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The initial aim of this thesis consisted in determining automorphism groups and upper bounds on the number of orbits of smooth rational curves on surfaces in the family of K3 surfaces having a Néron-Severi group isomorphic to the lattice with Gram matrix diag(2t,-2,-2) with respect to a fixed basis, where the integer parameter t ranges from 1 to 50. To this end, we put computer science at the service of pure mathematics and implemented various computer-based algorithmic solutions that take advantage of a wide array of tools and modern techniques. These solutions not only enabled us to perform a complete study of the family of K3 surfaces mentioned above by determining projective models, computing automorphism groups, studying the orbits of smooth rational curves, and discussing the unirationality of their moduli spaces, hence enabling us to provide results far exceeding the objectives which had been set for this thesis, but also turn out to have a framework of application which goes far beyond the family of surfaces mentioned earlier. From the outset of this thesis, we indeed had in mind to develop solutions with a broad scope of application. This endeavor resulted in the production of many computer-based solutions for the study of K3 surfaces that will hopefully open up new perspectives and help popularize even more the field of study of K3 surfaces. Please note that all programs produced during this thesis are released in public access: All computer-based solutions produced during this thesis are detailed and available for download on K3surfaces.com, Les objectifs initialement fixés pour cette thèse consistaient à déterminer les groupes d'automorphismes ainsi que des bornes supérieures sur le nombre d'orbites de courbes rationnelles sur les surfaces K3 appartenant à la famille des surfaces ayant un groupe de Néron-Severi isomorphe au réseau entier avec matrice de Gram diag(2t,-2,-2) par rapport à une base fixée, où le paramètre entier t est compris entre 1 et 50. Nous avons pour cela mis l'outil informatique au service des mathématiques fondamentales en implémentant des solutions algorithmiques tirant parti d'outils modernes et variés. Les programmes qui ont découlé de cette démarche nous ont non seulement permis de mener une étude complète de ces surfaces en calculant explicitement leurs automorphismes, orbites de (-2)-courbes sous l'action de ces derniers, modèles projectifs, unirationalité des espaces des modules, dépassant ainsi largement notre objectif initial d'étude, mais ont aussi un champ d'application allant bien au-delà de ces surfaces. Depuis le début de cette thèse, nous avons en effet été motivés par la volonté de toujours dépasser les cas particuliers et spécificités afin de produire des solutions ayant une portée généraliste assumée. Notre entreprise a ainsi résulté en la production de nombreuses solutions mettant l'outil informatique au service de la géométrie algébrique et des surfaces K3 qui, nous l'espérons, ouvriront de nouvelles perspectives d'étude pour ces dernières. Nous tenons à mentionner que tous les programmes réalisés pendant cette thèse sont accessibles via K3surfaces.com et que leur utilisation y est expliquée en détails.

Soit n ≥ 2, soit Fn un groupe libre de rang n, et soit Out(Fn) le groupe de ses automorphismes exterieurs, c’est-a-dire le quotient de Aut(Fn) par son sous-groupe distingue forme par les conjugaisons. Depuis les travaux fondateurs de Culler et Vogtmann en 1986, l’etude du groupe Out(Fn) s’effectue par des methodes geometriques, via l’etude de son action sur plusieurs espaces, au rang desquels on peut mentionner l’outre-espace de Culler et Vogtmann, ainsi que plusieurs espaces a courbure negat...

My thesis work focuses on double EPW sextics, a family of hyperkähler manifolds which, in the general case, are equivalent by deformation to Hilbert's scheme of two points on a K3 surface. In particular I used the link that these manifolds have with Gushel-Mukai varieties, which are Fano varieties in a Grassmannian if their dimension is greater than two, K3 surfaces if their dimension is two.The first chapter contains some reminders of the theory of Pell's equations and lattices, which are fundamental for the study of hyperkähler manifolds. Then I recall the construction which associates a double covering to a sheaf on a normal variety.In the second chapter I discuss hyperkähler manifolds and describe their first properties; I also introduce the first case of hyperkähler manifold that has been studied, the K3 surfaces. This family of surfaces corresponds to the hyperkähler manifolds in dimension two.Furthermore, I briefly present some of the latest results in this field, in particular I define different module spaces of hyperkähler manifolds, and I describe the action of automorphism on the second cohomology group of a hyperkähler manifold.The tools introduced in the previous chapter do not provide a geometrical description of the action of automorphism on the manifold for the case of the Hilbert scheme of points on a general K3 surface. In the third chapter, I therefore introduce a geometrical description up to a certain deformation. This deformation takes into account the structure of Hilbert scheme. To do so, I introduce an isomorphism between a connected component of the module space of manifolds of type K3[n] with a polarization, and the module space of manifolds of the same type with an involution of which the rank of the invariant is one. This is a generalization of a result obtained by Boissière, An. Cattaneo, Markushevich and Sarti in dimension two. The first two parts of this chapter are a joint work with Alberto Cattaneo.In the fourth chapter, I define EPW sextics, using O'Grady's argument, which shows that a double covering of a EPW sextic in the general case is deformation equivalent to the Hilbert square of a K3 surface. Next, I present the Gushel-Mukai varieties, with emphasis on their connection with EPW sextics; this approach was introduced by O'Grady, continued by Iliev and Manivel and systematized by Kuznetsov and Debarre.In the fifth chapter, I use the tools introduced in the fourth chapter in the case where a K3 surface can be associated to a EPW sextic X. In this case I give explicit conditions on the Picard group of the surface for X to be a hyperkähler manifold. This allows to use Torelli's theorem for a K3 surface to demonstrate the existence of some automorphisms on X. I give some bounds on the structure of a subgroup of automorphisms of a sextic EPW under conditions of existence of a fixed point for the action of the group.Still in the case of the existence of a K3 surface associated with a EPW sextic X, I improve the bound obtained previously on the automorphisms of X, by giving an explicit link with the number of conics on the K3 surface. I show that the symplecticity of an automorphism on X depends on the symplecticity of a corresponding automorphism on the surface K3.The sixth chapter is a work in collaboration with Alberto Cattaneo. I study the group of birational automorphisms on Hilbert's scheme of points on a projective surface K3, in the generic case. This generalizes the result obtained in dimension two by Debarre and Macrì. Then I study the cases where there is a birational model where these automorphisms are regular. I describe in a geometrical way some involutions, whose existence has been proved before.; Mon travail de thèse porte sur les doubles EPW sextiques, une famille de variétés hyperkähleriennes qui, dans le cas général, sont équivalentes par déformation au schéma de Hilbert de deux points sur une surface K3. Notamment j'ai utilisé le lien que ces variétés ont avec les variétés de Gushel-Mukai, qui sont des variétés de Fano dans une Grassmannienne si leur dimension est plus grande que deux, des surface K3 si la dimension est deux.Le premier chapitre contient quelques rappels de théorie des équations de Pell et des réseaux, qui sont fondamentals pour l’étude des variétés hyperkähleriennes. Ensuite je rappelle la construction qui associe un revêtement double à un faisceau sur une variété normale.Dans le deuxième chapitre j’aborde les variétés hyperkähleriennes et je décris leurs premières propriétés ; j’introduis aussi le premier cas de variété hyperkählerienne qui a été étudiée, les surfaces K3. Cette famille de surfaces correspond aux variétés hyperkähleriennes en dimension deux.Je présente ensuite brièvement certains des derniers résultats dans ce domaine, notamment je définis différents espaces de modules de variétés hyperkähleriennes et je décris l’action d’un automorphisme sur le deuxième groupe de cohomologie d’une variété hyperkähleriennes.Les outils introduits dans le chapitre précédent ne fournissent pas de description géométrique de l'action de l'automorphisme sur la variété, dans le cas où la variété est un schéma de Hilbert de points sur une surface K3. Dans le troisième chapitre, j’introduis donc une description géométrique à une certaine déformation près. Cette déformation prend en compte la structure du schéma de la variété de Hilbert. Pour ce faire, j'introduis un isomorphisme entre une composante connexe de l'espace de modules des variétés de type K3[n] avec une polarization, et l'espace de modules des variétés de même type avec une involution dont le rang de l'invariant est un. Il s’agit d’une généralisation d’un résultat obtenu par Boissière, An. Cattaneo, Markushevich et Sarti en dimension deux. Les deux premières parties de ce chapitre sont un travail en collaboration avec Alberto Cattaneo.Dans le quatrième chapitre, je définis les EPW sextiques, en présentant l'argument de O'Grady, qui montre qu'un double revêtement d'un EPW sextique dans le cas général est une variété de type K3[2]. Ensuite, je présente les variétés Gushel-Mukai, en mettant l'accent sur leur lien avec les EPW sextiques ; cette approche a été introduite par O'Grady, poursuivie par Iliev et Manivel et systématisée par Kuznetsov et Debarre.Dans le cinquième chapitre, j’utilise les outils introduits dans le quatrième chapitre dans le cas où on peut associer une surface K3 à une EPW sextique X. Dans ce cas je donne des conditions explicites sur le groupe de Picard de la surface pour que X soit une variété hyperkählerienne. Cela permet d'utiliser le théorème de Torelli pour une surface K3 pour démontrer l'existence de quelques automorphismes sur X. Je donne des bornes sur la structure d'un sous-groupe d'automorphismes d'une EPW sextique sous conditions d'existence d'un point fixe pour l'action du groupe.Toujours dans le cas d'existence d'une surface K3 associée à une EPW sextique X, j’améliore la borne obtenue précédemment sur les automorphismes de X, en donnant un lien explicite avec le nombre de coniques sur la surface K3. Je montre que la symplecticité d'un automorphisme sur X dépend de la symplecticité d'un automorphisme correspondant sur la surface K3.Le sixième chapitre est un travail en collaboration avec Alberto Cattaneo. J'étudie le groupe d'automorphismes birationels sur le schéma de Hilbert des points sur une surface projective K3, dans le cas générique. Cela généralise le résultat obtenu en dimension deux par Debarre et Macrì. Ensuite j’étudie les cas où il existe un modèle birationel où ces automorphismes sont réguliers. Je décris de façon géométrique quelques involutions dont on avait prouvé l'existence auparavant.

