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Full waveform inversion (FWI) is a tool for the inversion of seismic data. There are several sources of uncertainty in the results provided by FWI. The quantification of such uncertainties has been studied through the resolution matrix (Res), which rests on a quadratic approximation that interprets the Hessian matrix as the posterior covariance matrix. Despite efforts in the use of Res, there is no published analysis of the uncertainties contained in the full correlation matrix, (R). Our approach leads to build the full R matrix, which, at the end of the day, is the final quantity that includes all the information associated with uncertainties.We focused on uncertainties related to variation in the starting models of the FWI, and thus propose a method to study the full R matrix, which is-called the Density of Correlation Map, D. By using the D map, we found that the highest uncertainty zones in the FWI inverted model are near the sources, the model boundaries, and the interfaces. We argue that D can be a complement for the study and estimation of uncertainties in FWI., La inversión por campo de onda completa (FWI) es una herramienta para la inversión de datos sísmicos. Hay varias fuentes de incertidumbre en los resultados proporcionados por FWI. La cuantificación de tales incertidumbres se ha estudiado a través de la matriz de resolución (Res), que se basa en una aproximación cuadrática que interpreta la matriz Hessiana como la matriz de covarianza posterior. A pesar de los esfuerzos en el uso de Res, el análisis de las incertidumbres contenidas en la matriz de correlación completa (R) no existe hasta ahora. Nosotros empleamos varias realizaciones para estimar las incertidumbres de los resultados de FWI. Nuestro enfoque lleva a construir la matriz R completa, que es al final, la cantidad que encierra toda la información asociada a las incertidumbres. Nos enfocamos en las incertidumbres relacionadas con las variaciones en los modelos iniciales de FWI, y proponemos un método para estudiar la matriz R completa, denominado Mapa de Densidad de Correlación, D. Al utilizar el mapa D, encontramos que las zonas de más alta incertidumbre en los modelos invertidos están cerca de las fuentes sísmicas, de las interfaces y de las fronteras artificiales. Destacamos que D puede servir como un complemento para el estudio y la estimación de incertidumbres en FWI.

Seismic modeling is an important step in the process used for imaging Earth subsurface. Current applications require accurate models associated with solutions of the wave propagation equation in real media. Unfortunately, it is common not to find in the technical literature deep discussions on the impact of specific details associated with the physical modeling of some crucial ingredients of the process, such as seismic source term and boundary conditions. In this paper, we discuss some issues related to the modeling of wave propagation in visco-acoustic media using finite differences. We focus our attention on two major elements of the modeling problem that are associated to the source term and the boundary conditions. We show that the source term can be modeled using a scale parameter that controls the spread of energy and shows that this parameter is a function of frequency and position of the source. As to boundary conditions, we show that Perfectly Matched Layer (PML) parameters are also frequency dependent. For both cases, seismic source scale parameter and PML model parameters we provide values and functions that optimize the performance of the approach for problems where visco-acoustic wave propagation is required. Frequency domain Full Waveform Inversion (FWI), or Reverse Time Migration (RTM) processes that depend fundamentally on the appropriate modeling of the wave-field are potential fields of application of these results., El modelamiento sísmico es un ingrediente importante en el proceso de construcción de imágenes del subsuelo. Aplicaciones actuales requieren soluciones precisas asociadas con la solución de la propagación de ondas en medios realistas. Desafortunadamente no es común encontrar en la literatura técnica, discusiones y análisis suficientemente profundas asociadas al impacto detalles específicos asociados con el modelamiento físico de ingredientes claves para este proceso como lo son el término de la fuente y las condiciones de frontera. En este trabajo se discuten algunos de esos detalles relacionados con el modelamiento de la propagación de ondas en un medio visco-acústico usando diferencias finitas. Nuestra atención se enfoca en dos aspectos importantes del modelamiento asociados con el término de la fuente y las condiciones de frontera. Se muestra que el término de la fuente puede ser modelado a través del uso de parámetros de escala que controlan la distribución de energía y se muestra que este parámetro es una función de la frecuencia y de la posición de la fuente. Para las condiciones de frontera se muestra que los parámetros del modelo de fronteras de tipo PML (Perfectly Matched Layer) también son dependientes de la frecuencia. Tanto para el parámetro de escala de la fuente como los parámetros que modelan la PML se provee valores y funciones que optimizan el rendimiento de dichas aproximaciones para problemas donde se requiere el modelamiento de la propagación de ondas en medios visco-acústicos. Inversión de onda completa (FWI) o Migración Reversa en Tiempo (RTM) son escenarios que dependen fuertemente del modelamiento apropiado del campo de onda y son campos potenciales de aplicación para los resultados que se presentan.

