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The storage and transmission of images is the basis of digital electronic communication. In order to communicate a maximum amount of information in a given period of time, one needs to look for efficient ways to represent the information communicated. Designing optimal representations is the subject of data compression. In this work, the compression methods consist of two steps in general, which are encoding and decoding. During encoding, one expresses the image by less data than the original and stores the data information; during decoding, one decodes the compressed data to show the decompressed image. In Chapter 1, we review some basic compression methods which are important in understanding the concepts of encoding and information theory as tools to build compression models and measure their efficiency. Further on, we focus on transform methods for compression, particularly we discuss in details Discrete Cosine Transform (DCT) and Discrete Wavelet Transform (DWT). We also analyse the hybrid method which combines DCT and DWT together to compress image data. For the sake of comparison, we discuss another total different method which is fractal image compression that compresses image data by taking advantage of self-similarity of images. We propose the hybrid method of fractal image compression and DCT based on their characteristic. Several experimental results are provided to show the outcome of the comparison between the discussed methods. This allows us to conclude that the hybrid method performs more efficiently and offers a relatively good quality of compressed image than some particular methods, but also there is some improvement can be made in the future., Le stockage et la transmission d'images sont à la base de la communication électronique numérique. Afin de communiquer un maximum d'informations dans un laps de temps donné, il faut rechercher des moyens efficaces de représenter les informations communiquées. L'objectif de base de la compression de données est la conception d'algorithmes qui permettent des représentations optimales des données. Dans ce travail, les méthodes de compression consistent en deux étapes en général, qui sont l'encodage et le décodage. Lors du codage, on exprime l'image par moins de données que l'image originale et stocke les informations obtenues; lors du décodage, on décode les données compressées pour montrer l'image décompressée. Dans le chapitre 1, nous passons en revue quelques méthodes de compression de base qui sont importantes pour comprendre les concepts d'encodage et de théorie de l'information en tant qu'outils pour construire des modèles de compression et mesurer leur efficacité. Plus loin, nous nous concentrons sur les méthodes de transformation pour la compression, en particulier nous discutons en détail des méthodes de transformée en cosinus discrète (DCT) et Transformée en ondelettes discrète (DWT). Nous analysons également la méthode hybride qui combine DCT et DWT pour compresser les données d'image. À des fins de comparaison, nous discutons d'une autre méthode totalement différente qui est la compression d'image fractale qui comprime les données d'image en tirant partie de l'autosimilarité des images. Nous proposons la méthode hybride de compression d'image fractale et DCT en fonction de leurs caractéristiques. Plusieurs résultats expérimentaux sont fournis pour montrer le résultat de la comparaison entre les méthodes discutées. Cela nous permet de conclure que la méthode hybride fonctionne plus efficacement et offre une qualité d'image compressée relativement meilleure que certaines méthodes, mais il y a aussi des améliorations qui peuvent être apportées à l'avenir.

Le principal objectif de ce mémoire de maîtrise est la conception et la validation d'un système de description et d'analyse de la forme, adapté pour tout ensemble de données multidimensionnel. Après avoir étudié les différentes techniques utilisées précédemment dans ce domaine, nous avons démontré que la combinaison de la théorie de Morse avec la topologie algébrique et plus spécifiquement de l'homologie, était fortement pertinente pour construire un descripteur performant de formes pouvant être modélisées par des variétés de Morse. Notre descripteur caractérise la forme pour toutes les paires ([M], [phi]), où [M] est une variété fermée et lisse et [phi] est la fonction de Morse définie sur [M]. Cette description fait, ainsi, le lien entre l'évolution des points critiques de [phi] et les changements d'homologie relative sur la forme étudiée. Ces changements sont exprimés en termes de paires de niveaux de [phi] sur [M]. Lors de la validation de ce descripteur par la conception d'un système de recherche d'images par le contenu, plusieurs expériences ont été faites. De nouvelles mesures de distances ont été appliquées et une stratégie de combinaison des fonctions de Morse a donné des résultats expérimentaux très concluants.

