Search

We classify the Auslander-Reiten components of the bounded derived category of ��, where �� is a cluster-tilted of type ��. The main tool is the combinatoric description of the indecomposable complexes in the bounded homotopy category via homotopy strings and homotopy bands., 27 pages, final version

Del 1 er en innføring i kommutative og ikke-kommutative Gröbnerbasiser. Sentrale resultater og noen anvendelser. Del 2 handler om algoritmer. For kommutative Gröbnerbasiser ser vi på forbedringer av Buchbergers algoritme, samt F4 og F5. Vi gjør ikke-kommutative "oversettelser" av de to første.I del 3 ser vi på Polly Cracker-kryptosystemer, som er offentlig nøkkel-kryptosystemer basert på Gröbnerbasiser. Vi tar for oss flere av de kommutative variantene og den ikke-kommutative versjonen hvis sikkerhet bygger på idealer med uendelig Gröbnerbasis.

Denne studien ser på bruk av fingertelling og hvilke fingertellingsstrategier et utvalg elever i første klasse benytter seg av når de løser del-del-hel oppgaver. Vi har sett på hvordan 8 barn løste oppgaver, både med og uten instruksjoner om å bruke fingrene. Vi benyttet oss av regnefortellinger og terningspill. Temaet fingertelling i matematikk står sentralt i en diskusjon angående nødvendighet og relevans, mellom det nevrokognitive og matematikkdidaktiske fagfeltet (Moeller et al., 2011). Dessverre er det gjort lite forskning i norsk skole. Noe forskning er gjort i svensk skole, men grunnet ulikheter i svensk og norsk skole er ikke alt overførbart til norsk skolehverdag. Studien vår ser på hvilke fingertellingsstrategier elever benyttet seg av når de løste matematikkoppgaver som la til rette for å oppdage for del-del-hel prinsippet, samt andre aspekter ved fingertelling som kunne være interessant å forske videre på. Bjørklund et al. (2018), Bjørklund & Reis (2020) og Kullberg et al. (2020) sin forskning var sentral i design- og analyseprosessen. Vi benyttet oss av, og ble inspirert av deres analyser og analysekategorier. Kategoriene vi benyttet i analysen var: fingre som automatisert tallbilde, fingre former tall med enkle enheter, fingre for å visualisere strukturen i tall, fingre som støtte og informasjonsholder, oppfordring til variert bruk av fingrene og hoderegning uten fingre. I analysen ble det sett på hvilke fingertellingsstrategier de 8 deltakerne benyttet seg av, og disse strategiene ble videre sett på opp mot relevant matematisk teori, som blant annet del-del-hel relasjonen i tall og kardinalitet. Funnene våre viser at elevene i studien benyttet seg av fingrene på ulike måter. Noen elever benyttet seg av hoderegning for å løse oppgaven og viste fingrene i etterkant for å oppfylle våre forventninger. Andre brukte tydelig fingrene til å holde orden på informasjonen i oppgaven, eller som hjelp til å løse oppgaven. Det ble observert og kategorisert flere fingertellingsstrategier. Resultatene av studien viser at elevene innehar kompetanse om fingrene, og benyttet seg av et utvalg fingertellingsstrategier når de ble bedt om det. Our study focuses on the use of finger counting and which finger counting strategies a selection of students in first grade use when solving part-part-whole tasks. We have studied how 8 children solve problems, both with and without being introduced to finger strategies. We used arithmetic stories and dice games. The topic of finger counting in mathematics is central in a discussion regarding necessity and relevance, between the neurocognitive and the mathematics education field (Moeller et al., 2011). Unfortunately, only a small amount of research has been done in Norwegian schools. Some research has been done in Swedish schools, but most findings do not transfer directly to Norwegian schools. In our study, we have reviewed which finger counting strategies students use when solving mathematical problems that facilitate the part-part-whole principle, as well as discovered other aspects of finger counting that may merit further research. The research of Bjørklund et al. (2018), Bjørklund & Reis (2020) and Kullberg et al. (2020) was central to the analytic process. We were inspired by their analysis and have utilized the categories they designed. The categories we used in our analysis were: fingers as an image of numbers, fingers to create numbers of single units, fingers to visualize the structure of numbers, fingers as support and an holder of information, encouraged use of different finger patterns and mental calculation without fingers. In the analysis, we observed which finger counting strategies the 8 participants used, and these strategies were further set up against relevant mathematical theory, such as the part-part-whole relationship in numbers and cardinality. Our findings show that the students in the study use their fingers in different ways. Some students used them to solve the problem and showed their fingers afterwards to satisfy our expectations. Others clearly used their fingers to keep track of the information in the task, or as an aid to solving the task. Several finger counting strategies were observed and categorized. The results of the study show that none of the students use the fingers as their preferred strategy, but they have knowledge about fingers and used a selection of finger counting strategies when asked.

