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Orientadores: Reginaldo Palazzo Junior, Carlile Campos Lavor Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação Resumo: Como principais contribuições desta tese, apresentamos novos métodos de construção que geram novas famílias de códigos quânticos CSS. As construções são baseadas em códigos cíclicos (clássicos) BCH, Reed-Solomon, Reed-Muller, Resíduos quadráticos e também nos códigos derivados do produto tensorial de dois códigos Reed-Solomon. Os principais códigos quânticos construídos neste trabalho, em termos de parâmetros, são os derivados dos códigos BCH clássicos. Além disso, estudamos as condições necessárias para analisar as situações nas quais os códigos cíclicos quânticos (clássicos) são códigos MDS (do inglês, Maximum- Distance-Separable codes). Apresentamos, também, novas conexões entre a teoria de matróides e a teoria dos códigos quânticos CSS, que acreditamos serem as primeiras conexões entre tais teorias. Mais especificamente, demonstramos que a função enumeradora de pesos de um código quântico CSS é uma avaliação do polinômio de Tutte da soma direta dos matróides originados a partir dos códigos clássicos utilizados na construção CSS. Abstract: This thesis proposes, as the main contributions, constructions method of new families of quantum CSS codes. These constructions are based on classical cyclic codes of the types BCH, Reed-Solomon, Reed-Muller, Quadratic Residue and also are based on product codes of classical Reed-Solomon codes. The main family of quantum codes constructed in this work, i. e., quantum codes having better parameters, are the ones derived from classical BCH codes. Moreover, we present some new conditions in which quantum CSS cyclic codes are quantumMDS codes. In addition, we provide the elements to connect matroid theory and quantum coding theory. More specifically, we show that the weight enumerator of a CSS quantum code is equivalent to evaluating the Tutte polynomial of the direct sum of the matroid associated to the classical codes used in the CSS construction. Doutorado Telecomunicações e Telemática Doutor em Engenharia Elétrica

Orientador: Dessislava Hristova Kouchloukova Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Estudamos os números virtuais racionais de Betti dos grupos metabelianos de tipo FP_2m , seguindo um artigo de Kochloukova e Mokari. Os números virtuais racionais de Betti de um grupo finitamente gerado estudam o crescimento dos números de Betti do grupo como passamos sobre subgrupos de índice finito. O n-ésimo número virtual racional de Betti de um grupo finitamente gerado G é definido por vb_n (G) = sup dim _Q (H n (M, Q)) M ?A_G onde A _G é o conjunto de todos os subgrupos M de indice finito em G. Podemos encontrar exemplos de grupos metabelianos, nos quais alguns números virtuais racionais de Betti são infinitos. O resultado principal é que grupos metabelianos de tipo FP_2n para n ? 2 tem números virtuais racionais de Betti finitos em dimensão ? n. Para provar estes resultados, utilizamos muitos resultados da Teoria de módulos e da Álgebra Homológica. Os principais resultados desta dissertação são concentrados no capítulo 3, os capítulos 1 e 2 tem papel introdutório, com resultados que coletamos alguns resultados da Álgebra Homológica e que são necessários no capitulo 3 Abstract: We study the virtual rational Betti numbers of metabelian groups of type FP_2m, following an article by Kochloukova and Mokari. The virtual rational Betti numbers of a finitely generated group study the growth of the Betti numbers of a group as one passes to subgroups of finite index. The n-th virtual rational Betti number of a finitrly generated group G is defines as vb_n (G) = sup dim_Q (H n (M, Q)) M ?A_G where A G is the set of all subgroups of finite index in G. We can find examples of metabelian groups, where some of their virtual rational Betti numbers are infinite. The main result is that metabelian groups of type FP_2n for n ? 2 have finite virtual rational Betti numbers in dimension ? n. To prove these results we use many from Module Theory and Homological Algebra. The main results of this thesis are concentrated in chapter 3. Chapters 1 and 2 are of introductory nature and we gather some results from homological algebra that are needed in the chapter 3 Mestrado Matemática Mestre em Matemática CAPES

Orientador: Marcelo Muniz Silva Alves Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Neste trabalho abordamos a teoria dos Códigos Corretores de Erros clássica e também os códigos sobre ordens parciais, com algumas comparações entre os dois casos. Enfocamos, particularmente, a definição de Alfabeto, a distância de Hamming, os códigos lineares e a definição de matriz geradora de um código; o estudo dos limitantes de Singleton e de Hamming, além de tratar dos Códigos de Hamming. Em relação aos Códigos em Conjuntos Parcialmente Ordenados, apresentamos a definição de ordens parciais, métricas sobre conjuntos ordenados, contagem dos elementos da "bola", resultados sobre Ideais e o Código de Hamming Estendido; estudamos o caso da ordem cadeia ("chain poset"), analisando os códigos de uma cadeia e os códigos de duas cadeias de mesmo comprimento e, por fim, nos dedicamos ao estudo das "Métricas POSET", que admitem códigos binários perfeitos de codi-mensão m, caracterizando assim os Códigos Posets m-corretores de erros. Nosso objetivo é apresentar um texto, acessível a alunos de graduação, que contemple a teoria básica dos Códigos Corretores de Erros, no entanto, forneça uma noção sobre os códigos sobre ordens parciais. Abstract: In this work, we address the classical theory of error-correcting codes and the theory of codes over poset spaces, also known as poset codes, establishing comparisons between these two cases. In particular, we present the definition of alphabet, the Hamming distance, linear codes and the definition of a generating matrix for a linear code; we also present the Singleton and Hamming bounds, alongside with the Hamming codes. With respect to poset codes, we present the definitions of partial orders and of the poset metric, the counting of the number of elements in a ball in a poset space, some results on ideals in posets and the extended Hamming code; we study the chain poset case, analysing the cases of codes over a chain poset and codes over a union of two chains of the same length and, finally, we study the poset metrics that allow m-perfect binary codes of codimension m, thus characterizing these codes. Our aim is to present a text, accessible for undergraduates, that encompasses the basic theory of error-correcting codes and, nonetheless, also provides some notions on poset codes. Mestrado Teoria dos Erros Mestre em Matemática

Orientadores: Sueli Irene Rodrigues Costa, João Eloir Strapasson Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: O conteúdo desta tese reside na interface entre Matemática Discreta (particularmente reticulados) e Teoria da Informação. Dividimos as contribuições originais do trabalho em quatro capítulos, de modo que os dois primeiros são relativos a resultados teóricos acerca de duas importantes classes de reticulados (os reticulados q-ários e os reticulados projeção), e os dois últimos referem-se a aplicações em codificação contínua fonte-canal. Nos primeiros capítulos, exibimos resultados sobre decodificação de reticulados q-ários e sobre ladrilhamentos associados a códigos corretores de erros perfeitos na norma l_p. No que tange a reticulados projeção, nossas contribuições incluem o estudo de sequências de projeção de um dado reticulado n-dimensional convergindo para qualquer reticulado k-dimensional fixado, k < n, incluindo uma análise de convergência de tais sequências. Esses novos resultados relativos a projeções estendem e aprimoram recentes trabalhos no tema e são elementos de base para as aplicações consideradas no restante da tese. Nos dois últimos capítulos, consideramos o problema de transmitir uma fonte com alfabeto contínuo através de um canal gaussiano no caso em que a dimensão da fonte, k, é menor que a dimensão do canal, n. Para fontes unidimensionais, exibimos códigos baseados em curvas na superfície de toros planares com performance significativamente superior aos propostos anteriormente na literatura no que diz respeito ao erro quadrático médio atingido. Para k > 1, mostramos como aplicar projeções de reticulados para obter códigos cujo erro quadrático médio possui decaimento ótimo com respeito à relação sinal-ruído do canal (chamados de assintoticamente ótimos). Através de técnicas provenientes da bela teoria de dissecção de poliedros, apresentamos as primeiras construções de códigos assintoticamente ótimos para fontes com dimensão maior do que 1 Abstract: The contents of this thesis lie in the interface between Discrete Mathematics (particularly lattices) and Information Theory. The original contributions of this work are organized so that the first two chapters are devoted to theoretical results on q-ary and projection lattices, whereas the last ones are related to the construction of continuous source-channel codes. In the first chapters, we exhibit results on decoding q-ary lattices and on finding tilings associated to perfect error-correcting codes in the l_p norm. Regarding projection lattices, our contributions include the study of sequences of projections of a given n-dimensional lattice converging to any k-dimensional target lattice, as well as a convergence analysis of such sequences. These new results on projections extend and improve recent works on the topic and serve as building blocks for the applications to be developed throughout the last part of the thesis. In the last two chapters, we consider the problem of constructing mappings for the transmission of a continuous alphabet source over a Gaussian channel, when the channel dimension, n, is strictly greater than the source dimension, k. For one-dimensional sources, we exhibit codes based on curves on flat tori with performance significantly superior to the previous proposals in the literature with respect to the mean squared error achieved. For k > 1, we show how to apply projections of lattices to obtain codes whose mean squared error decays optimally with respect to the signal-to-noise ratio of the channel (referred to as asymptotically optimal codes). Through techniques from the rich theory of dissections of polyhedra, we present the first constructions of provenly asymptotically optimal codes for sources with dimension greater than 1 Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada

Orientador: Marcelo Firer Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Motivados por questões relativas a identidades de tipo MacWilliams para códigos posets, mostramos que um tipo específico destas identidades é caracterizada por conjuntos parcialmente ordenados (posets) que satisfazem a propriedade de extensão de ideais, isto é, posets com a propriedade de que ideais isomorfos estão em uma mesma órbita do grupo de automorfismo do poset. Na direção de classificação de tais posets, apresentamos algumas classes de posets que se apresentam como condições suficientes para a propriedade de extensão. Além disso ao se considerar P e Q posets com a propriedade de extensão e * uma operação binária entre posets, investigamos condições necessárias e condições suficientes para que o poset P*Q satisfaça a propriedade de extensão. No caso de posets série-paralelos, é obtida uma classificação dos posets que satisfazem a propriedade de extensão de ideais Abstract: When we take into account MacWilliams type identities for poset codes, natural questions arise about invariants that play the rule of weight enumerators of codes in the poset case, these invariants are linked to isomorphisms of order ideals. This lead us to investigate partially ordered sets (posets) that satisfy the ideal extension property, i.e., posets whose each isomorphism of order ideals extend to automorphism of the poset. In the direction of classification of such posets, we give some suficient conditions, necessary conditions (but not both simultaneously) and we answer the question: let P and Q be two posets having the ideal extension property, and * be a poset operation, is the extension property preserved by P*Q? Furthermore, for the case of series-parallel posets we obtain a full classification for those satisfying the ideal extension property Doutorado Matemática Doutor em Matemática CNPQ 142141/2011-9 CAPES