The aim of this work is to classify the actions of the Klein group G on a K3 surface X, where G≃(ℤ/2ℤ)² contains a non-symplectic involution which acts trivially on Neron-Severi lattice, as well as computing the number of points composing the fixed locus.This result is achieved through purely algebraic methods, due to Smith’s theory, which relates the cohomology of the fixed locus H*(Xᴳ, F₂) to the group cohomology H*(X, F₂).Firstly, we identify all possibilities for the cohomology of the G-module H²(X, F₂) (and therefore the cohomology of fixed locus Xᴳ), providing some partial results for the general case G≃(ℤ/pℤ)ⁿ.Thereafter, we study the extension of the cohomology lattice H²(X, ℤ) induced by the action of G and we prove a formula giving the number of fixed points composing Xᴳ from some numerical invariants of the extension.Namely the dimensions of discriminant groups of invariant lattices, but also a new numerical invariant, essential for the computation of the fixed locus, which we prove to be unrelated to other ones.Finally, via Torelli theorem, we find all possibilities for G acting on X and we provide some geometric examples -confirming our results- using elliptic fibrations.; L’objet de ce travail est la classification des actions du groupe de Klein G≃(ℤ/2ℤ)² sur une surface K3, X, où G contient une involution non-symplectique qui agit trivialement sur le réseau de Neron-Severi de X, ainsi que la détermination du nombre de points qui en composent le lieu fixe.Cela est accompli avec des méthodes purement algébriques, grâce à la théorie de Smith, qui permet de relier la cohomologie du lieu fixe H*(Xᴳ, F₂) à la G-cohomologie de H*(X, F₂).Nous commençons par déterminer les différentes possibilités pour la cohomologie du G-module H²(X, F₂) (et par conséquent la cohomologie du lieu fixe Xᴳ), en donnant aussi des résultats partiels pour le cas plus général G≃(ℤ/pℤ)ⁿ.Ensuite nous étudions l’extension du réseau de cohomologie H²(X, ℤ) induite par l’action de G et nous donnons une formule reliant le nombre des point fixes qui composent Xᴳ, à certains invariants numériques de l’ex-tension: notamment les dimensions des groupes discriminants des réseaux invariants, mais aussi un nouvel invariant numérique, que nous montrons être indépendant des autres et nécessaire pour le calcul du lieu fixe.Pour conclure, en utilisant le théorème de Torelli, nous déterminons tous les possibilités pour une action de G sur X et nous donnons aussi des exemples géométriques avec les fibrations elliptiques, confirmant les résultats prouvés.

The aim of this work is to classify the actions of the Klein group G on a K3 surface X, where G≃(ℤ/2ℤ)² contains a non-symplectic involution which acts trivially on Neron-Severi lattice, as well as computing the number of points composing the fixed locus.This result is achieved through purely algebraic methods, due to Smith’s theory, which relates the cohomology of the fixed locus H*(Xᴳ, F₂) to the group cohomology H*(X, F₂).Firstly, we identify all possibilities for the cohomology of the G-module H²(X, F₂) (and therefore the cohomology of fixed locus Xᴳ), providing some partial results for the general case G≃(ℤ/pℤ)ⁿ.Thereafter, we study the extension of the cohomology lattice H²(X, ℤ) induced by the action of G and we prove a formula giving the number of fixed points composing Xᴳ from some numerical invariants of the extension.Namely the dimensions of discriminant groups of invariant lattices, but also a new numerical invariant, essential for the computation of the fixed locus, which we prove to be unrelated to other ones.Finally, via Torelli theorem, we find all possibilities for G acting on X and we provide some geometric examples -confirming our results- using elliptic fibrations.; L’objet de ce travail est la classification des actions du groupe de Klein G≃(ℤ/2ℤ)² sur une surface K3, X, où G contient une involution non-symplectique qui agit trivialement sur le réseau de Neron-Severi de X, ainsi que la détermination du nombre de points qui en composent le lieu fixe.Cela est accompli avec des méthodes purement algébriques, grâce à la théorie de Smith, qui permet de relier la cohomologie du lieu fixe H*(Xᴳ, F₂) à la G-cohomologie de H*(X, F₂).Nous commençons par déterminer les différentes possibilités pour la cohomologie du G-module H²(X, F₂) (et par conséquent la cohomologie du lieu fixe Xᴳ), en donnant aussi des résultats partiels pour le cas plus général G≃(ℤ/pℤ)ⁿ.Ensuite nous étudions l’extension du réseau de cohomologie H²(X, ℤ) induite par l’action de G et nous donnons une formule reliant le nombre des point fixes qui composent Xᴳ, à certains invariants numériques de l’ex-tension: notamment les dimensions des groupes discriminants des réseaux invariants, mais aussi un nouvel invariant numérique, que nous montrons être indépendant des autres et nécessaire pour le calcul du lieu fixe.Pour conclure, en utilisant le théorème de Torelli, nous déterminons tous les possibilités pour une action de G sur X et nous donnons aussi des exemples géométriques avec les fibrations elliptiques, confirmant les résultats prouvés.

