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El presente trabajo es un estudio realizado sobre los espacios métricos 'y los espacios de Hilbert. El estudio de los espacios métricos comienza con la definición del mismo, luego la topología generada por la métrica y finaliza con los conceptos de completitud. El estudio del espacio de Hilbert se inicia con una breve descripción de los espacios pre-Hilbertianos, para luego estudiar diferentes conceptos sobre los espacios de Hilbert. Esta obra contiene la demostración de variados teoremas y la realización de varios ejemplos por capítulo. Los capítulos han sido establecidos como sigue: El primer capítulo es sobre los espacios métricos. Aquí se detalla el concepto de espacio métrico, la topología de la métrica, convergencias más conceptos topológicos sobre los espacios métricos y las sucesiones de Cauchy en los espacios métricos y la completación de los mismos. El segundo capítulo es sobre los espacios de Hilbert. Primero se hace una descripción breve de los espacios pre-Hilbertianos y luego los conceptos básicos de los espacios de Hilbert. A su vez se estudia sobre las bases y dimensión de los espacios de Hilbert. Describimos la expansión de Fourier desde tres diferentes formas. También describimos una caracterización de los espacios de Hilbert y concluimos con la demostración del teorema de Riesz. Esperando que el presente informe de Suficiencia sea del completo agrado del lector, agradeceré sus sugerencias al mismo. Trabajo de suficiencia profesional

El presente trabajo es un estudio realizado sobre los pormenores necesarios para la implantación de un aula virtual y el consiguiente modelo de educación a distancia en una institución de nivel superior cuyo régimen de estudio, por su trascendencia, es de suma importancia para el país. La implantación requiere primero de la descripción de los objetivos, alcances e importancia del tema tratado, luego de una descripción de la facultad en estudio y el respectivo enfoque sistémico que justifique la implantación. En segundo lugar La implantación requiere de un marco teórico (definiciones y estudios sobre el tema a nivel mundial), lo cual nos servirá para definir el modelo de educación a distancia a implantar en la facultad Luego el modelo deducido requerirá de las especificaciones de hardware y software que garanticen la puesta en marcha y funcionamiento del mismo Finalmente, para concretar la implantación se requiere definir la cotización respectiva en lo referente al hardware y software, al personal especializado encargado de la implementación y los profesores quienes son los encargados de diseñar las clases virtuales y de trasmitir los conocimientos a distancia. Todas estas etapas son expuestas en los subsiguientes nueve capítulos: • El primer capítulo son las generalidades del trabajo. Aquí se detallan los objetivos, la importancia del tema, los alcances y las metodologías empleadas. • El segundo capítulo consiste en una descripción de la Universidad Alas Peruanas y de una de sus facultades, la Facultad de Recursos Naturales y Energías Renovables (FRNER), que es la institución de educación superior donde se desenvolverá todo el trabajo. En este capítulo también se incluye algunas de las materias de estudio en esta facultad como los recursos naturales de suma importancia para el País como el camu camu, la kiwicha, etc. y casos de energías que han sido renovadas por obra del hombre y que han conseguido beneficiar a miles de pobladores de las zonas rurales del Perú. • El tercer capítulo es el marco teórico de la instalación de educación a distancia. Es un tratado sobre cómo se ha instalado la educación a distancia en otras latitudes, como ha sido definida y en que consiste la metodología. En este capítulo también se describen los medios necesarios para la educación a distancia. También en este capítulo se mencionan diferentes definiciones En este capítulo también se ha dado varias definiciones sobre Aula y Universidad virtual y la definición formal asumida por el autor de la obra. Otro tema que también se menciona es la biblioteca virtual, cuya trascendencia académica es de suma importancia. • El cuarto capítulo consiste en el enfoque sistémico de la implantación, siguiendo la metodología de sistemas suaves de checklan, y el análisis de sistemas siguiendo la metodología de Jurdon. El desarrollo de este capítulo finaliza con la justificación de la implantación de aulas virtuales en la Universidad alas peruanas empezando por la facultad de recursos naturales y energías renovables • El quinto capítulo consiste en la descripción del modelo del aula virtual a implantar en la FRNER. En este capítulo se detalla cuáles son las componentes del aula virtual. Como el Aula virtual transmisora y el aula virtual receptora y el número de ellas que se van a instalar. En lo que respecta a la instalación se efectúa un estudio estadístico sobre cuáles serían los lugares del Perú, más apropiados (económicamente), donde se van a instalar las aulas virtuales receptoras. También se describe: el modelo de enseñanza aprendizaje a distancia desde el punto de vista del docente, del alumno y de la institución; todos los pormenores del modelo a implantar, los procesos que forman parte del modelo, y como serán las clases a distancia de los cursos de la facultad. • En el capítulo seis hacemos una descripción del hardware necesario para implantar el aula virtual. El hardware necesario para el aula virtual transmisora y la necesaria para las aulas virtuales receptoras. También se detalla: la forma de comunicación que existirá entre las aulas virtuales como la red privada virtual (VPN) que instalara, el tipo de server a utilizar el cual se encargara de controlar todo el tráfico de comunicación entre las aulas y los usuarios, y todo el equipamiento tecnológico necesario para que se dé las clases a distancia. • El capítulo siete es una descripción del software necesario para la implantación. Tesis