is to compose models that are more useful than the previous ones and give results with less error. In this thesis study, three new fractional grey models derived from the conformable fractional order and abbreviated as the OCCFGM(1, 1), ECFGM(1, 1) and FEXGM(1, 1) were created. The results show that these novel models demonstrated a higher predicted accuracy and more robust performance over the other models considered for comparison. In addition, different real applications of the new models were made and the results obtained were interpreted. The optimal values of fractional order were determined by using the Brute-Force approach. The structural parameters of the models were calculated by using the least squares method.

Gri sistem teorisi bilinmeyen sistemlerin davranışını az sayıda veri ile tahmin etmektedir. Gri tahmin teorisi disiplinler arası bir bilimsel alandır ve son otuz yılda kısmen bilinmeyen parametrelere sahip birçok sisteme uygulanmıştır. Bu çalışmada ise Türkiye' nin 2011-2020 yılları arasındaki Ar-Ge ve eğitim harcamaları verileri ve 2010-2019 yılları arasındaki elektrik üretimi verileri Türkiye İstatistik Kurumu' ndan alınmıştır. Ar-Ge ve eğitim harcamaları 2021-2030 yılları için ve elektrik üretimi 2020-2029 yılları için Standart Gri Model (GM (1,1)), Yeni Gri Model (NGM (1,1)) ve Üstel Gri Model (EXGM (1,1)) kullanılarak tahmin edilmiştir. Her üç modelin sonuçları karşılaştırılmıştır. Gerçek ve tahmin değeri arasındaki yüzde bağıl hata (RPE) ve ortalama yüzde bağıl hata (MAPE) belirlenmiştir. Gerçek değer ve tahmin değerleri arasındaki korelasyon incelenmiştir. MAPE değeri Ar-Ge harcamaları için GM (1,1) ile %2.95, NGM (1,1) ile %14,01 ve EXGM (1,1) ile % 1.48 olarak hesaplanmıştır. Eğitim harcamaları için GM (1,1) ile %3.32, NGM (1,1) ile %8.66 ve EXGM (1,1) ile % 3.09 olarak hesaplanmıştır. Elektrik üretimi için GM (1,1) ile %1.58, NGM (1,1) ile %6,67 ve EXGM (1,1) ile % 1.36 olarak hesaplanmıştır. Gerçek değer ve tahmini değerin arasındaki korelasyonu gösteren R2 değerleri sıra ile Ar-Ge harcamaları için GM(1,1) ile 0.9974, NGM (1,1) ile 0.9821 ve EXGM (1,1) ile 0,9985 olarak hesaplanmıştır. Eğitim harcamaları için GM(1,1) ile 0.9845, NGM (1,1) ile 0.9619 ve EXGM (1,1) ile 0,9846 olarak hesaplanmıştır. Elektrik üretimi için GM(1,1) ile 0.9734, NGM (1,1) ile 0.6462 ve EXGM (1,1) ile 0,9753 olarak hesaplanmıştır. Sonuç olarak GM (1,1), NGM (1,1) ve EXGM (1,1) yöntemleri ile yapılan tahmin değerlerinin hata ve korelasyon sonuçları incelendiğinde tüm uygulamalarda EXGM (1,1) yönteminin daha iyi sonuç verdiği görülmektedir. Önümüzdeki 10 yıl içerisinde Ülkemizin Ar-Ge ve eğitim harcamalarının ve elektrik üretiminin üstel bir şekilde artacağı öngörülmektedir., Grey systems theory predicts the behavior of unknown systems with little data. Grey prediction theory is an interdisciplinary scientific field and has been applied to many systems with partially unknown parameters over the past three decades. In this study, Turkey's R&D and education expenditures data between 2011-2020 and electricity production data between 2010-2019 were taken from the Turkish Statistical Institute. R&D and education expenditures for the years 2021-2030 and electricity production for the years 2020-2029 were estimated by using Standard Grey Model (GM (1,1)), Novel Grey Model (NGM(1,1)) and Exponential Grey Model (EXGM (1,1)). The results of all three models were compared. The percentage relative error (RPE) between the actual and predicted values and mean absolute percentage error (MAPE) were determined. The correlation between the actual value and the predicted value was examined. The MAPE value for R&D expenditures was calculated as 2.95% with GM (1,1), 14.01% with NGM (1,1) and 1.48% with EXGM (1,1), respectively. It was calculated as 3.32% with GM (1,1), 8.66% with NGM (1,1) and 3.09% with EXGM (1,1) for education expenditures. It was calculated as 1.58% with GM (1.1), 8.66% with NGM (1,1) and 1.36% with EXGM (1,1) for electricity production. R2 values, which show the correlation between actual value and estimated value were calculated as 0,9974 with GM (1,1), 0,9821 with NGM (1,1) and 0,9985 with EXGM (1,1) for R&D expenditures. It was calculated as 0,9845 with GM(1,1), 0,9619 with NGM (1,1) and 0,9846 with EXGM (1,1) for education expenditures. For electricity production, it was calculated as 0,9734 with GM (1,1), 0,9619 with NGM (1,1) and 0,9753 with EXGM (1,1). As a result, when the error and correlation results of the estimation values obtained from GM (1,1), NGM (1,1) and EXGM (1,1) methods are examined, it was seen that the EXGM (1.1) method gives better results in all applications. It was predicted that our country's R&D and education expenditures and electricity production will increase exponentially in the next 10 years.