Denne masteroppgaven er en undersøkelse av hvordan vertikale tavler påvirker formativ vurdering i matematikkundervisning. Den nye læreplanen i matematikk kommer med noen klare anbefalinger til hvordan læreren bør jobbe med underveisvurdering. Det er avvik mellom disse anbefalingene og rådende praksis slik det kommer frem i resultatene fra en undersøkelse av den formative praksisen hos norske lærere i matematikk. Problemstillingen i undersøkelsen er: «Hvordan påvirker vertikale tavler formativ vurdering i matematikkundervisning?». Hensikten med studien har derfor vært å undersøke vertikale tavler som et verktøy for å hjelpe læreren i den formative vurderingsprosessen i matematikkundervisning. Studien er gjennomført som en hermeneutisk og fenomenologisk kvalitativ kasusstudie. Empirien er hentet fra observasjon av en ungdomsskolelærers undervisning. Oppgaven brukt i undervisningen var designet som en problemløsende oppgave, der elevene i grupper skulle skrive sine svar og løsninger på vertikale tavler. Observasjonsdataen har vært gjennom induktiv analyse med åpen koding, og en deduktiv analyse med forhåndsdefinerte koder. De forhåndsdefinerte kodene er hentet fra et rammeverk som beskriver indikatorer for formativ vurdering. Det er også gjennomført et kvalitativt dybdeintervju med tidligere nevnte lærer. Datamaterialet fra intervjuet har ikke vært gjenstand for analyse, men har vært brukt til å utdype funn fra analysen av observasjonsdataen. Det overordnede teoretiske rammeverket for oppgaven baserer seg på en definisjon av formativ vurdering som en prosess, som begynner med lærerens observasjon av elevenes matematiske forståelse, og som ender med tilbakemeldinger som fremmer elevenes læring. Funn i studien antyder at vertikale tavler kan være et verktøy for å sette i gang den formative prosessen hos læreren. Vertikale tavler kan synliggjøre elevenes arbeid for læreren. På denne måten kan læreren få bedre innsyn i elevenes forståelse, som igjen kan påvirke hvordan læreren tilpasser undervisningen. I undersøkelsen kommer det frem at læreren bruker informasjonen fra vertikale tavler til å avgjøre om hen skal gå inn i en formativ interaksjon med elevene, eller ikke. I interaksjonen med elevene, bruker læreren ulike formative tilnærminger for å vurdere elevenes forståelse, og for å hjelpe dem videre. Studien viser at lærerens formative prosess har tre steg: observere og vurdere, formativ interaksjon, tilbakemeldinger som hjelper elevene videre. This master's thesis examines vertical whiteboards and their impact on formative assessment in mathematics education. The new mathematics curriculum has some clear government recommendations regarding the way teachers should work with formative assessment. There is a discrepancy between the recommendations and results from research on formative practice in the classrooms of Norwegian mathematics teachers. The research question for this thesis is: "How do vertical whiteboards affect formative assessment in mathematics education?" Thus, the purpose of this study has been to examine how vertical whiteboards can be a tool for formative assessment in mathematics. This study is a hermeneutic and phenomenological qualitative case study. The data set of this study has been gathered through observation of one secondary school teacher's instruction. The task used was a problem-solving task, designed so that the students had to write their answers and solutions on vertical whiteboards. The observational data has been through an inductive analysis with open coding, and a deductive analysis with pre-defined codes. The pre-defined codes originate from a framework that describes indicators of formative assessment. There is also data from a qualitative in-depth interview with the forementioned teacher. The empirical data from the interview has not been subject to analysis, but has been used to elaborate findings in the observational data. The overall theoretical framework of the study is based on a definition of formative assessment as a process, which starts with the teacher's observation of the student's mathematical understanding, and ends with the feedback given. Findings suggest that vertical whiteboards can be a tool to initiate the teacher's formative process. They can also be a part of making the student's work more visible to the teacher. In this way, the teacher has better grounds to react upon when adapting the next steps in the instruction. The study shows that the teacher uses the information gathered from the vertical whiteboards to decide whether or not to engage in a formative interaction with the students. In this interaction with the students, the teacher uses different formative approaches to assess student understanding, and to help them move on. From the study, one can see that the teacher's formative process has three stages: observe and assess, formative interaction, and feedback to help the students develop their mathematical understanding.

