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This study aimed to evaluate the ingestive behavior of sheep fed increasing levels of mesquite pod meal (0, 15, 30 and 45% in total dry matter diet), replacing grass silage elephant. Eight non-castrated Santa Inês sheep with average weight of 32 kg were divided into two 4 x 4 Latin squares, each lasting 15 days. The sheep were submitted to visual observation every ten minutes, for 24 hours, in the 13th day of each experimental period. There was no significant regression (p > 0.05) relative to the time spent on feeding, rumination and resting, depending on the levels of substitution of mesquite pod meal. The average time spent on feeding, rumination and resting was 5.64, 10.88 and 8.8h day-1, respectively. There was a positive linear effect (p < 0.05) regarding the levels of replacement of elephant grass silage by mesquite pod meal on dry matter intake (DMI), neutral detergent fiber intake (NDFI), feeding efficiency of DM, rumination efficiency of DM, rumination efficiency of NDF. The use of observation intervals of up to 30 minutes does not alter the assessment of time spent on feeding, rumination and resting.

This study aimed to evaluate the ingestive behavior of sheep fed increasing levels of mesquite pod meal (0, 15, 30 and 45% in total dry matter diet), replacing grass silage elephant. Eight non-castrated Santa Inês sheep with average weight of 32 kg were divided into two 4 x 4 Latin squares, each lasting 15 days. The sheep were submitted to visual observation every ten minutes, for 24 hours, in the 13th day of each experimental period. There was no significant regression (p > 0.05) relative to the time spent on feeding, rumination and resting, depending on the levels of substitution of mesquite pod meal. The average time spent on feeding, rumination and resting was 5.64, 10.88 and 8.8h day-1, respectively. There was a positive linear effect (p < 0.05) regarding the levels of replacement of elephant grass silage by mesquite pod meal on dry matter intake (DMI), neutral detergent fiber intake (NDFI), feeding efficiency of DM, rumination efficiency of DM, rumination efficiency of NDF. The use of observation intervals of up to 30 minutes does not alter the assessment of time spent on feeding, rumination and resting. Objetivou-se avaliar o comportamento ingestivo de ovinos alimentados com níveis de farelo da vagem de algaroba (FVA) (0, 15, 30 e 45% na matéria seca total da dieta), em substituição à silagem de capim-elefante. Foram utilizados oito ovinos da raça Santa Inês, machos, não-castrados, com peso médio de 32 kg, distribuídos em dois quadrados latinos 4 x 4, com duração de 15 dias cada período experimental. Os carneiros foram submetidos à observação visual a cada 10 min., durante 24h, ao 13º dia de cada período experimental. Não foi observada regressão significativa (p > 0,05) para os tempos despendidos com alimentação, ruminação e ócio em função dos níveis de substituição do FVA. Ocorreu efeito linear positivo (p < 0,05) dos níveis de substituição da silagem pelo FVA sobre os consumos de MS, FDN, eficiência de alimentação da MS, eficiência de ruminação da MS, eficiência de ruminação de FDN. O FVA não aumenta o tempo disponível para alimentação e ruminação, mas eleva o consumo de MS de dietas baseadas em silagem de capim-elefante. A utilização de intervalos de observação de até 30 min., não altera a avaliação dos tempos despendidos com alimentação, ruminação e ócio.

Objetivou-se avaliar a utilização de suplemento mineral e suplemento mineral proteico na terminação de novilhos Nelore em pastejo de Brachiaria brizantha, no período das águas, e suas implicações sobre o consumo de forragem, o desempenho animal e a digestibilidade aparente dos nutrientes. A parte de campo foi implantada numa área de 26 ha, dividida em quatro piquetes de aproximadamente 6,5 hectares (ha), formados de Brachiaria brizantha cultivar Marandu. Foram utilizados 18 novilhos Nelore, com 28 meses, peso vivo de 400,5 ± 7,5kg e castrados, distribuídos em dois tratamentos: suplementação mineral até a terminação e suplementação mineral proteica de baixo consumo até a terminação. Não houve efeito sobre o consumo de pastagem, da fibra em detergente neutro, proteína bruta, extrato etéreo, carboidratos não fibrosos, cinzas e nutrientes digestíveis totais. O desempenho animal e a conversão alimentar não sofreram efeito da suplementação. Não houve efeito sobre o coeficiente da digestibilidade da matéria seca, matéria orgânica, proteína bruta, extrato etéreo e da fibra em detergente neutro. Houve efeito da suplementação com sal proteinado sobre a digestibilidade dos carboidratos não fibrosos. É desnecessário a suplementação com sal proteinado na época das aguas. This study aimed to evaluate the use of mineral and mineral supplement protein in finishing Nellore grazing Brachiaria brizantha during the rainy season and its implications for forage intake, animal performance and nutrient digestibility. The fieldwork was located in an area of 26 ha, divided into four paddocks of approximately 6.5 hectares (ha), formed Brachiaria brizantha Marandu. We used 18 Nellore with 28 months live weight of 400.5 ± 7.5kg and castrated in two treatments: mineral supplementation until the termination and mineral supplementation of low protein intake to termination. There was no effect on the consumption of pasture, neutral detergent fiber, crude protein, fat, non-fiber carbohydrates, ash and total digestible nutrients. The animal performance and feed conversion were not affected by supplementation. There was no effect on the coefficient of digestibility of dry matter, organic matter, crude protein, ether extract and neutral detergent fiber. There was an effect of supplementation on the digestibility of non-fiber carbohydrates. In the rainy season the utilization of mineral salt allows the of animals in pastures. It is unnecessary supplementation with protein salt at the time of the waters.