Orientador: Marcelo Firer Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Considerando uma generalização da métrica de Hamming, a métrica ponderada por uma ordem parcial, fazemos uma descrição sistemática para os espaços com a métrica ponderada, dando ênfase aos códigos poset e à hierarquia de pesos contextualizada nesse novo ambiente. Técnicas de multiconjunto, para códigos ponderados, são utilizadas para estender o Teorema da Dualidade de Wei, uma relação entre as hierarquias do código e do seu dual. Como consequência desta Dualidade estendemos certos resultados sobre a discrepância, códigos MDS e uma relação entre a condição cadeia do código e do seu dual. Abstract: Considering a generalization of the Hamming metric, the metric weighted by a partial order, we make a systematic description of the spaces with those metrics, emphasizing poset codes and the weight hierarchy of weights of those codes. Techniques of multiset, for weighted codes, are used to extend the Duality Theorem of Wei, a relationship between the hierarchy of a code and its dual. As a consequence of Duality we extend some results about the discrepancy, MDS codes and a relationship between a chain code and its dual. Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Orientador: Jose Plinio de Oliveira Santos Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Neste trabalho são estudadas varias das identidades do tipo Rogers-Ramanujan dadas por Slater. Em 1985, Andrews, introduziram um método geral para se estender para duas variáveis identidades desse tipo de modo a se obter, como casos especiais, certas importantes funções de Ramanujan. Santos, em 1991, forneceu conjecturas para varias das famílias de polinômios que surgem nestas extensões tendo provado algumas delas. Sills, em sua tese de doutorado, em 2002, implementou procedimentos que permitem a demonstra¸c¿ao das conjecturas dadas por Santos. No presente trabalho, de forma diferente daquela dada por Andrews, s¿ao introduzidos parâmetros nas somas que aparecem nestas identidades, de modo a se obter, em cada caso, funções geradoras que fornecem interpretações combinatórias para partições onde ¿números¿s¿ao vistos como ¿vetores¿e que fornecem, para especiais valores dos parâmetros, interpretações novas para muitas das identidades de Slater Abstract: In this work many of the identities of the Rogers-Ramanujan type given by Slater are considered. In 1985, Andrews, introduced a general method in other to extend to two variables identities of this type in order to get, as special cases, some important functions of Ramanujan. Santos, in 1991, gave conjectures for many of the family of polynomials that appears in those extensions providing the proofs for some of them. Sills, in his Ph.D. thesis in 2002 ,has implemented procedures allowing the proofs of the conjectures given by Santos. In the present work, in a form different from the one given by Andrews, parameters are introduced in the sums of the identities in such a way to get, in each case, generating functions giving combinatorial interpretations for partitions where ¿numbers¿are represented as ¿vectors¿and that can give, as special cases, combinatorial interpretations for many of the identities given by Slater Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada

Orientador : Sueli Irene Rodrigues Costa Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Códigos esféricos euclidianos com simetrias são órbitas finitas de grupos de matrizes ortogonais. Tais códigos são também conhecidos como códigos de grupo. Neste trabalho, os códigos de grupo comutativo em dimensão par são caracterizados sobre toros planos, subvariedades da esfera. Em particular, se o grupo de matrizes for cíclico, o código gerado está contido em um nó que se enrola em um tora. Se a dimensão for ímpar, todo código de grupo comutativo mora em anti-primas cujas bases estão contidas em dois toros planos. Tal caracterização permitiu a construção de limitantes para a cardinalidade destas constelações de pontos em termos da distância mínima destes códigos e da densidade de empacotamento de um reticulado associado. Utilizando o método de Biglieri e Elia, que procura o vetor inicial cujo respectivo código de grupo cíclico tem a melhor distância mínima, apresentamos também os melhores códigos de grupo cíclico em dimensão quatro até 100 pontos Abstract: Euclidean spherical codes with symmetries are orbits of finite orthogonal matrix groups. These codes are also known as group codes. ln this work, the commutative group codes in even dimensions are viewed on flat tori, which are submanifolds of the sphere. Also, if the matrix group is cyclic, the generated code lies on a knot which wraps around a torus. If the dimension is odd, every commutative group code lies on an anti-prism whose bases are contained in two flat tori. This interpretation lead us to build upper bounds for the cardinality of these constellations involving their minimum distance and the packing density of an associated lattice. Using a method by Biglieri and Elia, which searchs the initial vector for a cyclic group in order to achieve the best minimum distance, we also present the best cyclic group codes in dimension four up to 100 points Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Orientador: Sueli Irene Rodrigues Costa Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: A partir das desigualdades de Hamming e Gilbert-Varshamov obtém-se um limitante superior e um limitante inferior para o número de pontos de um código numa variedade flag geométrica. Isto é feito tomando-se uma estimativa para o volume de bolas geodésicas, que resulta de cálculos envolvendo a curvatura seccional destas variedades. Em particular, são derivados limitantes para empacotamentos de esferas numa variedade de Grassmann complexa. Um limitante superior para a distância mínima também é obtido através da inversa da função que calcula o volume de um chapéu esférico. Esta técnica geométrica também é aplicada no estudo de limitantes para empacotamentos em alguns casos particulares de variedades flag maximais. Através de procedimentos computacionais, tais limitantes são implementados numericamente em alguns exemplos. Uma motivação para este trabalho foi à busca de possíveis extensões de alguns resultados sobre as grassmanianas complexas, cujo interesse na área de comunicações vem de uma interpretação que pode ser feita da transmissão em canais MIMO não coerentes via códigos em tais variedades Abstract: Upper and lower bounds for the number of points of codes in geometric flag manifolds are obtained from Hamming and Gilbert-Varshamov inequalities. This is done by taking an estimate for the volume of geodesic balls, as a result of calculations involving the sectional curvature of such manifolds. As a particular case, sphere packing bounds in complex Grassmann manifolds are derived. An upper bound on the minimum distance is also obtained through the inverse mapping for the volume of spherical caps. This geometric technique is also applied in the study of sphere packing bounds in some particular cases of full-flag manifolds. Such bounds are numerically implemented in some examples. One motivation for this work was the search for possible extensions of some results on complex Grassmann manifolds, which interest in communications comes from a model for the transmition on non-coherent MIMO channels via codes in such manifolds Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada

Orientador: Sueli Irene Rodrigues Costa Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientifica Resumo: O uso de códigos e reticulados em teoria da informação e na "chamada criptografia pós-quântica" vem sendo cada vez mais explorado. Neste trabalho estudamos temas relacionados a estas duas vertentes. A análise de reticulados foi feita via as métricas euclidiana e da soma. Para a métrica euclidiana, estudamos um algoritmo que procura pela treliça mínima de um reticulado com sub-reticulado ortogonal. No caso bidimensional foi possível caracterizar todos os sub-reticulados ortogonais de um reticulado racional qualquer. No estudo de reticulados via métrica da soma, trabalhamos com duas relações entre códigos e reticulados, conhecidas como "Construção A" e "Construção B". Generalizamos a Construção B para uma classe de códigos q-ários... Observação: O resumo, na íntegra, poderá ser visualizado no texto completo da tese digital Abstract: The use of codes and lattices in Information Theory and in the so-called "Post-quantum Cryptography" has been increasingly explored. In this work we have studied topics related to these two aspects. The analysis of lattices was made via Euclidean and sum metrics. For the Euclidean metric we studied an algorithm that searches for a minimum trellis of a lattice with orthogonal sublattice. In the two-dimensional case it has been possible to characterize all orthogonal sublattices of any rational lattice. In the study of lattices via sum metric, we worked with two relations between codes and lattices, the so-called "Construction A " and "Construction B". We generalized Construction B for the class of q-ary codes...Note: The complete abstract is available with the full electronic document Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Muniz Alves Tese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Defesa : Curitiba, 30/04/2021 Inclui referências: p. 219-225 Resumo: O foco desta tese é estudar as álgebras obtidas de produtos semi-diretos definidos por ações globais e parciais, os quais chamamos de expansões. Em particular, estamos interessados em duas familias de álgebras de convolução sobre estas expansões: as álgebras parciais e as álgebras globais. Após a revisão dos aspectos teóricos básicos, desenvolvemos em quatro capítulos a metodologia que chamamos de Bernoulli. Esta consiste em definir uma acão global e uma acão parcial de uma estrutura ágebrica em um conjunto parcialmente ordenado, uma expansão derivada de cada ação e condições que implicam nas álgebras de convolução dessas expansões serem Morita equivalentes. O trabalho aplica esta abordagem com as seguinte estruturas algébricas: grupos, semigrupos inversos, grupoides ordenados e categorias inversas. Além disso desenvolvemos uma fórmula para álgebra global de um grupo e uma forma de estudar representações de categorias inversas utiliando extensões de Kan. A tese apresenta uma nova forma de interpretar expansões já conhecidas na literatura (o semigrupo universal de Exel ou a expansão de Birget-Rhodes de um grupo, a expansão do préfixo de um semigrupo inverso e a expansao de Birget-Rhodes de um grupoide ordenado) através de produtos semi-diretos das ações parciais de Bernoulli e apresentamos a versão global de cada expansão. Destacamos tambem as seguintes contribuições: a definição de ações parcias (fibradas) de categorias inversas em conjuntos parcialmente ordenados, a definição do produto semi-direto de uma categoria inversa, uma noção de enlargements para categorias inversas e as álgebras global e parcial de uma categoria inversa. Abstract: The focus of this thesis is to develop a study of the algebras of the semidirect product defined by global and partial actions, which we call expansions. In particular, we are interested in two families of convolution algebras: the partial algebras and the global algebras. After a review of the theoretical aspects, we develop through four chapters the methodology called the Bernoulli approach. This methodology is developed in the following way: to define a global and a partial action of an algebraic structure on a partially ordered set, then we define the semidirect product derived from each action, finally, we study the conditions which will imply that the convolution algebras of such expansions are Morita equivalent. This thesis applies the previous methodology to the following algebraic structures: groups, inverse semigroups, ordered groupoids, and inverse categories. We also present a formula to compute the global algebra and we study the representation of inverse categories using Kan extensions. The thesis presents a new way to interpret expansions already known in the literature (the Exel universal inverse semigroup, or the Birget-Rhodes expansion of a group, the prefix expansion of an inverse semigroup, and the Birget-Rhodes expansion of an ordered groupoid) through semidirect product from Bernoulli partial actions and the global version of each expansion. We also highlight the following contributions: the definitions of (fibred) partial actions of inverse categories, the definition of the semidirect product of an inverse category, a notion of enlargement of an inverse category, and the global and partial algebras of an inverse category.

