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In the network coding framework, given a prime power q and the vector space Fnq, a constant type flag code is a set of nested sequences of Fq-subspaces (flags) with the same increasing sequence of dimensions (the type of the flag). If a flag code arises as the orbit under the action of a cyclic subgroup of the general linear group over a flag, we say that it is a cyclic orbit flag code. Among the parameters of such a family of codes, we have its best friend, that is the largest field over which all the subspaces in the generating flag are vector spaces. This object permits to compute the cardinality of the code and estimate its minimum distance. However, as it occurs with other absolute parameters of a flag code, the information given by the best friend is not complete in many cases due to the fact that it can be obtained in different ways. In this work, we present a new invariant, the best friend vector, that captures the specific way the best friend can be unfolded. Furthermore, throughout the paper we analyse the strong underlying interaction between this invariant and other parameters such as the cardinality, the flag distance, or the type vector, and how it conditions them. Finally, we investigate the realizability of a prescribed best friend vector in a vector space.

Producción Científica, Ministerio de Ciencia e Innovación (MTM2016-77642-C2-1-P and PID2019- 105621GB-I00), Junta de Castilla y León (VA083G19)

En esta tesis profundizamos en el estudio de los códigos flag. Un flag es una sucesión de subespacios encajados de un espacio vectorial finitodimensional sobre un cuerpo también finito y un código flag es una colección no vacía de flags. Estos códigos fueron introducidos en 2018 por Liebhold et al. como una generalización de los códigos de subespacio, ampliamente estudiados en la última década. Cada código flag define de forma natural una familia de códigos de subespacio: sus códigos proyectados. A lo largo de esta tesis, investigamos la relación existente entre los códigos flag y sus respectivos códigos proyectados, a través de problemas de diferente naturaleza y utilizando herramientas provenientes de distintas áreas de las matemáticas. A continuación, exponemos brevemente el contenido de cada uno de los nueve capítulos que constituyen esta tesis. En primer lugar, abordamos el estudio de los códigos flag de distancia óptima. Estos códigos presentan gran interés puesto que detectan y corrigen el máximo número de errores y/o borrados posibles. En el Capítulo 1 caracterizamos estos códigos en términos de sus códigos proyectados. Además, bajo ciertas condiciones, concluimos que los códigos flag de distancia óptima alcanzan también el máximo cardinal posible cuando uno de sus códigos proyectados es un código spread. Los Capítulos 1 y 2 están dedicados al estudio y la construcción sistemática de esta familia especial de códigos flag (los de distancia óptima con un spread como proyectado) para cualquier elección de los parámetros. Por otra parte, en los Capítulos 3 y 6 utilizamos la acción transitiva del grupo general lineal sobre la variedad de flags y determinamos subgrupos adecuados para obtener construcciones, ahora orbitales, de códigos flag de distancia óptima con un spread entre sus proyectados. El Capítulo 4, por su parte, es un estudio general de propiedades de códigos flag orbitales bajo la acción natural del grupo multiplicativo de un cuerpo finito: los código

Flag codes that are orbits of a cyclic subgroup of the general linear group acting on flags of a vector space over a finite field, are called cyclic orbit flag codes. In this paper, we present a new contribution to the study of such codes, by focusing this time on the generating flag. More precisely, we examine those ones whose generating flag has at least one subfield among its subspaces. In this situation, two important families arise: the already known Galois flag codes, in case we have just fields, or the generalized Galois flag codes in other case. We investigate the parameters and properties of the latter ones and explore the relationship with their underlying Galois flag code.

Given Fq the finite field with q elements and an integer n > 2, a flag is a sequence of nested subspaces of Fnq and a flag code is a nonempty set of flags. In this context, the distance between flags is the sum of the corresponding subspace distances. Hence, a given flag distance value might be obtained by many different combinations. To capture such a variability, in the paper at hand, we introduce the notion of distance vector as an algebraic object intrinsically associated to a flag code that encloses much more information than the distance parameter itself. Our study of the flag distance by using this new tool allows us to provide a fine description of the structure of flag codes as well as to derive bounds for their maximum possible size once the minimum distance and dimensions are fixed.

