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International audience; Cet article s’intéresse aux distributions de possibilité bi-variées que nous proposons de construire à partir des distributions marginales. Nous suivons le chemin utilisé en probabilités par le théorème de Sklar qui relie une distribution de probabilité multi-variée à ses marginales par une copule qui modélise la dépendance entre les marginales. Nous nous interrogeons sur la potentielle équivalence entre l’approche probabiliste et l’approche possibiliste. Nous étudions plus particulièrement les cas de dépendance parfaite positive (comonotonie), de dépendance parfaite négative (anti-monotonie) et d’indépendance. Nous illustrons nos propositions sur des lois usuelles (uniforme, gaussienne).

International audience

International audience; A transform is said to be sparse (or to achieve a sparse representation) if it can represent a signal by a relatively small number of large coefficients. In this qualitative sense, the wavelet transform is often regarded as sparse [1]. Under this sparsity model, [1] presents thresholding and shrinkage methods aimed at estimating a signal corrupted by independent and additive white Gaussian noise. These methods, called WaveShrink estimators, involve forcing to zero, the wavelet coefficients with amplitudes less than a certain threshold. For the threshold, [1] recommends the universal or minimax thresholds. On the other hand, a non-parametric approach is proposed in [2] for the detection of any random variable that has unknown distribution, amplitude larger than or equal to some known value A and probability of presence less than or equal to one half in additive white Gaussian noise with standard deviation .. The test proposed in [2] for detecting the realization of this random variable is a thresholding test with a specific threshold height that depends on A and .: the presence of the random variable (wich correspond to presence of usefull information in an observed wavelet coefficient) is accepted if the amplitude of the observation is above the threshold height and rejected otherwise. In a first part of the presentation, we describe how the non-parametric statistical decision test introduced in [2] can be used to estimate significant information in noisy wavelet coefficients via the most popular WaveShrink estimator, namely the soft thresholding, which is one of the approaches proposed in [1]. As far as the threshold height required by soft thresholding is concerned, theoretical results as well as tests on the signals of the WaveLab Toolbox suggest using the threshold height derived in [2, Theorem VII.1] instead of the standard universal and minimax thresholds. Experimental results in image denoising will also be presented so as to illustrate the conclusions of this first part. In a second part, we address the following problem. The results presented above are derived under the assumption that the noise standard deviation is known. In practice, this value is often unknown. As suggested in [3], the Maximum Absolute Deviation (MAD) estimator, calculated over the detail coefficients of the first level of the wavelet decomposition, is a good estimate of . when there is no significant information about the signal in the detail wavelet coefficients. Some theoretical results recently established in [4] make it possible to estimate the noise standard deviation when significant information about the signal are present in the noisy detail wavelet coefficients. These results relate to sparsity in the sense that they hold true for signals with unknown distriubutions that are less present than absent and whose minimum ammplitude is above some positive real value. In fact, these results can apply to transforms other than the wavelet transform. We present an application of these results to speech processing as well as an extension to coloured noise. The conclusion of this talk will present extensions of the results presented above. In particular, a new family of shrinkages will be briefly described for non-parametric estimation of a signal in ndependent and additive white Gaussian noise. Some examples in image denoising will be commented so as to emphasize the new features of these shrinkages. This is a joint work with Abdourrahmane M. Atto.

A new threshold is presented for a better estimation of a signal using sparse transform and soft thresholding. This threshold derives from a non-parametric statistical approach dedicated to the detection of a signal with unknown distribution and unknown probability of presence in independent and additive white Gaussian noise. This threshold is called the detection threshold and is particularly appropriate for selecting the few observations, provided by the sparse Transform, whose amplitudes are sufficiently large to consider that they contain information about the signal. An upper bound for the risk of the soft thresholding estimation is computed when the detection threshold is used. When the number of observations is large, this upper bound is about four times smaller than the standard upper bounds given for the universal and the minimax thresholds.; On présente un nouveau seuil pour une meilleure estimation d'un signal lorsqu'on emploie une transformation parcimonieuse et un seuillage doux. Ce seuil dérive d'une approche statistique non-paramétrique dédiée à la détection d'un signal dont la distribution de probabilité et la probabilité de présence sont inconnues en présence d'un bruit additif, blanc et Gaussien. Ce seuil, appelé seuil de détection, est particulièrement adéquat pour sélectionner les quelques observations fournies par la transformée parcimonieuse et dont les amplitudes sont suffisamment grandes pour considérer que ces observations contiennent de l'information sur le signal. Une borne supérieure pour le risque de l'estimation douce est calculée lorsque le seuil de détection est employé. Quand le nombre d'observations est grand, cette borne supérieure est environ quatre fois plus petite que les bornes usuelles obtenues lorsqu'on emploie le seuil universel ou le seuil minimax.