Orientador: Dessislava Hristova Kochloukova Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho estudamos os resultados de M. Kassabov e T. Riley em [7], onde se prova que o grupo de Baumslag tem função de Dehn exponencial, em contraste com o que ocorre com seu análogo em que uma relação de torção é acrescentada, o qual satisfaz uma desigualdade isoperimétrica polinomial. Apresentamos alguns preliminares sobre teoria de grupos e módulos, além de estudar com detalhe a construção de grupos livres e o conceito de apresentação de um grupo. Abstract: In this work we study the results of M. Kassabov and T. Riley in [7], where they prove that Baumslag group has an exponential Dehn function, in contrast to its analog when a torsion relation is added, which satisfies a polynomial isoperimetric inequality. We present some basic concepts of group theory and modules. Additionally we study the contruction of free groups and the concept of presentation of a group in detail. Mestrado Matemática Mestre em Matemática CNPQ 132324/2019-9

Orientador: Marcelo Firer Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Esta tese estuda as métricas definidas por peso e respeitam o suporte dos vetores (TS-métricas) no contexto de teoria de códigos. Sua principal preocupação, considerando famílias específicas de métricas, é explorar e entender alguns resultados "estruturais" das métricas, a saber: descrever o grupo de isometrias lineares e, estabelecer condições para a validade da Identidade MacWilliams (uma relação entre a distribuição de peso de um código e a distribuição de peso - possivelmente de um peso modificado - do código dual) e da propriedade de extensão MacWilliams (quando isometrias lineares entre códigos lineares podem ser estendidas para isometrias lineares em todo o espaço). Esses resultados são os primeiros explorados para a família das métricas combinatoriais de Gabidulin e para uma nova família dessas métricas, as métricas de posets-bloco-rotulados. Além disso, é apresentada uma abordagem sistemática ao espaço de todas as TS-métricas, primeiro rotulando as arestas do cubo de Hamming. Em seguida, introduzimos um operador condicional nas TS-métricas, o que permite mostrar que qualquer TS-métrica pode ser obtida por uma sequência de somas condicionais de poset ou métricas combinatórias. Além deste estudo sistemático de TS-métricas, apresentamos alguns resultados relevantes em relação à representação de dígrafos Abstract: This thesis studies metrics determined by weight that are compatible with support of vectors (TS-metrics) in the context of coding theory. Its main concern, considering specific families of metrics, is to explore and understand some ''structural'' results of the metrics, namely: to describe the group of linear isometries and to establish conditions for the validity of the MacWilliams Identity (a relation between the weight distribution of a code and the weight distribution - possibly of a modified weight - of the dual code) and the MacWilliams extension property (when linear isometries between linear codes can be extended to linear isometries on the whole space).These results are first explored for the family of Gabidulin¿s comibinatorial metrics and for a new family of such metrics, the labeled-poset-block metrics. In addition, it is introduce a systematic approach to the space of all TS-metrics, first by labeling the edges of the Hamming cube. Then, we introduce a conditional operator on TS-metrics, which allows to show that any TS-metrics can be obtained, by a sequence of conditional sums of poset or combinatorial metrics. Besides this systematic study of TS-metrics, we present some relevant results concerning representation of digraphs Doutorado Matemática Doutor em Matemática FAPESP 2015/11286-8 CAPES

Orientador: Dessislava Hristova Kochloukova Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Seja L uma álgebra de Lie restrita definida sobre um corpo perfeito de característica p > 0. Vamos denotar mediante L= A lâmbida Q o fato que L é extensão cindida das álgebras de Lie restritas A e Q (i.e., existe uma sequência exata cindida 0 - A - L - Q - 0 ). No caso, que as álgebras A e Q sejam abelianas a álgebra L é dita metabeliana. Nesta tese, estudamos as condições necessárias e suficientes para uma álgebra de Lie restrita metabeliana e finitamente gerada L =A lâmbida Q seja de tipo homológico FP2. Abstract: Let L be a restricted Lie algebra over a perfect field of characteristic p>0. Let us denote by L= A lâmbida Q the fact that L is a split extension of the restricted Lie algebras A and Q (i.e., there is a split exact sequence 0 - A - L - Q - 0). In the case when the algebras A and Q are abelian, the algebra L is called metabelian. In this thesis, we study the necessary and sufficient conditions for a finitely generated metabelian restricted Lie algebra L= A lâmbida Q to be of homological type FP2. Doutorado Matemática Doutora em Matemática CAPES 001 CNPQ 143106/2018-0

Orientador: Dessislava Hristova Kochloukova Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Consideramos problemas nas teorias de grupos discretos, álgebras de Lie e grupos pro-p. Apresentamos resultados relacionados sobretudo a propriedades homológicas de finitude de tais estruturas algébricas. Primeiramente, discutimos Sigma-invariantes de produtos entrelaçados de grupos discretos. Descrevemos completamente o invariante Sigma1, relacionado à herança por subgrupos da propriedade de ser finitamente gerado, e descrevemos parcialmente o invariante Sigma2, relacionado à herança por subgrupos da propriedade de admitir uma apresentação finita. Aplicamos tais resultados ao estudo de números de Reidemeister de isomorfismos de certos produtos entrelaçados. Na sequência definimos e estudamos uma versão da construção de comutatividade fraca de Sidki na categoria de álgebras de Lie sobre um corpo de característica diferente de dois. Tal construção pode ser vista como um funtor que recebe uma álgebra de Lie g e retorna um certo quociente chi(g) da soma livre de duas cópias isomorfas de g. Demonstramos resultados sobre a preservação de certas propriedades algébricas por tal funtor e mostramos que o multiplicador de Schur de g é um subquociente de chi(g). Mostramos em particular que, para uma álgebra de Lie livre g de posto ao menos três, chi(g) é finitamente apresentável mas não é de tipo FP3 , e tem dimensão cohomológica infinita. Por fim, consideramos também uma versão da construção de comutatividade fraca na categoria de grupos pro-p para um número primo fixado p. Mostramos que tal construção também preserva diversas propriedades algébricas, como ocorre nos casos de grupos discretos e álgebras de Lie. Para tanto estudamos também produtos subdiretos de grupos pro-p; em particular demonstramos uma versão do Teorema (n ? 1) ? n ? (n + 1) Abstract: We consider problems in the theories of discrete groups, Lie algebras, and pro-p groups. We present results related mainly to homological finiteness properties of such algebraic structures. First, we discuss Sigma-invariants of wreath products of discrete groups. We give a complete description of the Sigma1-invariant, which is related to the inheritance of the property of being finitely generated by subgroups. We also describe partially the invariant Sigma2, which is related to the inheritance of finite presentability by subgroups. We apply such results in the study of Reidemeister numbers of isomorphisms of certain wreath products. Then we define and study a version of Sidki¿s weak commutativity construction in the category of Lie algebras over a field whose characteristic is not two. Such construction can be seen as a functor that receives a Lie algebra g and returns a certain quotient chi(g) of the free sum of two isomorphic copies of g. We prove some results on the preservation of certain algebraic properties by this functor, and we show that the Schur multiplier of g is a subquotient of chi(g). We show in particular that, for a free Lie algebra g with at least three free generators, chi(g) is finitely presentable but not of type FP3 , and has infinite cohomological dimension. Finally, we also consider a version of the weak commutativity construction in the category of pro-p groups for a fixed prime number p. We show that such construction also preserves several algebraic properties, as occurs in the cases of discrete groups and Lie algebras. To this end, we also study subdirect products of pro-p groups. In particular we prove a version of the (n ? 1) ? n ? (n + 1) Theorem Doutorado Matemática Doutor em Matemática FAPESP 2015/22064-6; 2016/24778-9

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) A Aritmética Modular possui inúmeras aplicações na educação básica. E para isso faz-se necessário o entendimento dos conceitos básicos da Aritmética Modular. Este trabalho tem como objetivo aplicar de forma lúdica o conteúdo desta teoria nos Chryzodes, no quebra-cabeça de boliche módulo 6 e módulo 10, no jogo de dardos, entre outros. Com essas aplicações procuramos mostrar uma maneira diferente de trabalhar a Aritmética Modular em sala de aula, maneira esta que irá proporcionar ao educando participar de forma mais atrativa das aulas. Acreditamos que tais aplicações deveriam ser abordadas na educação básica, visto sua importância e sua aplicabilidade no cotidiano como podemos perceber neste trabalho e em muitos outros. Modular arithmetic has numerous applications in basic education. For that, it is necessary to understand the basic concepts of Modular Arithmetic. The aim of this work is to playfully apply the content of this theory in Chryzodes, the module 6 and module 10 bowling pin puzzle, darts game, among others. With these applications we seek to show a different way of working Modular Arithmetic in the classroom, which will provide the student with an attractive way to participate in classes. We belive that such applications should be addressed in basic education, given their importance and applicability in daily life as we can see in this work and many others.