Dans ce mémoire, nous présentons d'abord une introduction à la théorie classique de la topologie digitale en utilisant une approche de"graphe d'adjacence". Les concepts de cette théorie sont examinés en détail et ensuite, nous discutons des désavantages inhérents à cette approche, dus essentiellement au manque de rigueur axiomatique dans son élaboration. Par la suite, nous étudions une nouvelle approche à la théorie de topologie digitale telle que développée par V. Kovalevsky. Cette théorie, basée sur une approche axiomatique, permet de contourner la plupart des problèmes rencontrés dans la théorie classique. Elle présente des axiomes pour bien définir une topologie digitale. Après avoir présenté les axiomes, nous construisons un contre exemple qui démontre une inconsistance dans l'approche de Kovalevsky. Afin de pallier à cette difficulté, un nouvel axiome est rajouté à cet effet. Au lieu de se consacrer à l'étude des complexes cellulaires abstraits, nous faisons appel à la théorie des CW-complexes, telle que développée par J.H.C. Whitehead, et aux complexes cubiques, tels que formalisés par T. Kaczynski et al. pour établir des liens entre la toplogie digitale axiomatique et la topologie algébrique dont le formalisme puissant permet d'élargir les champs d'application de la topologie digitale. Finalement des exemples concrets sont donnés pour démontrer l'utilité de cette théorie pour l'analyse d'images digitales.

Dans ce travail, nous utilisons des concepts de topologie digitale pour le filtrage topologique de surfaces reconstruites à partir d'un échantillon de points dans l'espace. Étant donné un échantillon S de points dans l'espace, nous utilisons l'algorithme de Amenta et Bern [2] basé sur les diagrammes de Voronoi pour reconstruire une surface linéaire par morceaux sous forme d'une grille triangulaire dont l'ensemble des sommets est S. Typiquement, les surfaces obtenues par le biais de cet algorithme exhibent des défauts de reconstruction qui se manifestent comme des petits trous et qu'on peut qualifier de bruit topologique. Nous proposons une méthode simple et efficace pour trouver et colmater ces trous indésirables qui fonctionne comme suit. Premièrement, nous plongeons la surface triangulée dans une représentation volumétrique. Par la suite, nous utilisons l'algorithme de fermeture de trous de Aktouf et al. [1] pour filtrer les trous selon leur grandeur et éliminer les plus petits qui sont moins plausibles et moins importants pour la topologie de la surface alors que les trous les plus larges représentent souvent des caractéristiques topologiques importantes de la surface. Nous présentons des résultats expérimentaux qui démontrent l'emcacite de cette méthode pour le traitement topologique automatique des surfaces dans l'espace., In this work, we use concepts from digital topology for the topological filtering of reconstructed surfaces. Given a finite set S of sample points in 3D space, we use the Voronoibased algorithm of Amenta and Bern [2] to reconstruct a piecewise-linear approximation surface in the form of a triangular mesh with vertex set equal to S. A typical surface obtained by means of this algorithm often contains small holes that can be considered as noise. We propose a method to remove the unwanted holes that works as follows. We first embed the triangulated surface in a volumetric representation. Then, we use the 3D-hole closing algorithm of Aktouf et al. [1] to filter the holes by their size and close the small holes that are in general irrelevant to the surface while the larger holes often represent topological features of the surface. We present some experimental results that show that this method allows to automatically and effectively search and suppress unwanted holes in a 3D surface.

Ce mémoire présente une nouvelle méthodologie de mise en correspondance entre des images en employant une approche topologique. Cette méthodologie se décompose en deux parties: l'extraction des primitives topologiques de l'image et la mise en correspondance entre les images. Ces primitives topologiques extraites servent d'opérandes de comparaison dans la mise en correspondance. L'extraction et la mise en correspondance sont modélisées par le biais des concepts de l'homologie cubique de la topologie algébrique. L'invariance des primitives topologiques aux distorsions et aux perturbations dues aux transformations constitue l'avantage principal pour leurs utilisations dans le cadre de la mise en correspondance entre différentes vues ou images d'une même scène.