We study automorphisms of irreducible holomorphic symplectic manifolds of type K3^[n], i.e. manifolds which are deformation equivalent to the Hilbert scheme of n points on a K3 surface, for some n > 1. In the first part of the thesis we describe the automorphism group of the Hilbert scheme of n points on a generic projective K3 surface, i.e. a K3 surface whose Picard lattice is generated by a single ample line bundle. We show that, if it is not trivial, the automorphism group is generated by a non-symplectic involution, whose existence depends on some arithmetic conditions involving the number of points n and the polarization of the surface. We also determine necessary and sufficient conditions on the Picard lattice of the Hilbert scheme for the existence of the involution.In the second part of the thesis we study non-symplectic automorphisms of prime order on manifolds of type K3^[n]. We investigate the properties of the invariant lattice and its orthogonal complement inside the second cohomology lattice of the manifold, providing a classification of their isometry classes. We then approach the problem of constructing examples (or at least proving the existence) of manifolds of type K3^[n] with a non-symplectic automorphism inducing on cohomology each specific action in our classification. In the case of involutions, and of automorphisms of odd prime order for n=3,4, we are able to realize all possible cases. In order to do so, we present a new non-symplectic automorphism of order three on a ten-dimensional family of Lehn-Lehn-Sorger-van Straten eightfolds of type K3^[4]. Finally, for n < 6 we describe deformation families of large dimension of manifolds of type K3^[n] equipped with a non-symplectic involution.; Nous allons étudier les automorphismes des variétés symplectiques holomorphes irréductibles de type K3^[n], c'est-à-dire des variétés équivalentes par déformation au schéma de Hilbert de n points sur une surface K3, pour n > 1.Dans la première partie de la thèse, nous classifions les automorphismes du schéma de Hilbert de n points sur une surface K3 projective générique, dont le réseau de Picard est engendré par un fibré ample. Nous montrons que le groupe des automorphismes est soit trivial soit engendré par une involution non-symplectique et nous déterminons des conditions numériques et géométriques pour l’existence de l’involution.Dans la deuxième partie, nous étudions les automorphismes non-symplectiques d’ordre premier des variétés de type K3^[n]. Nous déterminons les propriétés du réseau invariant de l'automorphisme et de son complément orthogonal dans le deuxième réseau de cohomologie de la variété et nous classifions leurs classes d’isométrie. Dans le cas des involutions, e des automorphismes d’ordre premier impair pour n = 3, 4, nous montrons que toutes les actions en cohomologie dans notre classification sont réalisées par un automorphism non-symplectique sur une variété de type K3^[n]. Nous construisons explicitement l’immense majorité de ces automorphismes et, en particulier, nous présentons la construction d’un nouvel automorphisme d’ordre trois sur une famille de dimension dix de variétés de Lehn-Lehn-Sorger-van Straten de type K3^[4]. Pour n < 6, nous étudions aussi les espaces de modules de dimension maximal des variétés de type K3^[n] munies d’une involution non-symplectique.

We study automorphisms of irreducible holomorphic symplectic manifolds of type K3^[n], i.e. manifolds which are deformation equivalent to the Hilbert scheme of n points on a K3 surface, for some n > 1. In the first part of the thesis we describe the automorphism group of the Hilbert scheme of n points on a generic projective K3 surface, i.e. a K3 surface whose Picard lattice is generated by a single ample line bundle. We show that, if it is not trivial, the automorphism group is generated by a non-symplectic involution, whose existence depends on some arithmetic conditions involving the number of points n and the polarization of the surface. We also determine necessary and sufficient conditions on the Picard lattice of the Hilbert scheme for the existence of the involution.In the second part of the thesis we study non-symplectic automorphisms of prime order on manifolds of type K3^[n]. We investigate the properties of the invariant lattice and its orthogonal complement inside the second cohomology lattice of the manifold, providing a classification of their isometry classes. We then approach the problem of constructing examples (or at least proving the existence) of manifolds of type K3^[n] with a non-symplectic automorphism inducing on cohomology each specific action in our classification. In the case of involutions, and of automorphisms of odd prime order for n=3,4, we are able to realize all possible cases. In order to do so, we present a new non-symplectic automorphism of order three on a ten-dimensional family of Lehn-Lehn-Sorger-van Straten eightfolds of type K3^[4]. Finally, for n < 6 we describe deformation families of large dimension of manifolds of type K3^[n] equipped with a non-symplectic involution., Nous allons étudier les automorphismes des variétés symplectiques holomorphes irréductibles de type K3^[n], c'est-à-dire des variétés équivalentes par déformation au schéma de Hilbert de n points sur une surface K3, pour n > 1.Dans la première partie de la thèse, nous classifions les automorphismes du schéma de Hilbert de n points sur une surface K3 projective générique, dont le réseau de Picard est engendré par un fibré ample. Nous montrons que le groupe des automorphismes est soit trivial soit engendré par une involution non-symplectique et nous déterminons des conditions numériques et géométriques pour l’existence de l’involution.Dans la deuxième partie, nous étudions les automorphismes non-symplectiques d’ordre premier des variétés de type K3^[n]. Nous déterminons les propriétés du réseau invariant de l'automorphisme et de son complément orthogonal dans le deuxième réseau de cohomologie de la variété et nous classifions leurs classes d’isométrie. Dans le cas des involutions, e des automorphismes d’ordre premier impair pour n = 3, 4, nous montrons que toutes les actions en cohomologie dans notre classification sont réalisées par un automorphism non-symplectique sur une variété de type K3^[n]. Nous construisons explicitement l’immense majorité de ces automorphismes et, en particulier, nous présentons la construction d’un nouvel automorphisme d’ordre trois sur une famille de dimension dix de variétés de Lehn-Lehn-Sorger-van Straten de type K3^[4]. Pour n < 6, nous étudions aussi les espaces de modules de dimension maximal des variétés de type K3^[n] munies d’une involution non-symplectique.

La classification des groupes simples finies achevée en 2004 par Aschbacher et Smith au terme de décennies de travaux par des centaines de mathématiciens livre 18 familles infinies et 26 groupes appelés sporadiques. Ces derniers sont dotés de propriétés singulières. Dans ma thèse de doctorat, nous étudions le groupe sporadique de O'Nan -- usuellement dénoté O'N -- d'un point de vue géométrique, dans la lignée des travaux des Professeurs Buekenhout, Dehon et Leemans.Nous abordons essentiellement quatre facettes de la géométrie de O'N. Tout d'abord, nous produisons la classification complète des géométries Buekenhout--Cara--Dehon--Leemans (BCDL) de O'N, une tâche commencée par Leemans en 2010. Les géomé-tries BCDL sont caractérisées par des axiomes inspirés de la Théorie des Immeubles de Jacques Tits. La majorité des groupes simples finis sont caractérisés par un immeuble et un diagramme. Parmi les exceptions se trouvent les groupes sporadiques. Une géométrie BCDL est plus générale qu'un immeuble, mais s'en rapproche.Ensuite, nous étudions une géométrie pour le groupe d'automorphismes de O'N construite à partir de paires d'involutions commutantes. Les involutions jouent un rôle majeur dans la théorie des groupes simples finis. Ces travaux sont inspirés de la construction d'une tour de géométries pour les groupes de Fischer construite à partir de paires d'involutions commutantes due à Buekenhout.Nous poursuivons en étudiant les polytopes abstraits réguliers sur lesquels O'N agit. Nous produisons la classification des polytopes de rang maximum, à savoir 4.Enfin, nous étudions O'N sous le spectre des cartes régulières. Tout polyèdre abstrait régulier est une carte régulière, mais la réciproque n'est pas vraie. Nous donnons un algorithme permettant d'énumérer par type les cartes régulières pour un groupe fini donné. Ceci nous permet de borner le nombre de polyèdres abstraits réguliers sur lesquels O'N agit.Nous produisons également les treillis de sous-groupes de O'N et de son groupe d'automorphismes., Doctorat en Sciences, info:eu-repo/semantics/nonPublished