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Muniz Silva Alves (UFPR Brasil) Coorientador: Prof. Dr. Alexander Barg (University of Maryland-EUA) Tese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Defesa : Curitiba, 16/08/2019 Inclui referências: p. 105-111 Resumo: Esta tese aborda dois aspectos distintos da Teoria de Codigos: o estudo de codigos lineares sobre metricas diferentes da metrica de Hamming e o estudo da decodificacao de codigos de Reed-Solomon. Na primeira parte desta tese, desenvolve-se a teoria de codigos lineares na metrica de Niederreiter- Rosenbloom-Tsfasman (p-metrica); tais codigos sao chamados de codigos NRT. Desenvolve-se a teoria de polinomios invariantes com o objetivo de estudar o enumerador de shape de codigos NRT auto-duais. Por fim, apresenta-se novas construcoes de codigos NRT auto-duais. Em um segundo momento, estuda-se a família de codigos Reed-Solomon (RS) e codigos Reed-Solomon intercalados (IRS), assim como um metodo para decodificacao colaborativa. Apresenta-se o conceito de decodificacao fracionada e seus principais resultados, em especial um limitante superior para o a-raio de decodificacao. Um novo metodo de decodificacao fracionada para uma classe de codigos de Reed-Solomon e apresentado. Este metodo e capaz de realizar (com alta probabilidade) decodificacao fracionada alem do a-raio de decodificacao. Por fim, uma conexao entre decodificacao fracionada e codigos na p-metrica e apresentada. Palavras-chave: Enumerador de shape. Codigos auto-duais. p-metrica. Codigos de Reed-Solomon. Decodificacao fracionada. Abstract: This dissertation aims to study two distinct aspects of coding theory: a study of linear codes endowed with non-Hamming metrics and a study of decoding of Reed-Solomon codes. In the first part, the theory of linear codes in the Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman metric (p-metric) is developed. Such codes are called the NRT codes. In order to study the shape enumerator of self-dual NRT codes, we extended the classic results of invariant theory to the case of the NRT metric. Finally, new constructions of self-dual NRT codes are presented. In the second part, we study Reed-Solomon (RS) codes and interleaved Reed- Solomon (IRS) codes and their collaborative decoding. We present the concept of fractional decoding and main results related to it, including an upper bound on the a-decoding radius. We present a new method of fractional decoding of RS codes. This method can with high probability correct errors beyond the adecoding radius of the codes. Finally, we present a connection between fractional decoding and codes endowed with the p-metric. Keywords: Shape enumerator. Self-dual codes. p-metric. Reed-Solomon codes. Fractional decoding.

Submitted by Eunice Novais (enovais@uepg.br) on 2018-09-03T20:15:34Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) Pedro J Miranda.pdf: 2542145 bytes, checksum: bb9638f5d6706faee0cb0ad113f1d1de (MD5) Made available in DSpace on 2018-09-03T20:15:34Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) Pedro J Miranda.pdf: 2542145 bytes, checksum: bb9638f5d6706faee0cb0ad113f1d1de (MD5) Previous issue date: 2018-08-02 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Esta tese tem por principal objetivo formalizar e modelar a emergência e a Lei de Proporcionalidade Intrínseca (LPI). Ambos os conceitos são trabalhados e precisados metafisicamente e, então, matematizados. Tal formalização matemática é realizada por meio da Teoria de Categorias utilizando constructos, functores underlying e a categoria dos conjuntos. A Lei de Proporcionalidade Intrínseca é o conjunto das operações internas e suas propriedades que estão nos objetos de um constructo que compõe uma emergência. A aplicação direta desse resultado ocorre em sistemas biológicos concebidos como todos substanciais vivos. A decomposição de um sistema biológico de diversos modos suscita uma aplicação deste modelo: como é possível que diferentes decomposições de um mesmo sistema gerem categorias com propriedades tão diferentes? Esse fenômeno é modelado e explicado pela aplicação direta da emergência e da LPI. Essa aplicação é mediada por meio de Biologia Relacional concebida pelo biólogo matemático Robert Rosen. Além disso, construímos neste trabalho uma Teoria de Nocautes e a aplicamos em um estudo de caso ecológico. This thesis has as main aim the formalization and the modeling of the emergence and of the Intrinsic Proportionality Law (IPL). Both concepts are initially worked and metaphysically specified for then, in a second moment, be turned into a mathematical concept. Such mathematical formalization is made by means of Category Theory, utilizing constructs, underlying functors and the category of sets. The Intrinsic Proportionality Law is a set of operations and its properties that are within objects of a construct that composes an emergence. The direct application of this result is made on biological systems conceived as living substantial wholes. The decomposition of such a system, by several ways, evokes an application: how is it possible that different decompositions of the same system generate categories with different properties? This phenomenon is modeled and explained by the direct application of emergence and IPL. Such application is mediated by means of Relational Biology, which was conceived by the mathematical biologist Robert Rosen. Additionally, we also built in this work a Knockout Theory and applied it in an ecological study case.

Orientador : Prof. Dr. Marcelo Muniz Silva Alves Tese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciencias Exatas, Programa de Pós Graduação em Matemática. Defesa : Curitiba, 26/02/2018 Inclui referências Resumo : Sejam K um corpo, A uma K-álgebra unitária e H uma K-álgebra de Hopf. Neste trabalho estenderemos, para o contexto de álgebras com unidades locais, os Teoremas de Dualidade de Blattner-Montgomery para produtos cruzados de A por H, quando a dimensão de H é finita, e para produtos smash de A por H, quando H tem dimensão infinita. Em outra parte abordamos álgebra de multiplicadores M (A) de uma álgebra A. Dependendo de como se comporta o produto de A, M (A) será extensão maximal de A dentre aquelas que a contém como ideal essencial. No caso em que A é álgebra com unidades locais e que H age sobre A mediante algumas condições, nos é possível incluir o produto smash de M (A) por H na álgebra de multiplicadores do produto smash de A por H. Além disso, conseguimos explicitar condições sob as quais estas álgebras são isomorfas. Palavras-chave: Álgebras com unidades locais; Álgebras de Multiplicadores; Produto Cruzado; Produto Smash; Dualidade. Abstract : Let be K be a field, A be a unital K-algebra and H be a Hopf K-algebra. In this work we will extend, in the context of algebras with local units, the Duality Theorems of Blattner-Montgomery for crossed products of A by H, when H is afinite-dimensional Hopf algebra, and for smash products of A by H, when H has infinite dimension. In another part we address the algebra of multipliers M(A) of an algebra A. Depending on how the product of A behaves, M(A) will be an extension of A which is maximal among those which contain A as an essential ideal. In the case where A is an algebra with local units and that H acts on A complying with some conditions, we can embed the smash product of M(A) by H in the algebra of multipliers of the smash product of A by H. Moreover, we determine conditions under which these algebras are isomorphic. Keywords: Algebra with locals units; Algebra of Multipliers; Crossed Product; Smash Product; Duality.

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Muniz Silva Alves Tese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Defesa : Curitiba, 27/02/2018 Inclui referências: p.79-80 Resumo: Em seu artigo intitulado "Hopf Galois Extensions, Smash Products, and Morita Equivalence" , Cohen-Fischman-Montgomery consideram uma algebra de Hopf H de dimensao finita, uma H-modulo algebra a esquerda A com unidade e a H-extensao de A sobre sua subalgebra de invariantes. Neste artigo e apresentado o Teorema que reune resultados de varios autores, estabelecendo quatro condicoes envolvendo o produto smash de A por H, a subalgebra de invariantes de A e um contexto de Morita entre estas duas algebras que sao equivalentes a H-extensao mencionada ser Hopf-Galois. Em nosso trabalho, estendemos o Teorema de Cohen-Fischman-Montgomery para H-modulo algebras a esquerda com unidades locais, considerando H novamente uma algebra de Hopf de dimensao finita, mostrando onde a unidade e necessaria nas demonstracaes originais e quais adaptacoes precisam ser feitas para compensar a ausencia da unidade. Procuramos manter o minimo de hipoteses para cada resultado parcial, partindo de aalgebras sem unidades, precisando utilizar aalgebras com unidades locais apenas na reuniaao dos resultados no teorema final. Palavras-chave: extensoes Hopf-Galois, produto smash, aneis com unidades locais, modulos si-unitarios, base dual, modulos localmente projetivos, contexto de Morita, aneis sem unidade, maodulos unitaarios. Abstract: In their article entitled "Hopf Galois Extensions, Smash Products and Morita Equivalence" , Cohen-Fischman-Montgomery consider a finite-dimensional Hopf algebra H, a left H-module algebra A with unit and the H-extension of A over its subalgebra of invariants. This article presents the Theorem that brings together results from several authors, establishing four conditions involving the smash product of A by H, the subalgebra of invariants of A and a Morita context between these two algebras which are all equivalent to the condition that the mentioned H-extension is a Hopf-Galois extension. In our work, we extend the Cohen-Fischman-Montgomery Theorem to left H-module algebras with local units, considering again a finite-dimensional Hopf algebra H, showing where the unit is needed in the original proofs and which adaptations must be made in order to compensate for the lack of the unit. We seek to keep the minimum amount of hypothesis needed on each partial result, starting from non-unital algebras, using algebras with local units only when we brought together the results on the final theorem. Key-words: Hopf-Galois extensions, smash product, rings with local units, si-unital modules, dual basis, locally projective modules, Morita context, non-unital rings, unital modules.

Orientador: Sueli Irene Rodrigues Costa Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho estudamos a aplicação de reticulados algébricos a diferentes contextos. Ao todo, quatro objetivos norteiam esta tese. O primeiro objetivo consiste na construção de reticulados com boa densidade de centro via submódulos de anéis de inteiros de corpos de números algébricos. Nesse contexto, concluímos a construção algébrica do reticulado $D_n$, para qualquer $n$, e estudamos a sua distância produto mínima, bem como a de $\mathbb{Z}^n$. Além disso, calculamos a expressão da forma traço associada a corpos de números abelianos de grau primo ímpar ramificado, a qual está relacionada à densidade de centro de reticulados algébricos obtidos via o mergulho de Minkowski. O segundo objetivo se trata da análise de situações em que reticulados algébricos são bem arredondados. Provamos que em cada dimensão prima ímpar existem infinitos reticulados algébricos não equivalentes entre si que são bem arredondados. O terceiro objetivo é apresentar a aplicabilidade e a atualidade dos reticulados algébricos no contexto da criptografia pós-quântica. Além de resumir os avanços recentes da criptografia via reticulados, propomos a utilização de reticulados algébricos obtidos via o mergulho torcido a este contexto e provamos que a dificuldade de quebra da segurança do sistema proposto está associada à dificuldade de solucionar o problema anel-LWE. Por fim, o quarto objetivo trata do estudo dos reticulados logarítmicos, com especial destaque ao raio de cobertura através das unidades de qualquer corpo ciclotômico. Calculamos uma cota superior para o raio de cobertura de reticulados logarítmicos construídos através desses corpos. Nas abordagens dentro dos quatro propósitos acima fica ressaltado que ferramentas algébricas vêm contribuindo de forma eficaz para a produção de reticulados aplicáveis a diversos contextos em teoria de códigos e criptografia Abstract: In this work we study applications of algebraic lattices in different contexts. Four goals guide this PhD thesis. The first goal is the construction of lattices with great center density via submodules of the ring of integers of algebraic number fields. In this approach, we obtain the algebraic construction of the lattice $D_n$, for all $n$, and study its minimum product distance, as well as of the lattice $\mathbb{Z}^n$. Besides, we calculate the expression of the trace form associated with abelian number fields of ramified odd prime degree, which is related to the center density of algebraic lattices obtained via the Minkowski embedding. The second goal is the analysis of cases which provide well rounded algebraic lattices. We prove that for each odd prime dimension there exist infinitely many non-equivalent algebraic lattices which are well rounded. The third goal is to present the application of algebraic lattices in the context of the so called post-quantum cryptography. We resume recent advances of lattice cryptography, propose the use of algebraic lattices coming from twisted embedding in this context and prove that the hardness of broking the security of the proposed system is related to the hardness to solve the ring-LWE problem. The fourth goal is the study of logarithmic lattices, specially the analysis of the covering radius of those obtained from units of cyclotomic number fields. We calculate an upper bound of the covering radius of the logarithmic lattices constructed from these fields. In the four objectives described above it is stressed that algebraic tools have good contributions to produce lattices used in coding theory and cryptography Doutorado Matemática Doutor em Matemática CAPES