La asignatura de Estadística en el grado en Óptica y Optometría de la Universidad de Alicante cuenta con apenas seis horas de prácticas con ordenador, en las que se introduce al alumnado en el manejo básico del popular software estadístico de código abierto R. Para poner en valor esas horas y favorecer el aprendizaje de este programa mediante la interfaz conocida por RStudio, hemos decidido crear videotutoriales de corta duración que se han publicado en la plataforma Youtube, mostrando cómo se realizan con R distintas actividades como la obtención de gráficas y medidas descriptivas, y el cálculo de probabilidades. Tras evaluar la experiencia con dos cuestionarios, uno anterior y otro posterior a la misma, concluimos que la acogida global ha sido positiva, que R les parece difícil pero adecuado, y que desconocen en gran medida la importancia de la estadística en su plan de estudios.

In this paper, we study flag codes on the vector space Fnq, being q a prime power and Fq the finite field of q elements. More precisely, we focus on flag codes that attain the maximum possible distance (optimum distance flag codes) and can be obtained from a spread of Fnq. We characterize the set of admissible type vectors for this family of flag codes and also provide a construction of them based on well-known results about perfect matchings in graphs. This construction attains both the maximum distance for its type vector and the largest possible cardinality for that distance.

In network coding, a flag code is a set of sequences of nested subspaces of Fnq, being Fq the finite field with q elements. Flag codes defined as orbits of a cyclic subgroup of the general linear group acting on flags of Fnq are called cyclic orbit flag codes. Inspired by the ideas in Gluesing-Luerssen et al. (Adv Math Commun 9(2):177–197, 2015), we determine the cardinality of a cyclic orbit flag code and provide bounds for its distance with the help of the largest subfield over which all the subspaces of a flag are vector spaces (the best friend of the flag). Special attention is paid to two specific families of cyclic orbit flag codes attaining the extreme possible values of the distance: Galois cyclic orbit flag codes and optimum distance cyclic orbit flag codes. We study in detail both classes of codes and analyze the parameters of the respective subcodes that still have a cyclic orbital structure.

Flag codes are multishot network codes consisting of sequences of nested subspaces (flags) of a vector space Fnq, where q is a prime power and Fq, the finite field of size q. In this paper we study the construction on F2kq of full flag codes having maximum distance (optimum distance full flag codes) that can be endowed with an orbital structure provided by the action of a subgroup of the general linear group. More precisely, starting from a subspace code of dimension k and maximum distance with a given orbital description, we provide sufficient conditions to get an optimum distance full flag code on F2kq having an orbital structure directly induced by the previous one. In particular, we exhibit a specific orbital construction with the best possible size from an orbital construction of a planar spread on F2kq that strongly depends on the characteristic of the field.

In this paper we study flag codes on Fnq, being Fq the finite field with q elements. Special attention is given to the connection between the parameters and properties of a flag code and the ones of a family of constant dimension codes naturally associated to it (the projected codes). More precisely, we focus on consistent flag codes, that is, flag codes whose distance and size are completely determined by their projected codes. We explore some aspects of this family of codes and present examples of them by generalizing the concepts of equidistant and sunflower subspace code to the flag codes setting. Finally, we present a decoding algorithm for consistent flag codes that fully exploits the consistency condition.

El problema de encontrar representaciones adecuadas de objetos abstractos es tan antiguo como las propias Matemáticas. En el ámbito de la docencia de las mismas, y especialmente de la Geometría y la Topología, nos enfrentamos muy frecuentemente con el problema de imaginar y visualizar de manera adecuada ciertas funciones, curvas, superficies y otros elementos. Representar objetos en dimensión dos es sencillo pues podemos plasmarlos simplemente en una hoja de papel o en una pizarra. En cambio, algunos entes tridimensionales, que también son susceptibles de admitir un dibujo bidimensional usando proyecciones, son mucho más difíciles de manejar y dibujar sin las herramientas adecuadas. En este trabajo de investigación, nuestro objetivo principal ha sido explorar el potencial de la versión 3D del software GeoGebra para visualizar y manipular cierto tipo de objetos tridimensionales: las superficies cuádricas. Al mismo tiempo, hemos intentado indagar sobre las ventajas educativas de la representación de dichas superficies utilizando herramientas de representación en 3D. Desgranaremos las fases que hemos seguido poniendo algún ejemplo de las actividades implementadas y finalizaremos con el análisis de los resultados obtenidos concluyendo que esta experiencia nos ha llevado a apreciar positivamente la utilización de herramientas de representación en 3D para mejorar las capacidades de visualización de conceptos geométricos de nuestros alumnos.