A ensilagem de cana-de-açúcar é uma ferramenta que pode ser utilizada para atender a deficiência de alimento em períodos seco do ano, e a adição de aditivos microbianos na ensilagem pode melhorar o perfil fermentativo e, consequentemente, seu valor alimentício. O objetivo com o presente trabalho foi avaliar o efeito da utilização da cana-de-açúcar fresca ou conservada, sob a forma de silagem, com ou sem aditivo microbiano, bem como verificar a influência da queima da cana em dietas de vacas lactantes sobre o consumo e digestibilidade aparente dos nutrientes, produção e composição do leite. Os animais foram distribuídos em um quadrado latino 5 x 5 para avaliar os efeitos da cana fresca e da silagem de cana sem Lactobacillus buchneri (SCSI); cana com L. buchneri (SCCI); cana queimada sem L. buchneri (SCQSI); cana queimada com L. buchneri (SCQCI). Vacas alimentadas com cana fresca apresentaram maiores consumo de matéria seca e carboidratos não fibrosos, quando comparada com as silagens. A queima da cana e a conservação na forma de silagem, com ou sem aditivo microbiano, não alterou os consumos de matéria orgânica, proteína bruta, extrato etéreo, fibra em detergente neutro, fibra em detergente ácido, carboidratos totais, assim como, não influenciou a digestibilidade dos nutrientes dos animais. Ao alimentar vaca com silagem de cana sem aditivo bacteriano, observou-se menor produção de leite e de proteína bruta, quando comparado com as silagens queimadas com ou sem aditivo e cana fresca. Recomenda-se a utilização de cana fresca por proporcionar aos animais melhor desempenho produtivo. The silage, sugar cane is a tool that can be used to meet the deficiency of food in the dry year and the addition of microbial silage additives can improve the fermentation and consequently, its food value. The objective was to evaluate the effect of the fresh sugar cane utilization or preserved as silage, with or without microbial addictive, as well as verify the influence of burning sugar cane used in diet crossbred dairy cows on intake and digestibility nutrients, production, milk composition. The animals were divided in a 5x5 latin square to evaluate the effects of fresh cane and four types of cane silage; cane without Lactobacillus buchneri (SCSI); cane with L.buchneri (SCCI); burned cane without L. buchneri (SCQSI); burned cane with L. buchneri (SCQCI). The fresh cane promotes higher dry matter intake and non-fibrous carbohydrates compared with silages. The burning of sugar cane and conservation as silage, with or without microbial additive does not alter the intake and digestibility of nutrients from animals. The use of cane ensilage without bacterial addictive provides lower milk production and crude protein when compared with the other treatments. It is recommended the use of fresh cane for providing animal better performance.

The goal of this work was to evaluate the use of urea in diets containing mesquite pod meal on the intake behavior of sheep. Treatments consisted of the following urea levels in diet: 0, 0.5, 1.0 and 1.5% of total dry matter. Eight gelded males, with mean weight of 33.5 kg, were used in an experimental design with two 4 x 4 Latin squares. Evaluation occurred at the 17th and 18th experiment day, by recording feeding, rumination and resting time. Three periods were used (10 a.m. to 12 p.m., 2 to 4 p.m. and 6 to 8 p.m.) to record the number of chewing times per cud and time spent. Feeding (317.19 min.) and rumination time (468.59 min.), total chewing time (13.10h day-1), time spent for chewing per cud (47.09 s), number of chewing per cud (60.65) and per day (36,209.15), as well as feeding and rumination efficiency, were not affected by urea levels in diet. Intake behavior of sheep is not influenced by up to 1.5% urea in diets containing mesquite pod meal. Objetivou-se neste trabalho avaliar os efeitos da inclusão de ureia em dietas contendo farelo da vagem de algaroba sobre o comportamento ingestivo de ovinos. Os tratamentos constituíram da inclusão de níveis de ureia na dieta, sendo: 0; 0,5; 1,0 e 1,5% da MS total. Foram utilizados oito animais, machos castrados, com peso médio de 33,5 kg, distribuídos em dois quadrados latinos 4 x 4. A avaliação do comportamento ingestivo ocorreu no 17º e 18º dia experimental, sendo registrado o tempo despendido em alimentação, ruminação e ócio. Foram realizadas observações por três períodos, das 10 às 12h, 14 às 16h e 18 às 20h, determinando-se o número de mastigações merícicas bolo ruminal-1 e o tempo gasto para ruminação de cada bolo. Os tempos de alimentação (317,19 min.) e ruminação (468,59 min.), tempo de mastigação total (13,10h dia-1), tempo gasto com mastigações bolo-1 (47,09 s), número de mastigações por bolo (60,65) e por dia (36.209,15) bem como as eficiências de alimentação e ruminação não foram influenciados pelos níveis de inclusão de ureia nas dietas. O comportamento ingestivo de ovinos não é afetado pela inclusão de ureia até o nível de 1,5% na MS da dieta contendo farelo da vagem de algaroba.