The aim of this thesis is to provide an explicit description of the moduli spaces of genus 3 hyperelliptic curves in positive characteristic. Over a field of odd characteristic, a parameterization of these moduli spaces is given via the algebra of invariants of binary forms of degree 8 under the action of the special linear group. Following the work of Lercier and Ritzenthaler, the case of fields of characteristic 3, 5 and 7 are still open. However, in these remaining cases, the classical methods in characteristic zero do not work in providing generators for these algebra of invariants. Hence we provide only separating invariants in characteristic 3 and 7. Furthermore our results in characteristic 5 show that this approach is not suitable.From these results, we describe the stratification of the moduli spaces of genus 3 hyperelliptic curves in characteristic 3 and 7 according to the automorphism groups of the curves and implement algorithms to reconstruct a curve from its invariants. For this reconstruction step, we paid attention to arithmetic issues, like the obstruction to be a field of definition for the field of moduli.Finally, in the case of characteristic 2, we use a different approach where the curves are defined by their Artin-Schreier models. The arithmetic structure of the ramification points of these curves stratifies the moduli space in 5 cases and we define in each case invariants that characterize the isomorphism class of hyperelliptic curves., L’objet de cette thèse est une description effective des espaces de modules des courbes hyper- elliptiques de genre 3 en caractéristique positive. En caractéristique nulle ou impaire, on obtient une paramétrisation de ces espaces de modules par l’intermédiaire des algèbres d’invariants pour l’action du groupe spécial linéaire sur les espaces de formes binaires de degré 8, qui sont de type fini. Suite aux travaux de Lercier et Ritzenthaler, les cas des caractéristiques 3, 5 et 7 restaient ouverts. Pour ces derniers, les méthodes classiques de la caractéristique nulle sont inopérantes pour l’obtention de générateurs pour les algèbres d’invariants en jeu. Nous nous sommes donc contenté d’exhiber des invariants séparants en caractéristiques 3 et 7. En outre, nos résultats concernant la caractéristique 5 suggèrent l’inadéquation de cette approche pour ce cas.À partir de ces résultats, nous avons pu expliciter la stratification des espaces de modules des courbes hyperelliptiques de genre 3 en caractéristiques 3 et 7 selon les groupes d’automorphismes et implémenter divers algorithmes, dont celui de Mestre, pour la reconstruction d’une courbe à partir de son module, i.e. la valeur de ses invariants. Pour cette phase de reconstruction, nous nous sommes notamment attachés aux questions arithmétiques, comme l’existence d’une obstruction à être un corps de définition pour le corps de modules et, dans le cas contraire, à l’obtention d’un modèle de la courbe sur ce corps de définition minimal.Enfin pour la caractéristique 2, notre approche est différente, dans la mesure où les courbes sont étudiées via leurs modèles d’Artin-Schreier. Nous exhibons pour ceux-ci des invariants bigradués qui dépendent de la structure arithmétique des points de ramifications des courbes.

This thesis is devoted to the study of different problems in ergodic theory and topological dynamics related to og cube structures fg. It consists of six chapters. In the General Presentation we review some general results in ergodic theory and topological dynamics associated in some way to cubes structures which motivates this thesis. We start by the cube structures introduced in ergodic theory by Host and Kra (2005) to prove the convergence in $L^2$ of multiple ergodic averages. Then we present its extension to topological dynamics developed by Host, Kra and Maass (2010), which gives tools to understand the topological structure of topological dynamical systems. Finally we present the main implications and extensions derived of studying these structures, we motivate the new objects introduced in the thesis and sketch out our contributions. In Chapter 1 we give a general background in ergodic theory and topological dynamics given emphasis to the treatment of special factors. % We give basic definitions and describe special factors associated to a From Chapter 2 to Chapter 5 we develop the contributions of this thesis. Each one is devoted to a different topic and related questions, both in ergodic theory and topological dynamics. Each one is associated to a scientific article. In Chapter 2 we introduce a novel cube structure to study the actions of two commuting transformations $S$ and $T$ on a compact metric space $X$. In the same chapter we study the topological and dynamical properties of such structure and we use it to characterize products systems and their factors. We also provide some applications, like the construction of special factors. In the same topic, in Chapter 3 we use the new cube structure to prove the pointwise convergence of a cubic average in a system with two commuting transformations. In Chapter 4, we study the enveloping semigroup of a very important class of dynamical systems, the nilsystems. We use cube structures to show connexions between algebraic properties of the enveloping semigroup and the geometry and dynamics of the system. In particular, we characterize nilsystems of order 2 by its enveloping semigroup. In Chapter 5 we study automorphism groups of one-dimensional and two-dimensional symbolic spaces. First, we consider low complexity symbolic systems and use special factors, some related to the introduced cube structures, to study the group of automorphisms. Our main result states that for minimal systems with sublinear complexity such groups are spanned by the shift action and a finite set. Also, using factors associated to the cube structures introduced in Chapter 2 we study the automorphism group of a representative tiling system. The bibliography is defer to the end of this document; Cette thèse est consacrée à l'étude des différents problèmes liés aux structures des cubes , en théorie ergodique et en dynamique topologique. Elle est composée de six chapitres. La présentation générale nous permet de présenter certains résultats généraux en théorie ergodique et dynamique topologique. Ces résultats, qui sont associés d'une certaine façon aux structures des cubes, sont la motivation principale de cette thèse. Nous commençons par les structures de cube introduites en théorie ergodique par Host et Kra (2005) pour prouver la convergence dans $L^2 $ de moyennes ergodiques multiples. Ensuite, nous présentons la notion correspondante en dynamique topologique. Cette théorie, développée par Host, Kra et Maass (2010), offre des outils pour comprendre la structure topologique des systèmes dynamiques topologiques. En dernier lieu, nous présentons les principales implications et extensions dérivées de l'étude de ces structures. Ceci nous permet de motiver les nouveaux objets introduits dans la présente thèse, afin d'expliquer l'objet de notre contribution. Dans le Chapitre 1, nous nous attachons au contexte général en théorie ergodique et dynamique topologique, en mettant l'accent sur l'étude de certains facteurs spéciaux. Les Chapitres 2, 3, 4 et 5 nous permettent de développer les contributions de cette thèse. Chaque chapitre est consacré à un thème particulier et aux questions qui s'y rapportent, en théorie ergodique ou en dynamique topologique, et est associé à un article scientifique. Les structures de cube mentionnées plus haut sont toutes définies pour un espace muni d'une unique transformation. Dans le Chapitre 2, nous introduisons une nouvelle structure de cube liée à l'action de deux transformations S et T qui commutent sur un espace métrique compact X. Nous étudions les propriétés topologiques et dynamiques de cette structure et nous l'utilisons pour caractériser les systèmes qui sont des produits ou des facteurs de produits. Nous présentons également plusieurs applications, comme la construction des facteurs spéciaux. Le Chapitre 3 utilise la nouvelle structure de cube définie dans le Chapitre 2 dans une question de théorie ergodique mesurée. Nous montrons la convergence ponctuelle d'une moyenne cubique dans un système muni deux transformations qui commutent. Dans le Chapitre 4, nous étudions le semigroupe enveloppant d'une classe très importante des systèmes dynamiques, les nilsystèmes. Nous utilisons les structures des cubes pour montrer des liens entre propriétés algébriques du semigroupe enveloppant et les propriétés topologiques et dynamiques du système. En particulier, nous caractérisons les nilsystèmes d'ordre 2 par une propriété portant sur leur semigroupe enveloppant. Dans le Chapitre 5, nous étudions les groupes d'automorphismes des espaces symboliques unidimensionnels et bidimensionnels. Nous considérons en premier lieu des systèmes symboliques de faible complexité et utilisons des facteurs spéciaux, dont certains liés aux structures de cube, pour étudier le groupe de leurs automorphismes. Notre résultat principal indique que, pour un système minimal de complexité sous-linéaire, le groupe d'automorphismes est engendré par l'action du shift et un ensemble fini. Par ailleurs, en utilisant les facteurs associés aux structures de cube introduites dans le Chapitre 2, nous étudions le groupe d'automorphismes d'un système de pavages représentatif. La bibliographie, commune à l'ensemble de la thèse, se trouve en fin document