Bu tez çalışmasında endüstrinin birçok alanında kullanılan bazı kavite akış problemlerinden bazıları ele alındı. Dikdörtgensel, sektörel ve eğrisel bölgelerde iki boyutlu Stokes akış problemlerinin analitik çözümü verildi. Tez beş bölümden oluşmakta olup birinci bölümde tez çalışmasında kullanılacak temel kavramlar, denklemler ve tanımlar verildi. İkinci bölümde, bir ya da iki duvarının hareketli ve karşılıklı yan duvarların birer serbest yüzey olduğu dikdörtgensel bölgedeki akış probleminin çözümü analiz edildi. Üçüncü bölümde kapalı dikdörtgensel bölgedeki Stokes akış probleminin analitik çözüm mekanizması verildi. Dördüncü bölümde ise eğrisel bir bölgedeki akışı yöneten kısmi diferansiyel denklem verilen sınır koşulları altında çözüldü. Böylece eğrisel bir bölgedeki akış hareketi için bilgiler elde edildi. Beşinci ve son bölümde elde edilen bulgular ve öneriler verildi., In this study, some of cavity flow problems which are used in many areas of the industry are discussed. Two-dimensional Stokes flow in rectangular, sectorial and curved shaped cavity are considered. The thesis consists of five sections. In the first section, general concepts, equations and definitions which will be used in thesis, are introduced. In the second section, flow structures are analyzed in a rectangular cavity formed by a pair free surface and one or two moving lids. In the third section, analytical solution mechanism of Stokes flow problem in a closed rectangular region is given. In the fourth section, the governing partial differential equations for the flow in a curved region were solved under given boundary conditions. Thus, information was obtained for flow movement in a curved region. In the fifth and last section, the conclusions and recommendations were given.

Bu tez çalışmasında endüstrinin bir çok alanında kullanılan bazı kavite akışları ele alındı. İki boyutlu dikdörtgensel, sektörel ve eğrisel bölgelerde iki boyutlu Stokes Akış problemlerinin analitik çözümü incelendi. Tez beş bölümden oluşmakta olup birinci bölümde tez çalışmasında kullanılacak temel kavramlar, denklemler ve tanımlar verildi. İkinci bölümde, bir ya da iki duvarının hareketli ve karşılıklı yan duvarların birer serbest yüzey olduğu dikdörtgensel bölgedeki akış probleminin çözümü analiz edildi. Tezin üçüncü bölümünde sektörel bölgedeki akış probleminin çözümü verildi. Dördüncü bölümde ise çeşitli geometrilere sahip kaviteler için biortagonallik koşulları verildi. Beşinci ve son bölümde elde edilen bulgular ve öneriler verildi.