El problema de encontrar representaciones adecuadas de objetos abstractos es tan antiguo como las propias Matemáticas. En el ámbito de la docencia de las mismas, y especialmente de la Geometría y la Topología, nos enfrentamos muy frecuentemente con el problema de imaginar y visualizar de manera adecuada ciertas funciones, curvas, superficies y otros elementos. Representar objetos en dimensión dos es sencillo pues podemos plasmarlos simplemente en una hoja de papel o en una pizarra. En cambio, algunos entes tridimensionales, que también son susceptibles de admitir un dibujo bidimensional usando proyecciones, son mucho más difíciles de manejar y dibujar sin las herramientas adecuadas. En este trabajo de investigación, nuestro objetivo principal ha sido explorar el potencial de la versión 3D del software GeoGebra para visualizar y manipular cierto tipo de objetos tridimensionales: las superficies cuádricas. Para ello, hemos diseñado una serie de actividades usando las herramientas que ofrece GeoGebra 3D con las que los alumnos han podido acercarse a estos objetos. Una vez realizadas dichas actividades, hemos realizado un estudio de la satisfacción e impresiones de los participantes a través de una encuesta online. El análisis de los resultados recogidos arroja principalmente la siguiente conclusión: la introducción de herramientas de representación de objetos en tres dimensiones (GeoGebra 3D, en nuestro caso) resulta altamente positiva. Las capacidades de visualización de objetos geométricos tridimensionales de nuestros alumnos mejoran; especialmente su destreza en el manejo de las superficies cuádricas.

In this paper we study a class of multishot network codes given by families of nested subspaces (flags) of a vector space Fnq, being qa prime power and Fqthe finite field of qelements. In particular, we focus on flag codes having maximum distance (optimum distance flag codes). We explore the existence of these codes from spreads, based on the good properties of the latter ones. For n =2k, we show that optimum distance full flag codes with the largest size are exactly those that can be constructed from a planar spread. We give a precise construction of them as well as a decoding algorithm.

The main topic of this research is the study of “Newton non-degenerate codimension one foliations”. The non-degenerate singularities for hypersurfaces have been described classically by A. Kouchnirenko in [35]; let us give a quick description of them.We consider a germ of hypersurface in (Cn, 0), defined locally by a reduced equation f = 0 in local coordinates z = (z1, z2, . . . , zn). We take the Taylor’s expansion of f, we consider the convex hull of the 2 Rn 0 such that 6= 0 and we add to it the first orthant Rn 0. In this way it is obtained the Newton polyhedron 1 of f. We consider its compact boundary and we say that a singularity is “non-degenerate” if the coefficients are “generic” in a sense that we will define later. This class of singularities is open and dense in the space of coefficients when is fixed. Also M. Oka does a study in [36] of the non-degenerate singularities for the case of complete intersections. Taking a logarithmic point of view, we can define a Newton polyhedron associated to a germ of differential form or vector field, once we fix a system of coordinates. From a more geometrical approach, the fact of considering a normal crossings divisor in the ambient space determines the coordinates we are going to consider. On this way, we can define not just a single polyhedron, but a whole polyhedra system, each one associated to one of the strata naturally given by the divisor as we will see in Chapter 2. A foliated space consists of a codimension one foliation F in a complex analytic space M, together with a normal crossings divisor E M. Most of the definitions, properties and results we present in this work concerns the foliated space (M,E,F) and not just to the foliation F. In the general theory established in Chapter 4, we introduce the concept of “Newton non-degenerate foliated space” which, of course, coincides with the classical one for germs of hypersurfaces, when we consider germs of foliations having a holomorphic first integral. On the, Departamento de Algebra, Geometría y Topología, Doctorado en Matemáticas

