Search

Geometrijsko ploskev lahko približno opišemo s končnim vzorcem njenih točk. V delu se ukvarjamo z vprašanjem, s koliko točkami, glede na način vzorčenja in rod ploskve, lahko zanesljivo rekonstruiramo originalno geometrijsko ploskev. Najprej opišemo različne načine vzorčenja točk s ploskve, kaj je enakomerni in kaj je slučajni vzorec točk z izbrane ploskve. Vzorce lahko obravnavamo s topološkimi metodami, natančneje metodami vztrajne homologije. Iz vzorca točk s programskim paketom Javaplex konstruiramo filtracijo Vietoris-Ripsovih simplicialnih kompleksov in opazujemo črtni diagram Bettijevih števil. V zaključku predstavimo računske rezultate za sfero in torus glede na različna modela vzorčenja, ter nekaj možnosti za nadaljnje izboljšave. A geometric surface can be approximately described using a finite point-sample. The main question of this thesis is the following: how many points, depending on the sampling model and surface genus, are needed to confidently reconstruct the original geometric surface. First we present different sampling models of surface points — the uniform and the random sample. We use topological methods, in particular persistent homology, to process our data. Using Javaplex software package we construct a filtration with Vietoris-Rips simplicial complexes and consider the bar-code diagram of its Betti numbers. Finally we present our computational results for both the sphere and the geometric torus with respect to the two sampling models , and several options for further improvements.

Senzorji so naprave za pridobivanje informacij iz okolja. Da pokrijemo večjo površino zaznavanja, jih razporedimo po željeni domeni in med seboj povežemo v senzorsko omrežje. Postavi se vprašanje ali senzorji pokrivajo celotno površino domene, oz. ali obstaja območje znotraj domene, ki ga senzorji ne dosežejo. Taka območja imenujemo luknje. V brezžičnem senzorskem omrežju s senzorji, ki se lahko premikajo, poznamo samo njihovo medsebojno povezanost, ne pa tudi položaja. Pokritost območja lahko v takšnih primerih ugotovimo s topološkimi metodami, tako da iz podatkov o povezanosti senzorjev zgradimo Ripsov kompleks in izračunamo njegove homološke grupe oziroma Bettijeva števila. V diplomski nalogi je predstavljen simulator za generiranje senzorskih omrežij in za izračun števila lukenj v domeni pokritosti na podlagi izračuna prvega Bettijevega števila ustreznega Ripsovega kompleksa. Sensors are devices for extracting information from the environment. In order to cover a larger area of detection, they are spread across the desired domain and connected in a sensor network. The question arises whether the sensors cover the entire area of domain or in other words whether there is an area within the domain that sensors do not detect. An area such as this is called a hole. In wireless non-stationary sensor networks the location of the individual sensors is not known, only information on which sensors are connected is available. The coverage of the domain of such a sensor network can be determined using topological methods. Using information on connectivity between the sensors we build the Rips complex and compute its homology groups and Betti numbers. The thesis presents a simulator for generating sensor networks and calculating the number of holes in it by computing the first Betti number of the corresponding Rips complex.

V diplomskem delu si ogledamo implementacijo topološkega pristopa k analizi digitalnih 2-dimenzionalnih slik. Najprej predstavimo dva načina, kako sliko brez izgube informacij poenostavimo in pripravimo, da je primerna za nadaljnje algoritme. Obdelano sliko nato predstavimo kot topološko strukturo, ki jo imenujemo kubični kompleks. S pomočjo slednjega zgradimo vektorsko polje, ki odraža smeri, kamor funkcijske vrednosti padajo, ter pripadajoči seznam kritičnih celic. Iz obeh dobljenih struktur zgradimo Morsov kompleks, s katerim zajamemo bistvene informacije o posamezni sliki, in izračunamo Bettijeva števila, ki opisujejo ključne značilnosti slike. Za izračun Bettijevih števil prav tako predstavimo dva pristopa. Na koncu sledi še prikaz uporabe, kjer na izbranih primerih slik štejemo svetle objekte. In this thesis we present an implementation of a topological approach to 2-dimensional digital images. First, we present two methods for simplifying and preparing the image, without loss of information, for further algorithms. We represent the image as a topological structure called a cubical complex. On the cubical complex, a discrete vector field encoding the directions of descent of grey scale values is constructed, together with the corresponding list of critical cells. From these, the Morse complex, which captures the vital information about the image, is built. Using Betti numbers, important features in the image are described. We present two approaches to computing Betti numbers. The thesis concludes with a presentation of how the implemented algorithms can be used for counting bright objects on specific examples of images.