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Muniz Silva Alves Tese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Defesa : Curitiba, 21/08/2018 Inclui referências: p.105-106 Resumo: Neste trabalho buscamos uma boa definição para (co)ações parciais de álgebras de Hopf em álgebras sem unidade, de forma a obter resultados análogos ao caso clássico, onde as álgebras são unitárias, como por exemplo a existência de uma globalização e de um contexto Morita, o estudo dos invariantes parciais e a teoria de Hopf-Galois parcial. Palavras-chave: Álgebras de Hopf, ações parciais, coações parciais, representações parciais, globalização equivalência de Morita, par combinado de Álgebras de Hopf. Abstract: In this work we looked for a good definition for partial (co)actions of a Hopf algebra on an algebra without unity, in such way that we obtain results analogous to the classical case, where the algebras are unital, as for example the existence of a globalization and of a Morita context, the study of the partial invariants and the partial Hopf-Galois theory. Keywords: Hopf algebras, partial actions, partial coactions, partial representations, globalization, Morita equivalence, matched pair of Hopf algebras.

Orientador: Prof. Dr. Eduardo Brandani da Silva Tese (doutorado em Matemática)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Concentração: Matemática Aplicada, 2018 90 Resumo: Desde que foi proposto por A. Terras em [13], o Semi-Plano Superior Finito só foi utilizado em um trabalho, [35], como ambiente para gerar códigos corretores de erros. Neste trabalho, analisamos algumas propriedades do modelo proposto por Terras para então gerar duas classes de códigos corretores de erros: a primeira baseada no trabalho de Tiu e Wallace [35], sendo lineares e binários e a segunda utilizando as propriedades geométricas do ambiente proposto por A. Terras, gerando códigos não lineares e não binários sobre o Semi-Plano Superior Finito. Abstract: Since it was proposed by A. Terras in [13] , the finite upper half plane was used only once, [35], as an environment in order to generate error correcting codes. In the present work, we analize some properties of the model proposed by Terras to generate then two classes of error correcting codes, the first one based in the work of Tiu and Wallace [35], being linear and binary and the second one using the geometric properties of the environment proposed by A. Terras, generating non linear and non binary codes over Finite Upper Half Planes.

Orientador: Marcelo Firer Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Abordamos os canais de comunicação a partir de um ponto de vista geométrico. Mostramos que a decodificação por máxima verossimilhança e a decodificação por mínima distância são um caso particular de uma forma mais geral de decodificação que pode ser definida para qualquer matriz. Com base nisso, definimos uma equivalência de decodificação e mostramos que ela divide o espaço de matrizes em classes de equivalência que são regiões generalizadas de um arranjo de hiperplanos bem conhecido. Em seguida, definimos uma distância entre essas regiões que mede a probabilidade de um código aleatório ser decodificado incorretamente. Mostramos que esta distância é uma versão ponderada da distância de Kendall tau. Com isso, obtemos uma distância entre canais. Se para um canal existe uma métrica de modo que os decodificadores por máxima verossimilhança e mínima distância coincidem, o canal é metrizavel. Damos caracterizações para um canal ser metrizavel e apresentamos um algoritmo que constrói uma métrica nesse caso. Mostramos também que qualquer métrica, a menos de uma equivalência de decodificação, pode ser mergulhada isometricamente no hipercubo com a métrica de Hamming e, portanto, em termos de decodificação, a métrica de Hamming é universal. Apresentamos um algoritmo que, para qualquer métrica invariante por translação, dá um limite superior na dimensão mínima de tal mergulho. Encontramos também limitantes inferiores e superiores para essa dimensão. No apêndice, apresentamos uma contribuição teórica feita a um trabalho de navegação de mapas Abstract: We approach communication channels from a geometrical viewpoint. We show that maximum likelihood decoding and minimum distance decoding are a particular case of a more general form of decoding which can be defined for any matrix. Based on this we define a decoding equivalence and show that it partitions the space of matrices into equivalence classes which are generalized regions of a well known hyperplane arrangement: the braid arrangement. We then define a distance between these regions which measures the probability of a random code being decoded incorrectly. It is shown that this distance is a weighted variation of the Kendall tau distance. With this, we obtain a distance between channels. If for a channel there exists a metric such that the maximum likelihood and minimum distance decoders coincide, the channel is metrizable. We give characterizations for a channel to be metrizable and present an algorithm which constructs a metric in such a case. We also show that any metric, up to decoding equivalence, can be isometrically embedded into the hypercube with the Hamming metric, and thus, in terms of decoding, the Hamming metric is universal. We then present an algorithm which for any translation invariant metric gives an upper bound on the minimum dimension of such an embedding. We also give lower and upper bounds for this embedding dimension over the set of all such metrics. In the appendix we present the theoretical contribution made to a work on multi-scale navigation Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada CAPES

Orientador: João Eloir Strapasson Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Na área de Geometria da Informação, ferramentas de geometria diferencial são utilizadas no estudo de modelos estatísticos. Num trabalho pioneiro em 1945, C. Rao introduziu uma métrica Riemanniana, dada pela matriz de informação de Fisher, no espaço composto por distribuições de probabilidade parametrizadas. Através dessa métrica, a distância entre as distribuições (chamada de distância de Fisher-Rao), geodésicas, curvaturas e outras propriedades do espaço são analisadas. Abordamos neste trabalho a distância de Fisher-Rao na variedade composta por distribuições normais multivariadas. Descrevemos a distância de Fisher-Rao e as curvas geodésicas em algumas subvariedades e apresentamos alguns limitantes para esta distância no caso geral. Além disso, utilizamos a distância de Fisher-Rao como medida de dissimilaridade em dois algoritmos de agrupamento de dados (algoritmos k-médias e agrupamento hierárquico). Por fim, apresentamos algumas aplicações desses algoritmos de agrupamentos na área de segmentação de imagens Abstract: In the Information Geometry area, geometry differential tools are used to study statistical models. In a pioneer work in 1945, C. Rao introduced a Riemannian metric given by the Fisher information matrix, on the space composed by parametrized probability distributions. Through this metric, a distance between the distributions (called the Fisher-Rao distance), geodesics, curvatures and other space properties are analyzed. In this work, we approach the Fisher-Rao distance in the multivariate normal distributions manifold. We describe the Fisher-Rao distance and the geodesic curves in some submanifolds and we present some bounds for the Fisher-Rao distance in general case. Furthermore, we use the Fisher-Rao distance as a dissimilarity measure in two clustering algorithms (the k-means and the hierarchical clustering algorithms). Some applications of these clustering algorithms in the image segmentation are presented Doutorado Matemática Aplicada Doutora em Matemática Aplicada CNPQ 140364/2015-3 CAPES

Orientadores: Cristiano Torezzan, Sueli Irene Rodrigues Costa Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho são apresentados novos métodos para a construção de códigos esféricos em camadas de toros. Mostra-se que, para alguns valores de dimensão e de distância mínima, os códigos propostos nesta tese têm complexidade de construção linear e taxas binárias acima dos melhores limitantes inferiores conhecidos para códigos esféricos construtíveis em tempo polinomial. Além da construção, investiga-se também o desempenho dos códigos propostos do ponto de vista de confiabilidade e sigilo. Para tanto, foram realizadas simulações computacionais de transmissão de mensagens sob canais grampeados do tipo gaussiano e com desvanecimento do tipo Rayleigh. Para cada um desses canais avaliou-se a complexidade de construção e de decodificação dos códigos propostos e estabeleceram-se relações entre a estrutura geométrica dos códigos e as probabilidades de confiabilidade e sigilo. Os resultados das simulações computacionais mostram que pequenas degradações nos canais implicam no aumento muito significativo na probabilidade de erro de decodificação. Isto permite que usuários legítimos se comuniquem com altas taxas de confiabilidade e sigilo, enquanto usuários ilegítimos, afetados por degradações mais severas nos canais, tenham altas probabilidades de erros na decodificação, mesmo utilizando os mesmos protocolos de codificação e de decodificação Abstract: In this thesis we present new methods for construction of spherical codes in layers of flat tori. It is shown that, for some values of minimum distance and dimensions, the codes proposed here can be constructed with linear complexity and have binary rates greater than the best known lower bounds. Besides the construction, we also investigate the performance of our codes for reliability and secrecy, based on computational simulations of signal transmission over Gaussian and Rayleigh fading wiretap channels. For each case, we investigated the computational complexity for construction and decoding and also studied the relations between geometric structure of the codes and reliability and secrecy. The simulations results show that small degradations in the channels lead to significantly increase the probability of error decoding. It allows for legitimate users to communicate with high reliability and secrecy rates, while illegitimate users, affected by more severe degradations in the channels, have high probabilities of errors even using the same protocols of encoding and decoding Doutorado Matemática Aplicada Doutora em Matemática Aplicada CNPQ 142734/2010-1, 246854/2012-0