The arrival of the quantum computing era is a real threat to the confidentiality and integrity of digital communications. So, it is urgent to develop alternative cryptographic techniques that are resilient to quantum computing. This is the goal of pos-quantum cryptography. The code-based cryptosystem called Classical McEliece Cryptosystem remains one of the most promising postquantum alternatives. However, the main drawback of this system is that the public key is much larger than in the other alternatives. In this thesis we study the algebraic properties of this type of cryptosystems and present a new variant that uses a convolutional encoder to mask the so-called Generalized Reed- Solomon code. We conduct a cryptanalysis of this new variant to show that high levels of security can be achieved using significant smaller keys than in the existing variants of the McEliece scheme. We illustrate the advantages of the proposed cryptosystem by presenting several practical examples. A chegada da era da computação quântica é uma ameaça real à confidencialidade e integridade das comunicações digitais. É, por isso, urgente desenvolver técnicas criptográficas alternativas que sejam resilientes à computação quântica. Este é o objetivo da criptografia pós-quântica. O Criptossistema de McEliece continua a ser uma das alternativas pós-quânticas mais promissora, contudo, a sua principal desvantagem é o tamanho da chave pública, uma vez que é muito maior do que o das outras alternativas. Nesta tese estudamos as propriedades algébricas deste tipo de criptossistemas e apresentamos uma nova variante que usa um codificador convolucional para mascarar o código de Generalized Reed-Solomon. Conduzimos uma criptoanálise dessa nova variante para mostrar que altos níveis de segurança podem ser alcançados usando uma chave significativamente menor do que as variantes existentes do esquema de McEliece. Ilustramos, assim, as vantagens do criptossistema proposto apresentando vários exemplos práticos. Programa Doutoral em Matemática

A costa de Angola situa-se entre as regiões tropical a norte e subtropical a sul da costa ocidental Africana, entre as latitudes de 5° S (Cabinda) e 17° 15´ S (Cunene). Tem cerca de 1650 km de extensão e possui duas estações principais bem definidas, denominadas estações quente e fria (Verão e Inverno austrais, respetivamente). As precipitações diminuem gradualmente de Norte para Sul, sob influência dos ventos Alísios de Sudeste. A Corrente quente de Angola, consiste num escoamento estreito entre a superfície e cerca de 250 m, na margem continental, fluindo para Sul e é alimentada pelo transporte para este das correntes equatoriais. A sul, está localizado o sistema de Correntes de Benguela que escoa para Norte, consequência do forçamento resultante dos ventos alísios, favorável ao afloramento. A interação entre estes dois sistemas, resulta no sistema frontal Angola - Benguela. Existem observações históricas de grande escala, mas um número escasso de estudos é dedicado à margem angolana. Tendo por base os dados recolhidos historicamente pelo navio “Dr. Fridtjof Nansen”, no âmbito do programa Nansen, entre 1984 - 2014 disponibilizados pelo Institute of Marine Research (IMR), foi possível realizar um estudo da hidrografia e das correntes associadas a duas campanhas oceanográficas realizadas nas estações quente (Março) e fria (Agosto) durante esses anos. Após uma revisão da bibliografia e de um enquadramento histórico é feito um estudo consistente na análise de dados de satélite de superfície de diferentes parâmetros físicos (SST, SSS, SLA) para pôr em evidencia os mecanismos de forçamento remoto através de ondas de Kelvin equatoriais (IEKW) entre outros. Descreve-se a climatologia da margem continental angolana com base nos dados in situ (1994 - 2014) disponíveis, previamente analisados, por forma a caraterizar esta em termos dos valores médios climatológicos. Posteriormente, por comparação com os valores climatológicos, são calculadas e analisadas as anomalias em relação à climatologia, para identificação de anos extremos, quentes e frios, que são estudados em detalhe num capítulo dedicado à análise de secções de anos extremos representativos por comparação com as secções climatológicas anteriormente descritas. Ao mesmo tempo que as condições hidrológicas clássicas, foi estudada a distribuição horizontal e vertical do oxigénio dissolvido. Foram identificadas regiões com baixos valores de oxigénio associadas as águas centrais (hipoxia), assim como as regiões de transição com a superfície, e os mecanismos principais que explicam os afloramentos de águas com baixo teor de oxigénio dissolvido, em direção as camadas superficiais. The coast of Angola is located between the tropical and the subtropical regions of the West African coast, between latitudes 5° S (Cabinda) and 17° 15' S (Cunene). It is about 1650 km long and has two well-defined main seasons, called hot and cold (austral summer and winter, respectively). Precipitations gradually decreases from North to South, under the influence of the Southeast trade winds. The warm Angolan current, consisting of a narrow flow between the surface and about 250 m on the continental margin, flows south and is fed by the eastward transport of the equatorial currents. In the south, is located the Benguela Current system that flows in the equatorward direction, as a result of the forcing from the (upwelling favourable) trade winds. The interaction between these two systems results in the Angola - Benguela frontal system. Large-scale historical observations exist, but a scarce number of studies are devoted to the Angolan margin. Based on the data historically collected by the R/V "Dr. Fridtjof Nansen" as part of the Nansen programme between 1984 - 2014 made available by the Institute of Marine Research (IMR), it was possible to carry out a study of the hydrography and currents associated with two oceanographic cruises carried out in the warm (March) and cold (August) seasons during those years. After a review of the bibliography and a historical framework, a consistent study is made on the analysis of surface satellite data of different physical parameters (SST, SSS, SLA) to highlight the remote forcing mechanisms through equatorial Kelvin waves (IEKW) among others. The climatology of the Angolan continental margin is described on the basis of the available in situ data (1994 - 2014), previously analysed, in order to characterise it in terms of climatological mean values. Subsequently, by comparison with climatological values, anomalies in relation to climatology are calculated and analysed, in order to identify extreme years, hot and cold, which are studied in detail in a chapter dedicated to the analysis of representative extreme year sections by comparison with the climatological sections previously described. At the same time as the classical hydrological conditions, the horizontal and vertical distribution of dissolved oxygen was studied. Regions with low oxygen values associated with central waters (hypoxia) were identified, as well as the transition regions with the surface, and the main mechanisms explaining the upwelling of low dissolved oxygen waters towards the surface layers. Programa Doutoral em Ciência, Tecnologia e Gestão do Mar

