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International audience; Let $X$ be a projective normal surface over a number field $K$. Let $H$ be the sum of four properly intersecting ample effective divisors on $X$. We show that any set of $S$-integral points in $X-H$ is not Zariski dense.

International audience; In this paper we prove a formula relating the Faltings height of an abelian variety A over Q and the Neron-Tate height of a theta divisor on A.

We develop a strategy for bounding from above the height of rational points of modular curves with values in number fields, by functions which are polynomial in the curve's level. Our main technical tools come from effective Arakelov descriptions of modular curves and jacobians. We then fulfill this program in the following particular case: If $p$ is a not-too-small prime number, let $X_0 (p )$ be the classical modular curve of level $p$ over $\bf Q$. Assume Brumer's conjecture on the dimension of winding quotients of $J_0 (p)$. We prove that there is a function $b(p)=O(p^{5} \log p )$ (depending only on $p$) such that, for any quadratic number field $K$, the $j$-height of points in $X_0 (p ) (K)$ which are not lifts of elements of $X_0^+ (p) ({\bf Q} )$, is less or equal to $b(p)$., Comment: Revised version, with an Appendix by Pascal Autissier. (Due to some computer bug, yesterday's file was flawed: v2 was the concatenation of the old and new releases.) Up to minor differences of form, this is the text published in Algebra and Number Theory, Vol. 12 n. 9 (2018)

In this thesis we consider the problem of lower bounds for the canonical height onelliptic curves, aiming for the conjecture of Lehmer. Our main diophantine result isan explicit version of a theorem of Laurent (who proved this conjecture for ellipticcurves with CM up to a " exponent) using arithmetic intersection, enlightening thedependence with parameters linked to the elliptic curve ; such a result can be motivatedby the conjecture of Lang, hoping for a lower bound proportional to, roughly,the Faltings height of the curve.Nevertheless, our dissertation begins with a part dedicated to a completely explicitversion of the density theorem of Chebotarev, along the lines of a previous workdue to Lagarias and Odlyzko, which will be crucial to investigate the elliptic Lehmerproblem. We also obtain upper bounds for Siegel zeros, and for the smallest primeideal whose Frobenius is in a fixed conjugacy class.; Cette thèse étudie le problème de minoration de la hauteur canonique sur les courbeselliptiques. Son résultat diophantien principal utilise des méthodes d’intersectionarithmétique pour retrouver un résultat de Laurent, qui démontrait la conjecturede Lehmer pour les courbes elliptiques à multiplications complexes à un exposant" près, tout en explicitant complètement sa dépendance en divers paramètres liésà la courbe elliptique ; une telle démarche peut être motivée par la conjecture deLang, qui présage une minoration possible de la hauteur canonique proportionnelle,essentiellement, à la hauteur de Faltings de la courbe.Notre dissertation commence toutefois par une partie dédiée à l’explicitation duthéorème de densité de Chebotarev, qui reprend les grandes lignes d’un travail deLagarias et Odlyzko, et s’avère être cruciale dans notre approche du problème deLehmer elliptique. On obtient également des majorations des zéros de Siegel et de lanorme du plus petit idéal premier entrant en jeu dans le théorème de Chebotarev.