Orientador : Prof. Dr. Marcelo Muniz Silva Alves Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Defesa: Curitiba, 29/02/2016 Inclui referências : f. 93-94 Área de concentração Resumo: Sendo G um grupo e K um anel, abordaremos o conceito de álgebra parcial do grupo G, denotada por Kpar (G), que e a K-algebra associada as representações parciais de G sobre K e e uma ferramenta bastante fina para dizer quando dois grupos nao sao isomorfos. Mostraremos uma construcao de Kpar (G) por meio de um grupoide denotado por r(G) e faremos detalhadamente a construcao das componentes conexas de r(S3), a fim de calcularmos Kpar(S3). Tambem apre-sentaremos o calculo das algebras parciais Cpar(S3), Cpar(Zp x Zp) e Cpar(Zp2). Para compreender melhor este assunto, apresentaremos o Semigrupo de Exel S(G), que e um monoide inverso cujas acoes em um conjunto X estao em cor- respondencia biunívoca com acoes parciais de G em X. Alem do mais, temos que a algebra de semigrupo KS(G), que e semissimples, e isomorfa a Kpar (G). Palavras-chave: Algebra parcial de grupo; Semigrupo inverso; Acao parcial de grupo. Abstract: Let G be a group and K be a ring. In this work we study the partial group algebra of G, denoted by Kpar (G), which is the algebra associated to partial representations of G over K and is a refined tool to tell when two groups are not isomorphic. We present a construction of Kpar (G) by means of a groupoid denoted by r(G). We present in detail the description of Kpar (S3) via construction of the connected components of the groupoid r(S3). We also present the calculation of the partial group algebras Cpar (S3), Cpar (Zp x Zp) and Cpar (Zp2). In order to better understand this issue, we present the Exel Semigroup S(G), which is an inverse monoid whose actions in a set X are in one-one correspondence with partial actions of G in X. Moreover, the algebra semigroup KS (G) (that is semisimple) is isomorphic to Kpar (G). Keywords: Partial group algebra; Inverse semigroup; Partial group actions.

Orientadores : Prof. Dr. Marcelo Muniz Silva Alves Coorientador: Prof. Dr. Joost Vercruyse Tese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Defesa: Curitiba, 19/02/2016 Inclui referências : f. 62-63 Resumo: Neste trabalho consideramos ações e co-ações de álgebras de Hopf em álgebras com unidades locais e estendemos a caracterização de extensões H-fendidas de álgebras unitárias como produtos cruzados para este caso. Este resultado é obtido por meio de colimites em categorias. Esta ferramenta também nos permite estender, com algumas restrições, o teorema de Doi e Takeuchi sobre a caracterização de extensões de Galois com a propriedade da base normal. No entanto, o fato da extensão AcoH ' A ser H-Galois não implica que as extensões das subálgebras unitárias de A sejam H-Galois. Neste sentido, estendemos o conceito de conexões fortes para H-comódulo álgebras com unidades locais e mostramos que se A possui conexão forte, então a condição de Galois em A transmite esta mesma condição às suas partes unitárias. Abstract: In this work we consider actions and co-actions of Hopf algebras on algebras with local units and we extend the characterization of H-cleft extensions of unital algebras as crossed products in this case. This result is obtained using colimits in categories. This tool also allows us to extend, with some restrictions, the Doi and Takeuchi theorem about the characterization of Galois extensions with the normal basis property. However, if the extension AcoH ' A is H-Galois it doesn't imply that the extensions of the unital subalgebras are H-Galois. In this sense we extend the concept of strong connections to H-comodule algebras with local units and we show that if A has strong connection, then the Galois condition in A transmits the same condition to its unital parts.

Orientadores: Sueli Irene Rodrigues Costa, Daniel Nelson Panario Rodriguez Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: O conteúdo desta tese insere-se dentro de duas áreas de pesquisa muito ativas: a teoria de códigos corretores de erros e sistemas dinâmicos sobre corpos finitos. Para abordar problemas em ambos os tópicos introduzimos um tipo de sequência finita que chamamos v-séries. No conjunto destas definimos uma métrica que induz uma estrutura de poset usada no estudo das possíveis estruturas de grupo abeliano representadas por códigos perfeitos na métrica de Chebyshev. Por outro lado, cada v-série é associada a uma árvore com raiz, a qual terá um papel importante em resultados relacionados à estrutura dinâmica de iterações de funções de Rédei. Na teoria de códigos corretores de erros, estudamos códigos perfeitos na métrica de Lee e na métrica de Chebyshev (correspondentes à métrica lp para p=1 e p=infinito respetivamente). Os principais resultados aqui estão relacionados com a descrição dos códigos q-ários n-dimensionais com raio de empacotamento e que sejam perfeitos nestas métricas, a obtenção de suas matrizes geradoras e a classificação destes, a menos de isometrias e a menos de isomorfismos. Varias construções de códigos perfeitos e famílias interessantes destes códigos com respeito à métrica de Chebyshev são apresentadas. Em sistemas dinâmicos sobre corpos finitos centramos nossa atenção em iterações de funções de Rédei, sendo o principal resultado um teorema estrutural para estas funções, o qual permite estender vários resultados sobre funções de Rédei. Este teorema pode também ser aplicado para outras classes de funções permitindo obter provas alternativas mais simples de alguns resultados conhecidos como o número de componentes conexas, o número de pontos periódicos e o valor esperado para o período e preperíodo da aplicação exponencial sobre corpos finitos Abstract: The content of this thesis is inserted in two very active research areas: the theory of error correcting codes and dynamical systems over finite fields. To approach problems in both topics we introduce a type of finite sequence called v-series. A metric is introduced in the set of such sequences inducing a poset structure used to determine all possible abelian group structures represented by perfect codes in the Chebyshev metric. Moreover, each v-serie is associated with a rooted tree, which has an important role in results related to the cycle structure of iterating Rédei functions. Regarding the theory of error correcting codes, we study perfect codes in the Lee metric and Chebyshev metric (corresponding to the lp metric for p=1 and p=infinity, respectively). The main results here are related to the description of n-dimensional q-ary codes with packing radius e which are perfect in these metrics, obtaining their generator matrices and their classification up to isometry and up to isomorphism. Several constructions of perfect codes in the Chebyshev metric are given and interesting families of such codes are presented. Regarding dynamical system over finite fields we focus on iterating Rédei functions, where our main result is a structural theorem, which allows us to extend several results on Rédei functions. The above theorem can also be applied to other maps, allowing simpler proofs of some known results related to the number of components, the number of periodic points and the expected value for the period and preperiod for iterating exponentiations over finite fields Doutorado Matemática Aplicada Doutor em Matemática Aplicada FAPESP 2012/10600-2 CAPES

Orientador: Marcelo Firer Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho, utilizando a decomposição canônica para códigos em espaços munidos de métricas definidas por ordens parciais hierárquicas, são apresentadas fórmulas explícitas para os principais parâmetros de um código linear (distância mínima, raios de empacotamento, de cobertura e de Chebyshev) em termo dos correspondentes na métrica de Hamming. Além disso, é apresentada uma série de propriedades que caracterizam as métricas definidas por ordens parciais hierárquicas, sendo algumas das características originais e, para todas estas propriedades, apresentamos demonstrações originais, simples e curtas Abstract: In this work, considering the canonical decomposition of codes in spaces endowed with a metric determined by hierarchical posets , we give explicit formulae for the main parameters of a linear code (packing, covering and Chebyshev radii and minimal distance), in terms of the corresponding Hamming parameters. Furthermore, we present several different properties that characterize the hierarchical poset metrics, some of the properties being original and, for all those properties, we give original, simple and short proofs Mestrado Matemática Mestre em Matemática CNPQ 130029/2014-9

Orientador : Prof. Dr. Marcelo Muniz Silva Alves Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Defesa: Curitiba, 17/07/2015 Inclui referências : f. 97-98 Área de concentração Resumo: Neste trabalho, desenvolvemos a teoria de códigos corretores de erros, a fim de estudar os conceitos de códigos MDS no espaço das matrizes com relação a p-métrica e de códigos MDS em métricas poset quaisquer, seguindo as exposições existentes em trabalhos de Kim e Hyun e de Skriganov. Para tanto, introduzimos alguns conceitos e ferramentas de álgebra e da teoria clássica de códigos corretores de erro. Por fim, apresentamos uma construção explícita de um família de códigos MDS na p-métrica. Palavras-chave: Códigos MDS; Poset; p-métrica; Distribuição de pesos. Abstract: In this work, we developed the Coding theory in order to study the concepts of MDS codes in the space of matrices with respect to p-metric and MDS codes in any poset metrics following the existing exibitions in papers by Kim and Hyun and by Skriganov. To this end, we introduce some concepts and tools of algebra and of classical theory of error-correcting codes. Finally we present an explicit construction of a family of MDS codes in the p-metric. Keywords: MDS Codes; Poset; p-metric; Weight Distribution.

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Muniz Silva Alves Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada. Defesa : Curitiba, 27/02/2015 Inclui referências Resumo: Nesta dissertac¸˜ao, estuda-se a cohomologia associada a ac¸˜oes parciais de grupos e suas relac¸˜oes com a cohomologia de semigrupos inversos. Comec¸a-se apresentando a teoria b'asica de semigrupos que ser'a usada durante toda a dissertac¸˜ao. Desenvolve-se conceitos principais da cohomologia para ac¸˜oes parciais de grupos em semigrupos e em 'algebras e estuda-se a associatividade de produtos cruzados, associados a ac¸˜oes parciais e a ac¸˜oes parciais torcidas, para estas 'ultimas. Por fim, aplica-se a cohomologia de semigrupos inversos j'a existente ao caso em que o semigrupo inverso est'a associado a um grupo e mostra-se como 'e poss'?vel contornar certas diferenc¸as entre os m'odulos associados a cada caso. Palavras-chave: ac¸˜ao parcial, semigrupos inversos, cohomologia parcial de grupos, cohomologia de semigrupos. Abstract: In this work, the relations between the cohomology associated with partial actions of groups and the cohomology associated with inverse semigroups are studied. Basic semigroup theory is presented, which will be used throughout this dissertation. Main concepts of cohomology for partial actions of groups on semigroups and on algebras are developed and the associativity of crossed products, associated with partial actions and twisted partial actions, for the latter, are studied. At last, the already established cohomology for inverse semigroups is applied to the case when the inverse semigroup is associated to a group and it is shown how it is possible to go around certain differences between the modules associated with each case. Keywords: partial action, inverse semigroups, partial cohomology of groups, semigroup cohomology.