Nesta dissertação apresentamos deduções das fórmulas resolventes das equações de graus inferiores a cinco e os trabalhos de Abel e de Galois, concorrentes para a prova da não existência de fórmulas congéneres para as equações de grau superior, usando radicais. Tratamos, usando fundamentos algébricos envolvendo o grau de uma extensão de um corpo, a impossibilidade de algumas construções geométricas usando apenas régua e compasso. Apresentamos ainda algumas regras para a determinação do número de zeros reais de um polinómio e sua localização. Sobre este assunto, propomos um guião de uma tarefa aplicada a alunos do 11º ano de Ciências e Tecnologias como aplicação/extensão de conteúdos abordados no Programa da disciplina de Matemática A do Ensino Secundário. In this dissertation we present deductions of the resolvent formulas for the equations of degrees below five and the works of Abel and Galois, competing for the proof of the non-existence of similar formulas for higher degree, using radicals. Using algebraic foundations involving the degree of a field extension, we show, the impossibility of several geometric constructions with only ruler and compass. We also present some rules for computing the number of polynomial real roots as well as their location. On this subject, we propose a script of a task for students of the «11º ano, Ciências e Tecnologias» as an application/extension of the contents of the «Matemática A» course Program. Mestrado em Matemática para Professores

Nesta dissertação são estudadas propriedades de uma certa família de grafos, os grafos de Ramanujan. São ainda apresentadas e exemplificadas algumas aplicações destes, nomeadamente à Teoria dos Códigos e à Criptografia. Em particular, é apresentada e demonstrada uma propriedade dos grafos regulares com base no seu espetro, propriedade extremal para a família dos grafos de Ramanujan. Existindo outras construções possíveis, esta família pode ser construída, por exemplo, tal como é feito nesta dissertação, enquanto um caso particular de uma família de grafos de Cayley. Os grafos daquela família, caracterizando-se pelo facto de possuírem uma cintura grande, possibilitam, enquanto grafos expansores, a construção de códigos LDPC com uma grande distância e a construção de funções de síntese resistentes a colisões. In this thesis are studied the properties of a certain family of graphs, the Ramanujan graphs, and are presented and exempli ed some of their applications, namely in Code Theory and Cryptography. Particularly, is presented and proved a regular graphs property based on their spectrum, which is extreme for the Ramanujan graphs family. There are many possible constructions for this family. In this thesis, the Ramanujan graphs are constructed as Cayley graphs. The graphs on that family, because of their large girth as expander graphs, are suitable to apply in constructions of LDPC codes and collision-resistant cryptographic hash functions. Mestrado em Matemática e Aplicações