Let F ∈ Z[X1, . . . ,Xn] be a decomposable form, that is, a homogeneous polynomial of degree d which can be factored into linear forms over C. Denote by NF (m) the number of integer solutions to the inequality |F(x)| ≤ m and by VF (m) the volume of the set{x ∈ Rn : |F(x)| ≤ m}. In 2001, Thunder [19] proved a conjecture of W.M. Schmidt, stating that, under suitable finiteness conditions, one has NF (m) << mn/d where the implicit constant depends only on n and d. Further, he showed an asymptotic formula NF (m) = mn/dV (F) + OF (mn/(d+n−2)) where, however, the implicit constant depends on F. In subsequent papers, Thunder’s concern was to obtain a similar asymptotic formula, but with the upper bound of the error term |NF (m)−mn/dV (F)| depending only on n and d. In [20] and [22], hemanaged to prove that if gcd(n, d) = 1, the implicit constant in the error term can indeed be made depending only on n and d.The main objective of this thesis is to extend Thunder’s results to the p-adic setting. Namely, we are interested in solutions to the inequality |F(x)| · |F(x)|p1 . . . |F(x)|pr ≤ m in x = (x1, x2, . . . ,xn) ∈ Zn with gcd(x1, x2, . . . ,xn, p1 · · · pr) = 1. (5.4.3)where p1, . . . , pr are distinct primes and | · |p denotes the usual p-adic absolute value.Chapter 1 is devoted to the p-adic set-up of this problem and to the proofs of the auxiliary lemmas. Chapter 2 is devoted to extending Thunder’s results from [19]. In chapter 3, we show the effectivity of the condition under which the number of solutions of (5.4.3) is finite. Chapter 4 and chapter 5 generalize Thunder’s results from [20], [21] and [22].; Soit F ∈ Z[X1, . . . ,Xn] une forme décomposable, c’est-à-dire un polynôme homogène de degré d qui peut être factorisé en formes linéaires sur C. Notons NF (m) le nombre de solutions entières à l’inégalité |F(x)| ≤ m et VF (m) le volume de l’ensemble {x ∈ Rn :|F(x)| ≤ m}. En 2001, Thunder [19] a prouvé une conjecture de W.M. Schmidt, énonçant que, sous des conditions de finitude appropriées, on a NF (m) << m n/d où la constante implicite ne dépend que de n et d. En outre, il a montré une formule asymptotique NF (m) = m n/d V (F) + OF (m n/(d+n−2)) où, cependant, la constante implicite dépend de F. Dans des articles ultérieurs, la préoccupation de Thunder était d’obtenir une formule asymptotique similaire, mais avec la borne supérieure du terme d’erreur |NF (m) −m n/dV (F)| ne dépendant que de n et d. Dans [20] et [22], il a réussi à prouver que si gcd(n, d) = 1, la constante implicite dans le terme d’erreur peut en effet être fonction uniquement de n et d. L’objectif principal de cette thèse est d’étendre les résultats de Thunder au cadre p-adique. `A savoir, nous sommes intéressés par les solutions à l’inégalité |F(x)| · |F(x)|p1 . . . |F(x)|pr ≤ m en x = (x1, x2, . . . ,xn) ∈ Zn avec gcd(x1, x2, . . . ,xn, p1 · · · pr) = 1. (5.4.9) où p1, . . . , pr sont des nombres premiers distincts et |·|p désigne la valeur absolue p-adique habituelle. Le chapitre 1 est consacré au cadre p-adique de ce problème et aux preuves des lemmes auxiliaires. Le chapitre 2 est consacré à l’extension des résultats de Thunder de [19]. Dans le chapitre 3, nous montrons l’effectivité de la condition sous laquelle le nombre de solutions de (5.4.9) est fini. Le chapitre 4 et le chapitre 5 généralisent les résultats de Thunder dans [20], [21] et [22].

We are dealing here with effectiveness matters about the Mordell-Lang and Schanuel problems where algebraic heights play a central role.At the first time, we modify the Vojta-Faltings method in a general context by including some uniform descending process which has the advantage to optimize the number of iterations of the heavy Diophantine approximation mechanism. We then propose an application to the toric Mordell-Lang plus Bogomolov problem whose aim is to describe an algebraic subset X as the union of translates of closed, irreducible subgroups included in X when restricted to some enlarged, finite rank subgroup. In particular we use a theorem of Amoroso and Viada about the Bogomolov problem in this context and we improve the previous bound given by Rémond.At the second time, we prove a version of the theorem of Schanuel in the setting of a Hermitian adelic vector bundle over a number field. We give an asymptotic estimate for the number of projective points of bounded height for heights given by a family of norms over the completions at each place, satisfying several conditions but no purity hypothesis in the ultrametric case. The error term is totally explicit and linear with respect to the regulator of the number field through the use of Schmidt’s method. We finally give some applications of our result in particular to the Dedekind-Weber and Loher-Masser problems.; Nous traitons ici de questions d’effectivité dans les problèmes de Mordell-Lang et de Schanuel où la notion de hauteur algébrique joue un rôle central.Dans un premier temps nous revisitions la méthode de Vojta-Faltings dans un cadre général, en y incluant notamment un procédé de descente uniforme qui permet d’optimiser le nombre de recours au pesant mécanisme d’approximation diophantienne. Nous proposons ensuite une application de ce résultat au problème de Mordell-Lang plus Bogomolov dans le tore, qui consiste à décrire un sousensemble algébrique X comme réunion de translatés de sous-tores inclus dans X moyennant de se restreindre à un sous-groupe de rang fini épaissi. Nous nous appuyons en particulier sur un énoncé d’Amoroso et Viada concernant le problème de Bogomolov dans ce contexte et améliorons les bornes antérieures obtenues par Rémond.Dans un second temps, nous établissons une version du théorème de Schanuel dans le cadre d’un espace adélique hermitien sur un corps de nombres. Nous donnons une estimation asymptotique du nombre de points projectifs de hauteur bornée pour une hauteur définie par une famille de normes sur les complétés en chaque place, vérifiant certaines conditions mais sans hypothèse de pureté dans le cas ultramétrique. Le terme reste obtenu est totalement explicite et linéaire en le régulateur du corps de nombres grâce au recours à une méthode introduite par Schmidt. Nous traitons également plusieurs applications de ce résultat, notamment aux problèmes de Dedekind-Weber et de Loher-Masser.