Jeg har i denne studien skrevet en matematikkdidaktisk masteroppgave, hvor jeg har analysert innhold i tre forskjellige lærerveiledninger tilhørende 2. trinn. Oppgaven er begrenset til å undersøke hva som kjennetegner muligheter for resonnering. Grunnen til det er at det de siste årene har vært et økende fokus på resonnering i barneskolen, resonnering og bevis er blant annet nå å regne som ett av seks kjerneelement i den nye læreplanen, LK20 (Utdanningsdirektoratet, 2019). Videre viser det seg at elever har vansker knyttet til resonnering i matematikken (Stylianides, 2009), og at læreboka, som i stor grad påvirker undervisningen (Valverde et al., 2002), kan være skyld i det (Stylianides et al., 2013). Dette dannet bakgrunnen for at jeg ønsket å undersøke problemstillingen: Hva kjennetegner muligheter for resonnering i arbeid med tall i innhold presentert i lærerveiledninger? I det teoretiske grunnlaget er matematisk resonnering presentert som begrep forankret i Jeannotte & Kieran (2017) sitt rammeverk. Rammeverket til Charalambous et al. (2010) var utgangspunkt for innsamlingen av data, og dataen ble videre behandlet gjennom åpen koding. Studien har en kvalitativ tilnærming med dokumentanalyse som metode. Fremtredende i datamaterialet var at muligheter for resonnering kjennetegnet arbeid med partall og oddetall, arbeid med større, mindre, flere eller færre enn, arbeid med tallinja, arbeid med enere og tiere og arbeid med dobling og halvering. Gjennom drøfting fremkom positive virkninger av å arbeide resonnerende i matematikk. For eksempel at det å arbeide resonnerende kan bidra til økt motivasjon og utforskertrang i faget. En bemerkning er likevel at jeg i denne studien kun har analysert innhold i lærerveiledninger. Jeg kan derfor ikke uttale meg om hva som kjennetegner muligheter for resonnering elever blir gitt, kun hva som kjennetegner muligheter innhold i lærerveiledninger gir for det. This is a mathematics didactic master's thesis that analyzes the content of three different teacher guides belonging to the 2nd grade. The thesis is limited to examining what characterizes possibilities for reasoning. The reason for this is that in recent years there has been an increasing focus on reasoning in primary school, reasoning and evidence are now considered as one of six core elements in the new curriculum, LK20 (Utdanningsdirektoratet, 2019). Furthermore, it turns out that students have difficulties related to reasoning in mathematics (Stylianides, 2009), and that the textbook, which greatly affects the teaching (Valverde et al., 2002), may be to blame (Stylianides et al., 2013). This formed the background for me wanting to investigate the issue: What characterizes the possibilities for reasoning in work with figures in content presented in teacher guides? In the theoretical basis, mathematical reasoning is presented as a concept anchored in Jeannotte & Kieran's (2017) framework. The framework of Charalambous et al. (2010) was the starting point for the collection of data, and the data was further processed through open coding. The study is based on a qualitative approach with document analysis as a method. Prominent in the data material was that possibilities for reasoning characterized work with even and odd numbers, work with larger, smaller, more or less than, work with the number line, work with ones and tens and work with doubling and halving. Through discussion, positive effects emerged from working with reasoning in mathematics. For example, working with reasoning can contribute to increased motivation and the urge to explore the subject. One remark, however, is that this study has only analyzed the content of teacher guides. I can therefore not comment on what characterizes the opportunities for reasoning students are given. What I can say, however, is what characterizes the possibilities for reasoning in the content of teacher guides.