Mestrado em Matemática para Professores Ao longo da historia da humanidade, os diferentes povos sempre demonstraram uma preocupação em definir datas e eventos. Neste sentido, pretende-se com este trabalho compreender as relações entre certos fenómenos da natureza, nomeadamente o ciclo da lua e o ciclo do sol na implementação dos calendários. Repara-se que os calendários são baseados nas observações astronómicas, e que a duração destes ciclos não corresponde a um número inteiro de dias, levando por isso a diferentes problemas, quando se tenta organizar os dias em períodos de tempo fixos. Na tentativa de solucionar este problema, foram criados calendários com um numero inteiro de dias, onde cada sociedade usou ou usa o fenómeno mais adaptado à sua situação geográfica, religiosa e política. Constatou-se a existência de diferentes realidades: por um lado se destacam os povos que viviam em locais onde não existe um sazonalidade acentuada e que ainda hoje utilizam o ciclo lunar, mesmo após ter havido uma grande expansão da sua localização, como é o caso da população muçulmana; por outro lado tem-se os povos onde existem estações do ano bem definidas, nomeadamente o povo egípcio (devido ao comportamento do rio Nilo). Podem associar-se a esta tentativa de organizar o tempo, diferentes aspetos matemáticos, entre os quais os convergentes tirados das frações continuadas e as congruências. Os convergentes utilizados são números racionais muito próximos de certas constantes astronómicas, e as congruências permitem observar a repetição do mesmo padrão ao longo do tempo, para cada calendário. Neste trabalho, foi feita uma analise detalhada do conteúdo matemático, dos calendários estudados, assim como da historia destes calendários. Dos resultados obtidos destaca-se por um lado, o facto de que no calendário gregoriano, utilizado na nossa sociedade, existir a diferença de um dia relativamente ao calendário solar astronómico a cada 3300 anos, e por outro lado, o ano 46 a.C. ter tido 445 dias. Throughout human history, people have always shown a concern about how to mark dates and events. In this sense, the aim of this work was to understand the relationship between certain phenomena of nature, including the cycle of the moon and the cycle of the sun, in the implementation of calendars. Notice that the calendars are based on astronomical observations, and that the duration of these cycles does not correspond to a whole number of days, leading therefore to different problems when one tries to organize the days in fixed periods of time. In an attempt to solve this problem, calendars were created with a whole number of days, where each society group has used or uses the most appropriate phenomenon to its geographical, religious and political situation. It was found that there are different realities: on the one hand stands the people who lived in places where there is a marked seasonality and still use the lunar cycle, even after having been a major expansion of its original location, as is the case of the Muslim population; on the other hand there are people where the seasons are very well defined, in particularly the Egyptian people (due to the behavior of the Nile). Different mathematical aspects may be associated with this attempt to divide the time, including the convergents taken from continued fractions and congruences. The convergents we are going to use are rational numbers that are very close to certain astronomic constants, and congruences will be used to detect the repetition of certain patterns over time for each calendar. In this work, a detailed analysis of the mathematical content of the studied calendars was made, as well as the history of these calendars. From the results we highlight, on the one hand, the fact that in the Gregorian calendar, used in our society, there is a difference of one day, in relation to the solar calendar (astronomical) every 3300 years, and on the other hand, the year 46 ac having had 445 days.

Mestrado em Matemática para Professores Submitted by Cristina Santos (cmaria@ua.pt) on 2017-02-16T11:26:22Z No. of bitstreams: 1 INTEIROS GAUSSIANOS - MÓNICA BÉRTOLO.pdf: 1149948 bytes, checksum: b0405563116c473f0998cb04b39f37d1 (MD5) Made available in DSpace on 2017-02-16T11:26:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 INTEIROS GAUSSIANOS - MÓNICA BÉRTOLO.pdf: 1149948 bytes, checksum: b0405563116c473f0998cb04b39f37d1 (MD5) Previous issue date: 2015

Mestrado em Matemática para Professores Qualquer número racional pode ser representado por uma dízima finita ou uma dízima infinita periódica. Porém, atendendo ao denominador de uma fracção que representa o número racional, podemos obter diversos períodos diferentes. Neste sentido, destacamos um resultado importante que nos possibilita a determinação do comprimento do período de uma dízima. Com base nessa noção de período, evidenciamos o fascinante teorema de Midy. Abordamos, ainda, alguns critérios de divisibilidade por números primos associados `a representação de números. Estudamos, também, os números teimosos que quando multiplicados por um certo valor sofrem apenas uma alteração posicional dos seus algarismos. Mostramos como se pode utilizar a operação aritmética especial, a adição-Nim, na obtenção de uma estratégia vencedora para jogos combinatórios. Any rational number can be represented by a finite or repeating decimal. However, depending on the denominator of the fraction that represents the rational number, one can obtain many different periods. On this regard, we highlight an important result that allows us to determine the length of the period of a repeating decimal. Based on this notion of period, we study the fascinating theorem of Midy. We also study the stubborn numbers, which when multiplied by a certain value suffer just a positional change of its digits. Moreover, some divisibility criteria by prime numbers will be investigated the representation of numbers. We also show how one can use the special arithmetic operation, known as nim addiction, to obtain winning strategy for combinatorial games.

Mestrado em Matemática e Aplicações - Ciências da Computação Nesta dissertação serão apresentados os principais resultados relacionados com a conjetura de Erd}os-Straus, entre os quais o teorema de Mordell. Associada à conjetura está uma equação diofantina, que iguala uma fração de numerador n = 4 e denominador m inteiro maior que 1, à soma de três frações unitárias. Será também analisado o número de soluções desta equação e vamos também verificar computacionalmente a validade da conjetura para m _ 109. Finalmente, iremos ver generalizações da conjetura para qualquer n e para quando, para além de somas, podemos também ter subtrações de frações unitárias. Ambas as generalizações foram propostas por André Schinzel. This dissertation will present the main results related to the Erd}os- Straus conjecture, including the Mordell's theorem. Associated to the conjecture is a diophantine equation, that say that a fraction with numerator n = 4 and denominator m integer greater than 1 is equal to the sum of three unit fractions. It will be also analyzed the number of solutions of this equation and we also computationally verify the validity of the conjecture for m 109. Finally, we will see generalizations of the conjecture for any n and when, in addition to sums, we also have subtractions of unit fractions. Both generalizations were proposed by Andr é Schinzel. This dissertation will present the main results related to the Erd}os- Straus conjecture, including the Mordell's theorem. Associated to the conjecture is a diophantine equation, that say that a fraction with numerator n = 4 and denominator m integer greater than 1 is equal to the sum of three unit fractions. It will be also analyzed the number of solutions of this equation and we also computationally verify the validity of the conjecture for m _ 109. Finally, we will see generalizations of the conjecture for any n and when, in addition to sums, we also have subtractions of unit fractions. Both generalizations were proposed by André Schinzel.