Cette thèse est consacrée à l'étude de deux sujets de géométrie symplectique inspirésde la physique mathématique. Les thèmes que nous développerons mettent en évidence certaines connexions avec la topologie symplectique d'une part, la géométrie Riemannienne d'autre part.Dans la partie 1, nous étudions la quantification par déformation formelle d'une variété symplectique, à l'aide de produits star. Nous définissons le groupe des automorphimeshamiltoniens d'un produit star formel. En nous inspirant d'idées de Banyaga, nous identifions ce groupe comme étant le noyau d'un morphisme remarquable sur le groupedes automorphismes du produit star. Nous relions certaines propriétés géométriques de ce groupe d'automorphismes hamiltoniens à la topologie du groupe des difféomorphismeshamiltoniens.Dans la partie 2, nous étudions les opérateurs de Dirac symplectiques. Les ingrédientsnécessaires à leur construction (algèbre de Weyl, structures $Mp^c$, champs de spineurs symplectiques, connexions symplectiques,) sont également utilisés en quantification géométrique et enquantification par déformation formelle. Les opérateurs de Dirac symplectiques sont construitsde manière analogue à l'opérateur de Dirac de la géométrie Riemannienne. Une formule de Weitzenbocklie les opérateurs de Dirac symplectiques à un opérateur elliptique $mathcal{P}$ d'ordre 2. Nous étudionsles noyaux de ces opérateurs de Dirac symplectiques et leur lien avec le noyau de P.Sur l'espace hermitien symétrique $CP^n$, nous calculerons le spectre de $mathcal{P}$ et nous prouverons un théorème de Hodge pour les opérateurs de Dirac-Dolbeault symplectiques./In this thesis we study two topics of symplectic geometry inspired from mathematical physics.Part 1 is devoted to the study of deformation quantization of symplectic manifolds. More precisely, we consider formal star products on a symplectic manifold. We define the group of Hamiltonian automorphisms of a formal star product. Following ideas of Banyaga, we describe this group as the kernelof a morphism on the group of automorphisms of the star product. We relate geometric properties of the group of Hamiltonian automorphisms to the topology of the group of Hamiltonian diffeomorphisms. Part 2 is devoted to the study of symplectic Dirac operators. The construction of those operators relies on many concepts used in geometric quantization and formal deformation quantization such as Weyl algebra, $Mp^c$ structures, symplectic spinors, symplectic connections, The construction of symplectic Dirac operators is analogous to the one of Dirac operators in Riemannian geometry. A Weitzenbock formula relates the symplectic Dirac operators to an elliptic operator $mathcal{P}$ of order 2. We study the kernels of the symplectic Dirac operators and relate them to the kernel of $mathcal{P}$. On the hermitian symmetric space $CP^n$, we compute the spectrum of $mathcal{P}$ and we prove a Hodge theorem for the symplectic Dirac-Dolbeault operator., Doctorat en Sciences, info:eu-repo/semantics/nonPublished

Let k be an algebraically closed field of characteristic p > 0 and C/k be a projective,smooth, integral curve of genus g > 1 endowed with a p-group of automorphisms G such that |G| > 2p/(p-1)g. The pair (C,G) is called big action. If (C,G) is a big action, then |G| 0 et C/k une courbe projective, lisse, intègre de genre g > 1 munie d’un p-groupe d’automorphismes G tel que |G| > 2p/(p-1)g. Le couple (C,G) est appelé grosse action. Si (C,G) est une grosse action, alors |G

A countable first-Order structure is called homogneous when each isomorphism between twofinitely generated substructures extends to an automorphism of the whole structure. This is equivalentto an amalgamation property of finitely generated substructures, and countable homogeneousstructures are also called Fraïssé limits, in connection to the work of Roland Fraïssé on theorder of rational numbers. The present thesis concerns automorphism groups of homogeneousstructures, with the following central question: is it the case that the automorphism group of a homogeneousstructure is universal for the class of automorphism groups of its substructures? Weanswer positively this question for homogeneous structures in a relational langage and with thefree amalgamation property, by using a construction rather similar to a construction of Katetov andUspenskij in the case of the Urysohn space.With similar techniques, we obtain any countable substructureas the set of fixed points of an automorphism of a given finite order. Besides, this allowsus to study the complexity of the isomorphism relation between countable substructures, and toshow that it Borel reduces to the conjugacy relation in the automorphism group. We continue withelements of finite order, assuming further that finite substructures satisfy a strong version of theHrushovski-Lascar-Herwig extension property, and topological arguments then allow us to showthat in the automorphism group any element is the product of four conjugates of certain elementsof finite order. We also show similar results for the isometry group of the Urysohn space, or itsbounded version, the Urysohn sphere, by using the fact that they are well approximated by rationalmetric spaces. Finally, concerning the question of the universality of the automorphism groupof a Fraïssé limit, we consider the finer question to know whether any countable substructure embedsin a rigid way, that is, in such a way that each of its automorphisms extends in a uniqueautomorphism of the Fraïssé limit. First, we introduce a construction of such rigid embeddings inthe case of homogeneous graphs. Then, we modify this construction in various classes of orientedgraphs and of homogeneous relational structures, ultimately to make it work in a very generalcontext of structures in a finite relational langage and with the free amalgamation property., Une structure dénombrable du premier ordre est dite homogène si tout isomorphisme entre deux sous-Structures finiment engendrées s’étend en un automorphisme de la structure globale.C’est équivalent à une propriété d’amalgamation des sous-Structures finiment engendrées, et les structures homogènes dénombrables sont aussi appelées limites de Fraïssé, en lien avec les travaux de Roland Fraïssé sur l’ordre des rationnels. Cette thèse concerne les groupes d’automorphismesdes structures homogènes, avec la question centrale suivante: est-Ce que le groupe automorphismes d’une structure homogène est universel pour la classe des groupes d’automorphismes de ces sous-Structures ? Nous répondons positivement à cette question pour les structures homogènesdans un langage relationnel et avec la propriété d’amalgamation libre, à l’aide d’une construction par tour assez similaire à une construction de Katetov et Uspenskij dans le cas de l’espace d’Urysohn. Avec des techniques similaires, nous obtenons toute sous-Structure dénombrable comme points fixes d’un automorphisme d’ordre fini pré-Déterminé. Cela nous permet par ailleurs d’étudier la complexité de la relation d’isomorphisme entre sous-Structures dénombrables, et de montrer qu’elle se réduit boreliennement à la relation de conjugaison dans le groupe d’automorphismes. Nous continuons avec les éléments d’ordre fini, en supposant de plus que les sous-Structures finies satisfont une version forte de la propriété d’extension de Hrushovski-Lascar-Herwig, et des arguments topologiques nous permettent alors de montrer que dans le groupe d’automorphismes tout élément est produit de quatre conjugués de certains éléments d’ordre fini. Nous montrons aussi des résultats similaires pour le groupe d’isométries de l’espace d’Urysohn,ou sa version bornée, la sphère d’Urysohn, en utilisant le fait que ces derniers sont très bien approximés par des espaces métriques rationnels. Enfin, revenant à la question de l’universalité du groupe automorphismes de la limite de Fraïssé, nous considérons la question plus fine de savoirsi toute sous-Structure dénombrable s’injecte de manière rigide, c’est-À-Dire de sorte chacun de ces automorphismes s’étende en un unique automorphisme de la limite de Fraïssé. D’abord, nous introduisons une construction de telle injections rigides dans le cas des graphes homogènes. Ensuite, nous modifions cette construction dans diverses classes de graphes orientés et de structures relationnelles homogènes, pour enfin la faire fonctionner dans un contexte très general de structures dans un langage relationnel fini et avec la propriété d’amalgamation libre.