Geometric deformable models for active contours have brought tremendous impact to classical problems in image processing such as providing ways to devise efficient compu­tational algorithms for automatic segmentation. This is achieved by using the level set method, which allows handling automatic changes in topology while providing a frame­work for very fast numerical schemes. However, topological flexibility is not desired when an object with known topology is sought. It is natural to capture the target in a way that gives the correct topology. A geometric deformable model with topology preserving is developed that can guarantee the topology will be preserved while all the computational advantages of the level set approach are maintained. A key issue in object detection using the shape of the object’s boundary and surface reconstruction using slice contours is the ability to identify the complete boundaries of the segmented objects in the scene. The segmentation results provided by geometric de­formable models are usually dependent on the contour initialization, and in most cases, the results of the segmentation will only provide partial objects boundaries. A new method based on digital topology is proposed to detect the complete boundary informa­tion of the segmented objects. By carrying out a topological analysis of the objects, this method can provide the right initialization that can capture all the boundaries of the objects in certain cases.

Ce mémoire propose une nouvelle approche topologique pour la caractérisation des formes, soit le descripteur de Morse pour la forme. Ce descripteur est adapté pour tout ensemble de données multi-dimensionnel pouvant se modéliser comme une variété de Morse. La caractérisation est obtenue pour toutes les paires ([Mu, phi]), où [Mu] est une variété lisse, fermée et [phi] est une fonction de Morse définie sur [Mu]. Plus précisément, ce descripteur caractérise la topologie de toutes les paires de niveaux ([Mu][indice supérieur y], [Mu] [indice supérieur x]) de [phi] , où [Mu][indice supérieur z] = [phi][indice supérieur -1] ((-[infini], z]), [pour tout]z [appartient à] [partie réelle]. La théorie de Morse classique est utilisée pour établir un lien entre la topologie d'une paire de niveaux de [Mu] et les points critiques de [phi] situés entre ces deux niveaux. Finalement, des résultats expérimentaux sont présentés pour démontrer la validité de ce descripteur.

Les mathématiques d'aujourd'hui requièrent une adaptation rapide à une réalité largement dominée par une utilisation étendue des outils informatiques. Le développement grandissant de ces derniers peut alors profiter aux mathématiques par un apport direct dans la vérification de certaines propriétés réputées très longues et difficiles. Il est pour cela important de trouver des moyens (théories convenables) permettant de transformer et/ou réduire un problème mathématique donné à un problème concernant les ensembles finis (objets qu'on peut coder par un nombre fini de données). Les preuves assistées par ordinateur de la présence du chaos dans les équations de Lorenz sont des exemples d'apports concrets de cette adaptation. Il est à noter qu' à la différence des preuves formelles faites avec l'ordinateur, les preuves assistées par ordinateurs sont conduites d'abord de façon rigoureuse et l'ordinateur n'intervient que lors de la vérification de certaines propriétés découlant de calculs numériques fastidieux lesquels sont soumis systématiquement à une analyse rigoureuse pour cerner les erreurs d'arrondis et de troncatures. Le calcul de l'homologie d'un ensemble ou d'une fonction s'inscrivent tout naturellement dans ces démarches. Grâce à l'introduction des notions d'ensembles et d'applications multivoques représentables comme outils de transition entre les objets des mathématiques du continua ayant de bonnes propriétés topologiques et les ensembles finis, nous entreprenons dans le cadre de cette thèse l'algorithmisation du calcul de l'homomorphisme induit dans l'homologie par une application continue. Ce procédé renforce l'idée de développer une discipline qui étudie les aspects combinatoires et calculatoires de problèmes à caractère topologique et qui a pour but la production d'algorithmes qui permettent le calcul avec l'ordinateur de structures et d'invariants topologiques.

Le présent travail consiste en quelques applications du gradient généralisé de Clarke. Nous résolvons d'abord le problème périodique-Dirichlet pour l'équation d'ondes semi-linéaire Lu = utt - uxx = f (t, x, u) dans le cas où f n'est soumise à aucune condition de continuité. Nous donnons ensuite, sur un espace de dimension finie, une généralisation d'un théorème de PALAIS[13] établi initialement pour des fonctions continûment différentiables à des fonctions vérifiant seulement la condition de Lipschitz. Nous généralisons, en dernier, un exemple de FOURNIER et al.[9] sur l'application de la notion de point critique essentiel à la résolution d'équations différentielles.