Mestrado em Matemática e Aplicações Este trabalho de dissertação foca o sistema criptográfico de McEliece. Este é um sistema criptográfico de chave pública que tira partido do facto do problema de descodificação de um código linear geral ser NP-completo. Mais especificamente, este sistema criptográfico usa um código de Goppa sobre um corpo finito como chave privada, para o qual existe um algoritmo de descodificação eficiente, e um código linear geral, derivado do código Goppa anterior, como chave pública. Assim, neste trabalho, começa-se por analisar alguns resultados sobre corpos finitos, necessários ao longo desta dissertação. Posteriormente, estudam-se os códigos lineares sobre corpos finitos, em particular os códigos de Goppa, apresentando-se um algoritmo de descodificação para estes códigos. Em seguida, é apresentada uma descrição detalhada do sistema criptográfico de McEliece e são analisados alguns ataques a este sistema criptográfico. Por fim, é ainda analisada a sua aplicação na segurança de assinaturas digitais. This thesis studies the public key McEliece cryptosystem, which is based on the fact that the problem of decoding a general linear code is NP-hard. More specifically, the McEliece cryptosystem uses a Goppa code over a finite field as private key (these codes have an efficient decoding algorithm), and a general linear code as public key. We start by analysing some results about finite fields, which will be use later. We also study the theory of linear codes over finite fields and we analyse with detail the Goppa codes, presenting in particular a decoding algorithm for such codes. Next, we concentrate on the study of the McEliece cryptosystem and we describe some attacks against this cryptosystem. Finally, the application of this cryptosystem to digital signatures security is analysed.

Mestrado em Matemática e Aplicações Fermat teve um papel muito importante na Teoria dos N´umeros. Esta cont´em problemas muito dif´ıceis que fascinaram (e ainda fascinam) v´arios matem´aticos. Refira-se, em particular, as propriedades dos n´umeros inteiros positivos e dos n´umeros primos que despertaram interesse em Fermat. Sobre estes existem problemas bastante dif´ıceis de provar, mas que, contrariamente, possuem uma formula¸c˜ao bastante simples. Perante a dificuldade em demonstrar alguns destes resultados, Fermat desenvolveu uma t´ecnica de demonstra¸c˜ao, conhecida pela designa ¸c˜ao de M´etodo da Descida Infinita. Resumidamente, o m´etodo prova que certas propriedades ou rela¸c˜oes s˜ao imposs´ıveis para inteiros ao provar-se que, se fossem v´alidas para alguns n´umeros, seriam v´alidas para alguns n´umeros mais pequenos; usando o mesmo argumento, seriam v´alidas para alguns n´umeros ainda mais pequenos, e assim sucessivamente, o que ´e imposs´ıvel devido ao facto de que uma sequˆencia de n´umeros inteiros positivos n˜ao pode decrescer infinitamente. Fermat descreveu, em linhas gerais, o seu m´etodo, enunciando as v´arias proposi¸c˜oes nas quais o aplicou, numa carta dirigida a Carcavi em 1659. Era atrav´es de correspondˆencias por carta que Fermat partilhava as suas descobertas e nesta desafiou outros matem´aticos a aplicar o seu m´etodo na demonstra¸c˜ao de v´arios resultados. Esta tese teve por objetivo reproduzir as demonstra¸c˜oes de algumas proposi¸c˜oes referidas na carta a Carcavi, as quais Fermat diz ter demonstrado pelo M´etodo da Descida Infinita. Fermat played a very important role in the Theory of Numbers. This area contains very difficult problems which fascinated (and still does) several mathematicians. Particularly, the properties of positive whole numbers and prime numbers which arouse Fermat’s interest. About these, there are problems which very hard to prove, but, in an opposite way, are very easy to state. In the presence of the difficulty to demonstrate some of these results, Fermat developed a demonstration technique known as the Method of Infinite Descent. In sum, the method proves that certain properties or relations are impossible for integers, proving that if they were valid to some numbers, would also be valid for some smaller numbers; using the same argument, would be valid for some even smaller numbers, and so on, which is impossible due to the fact that a sequence of positive whole numbers cannot indefinitely decrease. Fermat described his method in a letter to Carcavi in 1659, in general terms, expressing several propositions to which he applied it. It was by his letters that Fermat shared his discoveries and in this one he challenged other mathematicians to apply his method to give proofs of several results. The purpose of this thesis is to reproduce the demonstrations of some propositions referred in the letter to Carcavi, the ones that Fermat says have been demonstrated by the Method of Infinite Descent.