Orientador: Marcelo Firer Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho são estudados diversos aspectos de códigos em espaços munidos de métricas poset. Considerando posets hierárquicos é determinada uma forma canônica-sistemática de um código linear. Esta forma permite calcular os principais invariantes métricos da teoria de códigos nestes espaços, incluindo distância mínima, pesos generalizados, hierarquia de pesos e o raio de empacotamento. Esta forma canônica-sistemática também permite, considerando métricas poset hierárquicas, classificar códigos MDS e códigos perfeitos e reduzir significativamente a complexidade do algoritmo de decodificação por síndrome. Considerando posets genéricos, são estabelecidas condições necessárias e suficientes para que órbitas de grupos de isometrias lineares sejam determinadas pelas classes de isomorfismos de ideais (propriedade de extensão de ideais). São apresentadas algumas famílias de posets que satisfazem essa condição, incluindo posets cujo diagrama de Hasse é uma árvore uni-raiz, regular por nível. Neste caso específico de árvore, é determinada um invariante que caracteriza estas órbitas. Considerando as operações clássicas entre posets, é demonstrado que apenas a soma ordinal preserva a propriedade de extensão de ideais Abstract: In this work we consider vector spaces over a finite field equipped with a metric induced by a partial order (poset) and study several aspects of codes embedded in those. Considering hierarchical posets, a canonical-systematic form for linear codes is determined. With this form it is possible to calculate the main metric invariants of coding theory, such as minimal distance, generalized weights, weight hierarchy and the packing radius. This canonical-systematic form also allows to classify MDS and perfect codes and to significantly decrease the complexity of syndrome decoding algorithm. Considering generic posets, necessary and sufficient conditions are established to ensure the orbits of the group of linear isometries to be determined by the ideals isomorphisms classes (ideal extension property). Some families of posets that satisfy those conditions are presented, including posets that have as a Hasse diagram a level-wise regular rooted tree. In this particular case of trees, it is established an invariant that classifies those orbits. Considering classic operations over posets, it is proofed that only ordinal sum preserves the ideal extension property Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Orientador : Prof. Dr. Marcelo Muniz Silva Alves Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada. Defesa: Curitiba, 19/02/2014 Inclui referências Resumo: Sendo G um grupo, iremos abordar os grupos de cohomologia de G com coeficientes em um G-módulo e explicitaremos estes no caso em que G for um grupo cíclico finito. Sendo K um anel comutativo estudaremos também os K - módulos de cohomologia de uma K -álgebra A com coeficientes em um (A — A)- bimódulo e explicitaremos estes nos dois primeiros graus. Se f for um polinômio mônico em K [x] calcularemos as cohomologias de Hochschild de K [x]/(f). No caso em que K é um corpo e tomamos o polinômio mônico em K [x] como sendo xn temos uma acao de G em K[x]/(xn) dada através de um caractere de G no grupo multiplicativo de K e com isso formamos o produto smash B = K [x]/(xn)#K G , onde KG é a algebra do grupo G. Trabalhando com a algebra B, explicitaremos as cohomologias de Hochschild desta em cada grau, e depois veremos que ha um isomorfismo entre as cohomologias de Hochschild de B de graus 2i e 2i + 1. Através do produto cup, calcularemos a estrutura de anel de cohomologia de Hochschild de B sob a hipótese de que a ordem do caractere antes citado seja divisor de n. Abstract: Let G be a group, we are going to discuss the cohomology groups of G with coefficients in a G-module and we will describe explicitly these in case where G is a finite cyclic group. Let K be a commutative ring, we also are going to study the cohomology K-modules of a K-algebra A with coefficients in a (A - A)- bimodule and we will describe these in the first two degrees. If f is a monic polynomial in K [x] we are going to calculate the Hochschild cohomology of K [x ]/(f). In the case where K is a field and we take the monic polynomial in K [x] as xn we have an action of G in K [x]/(xn) given by a character of G in the multiplicative group of K and thus we can form the smash product B = K [x]/ (xn)#KG, where KG is the group algebra of G over K . Working with the algebra B , we are going to determine its Hochschild cohomology in each degree, and then we will see that there is an isomorphism between the Hochschild cohomology of B in degrees 2i and 2i + 1. Through the cup product, we are going to calculate the structure of the Hochschild cohomology of the ring B under the hypothesis that the order of the character previously cited divides n.

Orientador : Prof. Dr. Marcelo Muniz Silva Alves Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Defesa: Curitiba, 27/02/2014 Inclui referências Resumo: Neste trabalho, apresentaremos uma forma de classicar todos os objetos Galois sobre uma algebra de Hopf associada a um conjunto de dados de grupo. Estas algebras sao introduzidas por Chen, Huang, Ye e Zhang, em seu artigo "Monomial Hopf Algebras", no qual as relacionam com algebras de Hopf monomiais nao semi simples. A classificacao foi proposta por Julien Bichon, em seu artigo "Galois and Bigalois Objects Over Monomial Non-Semisimple Hopf Algebras". Alem disso, damos uma caracterizacao de objetos Galois sobre uma álgebra de Hopf _elmente planos sobre K atraves de funtores monoidais exatos aditivos. Conceitos, como estrutura de coalgebras, comodulos, funtores aditivos exatos, bialgebras e algebras de Hopf sao apresentados para que o leitor acompanhe as demonstracoes principais. Palavras-chave: Extensao Galois, Objeto Galois, Algebra de Hopf, Cohomologia de Grupos, Produto Cruzado Abstract: In this paper, we present a way to classify all Galois objects over a Hopf algebra associated with a group datum. These algebras were introduced by Chen, Huang, Ye and Zhang, in their article "Monomial Hopf Algebras", in which they relate them to monomial non-semisimple Hopf algebras. The classi_cation was proposed by Julien Bichon, in his article "Galois and Bigalois Objects Over Monomial Non-Semisimple Hopf Algebras". Moreover, we give a characterization of faithfully K-at Galois objects over a Hopf algebra by exact additive monoidal functors. Concepts like coalgebras structure, comodules, exact additive functors, bialgebras and Hopf algebras are introduced so the reader can understand the main proofs. Key-words: Galois Extension, Galois Object, Hopf Algebra, Group cohomology, crossed product

Resumo: A classe de códigos mais estudada é a dos códigos lineares. Utilizando a métrica de Hamming conseguimos relacionar o polinômio enumerador de peso deumcódigoC com o do seu código dual (C?) através das identidade de MacWilliams. Busca-se então, derivar tais identidades para códigos lineares utilizando uma métrica não Hamming. Assim, sendo P um poset em [n], apresentamos os resultados que mostram que P admite identidades de MacWilliams se, e somente se, o poset é hierárquico. Além disso, se I (P ) é o conjunto de ideais de ordem de P e E é uma relação de equivalência em I (P ), introduzimos os conceitos de relação dual (E _) de uma relação de equivalência E , distribuição de E -peso (resp. E _-peso) de um P -código linear (resp. seu P -código dual ou P _-código) e o conceito de relação de equivalência de tipo MacWilliams. Três tipos de relações de equivalênciaemI (P ) são apresentadas, as quais são definidas respectivamente pela cardinalidade dos ideais do poset, pela ação dos automorfismos do poset no conjunto de seus ideais, e pela existência de um isomorfismo entre dois ideais e mostramos sob que condições tais relações são de tipo MacWilliams. Além disso, mostramos que quando a relação de equivalência referente aos isomorfismos é de tipoMacWilliams, a mesma coincide com a relação referente aos automorfismos de P . Apresentamos ainda o conceito de _-métrica no espaço das matrizes n _s com entradas em Fq e os conceitos de T e H-enumeradores de pesos para tal caso, relacionando a _-métrica, com a P -métrica e os conceitos de relações de equivalência para um poset P , o qual é uma união disjunta de n cadeias de comprimento s cada uma. Conseguimos assim relacionar os T e H-enumeradores de códigos mutuamente duais utilizando os conceitos de relações de equivalência de tipoMacWilliams. Com isso, mostramos que as matrizes utilizadas para relacionar as distribuições de E - peso e E _-peso são, neste caso, inteiramente determinadas pelos ideais referentes à primeira cadeia do poset P.

Orientador: Marcelo Firer Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Em 1963, F. J. MacWilliams desenvolveu as chamadas identidades de MacWilliams, que estabelecem, em particular, relações entre a distribuição de pesos de códigos possuindo alta taxa de informação e códigos com baixa dimensão. Consideramos neste trabalho a família de métricas poset-block, uma pouco explorada generalização tanto das métricas de bloco quanto das métricas poset, e consequentemente da clássica métrica de Hamming. Efetuamos uma descrição detalhada dos espaços munidos com tais métricas com ênfase na teoria de códigos e em seguida tratamos do problema que surge naturalmente neste contexto: a caracterização dos espaços que admitem uma identidade do tipo MacWilliams, ou seja, a classificação das métricas que permitem relacionar unicamente o espectro de um código com o de seu dual. A principal técnica utilizada nesta classificação é a teoria de caracteres sobre corpos finitos, incluindo aí a transformada de Hadamard, a fórmula da soma discreta de Poisson e as relações de ortogonalidade existente entre caracteres. Tal técnica foi proposta inicialmente por F. J. MacWilliams e utilizada posteriormente por H. K. Kim e D. H. Oh na classificação das métricas poset que admitem identidades do tipo MacWilliams. Nosso principal objetivo é portanto classificar os espaços poset-block que admitem uma identidade do tipo MacWilliams. Como conseqüência desta classificação, através dos polinômios de Krawtchouk, obteremos expressões explícitas para estas identidades Abstract: In 1963, F. J. MacWilliams developed the so-called MacWilliams identities, which establish, in particular, relations between the weight distribution of codes having high information rate and codes with low dimension. In this work we consider the family of poset-block metrics, a little explored generalization of both error-block and poset metrics, and hence also of the classic Hamming metric. We perform a detailed description of the spaces equipped with such metrics with emphasis in the coding theory and then we treat the problem that arises naturally in this context: the characterization of the poset-block metrics that admit a MacWilliams-type identity, in other words, the classification of metrics that allow to relate uniquely the spectrum of a code with the spectrum of its dual. The main technique used in this classification is the theory of characters over finite fields, including the Hadamard transform, the discrete Poisson summation formula and the orthogonality relations between characters. Such techniques were proposed initially by F. J. MacWilliams and used posteriorly by H. K. Kim and D. H. Oh in the classification of the metrics that admit a type of MacWilliams identity. Our main goal is therefore to classify the poset-block spaces that admit a MacWilliams type identity. As consequence of this classification, through the Krawtchouk polynomials, we will obtain explicit expressions for those identities Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Resumo: Nesta dissertação, trataremos o problema de obter uma sequência de Auslander-Reiten para um módulo M sobre uma álgebra de Hopf, sendo conhecida a sequência de Auslander- Reiten terminando no módulo trivial. Auslander e Carlson provam em [3], entre outros resultados, que se o módulo trivial é um somando direto de EndK (M) então a sequência exata obtida da sequência de Auslander-Reiten do módulo trivial tensorizando por M é equivalente a uma sequência de Auslander-Reiten de M, módulo um fator injetivo. Em [6], Green, Marcos e Solberg estendem para álgebras de Hopf de dimensão finita sobre um corpo K , e com antípoda involutiva, vários resultados provados por Auslander e Carlson, sendo o principal deles a resolução do problema acima no caso em que a antípoda de H é involutiva.