WOS: 000379036300003, This paper presents the two-dimensional (2D) steady incompressible flow in a lid-driven sectorial cavity. In order to analyze the flow structures, the 2D Navier-Stokes equations are solved by using the finite element method. Different cases of the cavity aspect ratio A and three cases of the speed ratios of the upper and the lower lids are considered. The finite element formulation for the governing equations is adopted via the velocity-pressure formulation. By varying A for each S, the effect of the Reynolds number on the streamline patterns and their bifurcations are investigated in range . A comparison between the obtained results and some earlier studies is presented.

Bu tez çalışmasında kıl kökünün şekil modellemesi için bir teknik sunulmaktadır. Bu şekil çizme tekniği, dört periyodik sınır koşullarının bir kümesine ve bir eliptik kısmi diferansiyel denklemin (KDD) kullanımına dayanmaktadır. Kısmi türevli denklemler kullanarak yapılan geometrik modelleme, düzgün yapısı nedeniyle, sınır koşullarına sahip kısmi diferansiyel denklemlerin ayrılabilir çözümleri analitik olarak çözüldü. Seçilen her sınır koşulu bir sınır eğrisi oluşturur ve bu işlem, MATLAB programı kullanılarak, kıl follikülünün üretilen KDD tabanlı görünüm şekli elde edildi. Kıl follikülünün yarıçapı ve yüksekliği ile ilgili veriler ve daha sonra, elde ettiğimiz iki denklemin kıl follikülünün tasarımında doğru yapısal özelliklere sahip olduğunu görüldü., In this thesis the work presents a technique for shape modeling of hair follicle. The technique of sketching this shape is based on a set of four periodic boundary conditions and on the use of an elliptic partial differential equation (PDE). Geometric modeling using partial differential equations has been acknowledged because of its smooth nature, partial differential equations with boundary conditions are solved by separation of variables analytically. Every chosen boundary condition creates a boundary curve and this process can be obtained by utilizing MATLAB, the shape of the generated PDE-based representation of hair follicle, is designed. The data, regarding the radius and height from the hair follicle and we will see later that the two equations we obtained has a correct structural properties in designing hair follicle.

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde temel kavramlar ve bununla birlikte, kısmi türevli denklemlerin elde edilmesi anlatılıp birinci basamaktan lineer olmayan denklemler verilmeye çalışılmıştır. Bu bölümde son olarak lineer olmayan oluşum denklemleri ile Soliton Teorisine fiziksel bakış üzerinde durulmuştur. Bu çalışmada da lineer olmayan denklemlerin tam çözüm yollarından üstel fonksiyon yöntemi ve bu yöntemin çeşitli denklemlere uygulamaları yapılmıştır. Çalışmanın birinci bölümünde kısmi türevli diferansiyel denklemlere ilişkin genel bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde ise üstel fonksiyon yönteminin tanıtımı yapılmıştır. Üçüncü bölümde üstel fonksiyon yönteminin çeşitli boyutlardaki, lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler ve denklem sistemlerine uygulaması yapılmıştır. Dördüncü bölümde kesirli mertebeden kısmi türevli diferansiyel denklemlerin tanıtımı ve uygulamaları yapılmıştır. Son olarak da beşinci bölümde tezimizin genel bir değerlendirilmesi yapılmıştır., This thesis consists of five parts. In the first chapter, basic concepts and together with obtaining partial differential equations are explained and first order nonlinear equations are tried to be given. In this section, non-linear equations of formation and physical view of Soliton Theory are emphasized. In this study, exponential function method is applied to exact equations of nonlinear equations and this equations are applied to various equations. In the first part of the work, general information on partial differential equations is given. In the second part, the exponential function method is introduced. In the third chapter, the exponential function method is applied to nonlinear partial differential equations and equation systems in various dimensions. In the fourth chapter, partial differential equations of fractional order are introduced and applied. Finally, in the fifth chapter, a general evaluation of the thesis was made.