This thesis deals with automorphisms of real algebraic surfaces, which are polynomial transformations with a polynomial inverse. The main concern is whether their restriction to the real locus reflects all the richness of the complex dynamics. This question is declined in two directions: the topological entropy and the Fatou set. For the first one, we introduce a purely geometric quantity depending only on the surface, and we call it concordance. Then we show that the ratio of real and complex entropies is linked to this quantity. The concordance is explicitely computed for many examples of surfaces, especially abelian surfaces which are broadly studied, as well assome K3 surfaces. In the second part, we are interested in the Fatou set, which corresponds to complex points for which the dynamics is simple. Thanks to previous results of Dinh and Sibony about closed positive currents, we prove that this set is hyperbolic in the sense of Kobayashi, after possibly deleting some curves which are fixed by (an iterate of) our transformation. From this property we deduce that, except for some exceptional cases in which the topology of the real locus is simple and the dynamics well understood, this real locus cannot be entirely contained in the Fatou set. Thus the complexity of the dynamics is observable on real points in most cases., Cette thèse s'intéresse aux automorphismes des surfaces algébriques réelles, c'est-à-dire les transformations polynomiales admettant un inverse polynomial. La question centrale est de savoir si leur restriction au lieu réel reflète toute la richesse de la dynamique complexe. Celle-ci est traitée sous deux aspects : celui de l'entropie topologique et celui de l'ensemble de Fatou. Pour le premier point, on introduit une quantité purement géométrique, appelée concordance, qui ne dépend que de la surface. Puis on montre que le rapport des entropies réelle et complexe est relié à cette quantité. La concordance est calculée explicitement sur de nombreux exemples de surfaces, notamment les surfaces abéliennes qui sont traitées en détails, ainsi que certaines surfaces K3. Dans la seconde partie, on étudie l'ensemble de Fatou, qui correspond aux pointscomplexes pour lesquels la dynamique est simple. On montre, grâce à des résultats antérieurs de Dinh et Sibony sur les courants positifs fermés, que celui-ci est hyperbolique au sens de Kobayashi, quitte à lui enlever certaines courbes fixées par (unitéré de) notre transformation. Cette propriété permet d'en déduire que ce lieu réel ne peut pas être entièrement contenu dans l'ensemble de Fatou, hormis quelques cas exceptionnels où la topologie du lieu réel est simple et la dynamique bien comprise. Ainsi la complexité de la dynamique est presque toujours observable sur les points réels.

Les travaux de Killing et Cartan ont montré la correspondance entre les algèbres de Lie semi-simples complexes et les matrices de Cartan. Ces dernières sont des matrices sur les entiers satisfaisants certaines propriétés, parmi lesquelles une condition de positivité. Si cette condition est omise, on obtient une matrice de Cartan généralisée. On peut y étendre la présentation de Serre pour les algèbre de Lie semi-simples et obtenir les algèbres de Kac-Moody. L'intérêt de l'étude des algèbres de Lie semi-simples réside dans le fait qu'elles induisent la plupart des groupes simples finis, comme le montre la construction de Chevalley. Il se fait que cette construction se généralise aux algèbres de Kac-Moody.L'ingrédient principal de cette construction est l'utilisation d'un système de sous-groupes dans un groupe de Kac-Moody, ceux-ci étant indicés par les racines du système de Coxeter associé à la matrice de Cartan généralisée. Tits a réalisé l'axiomatique de ce système de sous-groupes, une donnée radicielle jumelée, pour un système de Coxeter quelconque. Par définition, les groupes de Kac-Moody sur un corps commutatif admettent une donnée radicielle jumelée.En réalité les notions de donnée radicielle jumelée et d'immeuble jumelé de Moufang sont essentiellement équivalentes.Au vu de la classification des immeubles sphériques et des polygones de Moufang, on obtient une classification complète des données radicielles sphériques irréductibles de rang au moins 2. Il se trouve qu'elles sont toutes d'origine algébrique (i.e. obtenues par constructions algébriques à partir de groupes de Chevalley).Dans le cas sphérique, la situation est différente. D'une part, des résultats de Mühlherr semblent indiquer que les données radicielles jumelées 2-sphériques seraient d'origine algébrique. D'autre part Rémy et Ronan ont construit des exemples exotiques à angles droits pour lesquels l'adjectif "d'origine algébrique" est inapproprié.Néanmoins ces exemples sont toujours relativement proches d'une construction algébrique. On ne peut donc rien conclure sur les données radicielles jumelées. Afin de répondre à cette question, on peut essayer de prouver des théorèmes structurels sur les données radicielles jumelées ou en donner des constructions permettant plus de flexibilité.Les principaux résultats de cette thèse sont motivés par ces lignes directrices:- nous prouvons un critère d'existence général pour les données radicielles jumelées;- nous donnons une réponse affirmative à une question sur les automorphismes des groupes de Kac-Moody laissée ouverte dans un article de Caprace;- nous proposons une définition d'une donnée radicielle jumelée sur un corps commutatif de caractéristique p., Doctorat en Sciences, info:eu-repo/semantics/nonPublished

Dans ce mémoire, nous étudierons quelques propriétés algébriques, géométriques et topologiques des surfaces de Riemann compactes. Deux grand sujets seront traités. Tout d'abord, en utilisant le fait que toute surface de Riemann compacte de genre g plus grand ou égal à 2 possède un nombre fini de points de Weierstrass, nous allons pouvoir conclure que ces surfaces possèdent un nombre fini d'automorphismes. Ensuite, nous allons étudier de plus près la formule de trace d'Eichler. Ce théorème nous permet de trouver le caractère d'un automorphisme agissant sur l'espace des q-différentielles holomorphes. Nous commencerons notre étude en utilisant la quartique de Klein. Nous effectuerons un exemple de calcul utilisant le théorème d'Eichler, ce qui nous permettra de nous familiariser avec l'énoncé du théorème. Finalement, nous allons démontrer la formule de trace d'Eichler, en prenant soin de traiter le cas où l'automorphisme agit sans point fixe séparément du cas où l'automorphisme possède des points fixes., In this thesis, we will study several algebraic, geometrical and topological properties of compact Riemann surfaces. Two principal subjects will be treated. First, using the fact that every compact Riemann surfaces of genus g greater or equal to 2 has a finite number of Weierstrass points, we will be able to prove that those surfaces have a finite number of automorphism. Afterward, we will study the Eichler's trace formula. This formula allow us to find the character of an automorphism acting on the space of holomorphic q-differentials. We will start our study using Klein's quartic curve. We will apply Eichler's formula in this case, which will allow us to familiarize ourselves with the statement of the theorem. Finally, we will demonstrate the Eichler's trace formula, treating the case where the automorphism acts fixed point freely separately from the case where the automorphism has fixed points.

Un code de permutations G(n,d) un sous-ensemble C de Sym(n) tel que la distance de Hamming D entre deux éléments de C est supérieure ou égale à d. Dans cette thèse, le groupe des isométries de (Sym(n),D) est déterminé et il est prouvé que ces isométries sont des automorphismes du schéma d'association induit sur Sym(n) par ses classes de conjugaison. Ceci mène, par programmation linéaire, à de nouveaux majorants de la taille maximale des G(n,d) pour n et d fixés et n compris entre 11 et 13. Des algorithmes de génération avec rejet d'objets isomorphes sont développés. Pour classer les G(n,d) non isométriques, des invariants ont été construits et leur efficacité étudiée. Tous les G(4,3) et les G(5,4) ont été engendrés à une isométrie près, il y en a respectivement 61 et 9445 (dont 139 sont maximaux et décrits explicitement). D’autres classes de G(n,d) sont étudiées. A permutation code G(n,d) is a subset C of Sym(n) such that the Hamming distance D between two elements of C is larger than or equal to d. In this thesis, we characterize the isometry group of the metric space (Sym(n),D) and we prove that these isometries are automorphisms of the association scheme induced on Sym(n) by the conjugacy classes. This leads, by linear programming, to new upper bounds for the maximal size of G(n,d) codes for n and d fixed and n between 11 and 13. We develop generating algorithms with rejection of isomorphic objects. In order to classify the G(n,d) codes up to isometry, we construct invariants and study their efficiency. We generate all G(4,3) and G(4,5)codes up to isometry; there are respectively 61 and 9445 of them. Precisely 139 out of the latter codes are maximal and explicitly described. We also study other classes of G(n,d)codes., Doctorat en sciences, Spécialisation mathématiques, info:eu-repo/semantics/nonPublished