Orientadores: Reginaldo Palazzo Junior, Eduardo Brandani da Silva Tese (doutorado) - Universidade Estadula de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação Resumo: Neste trabalho apresentamos um amplo estudo de códigos quânticos topológicos, trazendo inovação para esta área. Inicialmente geramos novos códigos quânticos teóricos, dentre os quais se destaca a classe [[d2,2,d]] cujos parâmetros são os melhores ate então apresentados para este tipo de código. Nesta proposta sistematizamos a construção de códigos teóricos baseados em teoria de grupos e também em analise combinatória. Com respeito aos códigos quânticos topológicos em superfícies com gênero g = 2, apresentamos uma construção baseada em geometria hiperbólica, generalizando a construção de Kitaev. Reproduzimos e ampliamos a classe de códigos quânticos com distancia 3 decorrentes de mergulhos de grafos completos em superfícies com gêneros específicos obtidos primeiramente por Bombin e Martin-Delgado, com o diferencial de descreve-los geometricamente e exibir claramente seus parâmetros. Obtemos uma classe de códigos MDS Maximum Distance Separable). Explicitamos em tabelas os melhores códigos para superfícies com gênero g = 2,3,4 e 5 obtidos a partir dessa construção, e analisamos esses resultados Abstract: In this work we present an extensive study of topological quantum codes. As a consequence, new promising ideas, concepts and results are also presented. First of all, new toric quantum codes are constructed among which the [[d2,2,d]] class stands out as the best known so far. This proposed construction of toric codes is realized based upon group theory and combinatorial analysis. Regarding the topological quantum codes in surfaces with genus g = 2, we consider a construction method based on hyperbolic geometry and so generalizing Kitaev's construction. We reproduce and enlarge the class of quantum codes with distance 3 as a consequence of the embedding of complete graphs in surface with specific genus. This class was first proposed by Bombin andMartin-Delgado. The latter class is geometrically described and its parameters are explicitly exhibited. We also obtain a class of MDS (Maximum Distance Separable) codes in surfaces with genus g = 2,3,4 and 5, obtained by the proposed construction are tabulated and analyzed Doutorado Telecomunicações e Telemática Doutor em Engenharia Elétrica

Orientador: Marcelo Firer Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Neste trabalho fazemos uma apresentação dos espaços poset, introduzidos por Brualdi (1995), apresentamos os conceitos necessarios da teoria de conjuntos parcialmente ordenados e da teoria de codigos. Trabalhamos com uma questão de caráter amplo e estrutural deste contexto, o problema da determinação da ordem atraves da distribuição de pesos. A distribuição de pesos é essencialmente o conjunto das cardinalidades das esferas métricas e a pergunta que se coloca é em que medida este invariante determina a métrica em questão. Demonstramos que para as classes de codigos, cadeia, anticadeia, coroa e hierárquico, classes importantes no contexto da teoria de codigos, o problema possui uma resposta positiva e justificamos algumas conjecturas que relacionam este problema ao da reconstrução de grafos. Abstract: In this work, we introduce the concept of poset codes (Brualdi - 1995) and in this context we study the weight distribution problem, presenting the necessary concepts of the partially ordered set and error correcting codes theory. The weight distribution is the cardinality of metric-spheres in finite dimensional vector space over a finite field endowed with a poset metric. The weight distribution problem asks for conditions to ensure that the weight distribution determines the metric. In this work we show that the weight distribution of some families of posets, namely the classes of anti-chain, chain, crown and hierarchical posets, determines the metric. We also show that the weight distribution determines some known invariants of posets. Finally, we present some conjectures relating the weight distribution problem and the reconstruction problem of graphs. Mestrado Mestre em Matemática

Orientador: Sueli Irene Rodrigues Costa Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatisitica e Computação Cientifica Resumo: Neste trabalho abordamos questões associadas á minimização da probabilidade de erro para a transmissão de sinais em canais gaussianos e em canais com desvanecimento do tipo Rayleigh. Usando a teoria de reticulado ideal, construirmos rotações do reticulado n-dimensional dos inteiros via corpos ciclotômicos. Reticulados construídos deste modo permitem estimativas da distância produto mínima, parâmetro que controla a probabilidade de erro no envio de informações em canais com desvanecimento do tipo Rayleigh. Apresentamos uma nova construção de tais reticulados no caso em que n _e uma potência de 2 e no caso em que n = 3. Estudamos os códigos esféricos que são associados a reticulados com o intuito de obter a maior distância euclidiana mínima, parâmetro que controla a probabilidade de erro em canais gaussianos. Códigos esféricos gerados por grupos comutativos de matrizes ortogonais em dimensão par, 2m, podem ser determinados, via mergulhos de toros planares, pelo quociente de dois reticulados em Rm, onde o sub-reticulado possui uma base cujos vetores são mutuamente ortogonais. Pesquisamos a existência de sub-reticulados nestas condições, nos reticulados com maior densidade de empacotamento em dimensões 2; 3; 4 e 8: Pudemos assim construir famílias de códigos de grupo comutativo que se aproximam do limitante para a distância mínima nas dimensões 4; 6; 8 e 16. Abstract: We approach here some problems related to minimizing the error probability in signals transmission over Gaussian and Rayleigh channels. Algebraic ideal lattice theory is used to construct rotations of the n-dimensional integer lattice via cyclotomic fields. This construction allows to evaluate the minimum product distance of the lattice, parameter which controls the signal transmission probability through Rayleigh fading channels. We present here such constructions in the cases n = 3 and n a power of 2. Spherical codes generated by commutative group codes of orthogonal matrices in even dimensions, 2m; can be determined by a quotient of n-dimensional lattices, where the sublattice has an orthogonal basis. We characterize families of such sublattices in the lattices with best packing densities in dimensions 2; 3; 4; 6 e 8 and construct the associated spherical codes which approach the commutative group code upper bound for the minimum distance. Doutorado Álgebra, Geometria/Topologia Doutor em Matemática

Orientador: Marcelo Muniz Silva Alves Dissertaçao (mestrado) - Universidade Federal do Paraná. Setor de Cięncias Exatas. Programa de Pós-Graduaçăo em Matemática Aplicada. Defesa: Curitiba, 2008 Inclui bibliografia

Orientadores: Sueli Irene Rodrigues Costa, Simone Maria de Moraes Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Este trabalho está dividido essencialmente em quatro tópicos. O primeiro capítulo é dedicado a uma introdução à teoria dos códigos corretores de erros com algumas propriedades e exemplos. No segundo capítulo abordamos reticulados e suas propriedades com foco na análise do quociente de reticulados gerando grafos em toros planares, grafos circulantes obtidos através de quociente de reticulados e ladrilhamentos associados. O terceiro capítulo é dedicado a códigos esféricos, com ênfase na obtenção de códigos ótimos. Foram introduzidos alguns limitantes importantes como o de Rankim, e a demonstração de que alguns códigos esféricos como o simplex e biortogonal são ótimos. No capítulo quatro apresentamos uma construção de reticulados através de códigos binários e também a construção de códigos esféricos a partir de reticulados que possuem sub-reticulados com base ortogonal. Analisamos o caso especial do reticulado BCC que é o de melhor densidade no espaço e pode ser gerado por código binário. Mostramos que o quociente deste por um sub reticulado especial produz o melhor código esférico associado ao grupo comutativo Z2 2 ×Z4 . Também identificamos o reticulado que é associado ao melhor código de grupo comutativo de 16 elementos em R6 Abstract: In this work it is presented through examples a connection between inary codes, lattices and spherical codes. A brief introduction to coding theory, properties and examples is included in the first chapter. In Chapter 2 lattices are approached with focus on the quotient of lattices, graphs on flat tori and connections with circulant graphs. An introduction to spherical codes and some of their bounds, as the Ranking bound, are described in Chapter 3. Finally in Chapter 4 the three topics above are connected. The construction of lattices from linear binary codes and the construction of spherical codes from the lattices which have orthogonal sub-lattices are presented. We analyze specifically the case of the three dimensional BCC lattice, which has the best packing density for this dimension, and show that a quotient of this lattice give rise to the best spherical code associate to the commutative group Z2 2 ×Z4. We also identify the lattice which is associate to the best commutative group code with 16 elements in em R6 Mestrado Mestre em Matemática

Orientador: Jose Plinio de Oliveira Santos Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Abordamos, de maneira elementar, as estruturas algébrica e topológica sobre a qual são construídas as formas modulares, objetos principais do nosso estudo. Após a definição de formas modulares, realizamos um estudo particular sobre duas funções específicas relacionadas à teoria dos números: h(t) e. u(t). Trata-se de um texto introdutório, no qual apresentamos diversos conceitos e resultados extremamente importantes da teoria, tais como as demonstrações de que as duas funções supracitadas são formas modulares e a apresentação de uma fórmula explícita para seus sistemas multiplicadores Abstract: In an elemmentary way, we have dealt with the algebraic and topological structures in which the modular forms are constructed. After the definition of this important tool, we have made a particular study about two specific functions related to number theory: h(t) and u(t). It is an introductory text, in which we have presented many concepts and results extremely importants of the theory, such as the proofs of the fact that the two functions h(t) and u(t) are modular forms and the presentation of an exact formula for their multiplier systems Mestrado Análise Matemática Mestre em Matemática