Bu tez çalışmasında iki boyutlu Sonlu Elemanlar Metodu hakkında temel bilgiler verildi. Akışkanlar mekaniğinin temel denklemlerinden olan iki boyutlu kararlı Navier-Stokes denklem sisteminin sayısal çözüm mekanizması bu metod ile oluşturuldu. İki boyutlu ve sınırlarının bir kısmı hareketli olan bir akış bölgesi (kapakla sürülen kavite) için sayısal çözümler elde edildi. Kavite içerisindeki akış yapıları ve çatallanmalar incelendi. Kavite görünüm oranının, Reynolds sayısının ve hareketli kapakların hızları oranlarının akış yapıları üzerine etkileri gösterildi., In this thesis, basic information about two dimensional finite element method is given. The numerical solution mechanism of the Navier-Stokes equation system, which is one of the fundamental equations of fluid mechanics, was created by this method. Numerical solutions have been obtained for a two-dimensional regtangular flow region (lid-driven cavity) which have moving boundaries. Flow structures and bifurcations in the cavity were investigated. The effects of the aspect ratio, Reynolds number and speed ratios of moving lids on flow structures are presented.

Bu tez, Irak'ın Duhok şehrindeki modern binaların iklimlendirme ve ısıtma yüklerinin yeni matematiksel modeller kullanılarak tahmin edilmesini amaçlamaktadır. Mevcut modellemede, bina alanı, kat sayısı ve bina duvarları için ortak malzemenin türleri gibi birçok parametre göz önünde bulundurulmuştur. Yükler için yeni matematiksel doğrusal ve doğrusal olmayan modellerin formüle edilmesi için regresyon analizi gerçekleştirilmiştir. Üçüncü modelde, çıktı için sabit fonksiyonlara bağlı olan Sugeno yönteminden faydalanılarak bulanık mantık kullanılmış; girdiler için ise doğrusal üyelik işlevleri (yani, binanın alanı ve katları) kullanılmıştır. Mevcut analizde MATLAB yazılımında bulunan "fuzzy toolbox" kullanılmıştır. Önerilen matematiksel modellerin geçerliliğini kontrol etmek için istatistiksel değerlendirme yapılmıştır. Sonuçlar, önerilen modeller ile ısıtma ve iklimlendirme standartlarının analitik çözümü arasında makul bir eşlemenin olduğunu ortaya koymaktadır. Sonuç olarak, modellerde tahmin edilen değerler ve analitik sonuçlar arasında % 85'in üzerinde yüksek bir korelasyon katsayısı tespit edilmiştir. Doğrusal model, diğer önerilen matematiksel formüllere kıyasla analitik çıktılarla daha kusursuz bir eşleşme ortaya koymuştur., Present thesis is devoted to estimate the air-conditioning and heating loads of modern buildings in Duhok City, using new mathematical models. Many parameters have been considered in current modeling, namely, area of building, number of storeys and types of the common material for the building walls. Regression analysis was performed to formulate new mathematical linear and nonlinear models for the loads. Fuzzy logic was also utilized in the third model employing Sugeno's regulation which is depended on constant functions for the output; while linear membership functions were used for the inputs (i.e. area of the building and its storeys). Fuzzy tool box in MATLAB software was employed in present analysis. Statistical assessment was carried out to check the validity of the proposed mathematical models. Outcomes reveal that reasonable matching between the proposed models and analytical solution of heating and air-conditioning standards. Consequently, high correlation coefficient of more than 85% was determined between the predicted values by the models and analytical results. Linear model shows perfect matching with the analytical outputs than the other proposed mathematical formulations.