Mestrado em Matemática e Aplicações Qualquer número inteiro n ímpar e composto pode ser escrito como diferença dos quadrados de dois outros números inteiros. Desta forma, se conhecermos estes inteiros podemos facilmente factorizar n. No entanto, e embora simples e engenhosa, esta ideia frequentemente utilizada por Pierre de Fermat para factorizar números pequenos apresenta alguns problemas quando o tamanho dos inteiros a factorizar aumenta. Deste modo, torna-se mais fácil e portanto preferível escrever não n mas sim um seu qualquer múltiplo como diferença de dois quadrados, os quais, na maior parte dos casos, nos permitem de igual forma factorizar n. Esta pequena modificação à ideia de Fermat, designada por congruência de quadrados, está por detrás de um grande número de algoritmos de factorização modernos como o “método das fracções contínuas”, o “crivo quadrático” e o “crivo dos corpos de números”. Nesta dissertação estudamos cada um destes algoritmos e alguns dos seus melhoramentos em detalhe, apresentando alguns exemplos demonstrativos do seu funcionamento. Every odd and composite integer n may be written as a difference of the squares of two other integers. Thus, if we know these integers we may easily factor n. However, simple and ingenious as it may be, this idea often used by Pierre de Fermat to factor small numbers begins to lose its efficiency as the size of the integers being factored gets larger. That being, it becomes easier and thus preferable to write not n but any of its multiples as a difference of two squares, which, most of the times, allow us to factor n as well. This small modification to Fermat’s idea, called the quadratic congruence method, lies behind a large number of modern factorization algorithms, such as the “continued fractions method”, the “quadratic sieve” and the “number field sieve”. In this dissertation we study each of these algorithms and some of their improvements in detail, and present some examples of their application.

Mestrado em Matemática e Aplicações O RSA é um sistema criptográfico de chave pública, inventado, em 1978, por Rivest, Shamir e Adleman. Neste trabalho, serão abordadas várias técnicas desenvolvidas desde então para quebrar este sistema. Iremos descrever vários métodos de factorização, de onde destacamos o crivo quadrático, o crivo geral dos corpos de números e o método das curvas elípticas. Iremos também estudar vários ataques ao RSA que, de forma a serem evitados, vieram a permitir uma implementação mais adequada do RSA. Destes ataques destacamos aqueles que quebram o RSA quando o expoente público ou o expoente privado são demasiado pequenos, o ataque dos tempos de Kocher e o ataque com parte da chave privada exposta. Muitos dos métodos descritos são acompanhados, em apêndice, com um algoritmo, construído no software Maple 9.5. The RSA is a cryptographic system invented in 1978 by Rivest, Shamir and Adleman. In this work, we will study several methods developed since then to break this system. We will describe some factorization methods, of which we highlight the quadratic sieve, the general number field sieve and the elliptic curve method. We will also study several attacks to RSA that, in order to avoid them, a better implementation of the RSA was achieved. In particular, we will describe those that break the RSA when a small public exponent or a small private exponent is used. We will also see the Kocher’s timing attack and partial private key exposure attack. Many of the methods are accompanied, in the appendix, by an algorithm constructed using the software Maple 9.5.

A presente tese apresenta uma compilação de estudos da circulação da superficie no oceano ao largo do sudoeste da Península Ibérica, através da combinação de dados obtidos a partir de deteção remota, observações directas e modelação numérica. Com base nestas observações, a região oceanogrãfica a sudoeste da Peninsula Ibérica aparece como um sistema complexo cuja circulação ã superfície é a resposta ã acção conjunta dum campo de vento espacial/ temporalmente variãvel, ã interação da circulação costeira com o campo de vorticidade ao largo constrangido pela existência de gradientes de pressão ao longo da costa, e as interações desta circulação com o escoamento subsuperficial sujeito ã batimetria do fundo. A tese tenciona descrever e discutir a oceanografia regional descendo desde a larga escala até os processos de mesoescala. Os processos de larga escala mostraram uma associação dos regimes de afloramento costeiro forçado pelo vento com o índice da Oscilação do Atlântico Norte. A heterogeneidade espacial do campo de ventos oceânico apareceu associada aos principais cabos, e foi proposta como principal responsável pela geração de actividade de mesoscala. Uma parte importante desta tese baseou-se na descrição e análise dos processos de mesoescala locais, com maior ênfase num dos fenómenos mais desconhecidos na oceanografia regional, como é o filamento de afloramento do Cabo de São Vicente. Quer observações directas do filamento, quer o seu estudo com um modelo numérico mostraram que o filamento aparece associado a um meandro do jacto de afloramento inserido num campo povoado de vórtices persistentes com os quais mostra interação. The present dissertation presents a compilation of studies about the surface circulatíon off the southwestern Iberian Peninsula. These studies are based on remotely sensed data, in situ observations and numerical modelling outputs. Based on these, the oceanographic region appears as a complex system whose surface circulatíon expresses the response to a spatially and temporally variable wind field, to the interaction of coastal circulatíon with the offshore eddy field constrained by the existence of along-shore pressure gradients, all subjected to the interaction with topographically-steered sub-surface flows. The dissertation attempts to describe and discuss the regional oceanography downscaling from the large-scale down to the mesoscale processes. Large-scale processes evídenced an association with the prevailing wind-driven upwelling/downwelling regime, in close relation with the North Atlantic Oscillation index. The spatial heterogeneity of the wind field appeared related to the influence of the most outstanding capes. This was proposed as a major responsible for the generation of mesoscale activity. An important part of this dissertation was devoted to the description and analysis of local mesoscale processes. Special emphasis was put in the Cape St. Vincent upwelling filament, which is one of the most intriguing phenomena for local oceanographers. Both direct obervations and the study with a numerical model revealed that the filament occurs associated with meanders of the upwelling jet embedded in a persistent eddy field, with which interacts.