Las asignaturas de álgebra del Grado en Matemáticas de la Universidad de Alicante están orientadas a mostrar contenidos teóricos, esenciales en el avance del conocimiento de la matemática pura, y también contenidos prácticos. Esta componente práctica resulta crucial a la hora de entender la parte teórica, ya que los ejemplos reflejan los conceptos y resultados estudiados previamente. Sin embargo, debido a la limitación en horas de clases presenciales, los cálculos necesarios para presentar completamente los ejemplos en el aula se omiten con frecuencia, o directamente se opta por no exponerlos. Dentro de este contexto, surge de manera natural la utilización de técnicas computacionales que permitan facilitar y mejorar la impartición de contenidos prácticos algebraicos en el aula. Nuestro objetivo general ha sido paliar este déficit mediante la implantación del programa informático GAP (Groups, Algorithms and Programming) en algunas asignaturas óptativas de álgebra. En el presente trabajo exponemos las acciones desarrolladas con el programa en el aula, las cuales han sido evaluadas positivamente por parte del alumnado mediante encuestas anónimas realizadas. En general, podemos concluir que los estudiantes han comprendido mejor los conceptos teóricos y han estado motivados por la materia, independientemente de su abstracción matemática.

La Geometría Lineal es una asignatura obligatoria que se imparte en el tercer semestre del Grado en Matemáticas de la Universidad de Alicante. Dentro de los contenidos de esta asignatura se incluye una parte muy importante encaminada al estudio de las curvas cónicas (parábola, elipse e hipérbola), a su clasificación y al análisis de sus propiedades. La docencia de las cónicas se ha abordado usualmente desde los métodos tradicionales: desarrollo teórico-algebraico con exposición en la pizarra y posterior resolución de ejercicios relacionados. Por la propia naturaleza de las curvas cónicas, existen multitud de herramientas de tipo gráfico y computacional que pueden ayudar en el manejo, visualización y comprensión de las mismas. De entre todas las posibilidades disponibles, hemos optado por el software matemático (libre y multiplataforma) GeoGebra debido a su dinamismo, versatilidad y sencillez. En este trabajo de investigación presentamos nuestro principal objetivo, que es indagar sobre las posibles ventajas de la enseñanza de las cónicas utilizando dicho software, describiremos el procedimiento que hemos seguido exhibiendo algunas de las actividades que hemos desarrollado y, finalmente, analizaremos los resultados obtenidos concluyendo que la utilización de este software tan intuitivo se traduce en un aprendizaje más ágil y atractivo para el alumno.

La Geometría Lineal es una asignatura obligatoria que se imparte en el tercer semestre del Grado en Matemáticas de la Universidad de Alicante. Dentro de los contenidos de esta asignatura se incluye una parte muy importante encaminada al estudio de las curvas cónicas (parábola, elipse e hipérbola), a su clasificación y al análisis de sus propiedades. La docencia de las cónicas se ha abordado usualmente desde los métodos tradicionales: desarrollo teórico-algebraico con exposición en la pizarra y posterior resolución de ejercicios relacionados. Por la propia naturaleza de las curvas cónicas, existen multitud de herramientas de tipo gráfico y computacional que pueden ayudar en el manejo, visualización y comprensión de las mismas. De entre todas las posibilidades disponibles, hemos optado por el software matemático (libre y multiplataforma) GeoGebra debido a su dinamismo, versatilidad y sencillez. En este trabajo de investigación presentamos nuestro principal objetivo, que es indagar sobre las posibles ventajas de la enseñanza de las cónicas utilizando dicho software, describiremos el procedimiento que hemos seguido exhibiendo algunas de las actividades que hemos desarrollado y, finalmente, analizaremos los resultados obtenidos concluyendo que la utilización de este software tan intuitivo se traduce en un aprendizaje más ágil y atractivo para el alumno.