Studien fokuserte på barns bruk av tegning i matematisk resonnering. Hensikten med studien var å so noe om hvordan elever på 3. trinn bruker tegning i matematisk resonnering, og da spesialt i arbeid med problemløsning. Problemstillingen for studien har dermed vært; Hvordan bruker elever tegning i matematisk resonnering i arbeid med problemløsning? Studien er en kvalitativ studie av elever på 3. trinn og deres bruk av tegning i matematisk resonnering. Metodene som ble brukt for å hente inn datamateriale var observasjon og intervju. Datamateriale består av tre elevgruppers arbeid med to problemløsningsoppgaver, hvor besvarelser ble tatt vare på og det ble tatt taleopptak av samtalen elevene hadde da var i arbeid. I tillegg til taleopptak og besvarelser, noterte jeg observasjoner gjennom hele innsamlingsprosessen. Da datamaterialet skulle analyseres ble det brukt allerede eksisterende rammeverk og teori på temaene matematisk resonnering og tegning. Rammeverket til Lithner (2008) handler om å identifisere matematisk resonnering i elevers arbeid i matematikk. Han tar for seg ulike typer resonnering og gir et rammeverk som kan brukes på alle trinn i skolen. Rammeverket hans ble brukt for å identifisere hvilken resonneringstype elevene brukte når de arbeidet. Saundry & Nicol (2006) sitt rammeverk ble brukt for å kategorisere tegningene elevene hadde produsert. Elevenes besvarelser ble delt inn i de kategoriene som var tilgjengelig fra rammeverket til Saundry & Nicol. Til slutt ble analysen av den matematisk resonnering og tegningene sett på sammen, da stilte jeg meg tilleggsspørsmål som hjalp meg å finne et svar til problemstillingen: a. Når i resonneringsprosessen brukes tegning? b. Hva slags funksjon har tegningene i resonneringsprosessen, i lys av spørsmål a? Funnene mine viser at det er en korrespondanse mellom mine resultat og tidligere forskning på matematisk resonnering. Den resonneringstypen som er mest fremtredende er algoritmisk resonnering, mens kreativ matematisk resonnering er ikke like fremtredende. I analysen fant jeg også ut at den tegne-kategorien som var mest fremtredende var tegning som støtte for system, og at de resterende tegningene var i kategorien tegning som manipulativ. Resultatene mine viser også at elever brukte tegning aktivt i resonneringsprosessen, da mest i det som heter implementeringsfasen. Funksjonen til tegningene i elevenes matematiske resonnering var at tegningen ble en støtte for resonneringen. Uavhengig av hvilken type resonnering elevene tok i bruk ble tegningen en støtte for resonneringen. This study has focused on children's use of drawing within mathematical reasoning. The purpose of the study was to be able say something about how students in 3rd grade use drawing within mathematical reasoning, especially in work with problem solving. The problem for the study has thus been; How do students use drawing in mathematical reasoning when working with problem solving? The study is a qualitative study of students in 3rd grade and their use of drawing in mathematical reasoning. The methods used to retrieve data material were observations and interview. The data material consists of three groups of students' work with two problem-solving tasks, where answers were kept and conversations the students had while they were working were recorded. In addition to voice recordings and answer sheets, I wrote down my observations throughout the entirety of the data collection process When the data material was to be analyzed, pre-existing frameworks and theory were used on the topics of mathematical reasoning and drawing. The framework of Lithner (2008) identifies mathematical reasoning in students' work in mathematics. He addresses different types of reasoning and provides a framework that can be used at all grade levels. His framework was used to identify the type of reasoning the students used when working with mathematics. Saundry & Nicol's (2006) framework was used to categorize the drawings the students had produced. The students' answers were divided into categories that were available from the framework of Saundry & Nicol. Finally, the analysis of the mathematical reasoning and the drawings were looked at together, then I asked myself additional questions that helped me find an answer to the problem: a. When in the reasoning process is drawing used? b. What kind of function does the drawings have in the reasoning process, in light of question a? My findings show that there is a correspondence between my results and previous research on mathematical reasoning. The type of reasoning that is most prominent is algorithmic reasoning, while creative mathematical reasoning is not as prominent. In the analysis, I also found that the drawing category that was most prominent was drawing as support for the system, and that the remaining drawings was in the category drawing as manipulative. My results also show that students used drawing actively in the reasoning process, mostly in what is called the implementation phase. The function of the drawings in the students' mathematical reasoning was that the drawing became a support for the reasoning. Regardless of the type of reasoning the students used, the drawing became a support for the reasoning.