In this work we present a formalism that intends to solve the problem of modeling wave propagation in the context of seismic inversion. The formalism is based on the linear perturbation theory of Cauchy's equations. Based on the foregoing, we derived an equivalent Helmholtz equation for the propagation of waves in a variable density media. Then, we defined a solution, by using the boundary conditions on a half plane. This solution is of an integral nature and resembles expansion in a Neumann series. We implemented the solution of the first terms in the series, considering only the incident wavefield and neglecting the reflections. We show how this approximation works in different media that include lateral in homogeneities in the velocity. The method presented hereunder is intended as a first step in the modelling process for the full wavefield, to be used in seismic inversion methods, Full Waveform Inversion, for example., En esta investigación presentamos un formalismo que pretende contribuir al modelado de la propagación de ondas en el contexto de la inversión sísmica. El formalismo está basado en la teoría de perturbaciones lineales a las ecuaciones de Cauchy. Basados en este procedimiento derivamos una versión de la ecuación de Helmholtz que describe la propagación de ondas en un medio con densidad variable. Luego hallamos una solución en la cual se emplean condiciones de frontera de un plano semi infinito. Tal solución es expresada en forma de integral y recuerda la expansión en series de Neumann. Nosotros implementamos la solución del primer término de la serie, que considera únicamente el campo de onda incidente, sin considerar las reflexiones de onda. Mostramos que esta aproximación funciona en diferentes medios que incluyen variaciones in-homogeneidades laterales en el perfil de velocidad. Este método es presentado como un primer paso en el proceso de modelado del campo de onda completo el cual puede ser usado en métodos de inversión sísmica tales como "Inversión de onda completa"

Desde el punto de vista de la teoría de problemas inversos, la deconvolución puede ser entendida como una inversión lineal de un problema mal-puesto y mal-condicionado. La característica del mal-condicionamiento del operador de deconvolución hace que la solución del problema inverso sea sensitiva a errores en los datos. La regularización de Tikhonov es el método más común empleado para estabilizar la solución y obtener su unicidad. Sin embargo, los resultados del método de Tikhonov no proveen calidad suficiente cuando el ruido en los datos es fuerte. Este trabajo hace uso del método del gradiente conjugado, basado en el esquema de Tikhonov aplicado a la deconvolución, cuyo parámetro de regularización es calculado iterativamente teniendo en cuenta el criterio de discrepancia de Morozov en la función objetivo. Haciendo uso de datos sísmicos sintéticos como datos reales apilados, se llevó a cabo el proceso de deconvolución con y sin regularización basada en el algoritmo del gradiente conjugado. Se llevó a cabo una comparación del esquema planteado. Aplicando la deconvolución regularizada en los datos sintéticos muestra una mejora en la estabilidad de la solución y los datos sísmicos post-apilados mostraron un incremento de la resolución vertical aun con ruido en los datos., From the inverse problem theory aspect, deconvolution can be understood as the linear inversion of an ill-posed and ill-conditioned problem. The ill-conditioned property of the deconvolution operator make the solution of inverse problem sensitive to errors in the data. Tikhonov regularization is the most commonly used method for stability and uniqueness of the solution. However, results from Tikhonov method do not provide sufficient quality when the noise in the data is strong. This work uses the conjugate gradient method applied to the Tikhonov deconvolution scheme, including a regularization parameter calculated iteratively and based on the improvement criterion of Morozov discrepancy applied on the objective function. Using seismic synthetic data and real stacked seismic data, we carried out a deconvolution process with regularization and without regularization based on a conjugated gradient algorithm. A comparison of results is also presented. Applying regularized deconvolution on synthetic data shows improved stability on the solution. Additionally, real post-stack seismic data shows a direct application for increasing the vertical resolution even with noisy data., Desde o ponto de vista da teoria de problemas inversos, a deconvolução pode ser entendida como uma inversão linear de um problema mal posto e mal condicionado. A característica do mal condicionamento do operador de deconvolução faz que a solução do problema inverso seja sensitiva a erros nos dados. A regularização de Tikhonov é o método mais comum utilizado para estabilizar a solução e obter sua unicidade. Porém, os resultados do método de Tikhonov não fornecem qualidade suficiente quando o ruído nos dados é alto. Este trabalho faz uso do método do gradiente conjugado, baseado no esquema de Tikhonov aplicado à deconvolução, cujo parâmetro de regularização é calculado iterativamente tendo em conta o critério de discrepância de Morozov na função objetivo. Fazendo uso de dados sísmicos sintéticos como dados reais empilhados, foi realizado o processo de deconvolução com e sem regularização baseado no algoritmo do gradiente conjugado. Realizou-se uma comparação do esquema proposto. Aplicando a deconvolução regularizada nos dados sintéticos mostra uma melhoria na estabilidade da solução e os dados sísmicos pós-empilhados mostraram um aumento da resolução vertical mesmo com ruído nos dados.