Dans ce papier, on analyse la corrélation statistique des coefficients des paquets d'ondelettes associés à un processus aléatoire, stationnaire au sens large et dont la densité spectrale est à support dans [-π;π]. Soient deux filtres miroirs en quadrature (FMQ) dépendant d'un paramètre r tel que ces filtres tendent presque partout vers les FMQ idéaux de Shannon lorsque r croît. Le paramètre r est appelé ordre des filtres FMQ considérés.L'ordre des filtres de Daubechies est le nombre de moments nuls de la fonction d'ondelette. L'ordre des filtres de Battle-Lemarié est l'ordre de la spline associée à la fonction d'échelle. Étant donné un chemin de l'arbre de décomposition en paquets d'ondelettes, nous montrons que les coefficients des paquets d'ondelettes tendent à se décorréler pour chaque paquet associé à un niveau de résolution suffisamment grand, à condition que l'ordre des FMQ soit lui-aussi suffisament grand et supérieur à une valeur qui dépend du paquet d'ondelettes considéré. Une autre conséquence de ce résultat est la suivante : lorsque les coefficients associés à un paquet d'ondelettes sont approximativement décorrélés, la valeur de la fonction d'auto-corrélation en 0 est proche de la valeur de la densité spectrale du processus en un point que l'on sait déterminer. Ce point dépend du chemin suivi dans l'arbre de décomposition pour atteindre le paquet d'ondelettes considéré. Quelques simulation mettent en évidence le bonne qualité de l'effet de blanchiment que l'on obtient en pratique. (english version on the document)

Dans ce papier, on analyse la corrélation statistique des coefficients des paquets d'ondelettes associés à un processus aléatoire, stationnaire au sens large et dont la densité spectrale est à support dans [-π;π]. Soient deux filtres miroirs en quadrature (FMQ) dépendant d'un paramètre r tel que ces filtres tendent presque partout vers les FMQ idéaux de Shannon lorsque r croît. Le paramètre r est appelé ordre des filtres FMQ considérés.L'ordre des filtres de Daubechies est le nombre de moments nuls de la fonction d'ondelette. L'ordre des filtres de Battle-Lemarié est l'ordre de la spline associée à la fonction d'échelle. Étant donné un chemin de l'arbre de décomposition en paquets d'ondelettes, nous montrons que les coefficients des paquets d'ondelettes tendent à se décorréler pour chaque paquet associé à un niveau de résolution suffisamment grand, à condition que l'ordre des FMQ soit lui-aussi suffisament grand et supérieur à une valeur qui dépend du paquet d'ondelettes considéré. Une autre conséquence de ce résultat est la suivante : lorsque les coefficients associés à un paquet d'ondelettes sont approximativement décorrélés, la valeur de la fonction d'auto-corrélation en 0 est proche de la valeur de la densité spectrale du processus en un point que l'on sait déterminer. Ce point dépend du chemin suivi dans l'arbre de décomposition pour atteindre le paquet d'ondelettes considéré. Quelques simulation mettent en évidence le bonne qualité de l'effet de blanchiment que l'on obtient en pratique. (english version on the document)

International audience; This paper is a contribution to the analysis of the statistic al correla- tion of the wavelet packet coefficients resulting from the dec omposition of a random process, stationary in the wide-sense, whose pow er spectral density is bounded with support in [ − π, π ]. Consider two quadrature mirror filters (QMF) that depend on a pa- rameter r , such that these filters tend almost everywhere to the Shan- non QMF when r increases. The parameter r is called the order of the QMF under consideration. The order of the Daubechies filters (resp. the Battle-Lemari ́e filters) is the number of vanishing moments of the wavelet function (resp. the spline order of the scaling function). Given any decomposition path in the wavelet packet tree, the wavelet packet coefficients are proved to decorrelate for every packe t associated with a large enough resolution level, provided that the QMF o rder is large enough and above a value that depends on this wavelet packet. Another consequence of our derivation is that, when the coeffi cients associated with a given wavelet packet are approximately de correlated, the value of the autocorrelation function of these coefficients a t lag 0 is close to the value taken by the power spectral density of the decompos ed process at a specific point. This specific point depends on the path fol lowed in the wavelet packet tree to attain the wavelet packet under co nsideration. Some simulations highlight the good quality of the "whiteni ng" effect that can be obtained in practical cases.