Dissertação de mestrado, Estudos Marinhos e Costeiros, Faculdade das Ciências do Mar e do Ambiente, Universidade do Algarve, 2004 O principal objectivo deste trabalho consiste no estudo de alguns processos de mesoescala que ocorrem nas águas costeira Angolanas, com ênfase na caracterização dos episódios de águas quentes e de baixa salinidade que têm ocorrido no Verão Austral na região compreendida entre 50S e 130S. Foram utilizados dados de observações de detecção remota obtidas no domínio de infravermelho térmico que cobre a região acima referida assim como dados de observações in situ das campanhas de investigação realizadas duas vezes/ano nesta região desde 1994 até 2002. The aim of the present work consists in the study of some mesoscale processes that took place along lhe Angolan coast, with emphasis on characlerization of Warm and low-salinity evenls along the Angolan shelf, mainly between 5ºS and 13ºS. To describe those features, infrared and visible salellile imagery that cover Angolan coast (1982 lo 1999) and in silu hydrological observation gathered during 9 oceanographic research cruises (from 1994 to 2002) are used.

0 algoritmo de Shor e a evolução da computação quântica trouxeram grandes ameaças à segurança dos criptossistemas atuais. Pela necessidade de se encontrar novas alternativas, surgiu a criptografia pós-quântica. Esta dissertação pode ser dividida em três partes principais. Na primeira apresentamos alguns elementos de teoria dos números e descrevemos um criptossistema clássico, o RSA, cuja segurança pode ser facilmente quebrada recorrendo a ataques quânticos. Na segunda parte descrevemos a implementação do algoritmo de Shor, que é um ataque a esse e a todos os criptossistemas cuja segurança reside no problema da fatorização ou no problema do logaritmo discreto. Na implementação deste algoritmo minimizámos o número de qubits necessários. Para isso, utilizámos transformadas de Fourier quânticas para realizar operações como a adição, a multiplicação e a exponenciação modular. Assim, segundo a nossa abordagem, precisámos de apenas Li + 2L2 + 3 qubits, para implementar o algoritmo de Shor, ou seja, para encontrar o período da função /(x) = ax mod N, onde Li corresponde ao número de qubits necessários para representar x tal que N2 < 2L1 < 2N2 e L2 corresponde ao número de qubits necessários para representar N. Por fim, na última parte desta dissertação, apresentaremos elementos da criptografia pós-quântica, em particular, um protocolo proposto por nós. Este é uma nova variante do criptossistema de McEliece, no qual se propõe o uso de códigos convolucionais em vez do uso de códigos de bloco. Assim, a parte codificadora da nossa chave pública, que denotaremos por G'(D), será ela própria convolucional. Ao estudarmos várias possibilidades de ataques para este criptossistema, verificámos que, em comparação com as restantes variantes, para uma chave pública menor conseguimos ter um fator de trabalho muito maior, o que se traduz numa maior segurança Shor’s algorithm and the evolution of quantum computing brought big threats to the security of the current cryptosystems. The need to find new alternatives created what is known as post-quantum cryptography. This dissertation can be splitted into three main parts. In the first one, we present elements of number theory and we describe a classical cryptosystem, the RSA, whose security can be easily broken using quantum attacks. In the second part, we describe the implementation of Shor’s algorithm, which is an attack to RSA but also to all the cryptosystems whose safety lies in the factorization problem or in the discrete logarithm problem. In the implementation of this algorithm we minimized the number of qubits required. For this, we used quantum Fourier transforms to perform operations such as addition, multiplication and modular exponentiation. Thus, according to our approach, we need only Li + 2L% + 3 qubits to implement the Shor’s algorithm, that is, to find the period of the function f(x) = ax mod N, where Z] is the number of bits needed to represent x such that N2 < 2L1 < 2N2, and L2 is the number of bits needed to represent N. Finally, in the last part of this dissertation, we present elements of post-quantum cryptography, in particular, a new protocol proposed by us. This is a new variant of the McEliece cryptosystem, on which we propose the use of convolutional codes instead of block codes. Thus, the encoder part of our public key, which we will denote by G'(D), will be itself convolutional. By studying several possibilities of attacks for this cryptosystem, we verified that, compared to the other variants, for a smaller public key we can have a much larger work factor, which can be translated in a greater security Mestrado em Engenharia Física