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O presente trabalho consiste na apresentação dos primórdios da Teoria dos Números Transcendentes. Começaremos com uma pequena introdução a respeito das aproximações racionais e seus teoremas clássicos, como o de Hurwitz-Markov. A seguir, definiremos os números de Liouville e suas propriedades mais intrínsecas, culminando com a prova de sua transcendência. Também falaremos sobre a medida de irracionalidade, uma forma interessante de classificar o grau de irracionalidade de um número real, e, por último (e não menos importante), discutiremos os aspectos mais paradoxais dos números de Liouville como conjunto, que sob a ótica da topologia é o complementar de um conjunto magro, ou seja, é um conjunto "grande". Já sob a ótica da Análise, é um conjunto de medida nula, tanto na medida de Lebesgue quanto na de Hausdorff.

We study a van der Pol-like memristor oscillator, obtained by substituting a Chua’s diode with an active controlled memristor in a van der Pol oscillator with Chua’s diode. The mathematical model for the studied circuit is given by a three-dimensional piecewise linear system of ordinary differential equations, depending on five parameters. We show that this system has a line of equilibria given by the [Formula: see text]-axis and the phase space [Formula: see text] is foliated by invariant planes transverse to this line, which implies that the dynamics is essentially two-dimensional. We also show that in each of these invariant planes may occur limit cycles and relaxation oscillations (that is, nonsinusoidal repetitive (periodic) solutions), depending on the parameter values. Hence, the oscillator studied here, constructed with a memristor, is also a relaxation oscillator, as the original van der Pol oscillator, although with a main difference: in the case of the memristor oscillator, an infinity of oscillations are produced, one in each invariant plane, depending on the initial condition considered. We also give conditions for the nonexistence of oscillations, depending on the position of the invariant planes in the phase space.

Seja M um conjunto compacto e conexo do plano que seja a união dos subconjuntos conexos N e S. Seja Z_L=(X_L,Y_L) uma família a um parâmetro de campos vetoriais descontínuos, onde X_L está definida em N e Y_L em S. Ambos os campos X_L e Y_L, assim como as suas dependências em L, são suaves i. e. de classe C^\\infty; a descontinuidade acontece na fronteira comum entre N e S. O objetivo deste trabalho é estudar as bifurcações que ocorrem em certas famílias de campos vetoriais descontínuos seguindo as convenções de Filippov. Aplicando o método da regularização, introduzido por Sotomayor e Teixeira e posteriormente aprofundado por Sotomayor e Machado à família de campos vetoriais descontínuos Z_L obtemos uma família de campos vetoriais suaves que é próxima da família descontínua original. Usamos esta técnica de regularização para estudar, por comparação com os resultados clássicos da teoria suave, as bifurcações que ocorrem nas famílias de campos vetoriais descontínuos. Na literatura há uma lista de bifurcações de codimensão um, no contexto de Filippov, apresentada mais completamente, no artigo de Yu. A. Kuznetsov, A. Gragnani e S. Rinaldi, One-Parameter Bifurcations in Planar Filippov Systems, Int. Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 13, No. 8: 2157--2188, (2003). Alguns dos casos dessa lista já eram conhecidos por Kozlova, Filippov e Machado. Neste trabalho nos propomos a estudar as bifurcações de alguns dos casos, apresentados no artigo de Kuznetsov et. al, através do método da regularização dessas famílias. Nesta Tese consubstanciamos matematicamente a seguinte conclusão: As bifurcações das famílias descontínuas analisadas ficam completamente conhecidas através das bifurcações apresentadas pelas respectivas famílias regularizadas, usando recursos da teoria clássica suave. Let M be a connected and compact set of the plane which is the union of the connected subsets N and S. Let Z_L=(X_L,Y_L) be a one-parameter family of discontinuous vector fields, where X_L is defined on N and Y_L on S. The two fields X_L, Y_L and their dependences on L are smooths, i. e., are of C^\\infty class; the discontinuity happens in the common boundary of N and S. The objective of this work is to study the bifurcations which occurs in certains families of discontinuous vector fields following the conventions of Filippov. Applying the regularization method, introduced by Sotomayor and Teixeira, to the family of discontinuous vector fields Z_L we obtain a family of regular vector fields which is close to the original family of discontinuous vector fields. In the literature there is a list of codimension one bifurcation, in the Filippov sense, presented more completely, in the article of Yu. A. Kuznetsov, A. Gragnani e S. Rinaldi, One-Parameter Bifurcations in Planar Filippov Systems, Int. Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 13, No. 8: 2157--2188, (2003). Some of those cases was already known by Kozlova, Filippov and Machado. In this work we propose to study the bifurcations of some of those cases, presented in the article of Kuznetsov et. al, by the method of regularization of those families. In this thesis we justify mathematically the following conclusion: The bifurcations of the analysed discontinuous families are completelly known by the bifurcations contained in the respective regularized families, using the methods of the classical theory of regular vector fields.