We study here surfaces of general type where the cotangent sheaf is generated by his global sections and with an irregularity q at least equal to 4.Our approach to object of this study is the cotangent map that is a morphism of the projectivized cotangent sheaf to the projective space of dimension q-1.We study the degree of this morphism and the degree of its image.The cotangent sheaf is ample if and only if there do not exist fibers in the cotangent map of strictly positive dimension.If the cotangent sheaf is not ample, then there exists a curve C in the surface and there exists a section of C in the projectivized cotangent sheaf that meets the cotangent map at a point. We call such a curve a non-ample curve.We classify non-ample curves according to their self-intersection.We then proceed to a classification of surfaces possessing an infinite number of non-ample curves. The Fano surfaces provide an example where the cotangent map normally applies. We study the ramification divisor of such surfaces and their non-ample curves.The Fano surface of the Fermat's cubic possesses 30 non-ample curves and we describe their properties in detail, Cette thèse est une étude des surfaces de type général dont le fibré cotangent est engendré par ses sections globales et dont l'irrégularité q est supérieure ou égale à 4.L'objet et le moyen de cette étude est l'application cotangente qui est un morphisme du projectivisé du fibré cotangent dans l'espace projectif de dimension q-1. Nous étudions le degré de ce morphisme et le degré de son image.Le fibré cotangent est ample si et seulement s'il n'existe pas de fibre de l'application cotangente de dimension strictement positive.Si le fibré cotangent n'est pas ample, alors il existe une courbe C contenue dans la surface et il existe une section de C dans le projectivisé du fibré cotangent qui est contractée en un point par l'application cotangente. Une telle courbe C est qualifiée de courbe non-ample.Nous donnons une classification des courbes non-amples de la surface suivant leur auto-intersection. Nous donnons ensuite une classification des surfaces possédant une infinité de courbes non-amples.Un exemple pour lequel l'application cotangente intervient naturellement est celui des surfaces de Fano. Nous étudions le diviseur de ramification de leur application cotangente ainsi que leurs courbes non-amples.Cette étude mène à la surface de Fano de la cubique de Fermat qui possède 30 courbes non-amples et dont nous détaillons les propriétés.

Etant donné trois entiers k, s et a, nous prouvons dans le premier chapitre qu'il existe un graphe k-régulier fini (resp. un graphe k-régulier connexe fini) dont le groupe d'automorphismes a exactement s orbites sur l'ensemble des sommets et a orbites sur l'ensemble des arêtes si et seulement si(s,a)=(1,0) si k=0,(s,a)=(1,1) si k=1,s=a>0 si k=2,0< s 2.(resp.(s,a)=(1,0) si k=0,(s,a)=(1,1) si k=1 ou 2,s-10 si k>2.)Nous étudions les polyèdres convexes de R³ dans le second chapitre. Pour tout polyèdre convexe P, nous notons Isom(P) l'ensemble des isométries de R³ laissant P invariant. Si G est un sous-groupe de Isom(P), le f_G-vecteur de P est le triple d'entiers (s,a,f) tel que G ait exactement s orbites sur l'ensemble sommets de P, a orbites sur l'ensemble des arêtes de P et f orbites sur l'ensemble des faces de P. Remarquons que (s,a,f) est le f_{id}-vecteur (appelé f-vecteur dans la littérature) d'un polyèdre si ce dernier possède exactement s sommets, a arêtes et f faces. Nous généralisons un théorème de Steinitz décrivant tous les f-vecteurs possibles. Pour tout groupe fini G d'isométries de R³, nous déterminons l'ensemble des triples (s,a,f) pour lesquels il existe un polyèdre convexe ayant (s,a,f) comme f_G-vecteur. Ces résultats nous permettent de caractériser les triples (s,a,f) pour lesquels il existe un polyèdre convexe tel que Isom(P) a s orbites sur l'ensemble des sommets, a orbites sur l'ensemble des arêtes et f orbites sur l'ensemble des faces.La structure d'incidence I(P) associée à un polyèdre P consiste en la donnée de l'ensemble des sommets de P, l'ensemble des arêtes de P, l'ensemble des faces de P et de l'inclusion entre ces différents éléments (la notion de distance ne se trouve pas dans I(P)). Nous déterminons également l'ensemble des triples d'entiers (s,a,f) pour lesquels il existe une structure d'incidence I(P) associée à un polyèdre P dont le groupe d'automorphismes a exactement s orbites de sommets, a orbites d'arêtes et f orbites de sommets., Doctorat en sciences, Spécialisation mathématiques, info:eu-repo/semantics/nonPublished

This work is about the study of the query complexity of symmetric problems, in both frameworks of quantum and classical randomized algorithms.In the quantum case, we show a new application of the so-called "polynomial" lower bound method to the abelian hidden subgroup problems, via the "symmetrization" technique.In the case of randomized computing, under a "transitive symmetry" hypothesis on the considered problems, we give a combinatorial formula allowing us to compute the exact query complexity of the best nonadaptive algorithm. Moreover, we show that under some symmetry conditions, this best nonadaptive algorithm is optimal amongst general algorithms, which gives an expression of the exact query complexity for the corresponding class of problems., Ces travaux portent sur l'étude de la complexité en requêtes de problèmes symétriques, dans les cadres du calcul probabiliste classique et du calcul quantique.Il est montré, dans le cas quantique, une application de la méthode de bornes inférieures dite "polynomiale" au calcul de la complexité en requêtes des problèmes de sous-groupes cachés abéliens, via la technique de "symétrisation".Dans le cas du calcul probabiliste, sous une hypothèse de "symétrie transitive" des problèmes, il est donné une formule combinatoire permettant de calculer la complexité en requêtes exacte du meilleur algorithme non-adaptatif. De plus, il est mis en évidence que sous certaines hypothèses de symétrie, ce meilleur algorithme non-adaptatif est optimal même parmi les algorithmes probabilistes plus généraux, ce qui donne pour la classe de problèmes correspondante une expression exacte de la complexité en requêtes.