I denne oppgaven rapporterer jeg fra en studie som utforsker systematisk profesjonsutvikling for matematikklærere. Målet med prosjektet har vært å undersøke læreres opplevelse av utvikling i et tiltak der de «reflekterer over felles verdier, og vurderer og videreutvikler sin praksis», slik overordnet del av læreplanen LK20 krever (Kunnskapsdepartementet, 2017, s. 18). Jeg har benyttet Fauskangers (2020) beskrivelse av MAM læringssyklus som utgangspunkt for å organisere to heldagssamlinger. Målet for samlingene var å la lærere planlegge, prøve ut og reflektere over ambisiøse undervisningsopplegg tilpasset læreplanen i matematikk (Utdanningsdirektoratet, 2020d). Jeg har benyttet Li og Huangs (2013) beskrivelse av Teaching Research Groups (TRG) i Kina, og National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics (NCETM, 2020) sin beskrivelse av Maths hubs (MH) i England, som inspirasjon for utformingen av tiltaket. Vår lokale variant av tiltaket kalles MAM i Skolen (MAMIS) for å skille det fra originalen. Forskningsdeltakerne var 12 lærere ved en ungdomsskole på vestlandet. Disse utformet og gjennomførte til sammen 27 undervisningsøkter for 15 ulike skoleklasser i løpet av to hele arbeidsdager. Det empiriske materialet består av spørreskjema før og gruppesamtaler etter utviklingsprosjektet. Ut fra en kvalitativ analyse av datamaterialet har jeg utformet en hypotese om hvordan MAMIS vil oppleves av lærere ved andre skoler. Hypotesen er: Matematikklærere vil oppleve MAMIS som et nødvendig og naturlig tiltak, og derfor ønske å fortsette med det minst fire ganger årlig. De vil oppleve at samlingene bidrar til å motivere og inkludere flere elever, og at metodikken i MAMIS kan brukes i andre fag. Hypotesen består av syv ulike elementer, som behandles hver for seg i drøftingen i kapittel 6. Hypotese-elementene er: 1. MAMIS vil oppleves som et nødvendig tilskudd i lærergjerningen. 2. Lærere vil ønske å fortsette med MAMIS. 3. Lærere ønsker seg mer motiverte elever i faget. 4. Lærere vil ønske minst fire hele dager til MAMIS hvert skoleår. 5. MAMIS vil oppleves som en naturlig del av det å være lærer. 6. Undervisningspraksisene i MAMIS vil inkludere flere elever. 7. Metodikken i MAMIS kan brukes til lignende tiltak i andre fag. Funnene antyder at MAMIS er et godt egnet verktøy for å la lærere utforske undervisningspraksiser i trygge rammer. Overordnet kan prosjektet bidra med økt kunnskap om hvordan skoler kan jobbe systematisk med profesjonsutvikling i flere fag. In this master thesis I report from a study that explores systematic PD for teachers in Mathematics. The project aimed to investigate teachers`experienced development in a structure were they «reflect on common values, and assess and develop their practice», as the values and principles for secondary education demands (Kunnskapsdepartementet, 2017, s. 18). I have used Fauskangers` (2020) description of MAM learning cycle as a base to organize two all day learning cycles. The goal of these were to let teachers plan, try out and reflect on ambitious teaching arrangements adapted to the Curriculum for Mathematics (Utdanningsdirektoratet, 2020d). I have used Li and Huangs (2013) description of Teaching Research Groups (TRG) in Kina, and National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics` (NCETM, 2020) description of Maths hubs (MH) in England, as an inspiration when designing the project. Our local project is called MAM in School (MAMIS) to separate it from the original MAM-project. The research participants were 12 teachers from a junior high school in the western part of Norway. They developed and implemented a total of 27 teaching sessions in 15 different classes during two working days. The empirical material consist of a questionnaire before