Bu tez, Irak'ın Duhok şehrindeki modern binaların iklimlendirme ve ısıtma yüklerinin yeni matematiksel modeller kullanılarak tahmin edilmesini amaçlamaktadır. Mevcut modellemede, bina alanı, kat sayısı ve bina duvarları için ortak malzemenin türleri gibi birçok parametre göz önünde bulundurulmuştur. Yükler için yeni matematiksel doğrusal ve doğrusal olmayan modellerin formüle edilmesi için regresyon analizi gerçekleştirilmiştir. Üçüncü modelde, çıktı için sabit fonksiyonlara bağlı olan Sugeno yönteminden faydalanılarak bulanık mantık kullanılmış; girdiler için ise doğrusal üyelik işlevleri (yani, binanın alanı ve katları) kullanılmıştır. Mevcut analizde MATLAB yazılımında bulunan `fuzzy toolbox` kullanılmıştır. Önerilen matematiksel modellerin geçerliliğini kontrol etmek için istatistiksel değerlendirme yapılmıştır. Sonuçlar, önerilen modeller ile ısıtma ve iklimlendirme standartlarının analitik çözümü arasında makul bir eşlemenin olduğunu ortaya koymaktadır. Sonuç olarak, modellerde tahmin edilen değerler ve analitik sonuçlar arasında % 85'in üzerinde yüksek bir korelasyon katsayısı tespit edilmiştir. Doğrusal model, diğer önerilen matematiksel formüllere kıyasla analitik çıktılarla daha kusursuz bir eşleşme ortaya koymuştur. Present thesis is devoted to estimate the air-conditioning and heating loads of modern buildings in Duhok City, using new mathematical models. Many parameters have been considered in current modeling, namely, area of building, number of storeys and types of the common material for the building walls. Regression analysis was performed to formulate new mathematical linear and nonlinear models for the loads. Fuzzy logic was also utilized in the third model employing Sugeno's regulation which is depended on constant functions for the output; while linear membership functions were used for the inputs (i.e. area of the building and its storeys). Fuzzy tool box in MATLAB software was employed in present analysis. Statistical assessment was carried out to check the validity of the proposed mathematical models. Outcomes reveal that reasonable matching between the proposed models and analytical solution of heating and air-conditioning standards. Consequently, high correlation coefficient of more than 85% was determined between the predicted values by the models and analytical results. Linear model shows perfect matching with the analytical outputs than the other proposed mathematical formulations. 76

Bu tez çalışmasında endüstrinin bir çok alanında yararlanılan bazı kavite akışproblemleri ele alındı. Dikdörtgensel ve yarım halka şeklinde geometriye sahip vetek yada çift kapakla sürülen kavitelerdeki iki boyutlu Stokes akış düşünüldü.Tez dört bölümden oluşmakta olup birinci bölümde temel kavramlar, denklemler vetanımlar verildi.˙Ikinci bölümde, bir yada iki duvarının hareketli ve karşılıklı yan duvarların birerserbest yüzey oldu˘gu dikdörtgensel kavite içerisinde akış yapıları incelendi. Kavitegörünüm oranı ve kapakların hızlarının akış yapıları üzerindeki etkileri araştırıldı.Üçüncü bölümde ise eş merkezli iki daire arasında kalan yarım halka şeklindekikavitelerdeki akış yapıları ve çatallanmaları incelendi. Yine görünüm ve kapaklarınhız oranlarının akış üzerine etkisi gösterildi.Dördüncü bölümde ise, yine eş merkezli iki daire arasında kalan bölgeden alınançeşitli kesitler içerisindeki stokes akış yapısı incelendi. Kavite açısının eddy oluşummekanizmasına etkisi gösterildi. In this study, some of cavity flow problems which are used in many areas of theindustry are discussed. Two-dimensional Stokes flow in single or double lid drivenrectangular and semicircular shaped cavity is cosidered.The thesis consist of four sections. In the first section, general concepts, equations anddefinitions which will be used in thesis, are introduced.In the second section, flow structure are analyzed in a rectangular cavity formed by apair free surface and one or two moving lids.In the third section, flow structure and their bifurcations are analyzed in annular cavitybetween two concentric circle. Effects of aspects and speed ratios of moving lids onthe flow structures are shown.In the fourth section, Stokes flow structures in various sections from the regionbetween two concentric circles are investigated. Effects of cavity angle on themechanism of eddy genesis are obtained. 73