This thesis is a contribution to the combinatorical study of Coxeter groups and Artin-Tits groups. In the first part, we complete the description of the automorphism group of a right-angled Coxeter group, by studying the second of the two subgroups that appear in the semi-direct product established by Tits (the first one is described by Mühlherr). We thus recover Radcliffe's result on rigidity of right-angled Coxeter groups. In the second part, we introduce and study the notion of submonoids of an Artin-Tits monoid induced by an admissible partition of the associated Coxeter graph, in the sense of Mühlherr. We show that such a submonoid is an Artin-Tits monoid, and that this notion generalizes and unifies the situation of submonoids of fixed elements of an Artin-Tits monoid under the action of graph automorphisms, and the notion of LCM-homomorphisms of Crisp and Godelle. We complete Mühlherr's classification of admissible partitions of spherical Coxeter graphs ; this leads us to the classification of Crisp's LCM-homomorphisms. In the third part, we study the Krammer-Paris representation of an Artin-Tits monoid of simply laced type without triangle. The submonoid of fixed elements of such a monoid under the action of a group of graph automorphisms stabilizes the subspace of fixed points of the space of the representation under the action of this group. We use notions developped by Hée to show that the representation obtained in this way is faithful. This generalizes, without any case-by-case enumeration, results established by Digne in the spherical case.; Cette thèse est une contribution à l'étude combinatoire des groupes de Coxeter et des groupes d'Artin-Tits. Dans la première partie, nous complétons la description du groupe des automorphismes d'un groupe de Coxeter à angles droits en étudiant le second des deux sous-groupes qui apparaissent dans la décomposition en produit semi-direct établie par Tits (le premier est décrit par Mühlherr). Nous retrouvons ainsi le résultat de Radcliffe sur la rigidité des groupes de Coxeter à angles droits. Dans la deuxième partie, nous introduisons et étudions la notion de sous-monoïde d'un monoïde d'Artin-Tits induit par une partition admissible du graphe de Coxeter, au sens de Mühlherr. Nous montrons qu'un tel sous-monoïde est un monoïde d'Artin-Tits, et que cette notion généralise et unifie les situations des sous-monoïdes des points fixes d'un monoïde d'Artin-Tits sous l'action d'automorphismes du graphe, et des LCM-homomorphismes de Crisp et Godelle. Nous achevons la classification des partitions admissibles des graphes de Coxeter sphériques, commencée par Mühlherr ; elle nous fournit la classification des LCM-homomorphismes de Crisp. Dans la troisième partie, nous étudions la représentation de Krammer-Paris d'un monoïde d'Artin-Tits de type simplement lacé et sans triangle. Le sous-monoïde des points fixes d'un tel monoïde sous l'action d'un groupe d'automorphismes du graphe stabilise le sous-espace des points fixes de l'espace de la représentation sous l'action de ce groupe. Nous utilisons des notions développées par Hée pour prouver que la représentation ainsi obtenue est fidèle. Cela généralise, en évitant tout cas par cas, des résultats établis par Digne dans les cas sphériques.

This work presents the conjugacy classes of finite abelian subgroups of the Cremona group of the plane. Using a well-known theory, this problem amounts to the study of automorphism groups of some Del Pezzo surfaces and conic bundles. We have thus to enumerate all the cases, which gives a long description, and then to show whether two cases are distinct or not, using some conjugacy invariants. For example, we use the non-rational curves fixed by one element of the group, and the action of the whole group on these curves. From this classification, we deduce a sequence of more general results on birational transformations, as for example the existence of infinitely many conjugacy classes of elements of order n, for any even number n, a result false in the odd case. We prove also that a root of some linear transformation of finite order is itself conjugate to a linear transformation., Comment: PHD Thesis, 189 pages, 34 figures, original text may be found at http://www.unige.ch/cyberdocuments/theses2006/BlancJ/meta.html

This thesis is divided in three parts. The first one deals with the automorphisms group of modular curves X(N), N prime, over F_p, p not equal to N. We prove that for p>3 and X(N) ordinary, this group is PSL_2(Z/NZ). Also the cases N=7,11,13 are completely done. The second part deals with optimal curves. We show that N_3(5)=13 and we study the geometric properties (automorphisms group and coverings) of a curve attaining this bound. In particular, we give explicit coverings (of degree 3 and 4) over elliptic curves. The last part is an extension of the AGM method for points counting in characteristic 2 on an ordinary non hyperelliptic genus 3 curve. We prove a formula linking the quotient of theta constants and the product of the 2-adic unities eigenvalues of the Frobenius. We give an algorithm to compute algebraically the initial quotients, a good model for computations (i.e such that computations stay in a fixed unramified extension of Q_2) and we show how to find the characteristic polynom with LLL., Cette thèse comporte trois parties. La première traite du groupe des automorphismes des courbes modulaires X(N), N premier, sur F_p, p différent de N. On y démontre que, pour p>3 et X(N) ordinaire, ce groupe est exactement PSL_2(Z/NZ). On traite également complètement les cas N=7,11,13. La deuxième partie concerne les courbes optimales. On y montre que N_3(5)=13 et on étudie les propriétés géométriques (groupe d'automorphismes et revêtements) d'une courbe atteignant cette borne. La dernière partie est une extension de la méthode AGM pour le calcul du nombre de points en caractéristique 2 sur une courbe de genre 3 ordinaire et non hyperelliptique. On y démontre la formule reliant les rapports de thêta constantes au produit des valeurs propres du Frobenius unités 2-adiques. On donne un algorithme pour le calcul algébrique des rapports initiaux, un bon modèle de calcul (i.e tel que les calculs s'effectuent dans une extension non ramifiée fixe de Q_2) et on montre comment retrouver le polynôme caractéristique grâce à LLL.

Non disponible / Not available, Dans cette thèse on s'intéresse à la classification des formes réelles des algèbres de kac-Moody symetrisables et indécomposables. On distingue deux types de formes réelles: les formes réelles presque déployées et les formes réelles presque compactes. L'approche utilisée par Satake et Tits pour classifier les formes réelles des algèbres semi-simples complexes a été étendue par Rousseau aux formes réelles presque déployées des algèbres de kac-Moody symetrisables, elle consiste essentiellement à représenter une forme réelle par un diagramme appelé indice de la forme. On démontre que la classification des formes réelles presque déployées est équivalente à celle des automorphismes involutifs de seconde espèce, ceci donne un critère commode pour reconnaitre l'admissibilité d'un indice donné et aboutit à une classification complète de ces formes. Enfin, on se restreint aux algèbres de kac-Moody affinés pour étudier leurs formes réelles presque compactes, ces formes ont un lien avec les automorphismes involutifs de première espèce, on démontre que pour un choix convenable de la réalisation de l'algèbre affiné, une forme réelle presque compacte s'obtient à partir d'une forme réelle de l'algèbre de lie semi-simple de la réalisation en question, on obtient ainsi une réalisation réelle des formes presque compactes des algèbres de kac-Moody affinés. Pour une telle réalisation, on indique un procédé de construction d'une sous-algèbre torique déployée maximale.

All the results in this work concern (finite) p-groups. Chapter 1 is concerned with classifications of some classes of p-groups of class 2 and there are no particularly new results in this chapter, which serves more as an introductory chapter. The "geometric" method we use for these classifications differs however from the standard approach, especially for p-groups of class 2 with cyclic center, and can be of some interest in this situation. This "geometry" will for instance, prove to be particularly useful for the description of the automorphism groups performed in Chapter 3. Our main results can be found in chapters 2 and Chapter 3. The results of Chapter 2 have a geometric flavour and concern the study of upper intervals in the poset Ap(P) for p-groups P. We already know from work of Bouc and Thévenaz [8], that Ap(P)≥2 is always homotopy equivalent to a wedge of spheres. The first main result in Section 2.4, is a sharp upper bound, depending only on the order of the group, to the dimension of the spheres occurring in Ap(P)≥2. More precisely, we show that if P has order pn, then H~k(Ap(P)≥2) = 0 if k ≥ ⎣n-1/2⎦. The second main result in this section is a characterization of the p-groups for which this bound is reached. The main results in Section 2.3 are numerical values for the number of the spheres occurring in Ap(P)≥2 and their dimension, when P is a p-group with a cyclic derived subgroup. Using these calculations, we determine precisely in Section 2.5, for which p-groups with a cyclic center, the poset Ap(P) is homotopically Cohen-Macaulay. Section 2.7 is an attempt to generalize the work of Bouc and Thévenaz [8]. The main result of this section is a spectral sequence E1rs converging to H~r+s(Ap(P)>Z), for any Z ∈ Ap(P). We show also that this spectral sequence can be used to recover Bouc and Thévenaz's results [8]. In Section 2.8, we give counterexamples to results of Fumagalli [12]. As an important consequence, Fumagalli's claim that Ap(G) is homotopy equivalent to a wedge of spheres, for solvable groups G, seems to remain an open question. The results of Chapter 3 are more algebraic and concern automorphism groups of p-groups. The main result is a description of Aut(P), when P is any group in one of the following two classes: p-groups with a cyclic Frattini subgroup. odd order p-groups of class 2 such that the quotient by the center is homocyclic.