and group interviews after the development project. Based on a qualitative analysis of the data, I have constructed a hypothesis on how MAMIS will be experienced by teachers in other schools. The hypothesis is: Math teachers will experience MAMIS as a necessary and natural supplement, and will therefore wish to continue participating at least four times a year. They will experience that the learning cycles contribute to motivating and including more students, and that the method in MAMIS can be used in other subjects. The seven elements of the hypothesis are discussed separately in chapter 6. These are: 1. MAMIS will be experienced as a necessary supplement to the teaching deed. 2. Teachers will wish to continue participating in MAMIS. 3. Teachers wish for more motivated students in the subject. 4. Teachers will wish for at least four whole days of MAMIS each school year. 5. MAMIS will be experienced as a natural part of being a teacher. 6. The teaching practices in MAMIS will include more students 7. The method in MAMIS can be used for similar strutures in other school subjects. The findings imply that MAMIS is useful for letting teachers explore new teaching practices in a safe environment. The project can also contribute to expand the knowledge base on how schools can work systematically with PD in multiple subjects.

Formålet med denne studien er å undersøke hvilke strategier 4. klassinger benytter seg av når de opererer med tidspunkt på den analoge og digitale klokka, og hvilke forskjeller det er i strategibruken for de to displaytypene. Målet for masteroppgaven er å skape et forslag til et rammeverk for strategier det kan forventes at barn bruker når de utfører beregninger med tidspunkt på en analog og digital klokke. Studien har et kvalitativt forskningsdesign og tar utgangspunkt i et sosialkonstruktivistisk læringssyn. Datainnsamlingen ble utført med seks elever fra 4. trinn. Metoden for datainnsamlingen var deltakende observasjon med bruk av oppklaringsspørsmål og inngående spørsmål. Elevene skulle løse et oppgavesett bestående av oppgaver som involverte addisjon og subtraksjon av ulike tidsintervall fra tidspunkt vist på enten en analog eller digital klokke. Lydopptak og observasjonsnotater ble sammenfattet i en transkripsjon, som i ettertid ble brukt for å kunne utføre en mer nøyaktig fortolkning av elevenes strategier. Transkripsjonene ble analysert gjennom en kodings- og kategoriseringsprosess. Gjennom analysen av datamaterialet kommer det fram at elevene oftest benyttet seg av ulike backupstrategier, selv om resultatene viser at direkte retrieval spilte en større rolle enn først antatt. De to vanligste strategiene var kombinerer visernes nye posisjoner og trinnvis økning eller nedgang fra starttidspunktet. Et spesialtilfelle av sistnevnte strategi var trinnvis økning fra et endret starttidspunkt der den assosiative egenskapen for addisjon ble funnet. Addisjon og subtraksjon viste seg å være sentrale strategier siden oppgavene handler om å finne et fremtidig eller tidligere tidspunkt ved å addere eller subtrahere et antall minutter. Kompensasjon og algoritmisk tilnærming ble også brukt for subtraksjonsoppgavene, enten som hoved- eller delstrategier. Resultatene viser at elevene benyttet seg av forskjellige strategier for den analoge og digitale klokka, som skyldes en påvirkning av de to klokkenes struktur og den ulike måten de representerer tid på. Den digitale klokka fremkaller numeriske strategier, mens den analoge klokka fører til bruk av både visuo-romlige og numeriske strategier, samt bruk av en blandet metode. Med resultatene fra denne studien og tidligere forskning har jeg utviklet et rammeverk over strategier barn kan bruke når de opererer med tidspunkt på den analoge og digitale klokka.